無(wú)模型隱含波動(dòng)率度量

1、無(wú)模型隱含波動(dòng)率度量無(wú)模型隱含波動(dòng)率度量葉葉 濤濤廣發(fā)證券金融工程廣發(fā)證券金融工程2014年年2月月目目 錄錄二、無(wú)模型隱含波動(dòng)二、無(wú)模型隱含波動(dòng)率率三、任意光滑函數(shù)基于三、任意光滑函數(shù)基于Dirac Delta函數(shù)的分解函數(shù)的分解BSBS期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)定價(jià)模型u 基于基于市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)與無(wú)套利定價(jià)方法得到的歐式期權(quán)定價(jià)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)與無(wú)套利定價(jià)方法得到的歐式期權(quán)定價(jià)模型。模型。u 基本假設(shè)：基本假設(shè)：u 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，漂移率與波動(dòng)率均為已知常數(shù)。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，漂移率與波動(dòng)率均為已知常數(shù)。u 標(biāo)標(biāo)的的資產(chǎn)在剩余期限內(nèi)無(wú)現(xiàn)金流出。資產(chǎn)在剩余期限內(nèi)無(wú)現(xiàn)金流出。

2、u 剩余期限內(nèi)市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為已知常數(shù)，投資者可按市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利剩余期限內(nèi)市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為已知常數(shù)，投資者可按市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率無(wú)限借貸，標(biāo)率無(wú)限借貸，標(biāo)的資產(chǎn)可無(wú)限賣(mài)空的資產(chǎn)可無(wú)限賣(mài)空。u 標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)可連續(xù)交易且標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)也是的資產(chǎn)可連續(xù)交易且標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的。連續(xù)的。u 市場(chǎng)光滑無(wú)摩擦，即標(biāo)的資產(chǎn)與期權(quán)合約均無(wú)交易成本市場(chǎng)光滑無(wú)摩擦，即標(biāo)的資產(chǎn)與期權(quán)合約均無(wú)交易成本。 BS環(huán)境假設(shè)：環(huán)境假設(shè)： 。u 期權(quán)合約僅能到期行期權(quán)合約僅能到期行權(quán)。權(quán)。u 基于基于BS期權(quán)定價(jià)模型的看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的定價(jià)形式：期權(quán)定價(jià)模型的看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的定價(jià)形式：,exp()exp()BSt

3、Tft TtTt Tt Tt TBSt Tft Tt Tt TtTt TCrE SdXdPrXdE Sd 3 3/28/28 2,22,21()2BSBSBSt Tt Tt TBStt TtfttOOOSOS rtSSVegaVega暴露度達(dá)到最大值的條件暴露度達(dá)到最大值的條件u對(duì)于某個(gè)給定的期權(quán)：對(duì)于某個(gè)給定的期權(quán)： 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)運(yùn)行至到期行權(quán)概率為當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)運(yùn)行至到期行權(quán)概率為50%的價(jià)格位置時(shí)，該期權(quán)的價(jià)值對(duì)的價(jià)格位置時(shí)，該期權(quán)的價(jià)值對(duì) 于于標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率變動(dòng)的敏感性達(dá)到最大標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率變動(dòng)的敏感性達(dá)到最大。u對(duì)于某個(gè)給定對(duì)于某個(gè)給定的的標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)：的資產(chǎn)： 在在一組同一標(biāo)的資產(chǎn)且到期時(shí)

4、間相同的期權(quán)中，能夠使得一組同一標(biāo)的資產(chǎn)且到期時(shí)間相同的期權(quán)中，能夠使得Delta的絕對(duì)的絕對(duì) 值值最最接近于接近于0.5的期權(quán)，其的期權(quán)，其價(jià)值對(duì)于標(biāo)價(jià)值對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率的變動(dòng)最為敏感。的資產(chǎn)波動(dòng)率的變動(dòng)最為敏感。2,00,argmaxexp ()2tBStt Tft TSXSVegaXr2,00,argmaxexp ()2BStt Ttft TXSXVegaSr4 4/28/28VegaVega暴露度達(dá)到最大值的條件暴露度達(dá)到最大值的條件u Vega暴露度達(dá)到最大值的條件暴露度達(dá)到最大值的條件數(shù)據(jù)來(lái)源數(shù)據(jù)來(lái)源：Wind資訊、廣資訊、廣發(fā)證券發(fā)展研究中心發(fā)證券發(fā)展研究中心5 5/28/28

