平面向量的應用資料

1、平面向量的應用1.向量在平面幾何中的應用平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題.(1)證明線段平行或點共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運算性質(zhì)aba·b0x1x2y1y20.(3)求夾角問題，利用夾角公式cos (為a與b的夾角).2.平面向量在物理中的應用(1)由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決.(2)物理學中的功是一個標量，這是力F與位移s的數(shù)量積.即WF&#

2、183;s|F|s|cos (為F與s的夾角).3.平面向量與其他數(shù)學知識的交匯平面向量作為一個運算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結合，當平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數(shù)的關系式.在此基礎上，可以求解有關函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題.此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).1.判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)若，則A，B，C三點共線.()(2)解析幾何中的坐標、直線平行、垂直、長度等問題都可以

3、用向量解決.()(3)實現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標運算.()(4)在ABC中，若·<0，則ABC為鈍角三角形.(×)(5)作用于同一點的兩個力F1和F2的夾角為，且|F1|3，|F2|5，則F1F2的大小為.()(6)已知平面直角坐標系內(nèi)有三個定點A(2，1)，B(0,10)，C(8,0)，若動點P滿足：t()，tR，則點P的軌跡方程是xy10.()2.(2013·福建改編)在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為_.答案5解析·0，ACBD.四邊形ABCD的面積S|·|

4、××25.3.已知a，b，c為ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m(，1)，n(cos A，sin A).若mn，且acos Bbcos Acsin C，則角A，B的大小分別為_和_.答案解析由mn得m·n0，即cos Asin A0，即2cos0，<A<，A，即A.又acos Bbcos A2Rsin Acos B2Rsin Bcos A2Rsin(AB)2Rsin Cccsin C，所以sin C1，C，所以B.4.平面上有三個點A(2，y)，B，C(x，y)，若，則動點C的軌跡方程為_.答案y28x (x0)解析由題意得，又，·0，

5、即·0，化簡得y28x (x0).5.河水的流速為2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為_.答案2 m/s解析如圖所示小船在靜水中的速度為2 m/s.題型一平面向量在平面幾何中的應用例1如圖所示，四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上的一點(不包括端點)，E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PAEF.思維啟迪正方形中有垂直關系，因此考慮建立平面直角坐標系，求出所求線段對應的向量，根據(jù)向量知識證明.證明建立如圖所示的平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，DP(0<<)，則A(0,1)，P(，)

6、，E(1，)，F(xiàn)(，0)，(，1)，(1，)，| ，| ，|，即PAEF.思維升華用向量方法解決平面幾何問題可分三步：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1，2)，B(2,3)，C(2，1).(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；(2)設實數(shù)t滿足(t)·0，求t的值.解(1)(3,5)，(1,1)，求兩條對角線的長即求|與|的大小.由(2,6)，得|2，由(4,4)，得

7、|4.(2)(2，1)，(t)··t2，易求·11，25，由(t)·0得t.題型二平面向量在三角函數(shù)中的應用例2已知在銳角ABC中，兩向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)，且p與q是共線向量.(1)求A的大小；(2)求函數(shù)y2sin2Bcos取最大值時，B的大小.思維啟迪向量與三角函數(shù)的結合往往是簡單的組合.如本題中的條件通過向量給出，根據(jù)向量的平行得到一個等式.因此這種題目較為簡單.解(1)pq，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)0，sin2A，sin

8、A，ABC為銳角三角形，A60°.(2)y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B60°)1cos 2Bcos(2B60°)1cos 2Bcos 2Bcos 60°sin 2Bsin 60°1cos 2Bsin 2B1sin(2B30°)，當2B30°90°，即B60°時，函數(shù)取最大值2.思維升華解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題的關鍵，準確利用向量的坐標運算化簡已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關問題解決.ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，設向量m(ab，sin C

9、)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，則角B的大小為_.答案解析mn，(ab)(sin Bsin A)sin C(ac)0，又，則化簡得a2c2b2ac，cos B，0<B<，B.題型三平面向量在解析幾何中的應用例3已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x8，P為該平面上一動點，作PQl，垂足為Q，且()·()0.(1)求動點P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求·的最值.思維啟迪(1)直接利用數(shù)量積的坐標運算代入；(2)將·轉(zhuǎn)化為關于y的函數(shù)，求函數(shù)的最值.解(1)設P(x，y)，則Q(8，y).由()·

10、()0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化簡得1.所以點P在橢圓上，其方程為1.(2)，又0.·22x2(y1)2116(1)(y1)21y22y16(y3)219.2y2.當y3時，·的最大值為19，當y2時，·的最小值為124.綜上：·的最大值為19；·的最小值為124.思維升華平面向量與平面解析幾何交匯的題目，涉及向量數(shù)量積的基本運算，數(shù)量積的求解以及軌跡、直線和圓、直線和橢圓中最值等問題，解決此類問題應從向量的坐標運算入手，這也是解決解析幾何問題的基本方法坐標法.已知點P(0，3)，點A在x軸上，點Q在y軸的正半軸上，點M滿

