第五章 空間力系

1、第五章第五章 空間力系空間力系 空間匯交力系空間匯交力系 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影 力對點(diǎn)之矩和力對軸之矩力對點(diǎn)之矩和力對軸之矩 空間力系的平衡條件空間力系的平衡條件 重心重心2 工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。間力系是最一般的力系。 (a)圖為空間匯交力系；圖為空間匯交力系；(b)圖為空間任意力系；圖為空間任意力系； (b)圖中去了風(fēng)力為空間平行力系。圖中去了風(fēng)力為空間平行力系。迎 面風(fēng) 力側(cè) 面風(fēng) 力b空間匯交力系概述空間匯交力系概述 本

2、章重點(diǎn)本章重點(diǎn) 1 力在空間坐標(biāo)軸上的投影力在空間坐標(biāo)軸上的投影 2 力對坐標(biāo)軸的矩力對坐標(biāo)軸的矩 3 空間力系平衡方程的應(yīng)用空間力系平衡方程的應(yīng)用 一、空間力沿坐標(biāo)軸的分解與投影一、空間力沿坐標(biāo)軸的分解與投影xyzABFxFyFzF1、力沿直角坐標(biāo)軸的分解、力沿直角坐標(biāo)軸的分解 如圖以力矢如圖以力矢 為對角線作直平行六面為對角線作直平行六面體，其三棱邊分別平行于坐標(biāo)軸體，其三棱邊分別平行于坐標(biāo)軸,則可將則可將力力 直接分解為沿坐標(biāo)軸的三個正交分直接分解為沿坐標(biāo)軸的三個正交分力。力。FF一、空間力沿坐標(biāo)軸的分解與投影一、空間力沿坐標(biāo)軸的分解與投影2、力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影、力在空間直角坐標(biāo)

3、軸上的投影 稱為稱為直接投影法直接投影法。cosyFFcoszFFcosFFx（1）已知力）已知力 與與坐標(biāo)方向的夾角坐標(biāo)方向的夾角為為 、 、 ，則則 在坐標(biāo)軸在坐標(biāo)軸上的投影為：上的投影為：FF一、空間力沿坐標(biāo)軸的分解與投影一、空間力沿坐標(biāo)軸的分解與投影ABxyzFxyF（2）已知力）已知力 的仰角的仰角 和方和方位角位角 ，則則 在坐標(biāo)軸上的投在坐標(biāo)軸上的投影為：影為：FFcoscosFFxsincosFFysinFFz稱為稱為二次投影法二次投影法。反之，若已知力反之，若已知力 在坐標(biāo)軸上的投影在坐標(biāo)軸上的投影 、 、 ，則該力的大小和方向?yàn)椋簞t該力的大小和方向?yàn)椋篎xFyFzF222z

4、yxFFFFFFFFFFzyxcos,cos,cos力力 的解析表達(dá)式：的解析表達(dá)式：FkFjFiFFFFFzyxzyx二、力對點(diǎn)之矩二、力對點(diǎn)之矩OxyzF),(zyxABrd)(FmOijk 空間力對點(diǎn)的矩的作用效果取空間力對點(diǎn)的矩的作用效果取決于：力矩的大小、轉(zhuǎn)向和力矩作決于：力矩的大小、轉(zhuǎn)向和力矩作用面方位。這三個因素可用一個矢用面方位。這三個因素可用一個矢量量 表示，如圖。表示，如圖。其模表示力矩的大小；其模表示力矩的大小；指向表示力矩在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向指向表示力矩在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向（符合右手螺旋法則）；（符合右手螺旋法則）；方位表示力矩作用面的法線。方位表示力矩作用面的法線。由于力

5、矩與矩心的位置有關(guān)，由于力矩與矩心的位置有關(guān)，所以所以 的的始端一定在矩心始端一定在矩心O處，是定位矢量處，是定位矢量。)(FmO)(FmO二、力對點(diǎn)之矩二、力對點(diǎn)之矩 )(Fr 根據(jù)右手螺旋法則，矢量根據(jù)右手螺旋法則，矢量 的指向與的指向與 的指向一致，且都垂直于點(diǎn)的指向一致，且都垂直于點(diǎn)O與力與力 所決定的平所決定的平面。所以：面。所以：)(FmOFFrFmO)(即：即：空間力對點(diǎn)之矩矢等于矩心到該力作用點(diǎn)的空間力對點(diǎn)之矩矢等于矩心到該力作用點(diǎn)的矢徑與該力的矢量積。矢徑與該力的矢量積。OABFdFmO2)(由力矩的定義由力矩的定義的面積的面積由圖可知由圖可知OABFdrFFrFr2),si