5、BSBS隱含波動(dòng)率與波動(dòng)隱含波動(dòng)率與波動(dòng)率微笑率微笑u BS隱含波動(dòng)率隱含波動(dòng)率u 能夠能夠使得期權(quán)價(jià)值與市場(chǎng)價(jià)格一致的波動(dòng)率。使得期權(quán)價(jià)值與市場(chǎng)價(jià)格一致的波動(dòng)率。u 反映反映了市場(chǎng)投資者了市場(chǎng)投資者對(duì)未來(lái)對(duì)未來(lái)波動(dòng)率的預(yù)期。波動(dòng)率的預(yù)期。u 是是期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格一種映射，反映了波動(dòng)率的市場(chǎng)價(jià)格。期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格一種映射，反映了波動(dòng)率的市場(chǎng)價(jià)格。u 隱含波動(dòng)率曲面隱含波動(dòng)率曲面u 當(dāng)當(dāng)?shù)狡谌战o定時(shí)到期日給定時(shí)，BS隱含隱含波動(dòng)率隨行權(quán)價(jià)波動(dòng)率隨行權(quán)價(jià)變動(dòng)變動(dòng)形成形成的的曲線被曲線被稱為稱為“波動(dòng)率微笑曲線波動(dòng)率微笑曲線”。u 當(dāng)當(dāng)行權(quán)價(jià)給定時(shí)行權(quán)價(jià)給定時(shí)，BS隱含隱含波動(dòng)率隨剩余期限波動(dòng)率隨剩余期限變

6、動(dòng)變動(dòng)形成形成的的曲線被曲線被稱為稱為“波動(dòng)波動(dòng)率期限率期限結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)”。u 隱含隱含波動(dòng)率曲面同時(shí)展示了波動(dòng)率微笑曲線與波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)波動(dòng)率曲面同時(shí)展示了波動(dòng)率微笑曲線與波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)。u “波動(dòng)率微笑波動(dòng)率微笑”的成因的成因u 投資者投資者的投機(jī)性行為所的投機(jī)性行為所致。致。u 期權(quán)期權(quán)的供需不平衡所的供需不平衡所致。致。u 標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)在到期時(shí)刻的價(jià)格分布所的資產(chǎn)在到期時(shí)刻的價(jià)格分布所致。致。6 6/28/28目目 錄錄一、基于一、基于BS模型的隱含波動(dòng)率模型的隱含波動(dòng)率三、任意光滑函數(shù)基于三、任意光滑函數(shù)基于Dirac Delta函數(shù)的分解函數(shù)的分解兩類(lèi)隱含波動(dòng)率的比較兩類(lèi)隱含波動(dòng)率的比較

7、u BS隱含波動(dòng)率隱含波動(dòng)率u 包含包含了對(duì)未來(lái)波動(dòng)率預(yù)測(cè)的有效信息，但并不能包含歷史波動(dòng)率所了對(duì)未來(lái)波動(dòng)率預(yù)測(cè)的有效信息，但并不能包含歷史波動(dòng)率所包含的所有波動(dòng)率預(yù)測(cè)信息包含的所有波動(dòng)率預(yù)測(cè)信息。u 對(duì)對(duì)未來(lái)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)能力要優(yōu)于歷史波動(dòng)率，但仍是未來(lái)波動(dòng)率的未來(lái)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)能力要優(yōu)于歷史波動(dòng)率，但仍是未來(lái)波動(dòng)率的一個(gè)有偏估計(jì)一個(gè)有偏估計(jì)。u 平價(jià)平價(jià)期權(quán)所期權(quán)所包含的波動(dòng)率預(yù)測(cè)信息會(huì)相對(duì)更為包含的波動(dòng)率預(yù)測(cè)信息會(huì)相對(duì)更為有效有效，價(jià)價(jià)內(nèi)和價(jià)外內(nèi)和價(jià)外期期權(quán)所權(quán)所包含的波動(dòng)率預(yù)測(cè)信息被混入了大量的包含的波動(dòng)率預(yù)測(cè)信息被混入了大量的“雜音雜音”。u 無(wú)模型隱含波動(dòng)率無(wú)模型隱含波動(dòng)率u 基于基于

