半導(dǎo)體物理學(xué)

1、Chapter 9異質(zhì)結(jié)器件(heterojunction devices)9.1 異質(zhì)結(jié)的概念在電子工業(yè)中Si不是唯一使用的半導(dǎo)體。除了周期表中四族元素和它們的化合物（Si 、Ge、 C、 SiC和 SiGe）外，還有利用III族和V族合成的所有半導(dǎo)體，如GaAs、InP、GaxAl1-xAs等。此外，還能利用周期表中其它族元素制備半導(dǎo)體，如CdS和HgCdTe。Lattice parameterInGaAsPcompounds02133AlAsGaAsInPAlSbInAsGaSbAlPGeSi5.45.65.86.06.2GaPBandgap energy (eV)圖9.1：Si、Ge和

2、一些III-V半導(dǎo)體的能隙 表征這些材料電學(xué)性質(zhì)的主要參數(shù)是能隙寬度。圖9.1顯示了Si、Ge和不同III-V化合物的帶隙能。利用三元或四元化合物如 GaxAl1-xAs和GaxIn1-xAsyP1-y可以獲得任意帶隙能值。在制備材料的過程中通過修正系數(shù)x和y可以得到想要的帶隙能。 由兩種不同半導(dǎo)體構(gòu)成的PN結(jié)稱為異質(zhì)結(jié)（heterojunction）。這種異質(zhì)結(jié)最特殊的特征是P型和N型區(qū)域有不同的帶隙。只包含一種半導(dǎo)體的結(jié)(如經(jīng)典的Si PN結(jié))稱為同質(zhì)結(jié)(homojunction)。 能帶圖(energy band diagram) 與同質(zhì)結(jié)相比，由于存在具有不同帶隙能的兩種材料，因此在異

3、質(zhì)結(jié)的能帶圖中很難引入附加能級。在單一器件中結(jié)合不同材料和裁剪能帶形狀去獲得不可能獲得的性質(zhì)的技術(shù)通常稱為能帶工程(bandgap engineering)。metallurgicaljunctionx-x1 0 x2EVECqVi2VacuumqVi1VacuumEC2EF2EV2EC1EF1EV1qViq1Bq2Eg2q2q1Eg1q1EC2EF2EV2VacuumAEC1EF1EV1q1Semiconductor 1 semiconductor 2圖9.2： A: 兩種半導(dǎo)體材料分開時的能帶圖；B：兩種材料連接成的異質(zhì)結(jié)的能帶圖 考慮圖9.2的例子，此圖舉例說明了異質(zhì)結(jié)能帶圖是怎樣畫出來

4、的。兩種不同半導(dǎo)體材料被結(jié)合在一起。半導(dǎo)體1是P型，其能隙、功函數(shù)和電子親和力分別為、和。功函數(shù)是真空能級和費米能級之間的能量差；它代表要將一個具有能量的電子從半導(dǎo)體中移出所需要的能量。電子親和力是將導(dǎo)帶中一個電子移到真空能級所需要的能量，與前面節(jié)中解釋的一樣。類似地，我們設(shè)想半導(dǎo)體2是N型，其能隙、功函數(shù)和電子親和力分別為、和。繪制能帶圖的步驟如下：1. 在平衡條件下，兩種半導(dǎo)體中費米能級是相等的、不變的。遠(yuǎn)離結(jié)的地方，半導(dǎo)體材料是中性的，能帶圖類似于當(dāng)兩種材料分開時的情形。2. 在中性區(qū)域功函數(shù)和仍舊不變。這使我們能夠畫出遠(yuǎn)離結(jié)的區(qū)域的真空能級。3. 兩種半導(dǎo)體材料的真空能級通過光滑的連續(xù)

5、曲線連接。就目前而言，曲線的精確形狀是未知的，后面將對其進(jìn)行計算。但是，一個好的想法是假設(shè)它有類似于同質(zhì)結(jié)轉(zhuǎn)變區(qū)域中能帶彎曲的形狀。真空能級僅在轉(zhuǎn)變區(qū)域范圍內(nèi)，即-x1和x2之間發(fā)生彎曲。4. 在結(jié)形成過程中，由于，電子從N型半導(dǎo)體向P型半導(dǎo)體擴(kuò)散，空穴沿相反方向從P型半導(dǎo)體向N型半導(dǎo)體擴(kuò)散。由此形成的電荷分布引起一個擴(kuò)散區(qū)域、一個內(nèi)部結(jié)電勢，進(jìn)而是能帶彎曲。這一彎曲與真空能級彎曲平行。電子親和力和在轉(zhuǎn)變區(qū)域保持不變，這可以讓我們畫出轉(zhuǎn)變區(qū)域中的、和。5. 最后，在冶金結(jié)合面(x=0)處，利用垂直線段把價帶（和）和導(dǎo)帶（和）能級連接。這一特征構(gòu)成所謂的能帶不連續(xù)性（band discontin

6、uity）。結(jié)電勢由下式給出： （）其中和分別為半導(dǎo)體1和2能帶彎曲度。由于和都與真空能級平行，所以冶金結(jié)合面處的能帶不連續(xù)。這種不連續(xù)等于： () ()兩個能帶的不連續(xù)之和等于兩個半導(dǎo)體之間的能隙差異： ()在轉(zhuǎn)變區(qū)域中能帶的精確彎曲度可以通過求解兩個半導(dǎo)體中的泊松方程以及利用耗盡近似來獲得。 半導(dǎo)體1 半導(dǎo)體2P型，摻雜濃度 N型，摻雜濃度介電常數(shù) 介電常數(shù)耗盡區(qū)域?qū)挾?耗盡區(qū)域?qū)挾葘Σ此煞匠谭e分，可計算出電場：在冶金結(jié)合面() 處，利用高斯定理可得： （） 這表示轉(zhuǎn)變區(qū)域（）中的電中性。對泊松方程第二次積分可得到電勢： 能帶彎曲： 后面兩個方程之和等于結(jié)電勢 ： ()在()和(9.1.6

