第三章第8講函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、考綱要求考綱研讀1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.函數(shù)模型及其應(yīng)用是高考的重點(diǎn)函數(shù)除了涉及方程、不等式、數(shù)列等知識，還可滲透到三角、立體幾何、解析幾何，甚至還呈現(xiàn)于概率知識中，它具有題源豐富、跨學(xué)科綜合的特征解題時應(yīng)注意把握問題主線，明確問題實(shí)質(zhì)，運(yùn)用有關(guān)知識進(jìn)行轉(zhuǎn)換.第8講函數(shù)模型及其應(yīng)用1學(xué)習(xí)過的基本初等函數(shù)主要有指數(shù)函數(shù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、正(反)比例函數(shù)、三角函數(shù)、_、_、_等對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)要熟練掌握這些函數(shù)的圖象與性

2、質(zhì)，以便利用它們來解決一些非基本函數(shù)的問題2用基本初等函數(shù)解決非基本函數(shù)問題的途徑(1)化整為零：即將非基本函數(shù)“拆”成基本初等函數(shù)，以便用已知知識解決問題(2)圖象變換：某些非基本函數(shù)的圖象可看成是由基本初等函數(shù)圖象通過圖象變換得到的，搞清了變換關(guān)系，便可借助基本初等函數(shù)解決非基本函數(shù)問題二次函數(shù)模型3在解決某些應(yīng)用問題時，通常要用到的一些函數(shù)模型_、_、_、_、_、分式函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等4三種函數(shù)增長的條件：冪函數(shù)模型當(dāng) a1 時，指數(shù)函數(shù) yax 是增函數(shù)，并且當(dāng) a 越大時，其函數(shù)的增長就越快一次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型當(dāng) a1 時，對數(shù)函數(shù) ylogax 是增函數(shù)，并且

3、當(dāng) a 越小時，其函數(shù)的增長就越快當(dāng) x0，n0 時，冪函數(shù) yxn 是增函數(shù)，并且當(dāng) n 越大時，其函數(shù)的增長就越快5三種函數(shù)增長速度的比較直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型的增長的含義：當(dāng) a1，n0 時，那么當(dāng) x 足夠大時，一定有指數(shù)函數(shù)值增長快于冪函數(shù)值增長，冪函數(shù)值增長快于對數(shù)函數(shù)值增長也就是說，指數(shù)函數(shù)值增長最快，人們常稱這種現(xiàn)象為“指數(shù)爆炸”1某一種商品降價(jià) 10%后，欲恢復(fù)原價(jià)，則應(yīng)提價(jià)()D2有一塊長為20厘米，寬為12厘米的矩形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子則盒子的容積V與x的函數(shù)關(guān)系式是( )AVx(202x)(122x)，

4、x(0,12)BVx(20 x)(12x)，x(0,12)CVx(202x)(122x)，x(0,6)DVx(202x)(122x)，x(0,10)3某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號計(jì)算機(jī)的固定成本為 200萬元，生產(chǎn)每臺計(jì)算機(jī)的可變成本為 3 000 元，每臺計(jì)算機(jī)的售價(jià)為 5 000 元則：(1)總成本 C(萬元)關(guān)于總產(chǎn)量 x(臺)的函數(shù)關(guān)系式為_；C2000.3x(xN*)(2)單位成本 P(萬元)關(guān)于總產(chǎn)量 x(臺)的函數(shù)關(guān)系式為_；0.3(xN*)P200 x(3)銷售收入 R(萬元)關(guān)于總產(chǎn)量 x(臺)的函數(shù)關(guān)系式為_；R0.5x(xN*)(4)利潤 L(萬元)關(guān)于總產(chǎn)量 x(臺)的

5、函數(shù)關(guān)系式為_L0.2x200(xN*)4一等腰三角形的周長是 20，底邊 y 是關(guān)于腰長 x 的函數(shù)，它的解析式為_5已知函數(shù) y12x 和 y2x2.當(dāng) x(2,4時，函數(shù)_的值增長快；當(dāng) x(4，)時，函數(shù)_的值增長快y202x(5x10)y2x2 y12x考點(diǎn)1正比例、反比例和一次函數(shù)類的實(shí)際問題例1：某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每個定價(jià) 20 元，茶杯每個定價(jià) 5 元，該店推出兩種優(yōu)惠辦法：(1) 買一個茶壺贈送一個茶杯；(2) 按總價(jià)的 92%付款某顧客需要購茶壺 4 個，茶杯若干(不少于 4 個)，若需茶杯 x個，付款數(shù)為 y(元)，試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系

6、，并討論顧客選擇哪種優(yōu)惠方法更劃算解析：由優(yōu)惠辦法(1)可得函數(shù)關(guān)系式：y12045(x4)5x60(x4)由優(yōu)惠辦法(2)可得函數(shù)關(guān)系式：y2(5x420)92%4.6x73.6(x4)比較：y1y20.4x13.6(x4)當(dāng)0.4x13.60，即x34 時，y1y2，即當(dāng)購買茶杯個數(shù)大于34 時，優(yōu)惠辦法(2)合算當(dāng)0.4x13.60，即x34 時，兩種優(yōu)惠辦法一樣合算當(dāng)0.4x13.60，即4x34 時，y1y2，優(yōu)惠辦法(1)合算本題考查的是建立一次函數(shù)模型，并應(yīng)用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題的能力第一種優(yōu)惠辦法，實(shí)際付款是4 個茶壺的錢和(x4)個茶杯的錢第二種優(yōu)惠辦法只需將貨款總數(shù)乘以