8、市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，由無(wú)套利定價(jià)關(guān)系直接從一組同一標(biāo)的資市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，由無(wú)套利定價(jià)關(guān)系直接從一組同一標(biāo)的資產(chǎn)且到期時(shí)間相同的看跌期權(quán)與看漲期權(quán)的市場(chǎng)交易價(jià)格中提取波產(chǎn)且到期時(shí)間相同的看跌期權(quán)與看漲期權(quán)的市場(chǎng)交易價(jià)格中提取波動(dòng)率的預(yù)測(cè)信息動(dòng)率的預(yù)測(cè)信息。u 不僅不僅包含了歷史波動(dòng)率所包含的信息，而且更加準(zhǔn)確的綜合了一組包含了歷史波動(dòng)率所包含的信息，而且更加準(zhǔn)確的綜合了一組同一標(biāo)的資產(chǎn)、相同到期時(shí)間但不同行權(quán)價(jià)期權(quán)所包含的波動(dòng)率預(yù)同一標(biāo)的資產(chǎn)、相同到期時(shí)間但不同行權(quán)價(jià)期權(quán)所包含的波動(dòng)率預(yù)測(cè)信息，對(duì)未來(lái)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)能力也更優(yōu)測(cè)信息，對(duì)未來(lái)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)能力也更優(yōu)。8 8/28/28波動(dòng)率方差互換波動(dòng)

9、率方差互換u 波動(dòng)率交易工具波動(dòng)率交易工具u 間接對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)波動(dòng)率進(jìn)行交易間接對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)波動(dòng)率進(jìn)行交易u(yù) 基于基于BS期權(quán)定價(jià)期權(quán)定價(jià)模型構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)模型構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)中性的中性的Delta對(duì)沖組合，完全剝對(duì)沖組合，完全剝離標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響，從而干凈的保留標(biāo)的離標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響，從而干凈的保留標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率變動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響，將期權(quán)轉(zhuǎn)換為純粹的波動(dòng)資產(chǎn)波動(dòng)率變動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響，將期權(quán)轉(zhuǎn)換為純粹的波動(dòng)率交易工具。率交易工具。u 直接對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)波動(dòng)率進(jìn)行交易直接對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)波動(dòng)率進(jìn)行交易u(yù) 波動(dòng)波動(dòng)率互換（率互換（Volatility Swaps） -以以波

10、動(dòng)率波動(dòng)率報(bào)價(jià)的工具更為常見(jiàn)。報(bào)價(jià)的工具更為常見(jiàn)。u 波動(dòng)波動(dòng)率方差互換（率方差互換（Variance Swaps） -波動(dòng)波動(dòng)率方差具有可率方差具有可加性等優(yōu)點(diǎn)，更適合建模。加性等優(yōu)點(diǎn)，更適合建模。u 波動(dòng)率互換可以視為波動(dòng)率方差互換的衍生波動(dòng)率互換可以視為波動(dòng)率方差互換的衍生合約。合約。u 波動(dòng)波動(dòng)率方差互換可以作為波動(dòng)率互換的對(duì)沖工具。率方差互換可以作為波動(dòng)率互換的對(duì)沖工具。9 9/28/28波動(dòng)率方差互換波動(dòng)率方差互換u 放松放松BS期權(quán)定價(jià)模型中對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的假設(shè)，不再限制標(biāo)的資期權(quán)定價(jià)模型中對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的假設(shè)，不再限制標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的漂移率和波動(dòng)率為已知的常數(shù)，而是某