7、)之間消掉，我們可以獲得半導(dǎo)體中內(nèi)建電勢： ()從這個式子可以求出半導(dǎo)體1中的耗盡寬度： (9.1.8a)利用()和(9.1.8a)可以求出半導(dǎo)體2的耗盡寬度： (b)知道了、和，就可以準(zhǔn)確地畫出能帶的彎曲度。 當(dāng)一個外部偏壓施加于二極管，在P型半導(dǎo)體中處和在N型半導(dǎo)體中處分別注入的電子和空穴擴(kuò)散電流密度由方程()（）和(4.424) （）給出，在異質(zhì)結(jié)情形下變?yōu)椋?和 其中和分別是半導(dǎo)體1和2的本征載流子濃度。利用耗盡區(qū)域邊緣的比可以很好地證明異質(zhì)結(jié)對擴(kuò)散電流的影響： ()其中、和分別是半導(dǎo)體1和2的導(dǎo)帶和價帶的有效態(tài)密度以及有效電子和空穴質(zhì)量。從方程()能得出一個重要結(jié)論：在PN異質(zhì)結(jié)中電

8、子電流和空穴電流之比指數(shù)地正比于兩種半導(dǎo)體能隙的差異。9.2 異質(zhì)結(jié)雙極性晶體管（heterojunction bipolar transistor:HBT）發(fā)展異質(zhì)結(jié)雙極性晶體管(HBT)是為了克服傳統(tǒng)雙極性晶體管的局限性。在典型的同質(zhì)結(jié)雙極性晶體管中，必須降低基極寬度才能獲得高速度（少數(shù)載流子通過基極的時間正比于基極寬度的平方方程(8.12.9)）。但是，如果基極寬度下降，基極電阻就會增大，這會使器件響應(yīng)時間變慢。通過增大基極摻雜濃度可以降低基極電阻，但是又會增大基極中的Gummel 數(shù)，這會降低電流增益。因此，通過優(yōu)化基極厚度(寬度)和摻雜濃度來獲得高速、高增益和低電阻是不可能的。然而異

9、質(zhì)結(jié)的使用允許同時提高輸運時間、電流增益和基極電阻。在一個PN異質(zhì)結(jié)中，電子和空穴濃度的比值基本上取決于在N和P型區(qū)域之間雜質(zhì)摻雜濃度之比(式()。這就是為什么在雙極性晶體管的發(fā)射極中使用一個比基極中大的很多的摻雜濃度。這確保發(fā)射極電流比基極電流大很多，結(jié)果是發(fā)射極效率和電流增益很大。qVaelectronsEC1EF1EV1EC2EF2EV2Emitter BaseEC1EF1EV1EC2EF2EV2Emitter BaseholesAB 圖9.3： HBT中發(fā)射極基極結(jié)中的能帶圖。A: 平衡情形；B：偏壓情形。用一個異質(zhì)結(jié)做發(fā)射極基極結(jié)可以完全地改變電子和空穴電流比。我們考慮圖9.3中的例

10、子，其中較寬帶隙材料用于N型發(fā)射極，較小帶隙半導(dǎo)體用于制作P型基極。很容易觀察到，當(dāng)在這個結(jié)上施加前偏壓時，空穴必須克服一個比電子更高的勢壘。結(jié)果是注入發(fā)射極的空穴電流比注入基極的電子電流小很多，即使基極中摻雜濃度比發(fā)射極摻雜濃度更高。利用載流子注入的不對稱性可獲得高增益。雙極性器件的發(fā)射極效率由式()給出：NPN HBT為值非常接近1，因為在發(fā)射極基極異質(zhì)結(jié)中，同關(guān)系式()證明的一樣。對這種器件使用Si和SiGe很流行。在這種情況下，普遍使用以下結(jié)構(gòu)： 發(fā)射極： N型Si(能隙1.12eV) 基極： P型Si(80%)和Ge(20%)合金(能隙0.87eV) 收集極： N型Si(能隙1.12

11、eV)晶體管電流增益直接正比于發(fā)射極效率。對于發(fā)射極異質(zhì)結(jié)，利用方程()可得：其中。利用異質(zhì)結(jié)，即使基極中摻雜濃度高，也能獲得高電流增益。使用一個薄的高摻雜基極滿足低的電子輸運時間和低的基極電阻。這允許薄的基極HBT的設(shè)計，它具有極好的高頻性能。9.2 高電子遷移率晶體管(HEMT: high electron mobility transistor )首寫字母HEMT代表High Electron Mobility Transistor。有時這種器件也稱為調(diào)制摻雜場效應(yīng)晶體管(MODFET: Modulation-doped field-effect transisitor)。HEMT通常在

12、III-V半導(dǎo)體襯底如GaAs和InP上實現(xiàn)。輕摻雜GaAs的電子遷移率非常高，在溫度為300K、77K和4.2K時，遷移率大小分別為8000、200000和1500000 cm2/Vs。與Si MOSFET 的溝道中電子表面遷移率(為650 cm2/Vs)相比，這些數(shù)值是不可想象的。但是，如果GaAs中雜質(zhì)摻雜濃度增大，由于雜質(zhì)散射，電子遷移率會顯著下降。半導(dǎo)體中電子漂移電流由，因此對一個給定的電場，電流既正比于電子濃度也正比于電子遷移率。HEMT的操作十分類似于JFET的操作。在這兩種器件中電流流過源和漏之間的溝道，溝道中載流子數(shù)目由門電壓調(diào)制。JFET中可以通過增大溝道中摻雜濃度來增大電