6、n(的面積的面積有：有：FrFmO)(二、力對點(diǎn)之矩二、力對點(diǎn)之矩 建立如圖坐標(biāo)，有建立如圖坐標(biāo)，有kzj yi xrkFjFiFFzyx所以：所以：kyFxFjxFzFizFyFFFFzyxkjiFrFmxyzxyzzyxO)()()()(上式為力對點(diǎn)的矩的解析表達(dá)式。上式為力對點(diǎn)的矩的解析表達(dá)式。OxyzF),(zyxABr)(FmO一、力對軸之矩一、力對軸之矩dABFOABzxyxyF 力力 對對z 軸之矩定義為：軸之矩定義為：FBAOdFFmxyz2)(的面積的面積即：力對任一軸之矩，等于力在即：力對任一軸之矩，等于力在垂直于該軸平面上的投影對于軸垂直于該軸平面上的投影對于軸與平面的交

7、點(diǎn)之矩。與平面的交點(diǎn)之矩。符號規(guī)定：符號規(guī)定：從從z軸正向向里看，若力使剛體逆時針轉(zhuǎn)取正，軸正向向里看，若力使剛體逆時針轉(zhuǎn)取正，反之取負(fù)。力對軸的矩為代數(shù)量。反之取負(fù)。力對軸的矩為代數(shù)量。 由定義可知：（由定義可知：（1）當(dāng)力的作用線與軸平行）當(dāng)力的作用線與軸平行或相交或相交（共面）時，力對軸的矩等于零（共面）時，力對軸的矩等于零。（。（2）當(dāng)）當(dāng)力沿作用線移動時，它對于軸的矩不變。力沿作用線移動時，它對于軸的矩不變。)()(FmRmzz 同樣，同樣，力對軸之矩亦有合力矩定理力對軸之矩亦有合力矩定理：合力對任：合力對任一軸之矩等于各分力對同一軸之矩的代數(shù)和。即：一軸之矩等于各分力對同一軸之矩的

8、代數(shù)和。即：力對軸之矩實(shí)例力對軸之矩實(shí)例FzFxFy那個力才能使得門繞軸轉(zhuǎn)動？那個力才能使得門繞軸轉(zhuǎn)動？門把手應(yīng)該安裝在什么位置上？門把手應(yīng)該安裝在什么位置上？ 力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對該軸的矩為零力對該軸的矩為零. .( )()zOxyxyM FM FFh例1 yyF 求力 對三坐標(biāo)軸的矩。F解：由合力矩定理：zxzyyyxyyxFzFFmFmFmFm)()()()(yzzxyxxxxzFyFFmFmFmFm)()()()(xyzzyzxzzyFxFFmFmFmFm)()()()(以上三式是力對軸的矩的解析表達(dá)式。xxyzz

9、abF),(zyxABxFxFyFzFxyF三、力對點(diǎn)之矩與力對過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系三、力對點(diǎn)之矩與力對過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系 將將 表示為如下形式：表示為如下形式：)(FmOkFmjFmiFmFmzOyOxOO)()()()(比較前兩式，得：比較前兩式，得：)()()()()()(xyzOzxyOyzxOyFxFFmxFzFFmzFyFFm 比較上式和例比較上式和例1的結(jié)果，得：的結(jié)果，得：)()()()()()(FmFmFmFmFmFmzzOyyOxxO即：即：力對任一點(diǎn)之矩矢在通過該點(diǎn)的任一軸上的力對任一點(diǎn)之矩矢在通過該點(diǎn)的任一軸上的投影，等于力對該軸之矩。投影，等于力對該軸之矩。例2 P