11、個(gè)時(shí)變的產(chǎn)價(jià)格的漂移率和波動(dòng)率為已知的常數(shù)，而是某個(gè)時(shí)變的量：量：u 波動(dòng)率方差互換多頭波動(dòng)率方差互換多頭部位的到期收益在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下的現(xiàn)值部位的到期收益在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下的現(xiàn)值：u 波動(dòng)率方差互換在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下無(wú)套利定價(jià)反映了對(duì)市場(chǎng)投資者對(duì)波動(dòng)率方差互換在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下無(wú)套利定價(jià)反映了對(duì)市場(chǎng)投資者對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)波動(dòng)率的一致預(yù)期標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)波動(dòng)率的一致預(yù)期。 ()tttttd SSd td W 2222,exp()Ttt Ttft TX tt TdVNEr 222,TttX tt Tt TEd1010/28/28波動(dòng)率方差互換波動(dòng)率方差互換u 通過(guò)消除時(shí)變的標(biāo)的資產(chǎn)漂移率來(lái)復(fù)

12、制標(biāo)的資產(chǎn)的未來(lái)波動(dòng)通過(guò)消除時(shí)變的標(biāo)的資產(chǎn)漂移率來(lái)復(fù)制標(biāo)的資產(chǎn)的未來(lái)波動(dòng)率：率：u 標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)的未來(lái)波動(dòng)率可以通過(guò)兩種持倉(cāng)方式來(lái)復(fù)制：的資產(chǎn)的未來(lái)波動(dòng)率可以通過(guò)兩種持倉(cāng)方式來(lái)復(fù)制：u 動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整標(biāo)的資產(chǎn)的持有數(shù)量使得標(biāo)的資產(chǎn)的持有市值保持不變。調(diào)整標(biāo)的資產(chǎn)的持有數(shù)量使得標(biāo)的資產(chǎn)的持有市值保持不變。u 靜態(tài)靜態(tài)持有標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的空頭部位，合約的到期交割價(jià)格持有標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的空頭部位，合約的到期交割價(jià)格為標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)期價(jià)格為標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)期價(jià)格。u 波動(dòng)率方差互換在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下無(wú)套利波動(dòng)率方差互換在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下無(wú)套利定價(jià)的第二種表述形式：定價(jià)的第二種表述形式： 22()

13、2(ln)1ln()2tttttTTTttttttttd SSd td Wd SSdSSdSd td W 恒定單位對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期市值持倉(cāng)合約空頭2,22lnlnlnTt Tft TttTtTt Ttt TSrEE SESS1111/28/28對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的復(fù)制對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的復(fù)制u 非線性非線性工具復(fù)制的兩工具復(fù)制的兩類(lèi)類(lèi)方法方法u 基于定價(jià)模型的基于定價(jià)模型的動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)復(fù)制復(fù)制 -通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)整資產(chǎn)配置復(fù)制非線性工具的通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)整資產(chǎn)配置復(fù)制非線性工具的瞬時(shí)價(jià)值變動(dòng)瞬時(shí)價(jià)值變動(dòng)。u 基于到期收益的靜態(tài)基于到期收益的靜態(tài)復(fù)制復(fù)制 -將將非線性工具的到期非線性工具的到期收益收益分解分解為線性與為線性與非線性