13、流。不幸的是，摻雜濃度的任何增大會導(dǎo)致遷移率下降，這變成了一種交換：高遷移率和高載流子濃度不可能同時獲得。異質(zhì)結(jié)結(jié)構(gòu)的使用則允許我們繞開在輕摻雜材料(這種材料可確保高遷移率)中獲得高電子濃度的問題。這種結(jié)構(gòu)的能帶圖顯示在圖9.4中。 當(dāng)N+ AlGaAs/PGaAs異質(zhì)結(jié)被使用時，可以獲得一個特殊的能帶圖，即在PGaAs中存在一個導(dǎo)帶位于費米能級之下的區(qū)域。這一區(qū)域包含很高的電子濃度，并位于遷移率很高的輕摻雜材料之中。這一區(qū)域非常薄，只有510nm，因此具有二維特征，類似于MOSFET中的反轉(zhuǎn)層。由于具有很小的厚度，這一電子層稱為二維電子氣(Two-Dimensional Electron G

14、as: 2DEG)。2DEGECEFEVN+ AlGaAs P GaAs圖9.4： 在N+ AlGaAs /P GaAs異質(zhì)結(jié)中二維電子氣的形成在2DEG中電子濃度可通過在異質(zhì)結(jié)上施加偏壓來調(diào)節(jié)，同顯示在圖9.5中一樣。y xqVGqVGEFnEFnECECECN+ AlGaAs P GaAsN+ AlGaAs P GaAsN+ AlGaAs P GaAsECECECEFEFpEFpABC圖9.5： 在2DEG中電子濃度的調(diào)節(jié)。頂部的軸顯示x從N+ AlGaAs到P GaAs為正方向，而y是指向紙外(從源到漏)A: VG=0；B：VG>0；C: VG<0。 如果正偏壓VG>0

15、施加于N+ AlGaAs材料，異質(zhì)結(jié)就處于反偏壓，2DEG區(qū)域中EC進(jìn)一步下降到EF之下，這使電子濃度增大。相反，如果負(fù)偏壓VG<0施加于N+ AlGaAs材料，異質(zhì)結(jié)就處于正偏壓，2DEG區(qū)域中EC進(jìn)一步升高，導(dǎo)致電子濃度下降。如果偏壓是足夠的負(fù)，2DEG最終會消失（見圖9.5）。 HEMT的剖面圖顯示于圖9.6。2DEG在N+源和漏之間形成一個溝道。與N+ AlGaAs的一個金屬肖特基接觸形成門電極。門電壓的應(yīng)用改變異質(zhì)結(jié)偏壓，進(jìn)而調(diào)節(jié)2DEG溝道中的電子濃度。注意在 AlGaAs層中也有一個寄生的MESFET結(jié)構(gòu)，其電導(dǎo)率通過肖特基門電勢的變化來調(diào)節(jié)。然而完整器件的輸出特征與HEM

16、T和寄生MESFET的輸出有相似關(guān)系。HEMT是最快速的固態(tài)晶體管之一，這歸功于溝道中高的乘積。yxmetal gateN+ AlGaAsN sourceP+ drain2DEGp-GaAs圖9.6： HEMT的剖面圖。虛線范圍表示寄生的MESFET。9.3 光電子器件(photonic devices) 當(dāng)直接帶隙半導(dǎo)體中發(fā)生復(fù)合事件時，能夠發(fā)射一個光子。這一現(xiàn)象稱為輻射復(fù)合。按照關(guān)系式，光子波長取決于半導(dǎo)體帶隙能。在許多半導(dǎo)體材料如SiC、GaAsP、GaN、AlInGaP和AlGaAs中可以觀察到輻射復(fù)合。此外，半導(dǎo)體化合物的帶隙能可以裁剪，以便獲得能發(fā)射特別希望的顏色的器件。有各種各樣

17、的能發(fā)射和收集光子的固態(tài)器件，但是在這里我們僅僅關(guān)注激光二極管(laser diode)。但是，在開始研究激光二極管之前有必要理解發(fā)光二極管(light emitting diode: LED)的工作原理。9.3 發(fā)光二極管(LED: light emitting diode) 發(fā)光二極管或LED就是由半導(dǎo)體材料構(gòu)成的一個簡單的PN結(jié)，它展現(xiàn)出輻射復(fù)合性質(zhì)。這種PN結(jié)可以是一個異質(zhì)結(jié)，也可以是一個同質(zhì)結(jié)。按照公式，半導(dǎo)體材料的能隙決定了發(fā)射光的頻率。下面列舉了一些用來制備LED的半導(dǎo)體材料以及發(fā)射光的顏色：GaN (藍(lán)光)、SiC(藍(lán)光)、GaP(綠光)、GaAs0.14P0.86(黃光)、G

18、aAs0.35P0.65(橙光)、GaAs0.6P0.4(紅光)和GaAs(紅外光)。在這一節(jié)我們主要集中考慮同質(zhì)結(jié)LED的工作原理。圖9.7說明了一個處于前偏壓模式的同質(zhì)結(jié)(單一能隙)PN。通過注入P型材料的電子的輻射復(fù)合產(chǎn)生光發(fā)射。由于，所以電子電流比空穴電流大的多。當(dāng)PN結(jié)施加前偏壓時電子注入。EFPP型qVaEVEFNholeselectronsN 型EC圖9.7: 發(fā)光二極管的工作原理注入效率使有用的載流子(注入到P型區(qū)域的電子)電流與結(jié)中總電流存在如下關(guān)系：其中注入P型區(qū)域的電子電流，注入N型區(qū)域的空穴電流，是以非輻射方式復(fù)合的載流子電流。通常地，值達(dá)到3060。與第3.2節(jié)提及的