10、xyzabc 求力 在三軸上的投影和對三軸的矩。P解：解：222coscoscbaPaPFx222sincoscbaPbPFy222sincbaPcPFzcFPmPmPmPmyzxyxxxx)()()()(0)(PmyaFPmPmPmPmyzzyzxzz)()()()(例3 如圖所示，長方體棱長為a、b、c，力 沿BD，求力 對AC之矩。FF解：ACCACFmFm)()(22cos)(baFbaaFFmCABCDabcF22222cos)()(cbabaFabcFmFmCAC球形鉸鏈球形鉸鏈空間約束空間約束2、向心軸承，蝶鉸鏈，滾珠、向心軸承，蝶鉸鏈，滾珠(柱柱)軸承軸承3、滑動軸承、滑動軸承

11、 4、止推軸承、止推軸承 5、帶有銷子的夾板、帶有銷子的夾板6、空間固定端、空間固定端5.4 空空 間間 匯匯 交交 力力 系系1、合成、合成 將平面匯交力系合成結(jié)果推廣得：將平面匯交力系合成結(jié)果推廣得：FFFFRn 21合力的大小和方向?yàn)椋汉狭Φ拇笮『头较驗(yàn)椋?22)()()(FzFyFxRRFRFRFzyxcos,cos,cos2、平衡、平衡 空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：0FR以解析式表示為：以解析式表示為：0, 0, 0zyxFFF即為空間力系的即為空間力系的平衡方程平衡方程。解題思路解題思路+ +注意事項注意事項1 取研究對象，畫受力圖。取研

12、究對象，畫受力圖。 注意：注意：1）球鉸鏈球鉸鏈 2）空間二力桿空間二力桿 3）不再單獨(dú)取分離體不再單獨(dú)取分離體2 建立坐標(biāo)系，列平衡方程。建立坐標(biāo)系，列平衡方程。 注意：注意：1）代數(shù)量代數(shù)量 2）避免解聯(lián)立方程避免解聯(lián)立方程3 求解求解注意：負(fù)值的力學(xué)含義注意：負(fù)值的力學(xué)含義 負(fù)值的代入問題負(fù)值的代入問題例4ABCDEPABCDEPDTCTSxyz 重為P的物體用桿AB和位于同一水平面的繩索AC與AD支承，如圖。已知P=1000N，CE=ED=12cm，EA=24cm，不計桿重；求繩索的拉力和桿所受的力。45 解：以鉸A為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。0sinsin:0DCxTTF0s

13、incoscos:0STTFDCy0cos:0PSFz由幾何關(guān)系：52241224cos22解得：NS1414NTTDC5595.4 空間力偶系空間力偶系 力偶由一個平力偶由一個平面平行移至剛體另面平行移至剛體另一個平行平面不影一個平行平面不影響它對剛體的作用響它對剛體的作用效果。效果。ABFFORR1A1B1F1F2F2F 力偶的作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空力偶的作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系。間力偶系。二、力偶的矢量表示二、力偶的矢量表示mmFF 由力偶的性質(zhì)可知：力偶的作用效果取由力偶的性質(zhì)可知：力偶的作用效果取決于力偶矩的大小、力偶轉(zhuǎn)向和作用面方?jīng)Q于力偶矩的大小、力偶

14、轉(zhuǎn)向和作用面方位。因此可用一矢量位。因此可用一矢量 表示：表示：選定比例尺，選定比例尺，用用 的模表示力偶矩的大小的模表示力偶矩的大??； 的指向按的指向按右手法則表示力偶的轉(zhuǎn)向；右手法則表示力偶的轉(zhuǎn)向； 的作用線與的作用線與力偶作用面的法線方位相同力偶作用面的法線方位相同。如圖所示。如圖所示。 稱稱 為力偶矩矢。為力偶矩矢。mmmmm力偶矩矢為一自由矢量。力偶矩矢為一自由矢量。 空間力偶的等效條件是：空間力偶的等效條件是：兩個力偶的力偶矩矢相等。兩個力偶的力偶矩矢相等。BAMrF三、空間力偶系的合成三、空間力偶系的合成 空間力偶系合成的最后結(jié)果為一個合力偶，合空間力偶系合成的最后結(jié)果為一個合力