7、92%，而后再作差比較二者的大小即可【互動探究】1一批物資要用 11 輛汽車從甲地運(yùn)到 360 千米外的乙地，批物資至少需要()A10 小時B11 小時 C12 小時D13 小時C考點(diǎn)2分段函數(shù)類的實(shí)際問題例2：某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250 萬元，每生產(chǎn) x1 450(萬元)每件商品售價(jià)為 0.05 萬元通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完(1)寫出年利潤 L(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量 x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？所以，當(dāng)產(chǎn)量為100 千件時，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1 000 萬元現(xiàn)實(shí)生活中有很多問題是用分段函數(shù)表示

8、的，如出租車計(jì)費(fèi)，個人所得稅計(jì)算，郵政資費(fèi)等等，故分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)生活的重要模型本題的分段函數(shù)考查二次函數(shù)前者配方，后者利用基本不等式【互動探究】2通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間講座開始時，學(xué)生興趣激增；中間有一段不太長的時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用f(x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，x 表示提出概念和講授概念的時間(單位：分)，可有以下的關(guān)系式：(1)開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少時間？(2)一個數(shù)學(xué)難題，需要 55(或以上)的接受能力，上課開始 30分鐘內(nèi)，求

9、能達(dá)到該接受能力要求的時間共有多少分鐘？(3)如果每隔 5 分鐘測量一次學(xué)生的接受能力，再計(jì)算平均值Mf(5)f(10)f(30)6，它能高于 45 嗎？故當(dāng)0 x10時，f(x)遞增，最大值為：f(10)0.1(3)259.959.顯然，當(dāng)16x30時，f(x)遞減，f(x)31610759.因此，開講后10分鐘，學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)的接受能力，并維持6分鐘(2)依題意，當(dāng)0 x10時，令f(x)55，則(x13)249.6x10.當(dāng)10 x16時，f(x)59符合要求解：(1)030，函數(shù)在25,30上是減函數(shù)，因此t25 時，y 有最大值1 125 元，因?yàn)? 125870，所以在第25 天日銷

10、售額最大，最大值為1 125 元二次函數(shù)是我們比較熟悉的函數(shù)模型，建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的值域或最值解決實(shí)際中的優(yōu)化問題時，一定要分析自變量的取值范圍利用配方法求最值時，一定要注意對稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系：若對稱軸在給定的區(qū)間內(nèi)，可在對稱軸處取一最值，在離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取另一最值；若對稱軸不在給定的區(qū)間內(nèi)，最值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得另外在實(shí)際的問題中，還要考慮自變量為整數(shù)的問題【互動探究】3某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入客運(yùn)，據(jù)市場分析，每輛客車營運(yùn)的總利潤 y 萬元與營運(yùn)年數(shù) x(xN)的關(guān)系為yx220 x36.(1)每輛客車從第幾年起開始盈利？(2)每輛客車營運(yùn)多少年，可使其

11、營運(yùn)的總利潤最大？(3)每輛客車營運(yùn)多少年，可使其營運(yùn)的平均利潤最大？考點(diǎn)4 實(shí)際應(yīng)用中對模擬函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)例4：福布斯 2009 年中國富豪榜發(fā)布后，有人認(rèn)為中國富豪受益于活躍的股票市場，得益于強(qiáng)勁的資本市場股票有風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)考慮中長期投資，若某股票上市時間能持續(xù) 15 年，預(yù)測上市初期和后期會因供求及市場前景分析使價(jià)格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期有將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌現(xiàn)有三種價(jià)格隨發(fā)行年數(shù)的模擬函數(shù)：(A)f(x)pqx；(B)f(x)logqxp；(C)f(x)(x1)(xq)2p(以上三式中 p，q 均為常數(shù)，且 q2)(1)為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)？為什么？(2)若 f

12、(1)4，f(3)6，求出所選函數(shù) f(x)的解析式；一般散戶為保證個人的收益，通常考慮打算在價(jià)格下跌期間出售股票，請問他們會在哪幾個年份出售？所以函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，可以出現(xiàn)兩個遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間所以應(yīng)選f(x)(x1)(xq)2p為其價(jià)格模擬函數(shù)(2)由f(1)4，f(3)6，得p4，q4，(其中q2舍去)，所以f(x)x39x224x12(1x15，xN*)由知：f(x)3x218x2402x4，所以f(x)在區(qū)間(2,4)上單調(diào)遞減故他們會在發(fā)行的第2,3年出售解數(shù)學(xué)應(yīng)用題應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：(1)在引入自變量建立目標(biāo)函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時：要注意自變量的取值范圍；要檢驗(yàn)所得結(jié)果，必要時運(yùn)用估算和近似計(jì)算，使結(jié)果符合實(shí)際問題的要求(2)在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，要充分使用數(shù)學(xué)語言，如引入字母、列表、畫圖