19、一樣，輻射復(fù)合必須滿足動量守恒。這一條件在直接帶隙半導(dǎo)體中自動滿足，因為其導(dǎo)帶最小值處的電子動量等于價帶最大值處空穴動量。但是，在間接帶隙半導(dǎo)體如GaP和SiC中能觀察到光發(fā)射。在這些半導(dǎo)體中發(fā)生輻射復(fù)合的唯一方式是由這種相互作用來產(chǎn)生一個粒子或行為類似一個粒子的一些東西，這種粒子能耗盡初始的電子動量。幸運的是存在一種合適的粒子，它是晶格點陣中的一個振動能量量子，稱為聲子。聲子向晶格傳遞熱量或從晶格傳出熱量，其作用是降低電子動量，從而使輻射復(fù)合稱為可能。這種相互作用就是導(dǎo)帶中一個電子與價帶中一個空穴復(fù)合，既產(chǎn)生一個光子也產(chǎn)生一個聲子。這個光子和這個聲子的結(jié)合能等于，初始電子動量和這個聲子動量之

20、和等于零。這一過程更加復(fù)雜，因此與直接帶隙半導(dǎo)體的輻射復(fù)合相比更不可能發(fā)生。結(jié)果是，間接帶隙LED的性能直接帶隙LED更低。但是間接帶隙器件的發(fā)光強度實際上已經(jīng)可以通過使用下面的訣竅來提高。這種訣竅就是加入一等電子雜質(zhì)(isoelectronic impurity)，也就是這種雜質(zhì)與它要替代的元素處在周期表的同一欄中。例如GaP中的N，用GaP:N表示。每一個N原子在晶格中產(chǎn)生一個能夠俘獲一個電子的局部應(yīng)變。這些電子被緊緊地束縛于這些陷阱，同束縛于它們的位置相比有一小的不確定度。但是按照海森堡測不準(zhǔn)原理，它們的動量有很大的統(tǒng)計不確定度。這種不確定度對于每一個電子是足夠大，以致具有零動量和經(jīng)歷輻

21、射復(fù)合的幾率相當(dāng)大。這種量子力學(xué)竅門引起輻射復(fù)合率，但直至今天，這種輻射復(fù)合率還不足以與直接帶隙半導(dǎo)體中輻射復(fù)合率競爭。 激光二極管(laser diode) 激光二極管是一個能夠發(fā)射激光束的PN結(jié)。激光是相干的(也就是發(fā)射的所有光子具有相同位相)和單色的(也就是發(fā)射的所有光子具有相同波長)。詳細(xì)描述激光是如何工作超出了本書的范疇。但是，簡要地描述產(chǎn)生激光發(fā)射所需要的條件是必要的。單詞“l(fā)aser”的意思是由輻射激發(fā)的發(fā)射引起的光放大。這一定義中的關(guān)鍵詞是激發(fā)發(fā)射(stimulated emission)。激發(fā)發(fā)射是屬于與產(chǎn)生和復(fù)合同類的現(xiàn)象，但是這種現(xiàn)象中一個具有能量的入射光子會觸發(fā)一個激發(fā)

22、電子（在半導(dǎo)體激光器中為導(dǎo)帶中的電子）的復(fù)合。在復(fù)合事件過程中發(fā)射一個新的光子。這個光子具有與入射光子相同的波長和相同的位相。這就是為什么激光是單色性的(所有光子有相同波長，這是由能隙確定的)。當(dāng)然光子的產(chǎn)生能夠被重復(fù)，原始光子按照2、4、8等放大(同圖9.8顯示一樣)，導(dǎo)致一個光放大效應(yīng)。如果兩個能反射光的鏡面放置在半導(dǎo)體晶體的兩邊，光就能夠在晶體中來回地傳送，經(jīng)歷顯著的放大。實際上，兩個鏡面之一是半透明的，因此一些激光能夠從晶體中逃逸。不能垂直傳送到鏡面的發(fā)射光子留在半導(dǎo)體中而被損失掉(圖9.8)。ECEVfundamental stateexcited statehv=Eghv=Eghv

23、=EgAmirrormirror B圖9.8： A: 激發(fā)發(fā)射的原理，B: 激發(fā)發(fā)射引起的光放大具有能量的光子不僅可以激發(fā)另一個光子的發(fā)射，而且也能被半導(dǎo)體材料吸收，產(chǎn)生一個電子空穴對。由于不想看到光子被吸收，所以不希望激光二極管中出現(xiàn)這種效應(yīng)。不幸的是，光子吸收是不可避免的。但是，使激發(fā)發(fā)射相比吸收更有利是可能。如果處于激發(fā)態(tài)的電子(導(dǎo)帶電子)數(shù)目大于處于基態(tài)的電子(價帶電子)數(shù)目，就可以達(dá)到激發(fā)發(fā)射比吸收更有優(yōu)勢。這一條件稱為粒子數(shù)反轉(zhuǎn)(population inversion)。如果一個外部能量源將大量的電子從基態(tài)泵浦到激發(fā)態(tài)，就可以實現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)。在激光二極管中粒子數(shù)反轉(zhuǎn)可以通過注入大

24、量電子到一個PN結(jié)來實現(xiàn)。 圖9.9顯示了激光PN同質(zhì)結(jié)。N型和P型區(qū)域是簡并摻雜，在N型和P型材料中費米能級分別處于導(dǎo)帶最小值之上和價帶最大值之下。當(dāng)在結(jié)上施加前偏壓時，形成一個粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的薄的區(qū)域，而不是耗盡區(qū)域。在這一區(qū)域中導(dǎo)帶有非常大的電子數(shù)目，價帶中有非常高的空態(tài)(空穴)密度。在這些條件下激光是在轉(zhuǎn)變區(qū)域通過激發(fā)發(fā)射產(chǎn)生。EFpEFnEVECregion with population inversionBAEFECEVP typeN type圖9.9: 激光PN結(jié)。A: 平衡狀態(tài)；B: 施加偏壓。 圖9.10顯示了一個完整的激光二極管。兩個平行的半透明鏡面是將半導(dǎo)體沿自然晶向(如(