15、偶，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：mMmmMn 21根據(jù)合矢量投影定理：根據(jù)合矢量投影定理：zzyyxxmMmMmM, 于是合力偶矩的大小和方向可由下式確定：于是合力偶矩的大小和方向可由下式確定：222)()()(zyxmmmMMMkMMMjMMMiMzyx),cos(,),cos(,),cos(四、空間力偶系的平衡四、空間力偶系的平衡 空間力偶系可以合成一合力偶，空間力偶系可以合成一合力偶，所以空間力所以空間力偶系平衡的必要與充分條件是：合力偶矩矢等于偶系平衡的必要與充分條件是：合力偶矩矢等于零零。即：。即：0mM因?yàn)橐驗(yàn)椋?22)()()(zyx

16、mmmM所以所以：000zyxmmm上式即為上式即為空間力偶系的平衡方程空間力偶系的平衡方程。5.4 空間力系向一點(diǎn)的簡化、主矢與主矩空間力系向一點(diǎn)的簡化、主矢與主矩 xyzO1F2FnFxyzO1F2FnF1m2mnmxyzOROM 空間力系向點(diǎn)空間力系向點(diǎn) O簡化得到一空間匯交力系和一簡化得到一空間匯交力系和一空間力偶系，如圖。其中：空間力偶系，如圖。其中： iiFF)(FmmOi), 3 , 2 , 1(ni 空間匯交力系可合成一合力空間匯交力系可合成一合力 ：RFFR力系中各力的矢量和稱為空間力系的力系中各力的矢量和稱為空間力系的主矢主矢。主矢。主矢與簡化中心的位置無關(guān)。與簡化中心的位

17、置無關(guān)。一、空間力系向一點(diǎn)的簡化、主矢與主矩一、空間力系向一點(diǎn)的簡化、主矢與主矩 空間力偶系可合成為一合力偶，其矩矢空間力偶系可合成為一合力偶，其矩矢 ：OM)(FmMOO力系中各力對簡化中心之矩矢的矢量和稱為力系力系中各力對簡化中心之矩矢的矢量和稱為力系對簡化中心的對簡化中心的主矩主矩。主矩與簡化中心的位置有關(guān)。主矩與簡化中心的位置有關(guān)。 結(jié)論：結(jié)論：空間力系向任一點(diǎn)空間力系向任一點(diǎn)O簡化，可得一力簡化，可得一力和一力偶，此力作用于簡化中心上，其大小和方和一力偶，此力作用于簡化中心上，其大小和方向等于該力系的主矢；此力偶矩矢的大小和方向向等于該力系的主矢；此力偶矩矢的大小和方向等于該力系對簡

18、化中心的主矩。等于該力系對簡化中心的主矩。主矢的大小和方向余弦：主矢的大小和方向余弦： 222)()()(ZYXRRZkRRYjRRXiR),cos(,),cos(,),cos(一、空間力系向一點(diǎn)的簡化、主矢與主矩一、空間力系向一點(diǎn)的簡化、主矢與主矩 主矩的大小和方向余弦：主矩的大小和方向余弦：由于：由于：)()()()()()(FmFmMFmFmMFmFmMzzOOzyyOOyxxOOx 所以：所以：222)()()(FmFmFmMzyxOOzOOyOOxOMFmkMMFmjMMFmiM)(),cos()(),cos()(),cos(二、簡化結(jié)果的分析二、簡化結(jié)果的分析 1、主矢等于零，主矩

19、不等于零。、主矢等于零，主矩不等于零。)0, 0(OMR 簡化結(jié)果為力偶。此時力偶矩矢與簡化中心位簡化結(jié)果為力偶。此時力偶矩矢與簡化中心位置無關(guān)。置無關(guān)。2、主矢不等于零，主矩等于零。、主矢不等于零，主矩等于零。)0, 0(OMR 簡化結(jié)果為一力。力的作用線過簡化中心簡化結(jié)果為一力。力的作用線過簡化中心O。3、主矢、主矩均不等于零。、主矢、主矩均不等于零。)0, 0(OMR （1） OMROROMROR RdOR 簡化結(jié)果為一合力。簡化結(jié)果為一合力。RMRMdOO同時可得空間合力矩定理：同時可得空間合力矩定理：)()(FmFmOO二、簡化結(jié)果的分析二、簡化結(jié)果的分析ROM （2）OMR/此時無

