解三角形應(yīng)用舉例

1、解三角形應(yīng)用舉例解三角形應(yīng)用舉例 本章是在掌握了一定的三角形知識(shí)本章是在掌握了一定的三角形知識(shí)（直角三角形、三角形相似、三角形（直角三角形、三角形相似、三角形面積、大邊對(duì)大角等）和三角函數(shù)知面積、大邊對(duì)大角等）和三角函數(shù)知識(shí)（誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、識(shí)（誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、和差倍半角公式）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步和差倍半角公式）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究與三角形有關(guān)的定理及實(shí)際問(wèn)題研究與三角形有關(guān)的定理及實(shí)際問(wèn)題.例如：如何測(cè)量月亮離地球的距離、例如：如何測(cè)量月亮離地球的距離、在航海途中如何測(cè)量?jī)蓚€(gè)島嶼之間的在航海途中如何測(cè)量?jī)蓚€(gè)島嶼之間的距離距離. 正弦正弦定理定理余弦余弦定理定理解三解三

2、角形角形應(yīng)用應(yīng)用舉例舉例高度高度問(wèn)題問(wèn)題角度角度問(wèn)題問(wèn)題幾何幾何計(jì)算計(jì)算距離距離問(wèn)題問(wèn)題問(wèn)題問(wèn)題1：在校園小湖的兩側(cè)各站著一名同學(xué)，：在校園小湖的兩側(cè)各站著一名同學(xué)， 如何測(cè)出兩人之間的距離？請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)如何測(cè)出兩人之間的距離？請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)測(cè)量計(jì)算方案測(cè)量計(jì)算方案.（測(cè)量工具：測(cè)角儀；皮尺）（測(cè)量工具：測(cè)角儀；皮尺） 若在湖的一邊站著兩名同學(xué)若在湖的一邊站著兩名同學(xué)A、B，在另一邊的，在另一邊的同學(xué)如何測(cè)得同學(xué)如何測(cè)得A、B兩人之間的距離？?jī)扇酥g的距離？ 問(wèn)題問(wèn)題2：操場(chǎng)邊有座小山，在山的前后兩：操場(chǎng)邊有座小山，在山的前后兩面各站著一名同學(xué)（相互看不見(jiàn)）如何測(cè)量面各站著一名同學(xué)（相互看不見(jiàn)）

3、如何測(cè)量出兩人之間的距離？出兩人之間的距離？ 問(wèn)題問(wèn)題3：如何測(cè)量這座山的高度呢？如：如何測(cè)量這座山的高度呢？如何測(cè)量這座山的海拔呢？何測(cè)量這座山的海拔呢？ 1.仰角和俯角仰角和俯角 與目標(biāo)視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線與目標(biāo)視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線 的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線 在水平視線下方時(shí)叫俯角在水平視線下方時(shí)叫俯角(如圖所示如圖所示).一、測(cè)量中常用的幾類角一、測(cè)量中常用的幾類角2.方位角：方位角： 一般指北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角，一般指北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角，如方位如

4、方位 角角45，是指北偏東，是指北偏東45，即東北方向，即東北方向.3.坡角：坡角： 坡面與水平面的夾角坡面與水平面的夾角(如圖所示如圖所示).4.坡比：坡比：坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即i tan(i為坡比，為坡比，為坡角為坡角).1.從從A處望處望B處的仰角為處的仰角為，從，從B處望處望A處的俯角為處的俯角為，則，則、 的關(guān)系為的關(guān)系為 () A. B. C.90 D.1802.若若P在在Q的北偏東的北偏東44，則，則Q在在P的的 () A.東偏北東偏北46 B.東偏北東偏北44 C.南偏西南偏西44 D.西偏南西偏南443.已知兩座燈塔已知兩座燈塔A和

5、和B與海洋觀察站與海洋觀察站C的距離相等，燈塔的距離相等，燈塔 A在觀察在觀察站站C的北偏東的北偏東40，燈塔，燈塔B在觀察站在觀察站C的南偏東的南偏東60，則燈塔，則燈塔A在燈在燈塔塔B的的 ()A.北偏東北偏東10 B.北偏西北偏西10 C.南偏東南偏東10 D.南偏西南偏西10二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例1.在在200 m高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30、60，則塔高為，則塔高為m.解析：解析：如圖所示，設(shè)塔高為如圖所示，設(shè)塔高為h m.由題意及圖可知：由題意及圖可知：(200h)tan60解得：解得：h m.例例2：如圖所

6、示，：如圖所示，A、B、C、D都在同一個(gè)都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測(cè)量船于水面測(cè)量船于水面A處測(cè)得處測(cè)得B點(diǎn)和點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為點(diǎn)的仰角分別為75,30，于水，于水面面C處測(cè)得處測(cè)得B點(diǎn)和點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為點(diǎn)的仰角均為60，AC0.1 km.試探究試探究圖中圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B、D的的距離距離(計(jì)算結(jié)果精確到計(jì)算結(jié)果精確到0.01 km， 1.414， 2.449).在在ACD中，中，DAC30，ADC60DAC30，所以所以CDAC0.1.又又