25、100)劈開得到。由于半導(dǎo)體材料的折射率(refractive index)比周圍空氣的折射率大，被劈開的表面作為鏡面將光反射回晶體中。這些鏡面達(dá)不到100反射，而是允許一些激光從器件發(fā)射出去。Photons bouncing backand forth in the crystal“l(fā)eaky” mirrorlaser beam“l(fā)eaky” mirrorIactive regionP typeN type圖9.10： 前偏壓模式下的激光二極管顯示出在粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)變區(qū)域內(nèi)的光子路徑。 激光二極管的光輸出功率作為注入二極管的電流的函數(shù)顯示于圖9.11。在給定閾值之下，達(dá)不到粒子數(shù)反轉(zhuǎn)，但是因

26、為輻射復(fù)合，所以有光發(fā)射。這種光是非相干光，類似于LED發(fā)射的光。在閾值之上，發(fā)生粒子數(shù)反轉(zhuǎn)并發(fā)射激光。光的強度作為二極管中電流的函數(shù)隨后急劇增大。由于Fabry-Perot 腔，發(fā)射光譜被壓縮成單一譜線。因此發(fā)射的激光是單色的。除在粒子數(shù)反轉(zhuǎn)區(qū)域中由激發(fā)發(fā)射引起的電子的有用復(fù)合之外，大量電子被注入到P型半導(dǎo)體，在P型半導(dǎo)體中它們也復(fù)合，也發(fā)射光子（只是這些光子不參與激光發(fā)射過程）或聲子(熱能)。這表示同質(zhì)結(jié)激光二極管完全無效，提供給器件的電功率只有少部分轉(zhuǎn)換成激光。Light intensityCurrent in the diode“LED”laser圖9.11： 非相干光(LED)和相干

27、光(Laser)的發(fā)射是電流強度的函數(shù)Region of population inversionP-typeGaAsEFnECEVEFpN-typeAlGaAsN-typeAlGaAs EC圖9.12： AlGaAs/GaAs/AlGaAs異質(zhì)結(jié)激光二極管利用異質(zhì)結(jié)可以解決這個問題。我們以AlGaAs/GaAs/AlGaAs異質(zhì)結(jié)激光器為例(見圖9.12)：在前偏壓下，導(dǎo)帶中的電子從N型AlGaAs注入到P型GaAs，這些電子不能溢出由P- GaAs/N- AlGaAs結(jié)產(chǎn)生的勢壘EC。因此這些電子被限制在GaAs層，在這一層中產(chǎn)生粒子數(shù)反轉(zhuǎn)，進(jìn)而是激光發(fā)射。此外，AlGaAs的折射率低于G

28、aAs，使這些結(jié)可以作為鏡面。這有利于將光子限制在GaAs層，進(jìn)而限制了光漏進(jìn)AlGaAs層。結(jié)果是激光發(fā)射效率大大提高，產(chǎn)生激光發(fā)射所需的電流閾值降低。Chapter 10 量子效應(yīng)器件(quantum effect device)10.1 隧道二極管(Tunnel diode)10.1.1 隧道效應(yīng)(Tunnel effect)隧道二極管是L.Esaki于1958年發(fā)明的，他因解釋了器件的工作原理獲得了Nobel獎。在這一節(jié)中我們將簡要地描述隧道效應(yīng)潛在的物理本質(zhì)，然后解釋一個隧道二極管是如何工作的。電子隧穿通過一個勢壘是量子力學(xué)預(yù)言的一種效應(yīng)。量子力學(xué)給出一個電子通過一個勢壘的有限幾率，

29、這與具有比壘的勢能更高能量的電子通過勢壘是相反的。為了說明這種效應(yīng)，我們?nèi)∫粋€無限深勢阱，在其中引入一個有限勢壘(見圖10.1A)。在這個勢阱中一個電子的波函數(shù)利用數(shù)值模擬能夠被計算出來。我們將注意力集中在最低或基態(tài)能級。在無勢壘的情況下，利用方程可以得到電子的最低能量：。對于50 nm的阱寬，對應(yīng)的最低能量值近似為0.15meV。我們在勢阱中引入一個高度為40mV、寬度為2nm的勢壘。按照經(jīng)典力學(xué)，限制在勢阱左邊的電子不會擁有足夠大能量，以克服這個40mV勢壘而進(jìn)入阱的右邊部分。另一方面，如果利用量子力學(xué)計算，可以發(fā)現(xiàn)在勢壘右邊找到這個電子的幾率不為零(見圖10.1B)。2 nmV=40 m

30、VpotentialA50 nm0 10 20 30 40 50 Distance, x(nm)Amplitude of wave function (arb.units)0.150.100.050B圖10.1： A：內(nèi)部具有勢壘的無限深勢阱；B: 對應(yīng)最低能量波函數(shù)。從更普通意義上講，通過勢壘的隧穿可以用透射系數(shù)(transmission coefficient)表示。透射系數(shù)代表一個電子通過勢壘的幾率。透射系數(shù)的值取決于勢壘的形狀(如矩形、三角形等)、寬度和高度。勢壘越薄越低，透射系數(shù)越高。在矩形勢壘(rectangular)這一特殊情況下，透射系數(shù)T由下式給出：其中和分別為勢壘的寬度和高

31、度，為電子能量()。10.1.2 隧道二極管(Tunnel diode)隧道二極管是一個PN結(jié)，其中P型和N型區(qū)域為簡并摻雜。結(jié)果是N型材料中費米能級在導(dǎo)帶最小值(導(dǎo)帶底)之上，P型材料中費米能級在價帶最大值(價帶頂)之下。摻雜濃度非常高以致結(jié)中空間電荷區(qū)域的寬度十分窄(方程()，通常小于10 nm。與任何PN結(jié)一樣，空間電荷區(qū)域的存在引起一個勢壘。這個勢壘高度用表示，按照方程()勢壘高度是摻雜濃度的函數(shù)。勢壘阻止電子從N型區(qū)域向P型材料的擴(kuò)散，反之亦然。由于摻雜水平，相當(dāng)大，但是勢壘寬度非常小(小于10 nm)。要讓電子隧穿通過勢壘，必須滿足一定條件：(1) 電子能量必須守恒。按照能帶圖的說