14、的高階非線性的高階部分。部分。u 基于基于BS期權(quán)定價(jià)模型的動(dòng)態(tài)期權(quán)定價(jià)模型的動(dòng)態(tài)復(fù)制（動(dòng)態(tài)復(fù)制誤差復(fù)制（動(dòng)態(tài)復(fù)制誤差=動(dòng)態(tài)對(duì)沖收益）：動(dòng)態(tài)對(duì)沖收益）： ,2,222,2()1=()BS2BSBSt Tt TBSBSBSt Tt Ttt TtfttBSt Ttttt TttOOOSOSrtSSOSSSS 期權(quán)價(jià)值的瞬時(shí)變動(dòng)對(duì)沖期權(quán)價(jià)值 對(duì)沖組合 的線性變動(dòng)的資金成本 剩余期限內(nèi)累計(jì) 對(duì)沖后剩余波動(dòng)率方差的變動(dòng)的非線性變動(dòng)環(huán)境假設(shè) 2,2222,2Vega 1()2BSt Ttttt TtttThetaGammaOSStSS 暴露度波動(dòng)率方差 的貢獻(xiàn)暴露度暴露度的貢獻(xiàn)對(duì)沖收益 的貢獻(xiàn)乘數(shù)因子12

15、12/28/28對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的復(fù)制對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的復(fù)制u 對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約空頭部位的到期收益：對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約空頭部位的到期收益：u 采用采用靜態(tài)復(fù)制靜態(tài)復(fù)制方法復(fù)制對(duì)數(shù)方法復(fù)制對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約空頭部位遠(yuǎn)期合約空頭部位的到期收益：的到期收益：u 任意任意光滑函數(shù)基于光滑函數(shù)基于Dirac Delta函數(shù)的函數(shù)的分解分解u 標(biāo)的資產(chǎn)到期標(biāo)的資產(chǎn)到期時(shí)刻的時(shí)刻的價(jià)格是價(jià)格是一個(gè)實(shí)變量，而并非是與時(shí)間一個(gè)實(shí)變量，而并非是與時(shí)間變量有關(guān)變量有關(guān)的隨機(jī)過(guò)程變量的隨機(jī)過(guò)程變量，即時(shí)間坐標(biāo)被鎖定為合約到期時(shí)刻，因此，即時(shí)間坐標(biāo)被鎖定為合約到期時(shí)刻，因此實(shí)變量實(shí)變量的求導(dǎo)與積分的求導(dǎo)與積分規(guī)則在此處完全適用規(guī)則在此處完全適

16、用 。 lnln,(lnln)SSTTX tVSSN ,ln,ln,220,(lnln)X tX tSTTX tSSTX tTTSX tVSSNSSXSSXd Xd XSXX 看跌期權(quán)多頭組合看漲期權(quán)多頭組合 線性部分遠(yuǎn)期合約空頭部位非線性高階部分 特殊期權(quán)組合1313/28/28對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的復(fù)制對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的復(fù)制u 對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的空頭部位可以通過(guò)三類(lèi)工具來(lái)靜態(tài)復(fù)制：對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的空頭部位可以通過(guò)三類(lèi)工具來(lái)靜態(tài)復(fù)制：u 同同一標(biāo)的資產(chǎn)且到期時(shí)間和到期交割價(jià)格均相同的遠(yuǎn)期合約空頭部一標(biāo)的資產(chǎn)且到期時(shí)間和到期交割價(jià)格均相同的遠(yuǎn)期合約空頭部位，合約配置數(shù)量為到期交割價(jià)格的倒數(shù)。位，合約配置數(shù)量為到

17、期交割價(jià)格的倒數(shù)。u 所有所有同一標(biāo)的資產(chǎn)、到期時(shí)間相同且行權(quán)價(jià)低于到期交割價(jià)格的看同一標(biāo)的資產(chǎn)、到期時(shí)間相同且行權(quán)價(jià)低于到期交割價(jià)格的看跌期權(quán)構(gòu)成的多頭組合，每個(gè)期權(quán)的配置數(shù)量與行權(quán)跌期權(quán)構(gòu)成的多頭組合，每個(gè)期權(quán)的配置數(shù)量與行權(quán)價(jià)平方價(jià)平方成反比。成反比。u 所有所有同一標(biāo)的資產(chǎn)、到期時(shí)間相同且行權(quán)價(jià)高于到期交割價(jià)格的看同一標(biāo)的資產(chǎn)、到期時(shí)間相同且行權(quán)價(jià)高于到期交割價(jià)格的看漲期權(quán)構(gòu)成的多頭組合，每個(gè)期權(quán)的配置數(shù)量與行權(quán)漲期權(quán)構(gòu)成的多頭組合，每個(gè)期權(quán)的配置數(shù)量與行權(quán)價(jià)平方價(jià)平方的反比的反比。u 將上述看跌將上述看跌期權(quán)與看漲期權(quán)的期權(quán)與看漲期權(quán)的組合組合定義定義為為“特殊期權(quán)組合特殊期權(quán)組合”