20、法進(jìn)一步合成，這就是簡化的此時無法進(jìn)一步合成，這就是簡化的最后結(jié)果。這種力與力偶作用面垂直最后結(jié)果。這種力與力偶作用面垂直的情形稱為的情形稱為力螺旋力螺旋。 與與 同方向同方向時，稱為時，稱為右手螺旋右手螺旋； 與與 反向時，反向時，稱為稱為左手螺旋左手螺旋。圖示為一右手螺旋。圖示為一右手螺旋。OMOMRROR1OMdOMRO2OMO1OMR（3） 與與 為任一夾角為任一夾角 。此時簡化的結(jié)果亦為力螺旋。如圖。此時簡化的結(jié)果亦為力螺旋。如圖。其中：其中：ROMRMRMdOOsin24、主矢、主矩均等于零。、主矢、主矩均等于零。)0, 0(OMR此時空間力系平衡。此時空間力系平衡。力螺旋的工程事

21、例例5 PPPxxyyzzO 三個大小相等的力 分別與三坐標(biāo)軸平行，且分別作用在三個坐標(biāo)平面內(nèi)，如圖，欲使該力系合成為一個合力，則x、y、z應(yīng)滿足什么關(guān)系。P解：欲使該力系合成為一個合力，則0OMR其中：kPjPiPRkPyjPxiPzMO故0)(2zyxPMRO于是力系合成為一合力的條件為：0zyx5.4 空空 間間 力力 系系 的的 平平 衡衡 空間力系平衡的必要與充分條件為：力系的主空間力系平衡的必要與充分條件為：力系的主矢和對簡化中心的主矩同時為零。即：矢和對簡化中心的主矩同時為零。即：0R0OM所以：所以：0)(0)(0)(000FmFmFmZYXzyx空間力系平衡的必要與充分條件為

22、：空間力系平衡的必要與充分條件為：力系中各力力系中各力在三個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和均為零，且各力對在三個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和均為零，且各力對三軸的矩的代數(shù)和均為零。三軸的矩的代數(shù)和均為零。上式即為上式即為空間力系的空間力系的平衡方程平衡方程。例6 xm3m2m3m2ABCD60604545GHyzP 扒桿如圖所示，立柱AB用BG和BH兩根纜風(fēng)繩拉住，并在A點(diǎn)用球鉸約束，臂桿的D端吊懸的重物重P=20kN；求兩繩的拉力和支座A的約束反力。 解：以立柱和臂桿組成的系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)。 列平衡方程：ABC60604545GHyzAXAYAZGTHT例6 DPABC606045

23、45GHyzAXAYAZGTHT045sin60cos45sin60cos:0GHATTXX045cos60cos45cos60cos:0GHATTYY060sin60sin:0PTTZZGHA05545cos60cos545cos60cos:0)(PTTFmGHx0545sin60cos545sin60cos:0)(GHyTTFm聯(lián)立求解得：kNTTHG3 .280AXkNYA20kNZA69例7 xyzABCDE3030G 均質(zhì)長方形板ABCD重G=200N，用球形鉸鏈A和碟形鉸鏈B固定在墻上，并用繩EC維持在水平位置，求繩的拉力和支座的反力。xyzABCDE3030GAXAYAZTBXB

24、Z030sin30cos:0TXXFBAx030cos:02TYFAy030sin:0GTZZFBAz030sin:0)(21ABGABZABTFmBx030sin:0)(21ADTADGFmy0:0)(ABXFmBz 解：以板為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)。解之得：0BBZXNT200NXA6 .86NYA150NZA100例8 用六根桿支撐正方形板ABCD如圖所示，水平力 沿水平方向作用在A點(diǎn)，不計板的自重，求各桿的內(nèi)力。PaPABCD1A1B1C1D123456aa1S2S3S4S5S6Sxyz 解：以板為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。PSSPY2045cos:044PSSaSaSFmAA2045cos45cos:0)(42241PSSaSaSFmDD2045cos45cos:0)(45541PSSaSaSFmAD434322045cos:0)(PSaSaSFmDC656045cos:0)(PPPPPPSSSSSSSZ1245361045cos45cos45cos:05.