32、明，這一條件意味著從N型區(qū)域隧穿進(jìn)入P型區(qū)域的電子沿水平軌道行進(jìn)(見圖10.2B)。(2) 結(jié)中發(fā)射電子的一邊必須有占據(jù)態(tài)。(3) 結(jié)中接受電子的一邊必須有空的允許占據(jù)態(tài)。由于條件(1)，這些態(tài)必須具有與條件(2)定義的態(tài)有相同能量。(4) 為了實現(xiàn)隧穿，勢壘高度必須足夠低，勢壘寬度足夠小。Empty stateqVaEFNEFPEVEC B XP NqVjqpqpEFEVEC AXEFNEFPEVEC CXqVa圖10.2： 不同前偏壓下的能帶圖。A: 施加偏壓；B: 最大隧穿電流；C: 隧穿電流消失。陰影區(qū)域表示被電子填充的態(tài)。是內(nèi)部結(jié)電勢，是外加電壓。從N型導(dǎo)帶流進(jìn)P型價帶的電子電流由下

33、式給出： ()其中A是二極管面積，和分別是N型導(dǎo)帶和P型價帶中的狄拉克費米分布函數(shù)，和分別為導(dǎo)帶和價帶態(tài)密度，是一個電子隧穿幾率。這一幾率主要取決于勢壘寬度，與電子的行進(jìn)方向(左至右或右至左)無關(guān)。電流的正號歸于電子攜帶的是負(fù)電荷以及在負(fù)方向流動(見圖10.2)。歸功于電子從N型導(dǎo)帶向P型價帶流動形成的電流等于： ()將()和(10.1.2)相加得到總電流： ()PEVEC XNVIVa=0AVaVINPVaEVEC XPVaEVEC BXNVaVIBCVaECEVPNVaVID圖10.3： 隧道二極管的能帶圖和I-V特性。A: Va=0；B: 隧穿電流達(dá)到最大；C: 谷電流(隧穿消失)；D:

34、 正常PN結(jié)擴(kuò)散電流。隧穿電流的計算相當(dāng)復(fù)雜。我們只利用圖10.2的能帶圖定性地描述所發(fā)生的事情。A: 施加零偏壓。在此情形下，由于費米能級是唯一的，所以和相等，按照方程()隧道電流等于零（見圖）。B: 如果施加前偏壓Va，N型區(qū)域的準(zhǔn)費米能級和能帶相對于P型區(qū)域向上移動。結(jié)果是P型邊價帶中有空態(tài)，這些空態(tài)與N邊導(dǎo)帶中的占據(jù)態(tài)有相同能量。這一條件說明產(chǎn)生隧穿電流。這一電流隨前偏壓Va增大而增大，直到達(dá)到最大。當(dāng)N型導(dǎo)帶中具有與P型邊價帶中有空態(tài)相同能量的態(tài)數(shù)目達(dá)到最大時，電流出現(xiàn)最大值(圖10.3.B)。C: 如果施加的前偏壓Va進(jìn)一步增大，與被占據(jù)導(dǎo)帶態(tài)具有相同能量的空價帶態(tài)數(shù)目下降，直至隧

35、穿電流最終消失。當(dāng)隧穿消失時，I-V特性曲線達(dá)到谷點(圖10.3.C)。D: 除了帶帶隧穿電流，一正常PN結(jié)電流流過二極管。當(dāng)前偏壓增大時，同正常PN結(jié)二極管一樣，電流再次增大(圖10.3.D)。在峰和谷之間的曲線部分中，隧道二極管有負(fù)電阻特征()。10.2 低維器件(low-dimension devices)在低維器件中，電子不再是在三維晶體中運動，但是它們限制在二維、一維和零維空間。這可通過器件制備實現(xiàn)，這些器件中載流子限制在薄的晶體如量子線(quantum wire)或低維勢阱如量子阱(quantum well)器件。三維晶體情形下，能帶中允許態(tài)的密度是能量的平方根的函數(shù)，這在節(jié)中已經(jīng)

36、證明，同時顯示于圖10.4。 Density of stateValence bandConduction bandECEV Energy Bandgap圖10.4： 3D半導(dǎo)體中帶隙附近的導(dǎo)帶和價帶態(tài)密度。 在低維結(jié)構(gòu)中，能帶特別是允許態(tài)密度完全不同于3D晶體(圖10.5)。在零維(0D)晶體中(量子點：quantum dot)，允許能級是分立的。在一維(1D)晶體(量子線：quantum wire)中，允許能級也是分立的，但是量子化能級之間趨于展開。在二維(2D)晶體中，態(tài)密度是能量的階梯函數(shù)。圖10.6顯示了與圖10.5中態(tài)密度對應(yīng)的不同形貌(3D、2D、1D和0D)。Density o

37、f statesEnergy0D2D1D3D圖10.5： 零維(0D)、一維(1D)、二維(2D)和三維(3D)晶體的態(tài)密度。量子線量子點圖10.6 量子點和量子線。10.2.1 能帶能帶的計算建立在時間無關(guān)的薛定諤方程之上： ()如果，則上式可寫成： ()在節(jié)中我們利用Kronig-Penney模型求解了這一方程。在三維晶體中，我們已經(jīng)看到導(dǎo)帶底附近電子能量作為k波矢的函數(shù)，是拋物型，其行為近似一個自由電子。這種情況下，晶體中的周期勢變化可以忽略，故得：上式的解為：，從這個式子可以得到其能量： () 對于3D樣品，利用Born-von Karman 邊界條件(方程()可以求出k波矢：其中L為