18、，記為，記為 ，將，將對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的到期交割對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的到期交割價(jià)格定價(jià)格定 義為特殊義為特殊期權(quán)組合的基準(zhǔn)行權(quán)期權(quán)組合的基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)，那么特殊期權(quán)組合的到期收益：價(jià)，那么特殊期權(quán)組合的到期收益：2,PCt TX tXXSX,2,lnTX tPCTT TX tX tX tSSSXXSXSS1414/28/28對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的復(fù)制對(duì)數(shù)遠(yuǎn)期合約的復(fù)制u 特殊期權(quán)組合多頭的到期收益特殊期權(quán)組合多頭的到期收益數(shù)據(jù)來(lái)源數(shù)據(jù)來(lái)源：Wind資訊、廣資訊、廣發(fā)證券發(fā)展研究中心發(fā)證券發(fā)展研究中心1515/28/28無(wú)模型隱含波動(dòng)率無(wú)模型隱含波動(dòng)率u 在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下將時(shí)間坐標(biāo)從到期時(shí)刻前移至當(dāng)前時(shí)點(diǎn)在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)

19、中性環(huán)境下將時(shí)間坐標(biāo)從到期時(shí)刻前移至當(dāng)前時(shí)點(diǎn)：u 無(wú)模型隱含波動(dòng)率無(wú)模型隱含波動(dòng)率 -波動(dòng)波動(dòng)率方差互換在風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下無(wú)套利定價(jià)的第三種表述形式：率方差互換在風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下無(wú)套利定價(jià)的第三種表述形式：,2,2,lnlnlnexpTX tPCtTtX ttT TX tX ttTX tPCX tt TX tft TX tSSESESEXXSXSE SSSXXSXrS,2,2,2lnexptTX ttTt Tt TX tX tPCt TX tft TE SSE SSSXXSXr1616/28/28無(wú)模型隱含波動(dòng)率無(wú)模型隱含波動(dòng)率u 隱含特殊的差值平價(jià)關(guān)系：隱含特殊的差值平價(jià)關(guān)系：u 標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)套

20、利遠(yuǎn)期價(jià)格相對(duì)于基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)的百分比的資產(chǎn)無(wú)套利遠(yuǎn)期價(jià)格相對(duì)于基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)的百分比收益率與收益率與對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)收益率的差值。收益率的差值。u 基于基于任意給定基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)構(gòu)建的特殊期權(quán)組合的到期收益與任意給定基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)構(gòu)建的特殊期權(quán)組合的到期收益與0.5倍的倍的標(biāo)的資產(chǎn)在剩余標(biāo)的資產(chǎn)在剩余期限內(nèi)累計(jì)期限內(nèi)累計(jì)波動(dòng)率方差的波動(dòng)率方差的差值。差值。u 兩種兩種差值在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下的差值在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下的期望期望應(yīng)當(dāng)應(yīng)當(dāng)相等相等。,22,ln1exp2tTX ttTX tX tPCt TX tft Tt Tt TE SSE SSSXXSXr 標(biāo)的資產(chǎn)的標(biāo)的資產(chǎn)的百分比收益率對(duì)數(shù)收益率 剩余期限內(nèi)的特殊