11、足·0，當點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程.解設M(x，y)為所求軌跡上任一點，設A(a,0)，Q(0，b)(b>0)，則(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由·0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)(x，(yb)，把a代入，得(x)3y0，整理得yx2(x0).題型四平面向量在物理中的應用例4在長江南岸渡口處，江水以 km/h的速度向東流，渡船的速度為25 km/h.渡船要垂直地渡過長江，則航向為_.思維啟迪題中涉及的三個速度(向量)：江水速度、渡船的速度、船實際過江的速度，三個速度的關系是本題的核心.答案北偏西30°解析如圖所示

12、，渡船速度為，水流速度為，船實際垂直過江的速度為，依題意知|，|25.，··2，·0，25×cos(BOD90°)()20，cos(BOD90°)，sinBOD，BOD30°，航向為北偏西30°.思維升華在使用向量解決物理問題時要注意：(1)認真分析物理問題，深刻把握物理量之間的相互關系；(2)通過抽象、概括，把物理問題轉(zhuǎn)化為與之相關的向量問題；(3)利用向量知識解決這個向量問題，并獲得這個向量的解；(4)利用這個結果，對原物理現(xiàn)象作出合理解釋，即用向量知識圓滿解決物理問題.質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(

13、單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為_.答案2解析方法一由已知條件F1F2F30，則F3F1F2，F(xiàn)FF2|F1|F2|cos 60°28.因此，|F3|2.方法二如圖，|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 60°12，則|2|2|2，即OF1F2為直角，|F3|2 2.方法與技巧1.向量的坐標運算將向量與代數(shù)有機結合起來，這就為向量和函數(shù)的結合提供了前提，運用向量的有關知識可以解決某些函數(shù)問題.2.以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結合的一類綜合問題

14、.通過向量的坐標運算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.3.向量的兩個作用：載體作用：關鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學問題；工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.失誤與防范1.注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關系，兩者并不等價.2.注意向量共線和兩直線平行的關系；兩向量a，b夾角為銳角和a·b>0不等價.一、填空題1.已知在ABC中，a，b，a·b<0，SABC，|a|3，|b|5，則BAC_.答案150°解析·<0，BAC為鈍角，又SABC|a|b|sinBAC.s

15、inBAC，BAC150°.2.在ABC中，()·|2，則ABC的形狀一定是_三角形.答案直角解析由()·|2，得·()0，即·()0,2·0，A90°.又根據(jù)已知條件不能得到|，故ABC一定是直角三角形.3.已知|a|2|b|，|b|0且關于x的方程x2|a|xa·b0有兩相等實根，則向量a與b的夾角是_.答案解析由已知可得|a|24a·b0，即4|b|24·2|b|·|b|cos 0，cos ，又0，.4.已知點A(2,0)、B(3,0)，動點P(x，y)滿足·x2，則點

16、P的軌跡是_.答案拋物線解析(2x，y)，(3x，y)，·(2x)(3x)y2x2，y2x6.5.若函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0，|<)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點和最低點，且·0(O為坐標原點)，則A等于_.答案解析由題意知M(，A)，N(，A)，又·×A20，A.6.(2013·天津)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60°，E為CD的中點.若·1，則AB的長為_.答案解析在平行四邊形ABCD中，取AB的中點F，則，又，·()·()2·

17、·2|2|cos 60°|21×|21.|0，又|0，|.7.在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若··1，那么c_.答案解析由題意知··2，即···()22c|.8.已知在平面直角坐標系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，動點P(x，y)滿足不等式0·1,0·1，則z·的最大值為_.答案3解析(x，y)，(1,1)，(0,1)，·xy，·y，即在條件下，求z2x3y的最大值，由線性規(guī)劃知識，當x0，y1時，

18、zmax3.二、解答題9.已知ABC中，C是直角，CACB，D是CB的中點，E是AB上一點，且AE2EB，求證：ADCE.證明建立如圖所示的直角坐標系，設A(a,0)，則B(0，a)，E(x，y).D是BC的中點，D(0，).又2，即(xa，y)2(x，ay)，解得x，ya.(0，)(a,0)(a，)，(，a)，·(a)×a×a2a20.，即ADCE.10.已知A，B，C三點的坐標分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，其(，).(1)若|，求角的值.(2)若·1，求tan()的值.解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin

19、 3)，|，|.由|得sin cos ，又(，)，.(2)由·1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos ，sin()>0.由于<<，<<，cos().故tan().備用題1.如圖，ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC3，BC，則· _.答案解析··()··，因為OAOB，所以在上的投影為|，所以·|×|2，同理·|×|，故·2.2.已知向量m，n的夾角為，且|m|，|n|2，在ABC中，mn，m3n，D為BC邊的中點，則|_.

20、答案1解析由題意知：|2m2n|mn|1.3.如圖，已知平面上直線l的方向向量e，點O(0,0)和A(1，2)在l上的投影分別是O1和A1，則e，其中_.答案2解析|e|，|，|·cose，··2.4.已知直線xya與圓x2y24交于A、B兩點，且|，其中O為坐標原點，則實數(shù)a的值為_.答案±2解析如圖所示，以OA、OB為邊作平行四邊形OACB，則由|得，平行四邊形OACB是矩形，.由圖象得，直線yxa在y軸上的截距為±2.5.已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1， P是腰DC上的動點，則|3|的最小值為_.答案5解析方法一以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值為5.方法二設x(0<x<1).(1x)，x，(1x).3(34x)，|3|