38、晶體單胞的尺寸(長度)，N是每一個空間方向的單胞數(shù)目。如果晶體是立方晶格且具有立方形狀，晶體的每一維度等于NL，則可得： ， ()對應(yīng)每一允許k值的k空間單位體積為： ()其中V是晶體體積。利用方程()我們獲得允許波數(shù)的值：其中N是晶胞數(shù)目（大約1022/cm3）。因此允許k值的數(shù)目非常巨大，可以認(rèn)為k不是一離散的方式變化，而是以連續(xù)的方式變化。最后在三維晶體中得到能帶： () 如果我們在z方向?qū)⒕w尺寸降到一個非常小的值c，我們就得到了二維晶體。z方向的波函數(shù)被限制在寬度c(等于樣品厚度)的無限勢阱。晶體中z方向的波函數(shù)是有限的，在勢阱外邊為0。利用分離變量方法，波函數(shù)可以寫成兩個波函數(shù)的積

39、： ()其中。在z方向電子在寬度c的無限勢阱中的行為類似“盒子中的粒子(particle in a box)”。從（.2）節(jié)可知，這個方程可以用如下方式求解： () 其解為： ()利用晶體兩邊波函數(shù)消失的邊界條件，即和，可得： ()在z方向的能量值可以求出： ()對于這一晶體中的電子，允許能級(本征能級)可以通過將z方向能級求和得到，對于能級為：也可以寫成： ()其中。晶體體積為。在這一樣品中對應(yīng)每一允許k值的2D單位k空間體積為： ()將為和函數(shù)的能級和z方向的波函數(shù)限制產(chǎn)生的一系列分立能級相加即得允許能量值。對于限制導(dǎo)致的分立能級，存在對應(yīng)可能的和值的2D能帶。這一能帶稱為能量子帶（ene

40、rgy subband）(圖10.7)。值得注意的是電子的最小能量(在三維情況下()等于零)等于(對)。ny=1 and nz2 orny=2 and nz1ny=1 and nz=1E12 or E21 E11E(k)kxBnz=2n1=1E2E1E(k)kykyA圖10.7： 在(A)二維和(B)一維半導(dǎo)體中能量與波矢或波數(shù)的關(guān)系。取1D晶體的寬度和高度相等(b=c)，對每一樣品顯示出兩個子帶。在一維晶體中，樣品的維度y和z非常?。ㄒ妶D10.7），晶體的寬度用b表示，高度用c表示。波函數(shù)在y和z方向受到限制。利用分離變量方法，波函數(shù)可寫成兩個波函數(shù)乘積。 ()在受限方向的波函數(shù)對應(yīng)寬度為b

41、、高度為c的二維無限勢阱的粒子波函數(shù)。利用薛定諤方程可以找到這個波函數(shù)： ()其解為： ()利用邊界條件、和可得： ()進(jìn)而可得允許能級： () 因此，通過將x,y,z方向的能級求和可獲得晶體中電子的允許能級：或 ()其中。對應(yīng)每一個允許k值的k空間中1D單位體積為： ()因而將作為函數(shù)的能級(以連續(xù)方式變化)和在y和z方向波函數(shù)限制產(chǎn)生的一系列分立能級相加可得允許能量值。由于受限導(dǎo)致的分立能級是能量子帶的極小值。在每一子帶中其它能量值可以通過將和對應(yīng)值的能量相加得到(圖10.7B)。值得注意的是，在三維情形下電子的最小能量等于0(在方程()中，當(dāng)時就是這種情況)，而一維情形()下電子最小能量

42、等于。零維晶體中x，y和z三個方向都非常小。晶體的長、寬和高分別用a、b和c表示。x，y和z三個方向的波函數(shù)均受限。利用分立變量方法，波函數(shù)可以寫成三個波函數(shù)的乘積： ()通過求解三維勢阱中的薛定諤方程可得波函數(shù)： ()其解為： ()利用下列邊界條件：、和可得： (10.2.24)不同方向能量本征值為： () 其中常數(shù)G、H和I通過應(yīng)用邊界條件求出。將上面三個式子相加可得電子能量值： ()在三維晶體勢中允許能級是一系列由限制產(chǎn)生的分立能級。當(dāng)時有最小能量值：10.2.2 態(tài)密度(density of states : DOS)在三維晶體中，晶格單胞體積為L3，晶體體積為。對應(yīng)每一允許態(tài)(也就是

43、每一k值)的單位體積等于 (公式()。利用類似節(jié)的方法，我們考慮k空間的一個球體，其中包含具有能量低于給定最大值的電子對應(yīng)的所有波矢。由于泡利不相容原理，每一個波矢對應(yīng)兩個電子。因此電子數(shù)目可由下式給出： ()單位體積V=1中： (8)上式使我們能把和電子濃度連續(xù)起來：。用定義態(tài)密度。對于態(tài)密度我們用符號，而不同，這是為了避免將電子數(shù)和態(tài)密度混淆。利用下列關(guān)系我們可以將和能量值聯(lián)系起來： ()最后可得到作為E的函數(shù)的態(tài)密度： ()因此，在能帶極值(如導(dǎo)帶極小值)附近的態(tài)密度隨能量的平方根變化。 在z方向受限的二維晶體中，二維晶格單胞體積等于L2，晶體體積等于。對應(yīng)每一允許態(tài)(也就是每一k值)的

44、單位體積等于(關(guān)系式)。利用類似節(jié)的方法，我們考慮k空間的一個圓，其中包含具有能量低于給定最大值的電子對應(yīng)的所有波矢。由于泡利不相容原理，每一個波矢對應(yīng)兩個電子。因此電子數(shù)目可由下式給出：單位體積V=1中： ()上式使我們能把和電子濃度連續(xù)起來：。子帶態(tài)密度定義為，我們可以得到： (10.2.32)因此，在能帶極值(如導(dǎo)帶極小值)附近的態(tài)密度是常數(shù)，與能量無關(guān)。但是必須考慮那里有幾個子帶。將不同子帶中電子數(shù)目相加得到總電子數(shù)： ()函數(shù)可定義為： 如果，則 如果，則 在一維晶體中，一維晶格單胞體積等于L，晶體體積等于。對應(yīng)每一允許態(tài)(也就是每一k值)的單位體積等于(關(guān)系式10.2.20)。利用