21、期權(quán)組合的市場(chǎng)價(jià)格累計(jì)波動(dòng)率方差1717/28/28無(wú)模型隱含波動(dòng)率無(wú)模型隱含波動(dòng)率u 平價(jià)期權(quán)和價(jià)外期權(quán)的交易更為活躍，交易價(jià)格中蘊(yùn)含的信息更為豐富平價(jià)期權(quán)和價(jià)外期權(quán)的交易更為活躍，交易價(jià)格中蘊(yùn)含的信息更為豐富，對(duì)于對(duì)于未來(lái)波動(dòng)率預(yù)期的反映也更加真實(shí)未來(lái)波動(dòng)率預(yù)期的反映也更加真實(shí)。u 無(wú)無(wú)模型隱含波動(dòng)率的計(jì)算中對(duì)于基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)的取值應(yīng)當(dāng)盡可能接近標(biāo)的資模型隱含波動(dòng)率的計(jì)算中對(duì)于基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)的取值應(yīng)當(dāng)盡可能接近標(biāo)的資產(chǎn)在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下的無(wú)套利遠(yuǎn)期產(chǎn)在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下的無(wú)套利遠(yuǎn)期價(jià)格。價(jià)格。u 無(wú)模型隱含波動(dòng)率的簡(jiǎn)化形式：無(wú)模型隱含波動(dòng)率的簡(jiǎn)化形式：u 如果將基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)設(shè)定為標(biāo)的資產(chǎn)在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)

22、中性環(huán)境下的無(wú)套利如果將基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)設(shè)定為標(biāo)的資產(chǎn)在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下的無(wú)套利遠(yuǎn)期價(jià)格，那么遠(yuǎn)期價(jià)格，那么0.5倍的標(biāo)的資產(chǎn)在剩余期限內(nèi)的累計(jì)波動(dòng)率方差與倍的標(biāo)的資產(chǎn)在剩余期限內(nèi)的累計(jì)波動(dòng)率方差與特殊期權(quán)組合的到期收益在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下的特殊期權(quán)組合的到期收益在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下的期望期望應(yīng)當(dāng)應(yīng)當(dāng)相等相等。,22,exp2ft TPCt Tt TtTt TrXXE SX1818/28/28特殊期權(quán)組合的特殊期權(quán)組合的GreeksGreeksu 特殊期權(quán)組合的特殊期權(quán)組合的特殊之處在于其組合構(gòu)建特殊之處在于其組合構(gòu)建方式方式：u 以以設(shè)定的基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)確定入選組合的看漲期權(quán)與看跌設(shè)定的基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)確

23、定入選組合的看漲期權(quán)與看跌期權(quán)。期權(quán)。u 每個(gè)每個(gè)期權(quán)的配置數(shù)量與行權(quán)價(jià)的平方成期權(quán)的配置數(shù)量與行權(quán)價(jià)的平方成反比。反比。u 特殊期權(quán)組合的特殊期權(quán)組合的Delta：u Delta可以可以通過(guò)基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)的設(shè)定來(lái)通過(guò)基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)的設(shè)定來(lái)調(diào)節(jié)：如果調(diào)節(jié)：如果設(shè)定的基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)低設(shè)定的基準(zhǔn)行權(quán)價(jià)低于（高于，等于）標(biāo)的資產(chǎn)在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下的無(wú)套利遠(yuǎn)期價(jià)于（高于，等于）標(biāo)的資產(chǎn)在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下的無(wú)套利遠(yuǎn)期價(jià)格，那么特殊期權(quán)組合將持有正（負(fù)，中性）的格，那么特殊期權(quán)組合將持有正（負(fù)，中性）的Delta暴露度。暴露度。,0,110,0,X ttTBSt TX ttTtX ttTX ttTDeltaSE