7、BCD180606060，故故CB是是CAD底邊底邊AD的中垂線，的中垂線，所以所以BDBA.在在ABC中，中，即即AB因此，因此，BD 0.33 km.故故B、D的距離約為的距離約為0.33 km.例例3：如圖，港口：如圖，港口B在港口在港口O正東正東120海海 里處，小島里處，小島C在港口在港口O北偏東北偏東60 方向，港口方向，港口B北偏西北偏西30方向上方向上. 一艘科學(xué)考察船從港口一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，出發(fā)， 沿北偏東沿北偏東30的的OA方向以方向以20海里海里/小小 時(shí)的速度駛離港口時(shí)的速度駛離港口O，一艘快艇從港口，一艘快艇從港口B出發(fā)，以出發(fā)，以60海里海里/ 小時(shí)的速度

8、駛向小島小時(shí)的速度駛向小島C，在，在C島裝運(yùn)補(bǔ)給物資后給考察船島裝運(yùn)補(bǔ)給物資后給考察船 送去送去.現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，補(bǔ)給物資的裝船時(shí)間為現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，補(bǔ)給物資的裝船時(shí)間為1小時(shí)，問(wèn)小時(shí)，問(wèn) 快艇駛離港口快艇駛離港口B后，最少要經(jīng)過(guò)多少小時(shí)才能和考察船相遇？后，最少要經(jīng)過(guò)多少小時(shí)才能和考察船相遇？解：解：設(shè)快艇駛離港口設(shè)快艇駛離港口B后，最后，最少要經(jīng)過(guò)少要經(jīng)過(guò)x小時(shí)，在小時(shí)，在OA上的點(diǎn)上的點(diǎn)D處與考察船相遇處與考察船相遇.如圖，連結(jié)如圖，連結(jié)CD.則快艇沿線段則快艇沿線段BC，CD航行航行.在在OBC中，中，BOC30，CBO60，BCO90.又又BO120，BC60，OC60 .故快艇從港

9、口故快艇從港口B到小島到小島C需要需要1小時(shí)小時(shí).在在OCD中，中，COD30，OD20 x，CD60(x2).由余弦定理知，由余弦定理知，CD2OD2OC22ODOCcosCOD，602(x2)2(20 x)2(60 )2220 x60 cos30，解得，解得x3或或x .x1，x3.答：答：快艇駛離港口快艇駛離港口B后，最少要經(jīng)過(guò)后，最少要經(jīng)過(guò)3小時(shí)才能和考察船相遇小時(shí)才能和考察船相遇.總結(jié)總結(jié)：用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：1 1、分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖、分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖. .2 2、建模：根據(jù)已知條件與

10、求解目標(biāo)，把已知量與求解量、建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的模型盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的模型3 3、求解：利用正弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模、求解：利用正弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解型的解. .4 4、檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得、檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解出實(shí)際問(wèn)題的解. . 1.一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈海里的兩個(gè)燈 塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一塔恰好與它在一條直

11、線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一 燈塔在船的南偏西燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏西，另一燈塔在船的南偏西75，則這，則這 只船的速度是每小時(shí)只船的速度是每小時(shí) () A.5海里海里B.5 海里海里 C.10海里海里 D.10 海里海里解析：解析：如圖，依題意有如圖，依題意有BAC60，BAD75，所以所以CADCDA15，從而從而CDCA10，在直角三角形，在直角三角形ABC中，可得中，可得AB5，于是這只船的速度是于是這只船的速度是 10(海里海里/小時(shí)小時(shí)).答案：答案：C2.某人向正東方向走某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向，然后朝新方向 走走3 k

12、m，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是 km，那么，那么x的值為的值為() A. B.2 C. 或或2 D.解析：解析：如圖所示，設(shè)此人從如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則出發(fā)，則ABx，BC3，AC ，ABC30，由正弦定理由正弦定理 ，得得CAB60或或120，當(dāng)當(dāng)CAB60時(shí)，時(shí)，ACB90，AB2 ；當(dāng)當(dāng)CAB120時(shí)，時(shí)，ACB30，AB .答案：答案：C正、余弦定理在測(cè)高問(wèn)題中的應(yīng)用正、余弦定理在測(cè)高問(wèn)題中的應(yīng)用背景背景可測(cè)元可測(cè)元素素圖形圖形目標(biāo)及解法目標(biāo)及解法底部可底部可到達(dá)到達(dá)a、求求AB，ABatan底部不底部不可到達(dá)可到達(dá)a、求求AB，在在ACD中用正中用正弦定理求弦定

13、理求AD；ABADsin特別警示特別警示解決該類問(wèn)題時(shí)，一定要準(zhǔn)確理解仰角和俯解決該類問(wèn)題時(shí)，一定要準(zhǔn)確理解仰角和俯角的概念角的概念. 某人在塔的正東沿著南偏西某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)的方向前進(jìn)40米后，望見(jiàn)塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔頂?shù)淖畲笱鼋敲缀?，望?jiàn)塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫闉?0，求塔高，求塔高.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥依題意畫圖，某人在依題意畫圖，某人在C處，處，AB為塔高，他沿為塔高，他沿CD前進(jìn)，前進(jìn)，CD40米，此時(shí)米，此時(shí)DBF45，從，從C到到D沿沿途測(cè)塔的仰角，只有途測(cè)塔的仰角，只有B到測(cè)試點(diǎn)的距到測(cè)試點(diǎn)的距離最短時(shí)，仰角才最大，這是因?yàn)殡x最短時(shí)，仰角才最大，這是因?yàn)閠anAEB ，AB為定值，為定值，BE最小時(shí)，仰角最大最小時(shí)，仰角最大.要求出要求出塔高塔高AB，必須先求，必須先求BE，而要求，而要求BE，需先求，需先求BD(或或BC).課堂