45、類似1.1.8節(jié)的方法，我們考慮k空間的一個線段，其中包含具有能量低于給定最大值的電子對應(yīng)的所有波矢。線段的長度為。由于泡利不相容原理，每一個波矢對應(yīng)兩個電子。因此電子數(shù)目可由下式給出：單位體積V=1中： ()上式使我們能把和電子濃度連續(xù)起來：。子帶態(tài)密度定義為，我們可以得到： 從而得 ()其中在x方向是k的連續(xù)函數(shù)，在y和z方向是分立函數(shù)。因此，在能帶極值(如導(dǎo)帶極小值)附近的態(tài)密度是隨能量平方根的倒數(shù)而變化，而能量平方根的倒數(shù)是k的函數(shù)。同樣必須考慮那里有對應(yīng)y和z方向離散化的幾個子帶。將不同子帶中電子數(shù)目相加得到總電子數(shù)： ()函數(shù)可定義為： 如果，則如果，則1D2D3DEnergy a

46、bove EC (meV)0(=EC) 1 2 3 4 56543210Density of state (cm-3 ev-1)圖10.8和圖10.9顯示了具有特殊維度的1D、2D和3D樣品的態(tài)密度。圖10.8： 在1D、2D、3D Si晶體中作為能量函數(shù)的導(dǎo)帶態(tài)密度。2D樣品的高度等于20nm，1D樣品的高度和寬度都等于20 nm。Energy above EC (meV)0(=EC) 1 2 3 4 56543210Density of state (cm-3 ev-1)圖10.8： 在1D、2D、3D Si晶體中作為能量函數(shù)的導(dǎo)帶態(tài)密度。2D樣品的高度等于40nm，1D樣品的高度和寬度都

47、等于40 nm。10.2.3 1D半導(dǎo)體樣品的電導(dǎo)EFREFLVa 考慮一維半導(dǎo)體樣品。我們假設(shè)電子移動時與晶體晶格無相互作用。這樣的電子稱為彈道電子(ballistic electron)，在很短的MOS器件中可以找到這種電子。圖10.12： 施加偏壓的一維樣品。當(dāng)在1D半導(dǎo)體樣品兩端點間施加電勢差Va，費米能級的差異出現(xiàn)在樣品右和左之間（圖10.12）。樣品電流密度由下式給出： ()其中為電子群速度，是電子濃度。如果施加偏壓導(dǎo)致，則能量低于的電子對任何電流都沒有貢獻(xiàn)。對電流產(chǎn)生貢獻(xiàn)的電子密度為：其中是第n個子帶的態(tài)密度。因子1/2說明僅僅一個電子運動方向(從左到右)。將各個子帶(n個子帶)

48、中電流相加得到總電流： ()為第n個子帶的群速度。和的單位分別為ms-1和m-1eV-1。 電子的群速度由下式給出： ()利用()可得： (1)因此有： ()將上面結(jié)果代入()可得電流為： ()從這個式子可以獲得量子線的電導(dǎo)： ()此式就是著名的朗道公式(Landauer formula)。它描述了一維樣品的電導(dǎo)，該電導(dǎo)是費米能級的函數(shù)，作臺階狀變化。每一臺階的高度等于。10.2.4 2D和1D MOS晶體管 (一) 2D MOS晶體管如果一個MOS晶體是在一個薄的硅薄膜中制造，則電子輸運變?yōu)槎S的。施加一個正偏壓致使能帶發(fā)生彎曲。為簡單起見，我們假設(shè)溫度等于0K且漏電壓很小。當(dāng)門電壓使，自由

49、電子產(chǎn)生。電子電流由式()給出：如果，則 。如果，則 。 其中為導(dǎo)帶中態(tài)密度，由式()給出。因此電流正比于圖10.13的陰影面積。費米能級和導(dǎo)帶最小值之間的相對位置取決于施加的門電壓。ECBEnergyDensity of sateEFECCEnergyDensity of sateEFECAEnergyDensity of sateEF圖10.13： 2D晶體管中態(tài)密度和自由電子濃度。A: 低于閾值(導(dǎo)電子帶中沒有電子)；B: VG增大，第一個子帶中有電子；C: VG進(jìn)一步增大，電子占據(jù)第一個和第二個子帶。 圖10.14顯示在溫度0.3 K下，測量具有40nm厚Si薄膜的薄雙門SOI MOS

50、FET(見圖7.41)得到的跨導(dǎo)。對于門電壓低于-0.18V，導(dǎo)電子帶中沒有電子，電流沒有電子。當(dāng)對于門電壓增大到-0.18V，最低能量子帶被電子占據(jù)(對這個特殊器件以及)。在更高電壓下()，電子占據(jù)第二子帶。在左右，第一和第二子帶中電子之間的散射(子帶間散射：intersubband scattering)引起遷移率下降，進(jìn)而引起跨導(dǎo)下降。在處跨導(dǎo)的降低歸功于典型的表面遷移率下降(間7.5節(jié))。Surface mobility reductionInter-subband scatteringFirst subbandsecond subbandGate voltage (V)-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1302520151050Transconductance (A/V)圖10.14： 雙門二維SOI MOSFET的跨導(dǎo)。(二) 1D MOS晶體管 如果一個MOS晶體管由一薄膜Si和窄的Si線制成，則電子輸運變成一維的。施加正的門電壓，就會發(fā)生能帶彎曲。我們假設(shè)溫度等于0K且漏電壓很小。當(dāng)門電壓使，自由電子產(chǎn)生。電子電流由式()給出：如果，則 。如果，則 。其中為導(dǎo)帶中態(tài)密度，由式()給出。因此電流正比于圖10.15的陰影區(qū)域的面積。費米能級和