24、SDeltaSE SSSE SDeltaSE S 1919/28/28特殊期權(quán)組合的特殊期權(quán)組合的GreeksGreeksu 特殊期權(quán)組合的特殊期權(quán)組合的Gamma：u 靜態(tài)靜態(tài)持有特殊期權(quán)組合就能滿足對(duì)沖收益的乘數(shù)因子近似為常數(shù)持有特殊期權(quán)組合就能滿足對(duì)沖收益的乘數(shù)因子近似為常數(shù)0.5，按市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率積累，因此按市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率積累，因此殊期權(quán)組合能更方便、更直接的捕捉殊期權(quán)組合能更方便、更直接的捕捉實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率與隱含波動(dòng)率之間的差異。實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率與隱含波動(dòng)率之間的差異。u 特殊特殊期權(quán)組合期權(quán)組合的波動(dòng)率方差的波動(dòng)率方差Vega：u 隨隨剩余期限的剩余期限的縮短衰減縮短衰減至零，衰減速度近似為

25、常數(shù)至零，衰減速度近似為常數(shù)0.5，按市場(chǎng)無(wú)風(fēng)，按市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率累積。與險(xiǎn)利率累積。與標(biāo)的資產(chǎn)的標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)無(wú)關(guān)價(jià)格變動(dòng)無(wú)關(guān)，即標(biāo)的，即標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)并不影響特殊期權(quán)組合對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率變動(dòng)的敏感性。并不影響特殊期權(quán)組合對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率變動(dòng)的敏感性。22,2,22111=exp22BSBSt Tt Ttft TttTttSrSE SSS,2exp2BSt Tt Tft Tr 2020/28/28目目 錄錄一、基于一、基于BS模型的隱含波動(dòng)率模型的隱含波動(dòng)率二、無(wú)模型隱含波動(dòng)二、無(wú)模型隱含波動(dòng)率率DeltaDelta函數(shù)的基本函數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)u 函數(shù)定義函數(shù)定義 某一隨

26、機(jī)變量服從正態(tài)分布某一隨機(jī)變量服從正態(tài)分布 ，其概率密度函數(shù)為，其概率密度函數(shù)為 ， 定義參數(shù)為定義參數(shù)為 的的Delta函數(shù)，函數(shù)， 。u 性質(zhì)性質(zhì)1：Delta函數(shù)的取值函數(shù)的取值與與對(duì)稱性對(duì)稱性u(píng) 性質(zhì)性質(zhì)2：Delta函數(shù)的定積分形式函數(shù)的定積分形式2,N , ,x 0lim, ,xx ,0,xxxx 1,1,1(),()yyzyzyxd xxd xyxd xyxd x d yzxd x dyz 2222/28/28DeltaDelta函數(shù)的基本函數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)u 性質(zhì)性質(zhì)3：對(duì)于任意一個(gè)在給定積分區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，都能用該函數(shù)與：對(duì)于任意一個(gè)在給定積分區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，都能用該函數(shù)

27、與 Delta函數(shù)的卷積形式來(lái)表示。函數(shù)的卷積形式來(lái)表示。u 性質(zhì)性質(zhì)4：Delta函數(shù)的一階與二階原函數(shù)函數(shù)的一階與二階原函數(shù) ,baff xxd xa b 1,11,1,xxxxxxxxxxxxxxxxxx 2323/28/28DeltaDelta函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)u Delta函數(shù)的一階與二階函數(shù)的一階與二階原函數(shù)原函數(shù)數(shù)據(jù)來(lái)源數(shù)據(jù)來(lái)源：Wind資訊、廣資訊、廣發(fā)證券發(fā)展研究中心發(fā)證券發(fā)展研究中心2424/28/28基于基于DeltaDelta函數(shù)的分解函數(shù)的分解u 在在 定義光滑函數(shù)（處處二階可導(dǎo)）定義光滑函數(shù)（處處二階可導(dǎo)） ，并令，并令 。u 基于基于Delta函數(shù)的卷積形式：函數(shù)的卷積形式：u 對(duì)第一項(xiàng)連續(xù)使用兩次分部積分：對(duì)第一項(xiàng)連續(xù)使用兩次分部積分： 0, fy0,y 00yyfyfxxyd xfxxyd xfxxy