大連理工大學(xué)自動(dòng)控制原理課件（3）

1、3-3 反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 3-1 系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及性能指標(biāo) 3-2 勞斯穩(wěn)定判據(jù)第三章 時(shí)域分析法1綜述 系統(tǒng)分析: 對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和瞬態(tài)響應(yīng)三方面的性能進(jìn)行分析。 直接法求解微分方程 間接法穩(wěn)定性判據(jù) 根軌跡法 頻率法23.1 系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及性能指標(biāo) 瞬態(tài)響應(yīng)： 系統(tǒng)的輸出從輸入信號(hào)作用時(shí)刻起，到穩(wěn)定狀態(tài)為止，隨時(shí)間變化的過程。分析瞬態(tài)響應(yīng)方法： 1、直接求解法 2、間接評(píng)價(jià)法 3、計(jì)算機(jī)仿真法 3一、典型輸入信號(hào) 階躍信號(hào)斜坡信號(hào)拋物線信號(hào)脈沖信號(hào)正弦信號(hào)4二、 瞬態(tài)響應(yīng).一階系統(tǒng)輸出輸入r(t)=1(t)或R(s)=1/s5一階系統(tǒng)響應(yīng)曲線單位階躍響應(yīng) 時(shí)間常數(shù) 定義為

2、系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值63.2%所需的時(shí)間 穩(wěn)態(tài)值 系統(tǒng)輸出值與時(shí)間常數(shù)T的對(duì)應(yīng)關(guān)系：t = T， c(1T) = 0.632 c()t = 2T，c(2T) = 0.865c()t = 3T，c(3T) = 0.950c()t = 4T，c(4T) = 0.982c()6一階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差由于k 不可能為無窮大，所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不能為0系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差72、二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) - 阻尼比，wn- 無阻尼自然振蕩頻率 典型二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征方程解方程阻尼比z 不同，特征根性質(zhì)就不同，系統(tǒng)響應(yīng)特性也不同 0z1，欠阻尼z =，臨界阻尼z ，過阻尼8 0z1 ，欠阻尼情況 系統(tǒng)傳遞函數(shù)有阻尼振蕩頻率

3、 輸入r(t)=1(t) 9 0z1 ，欠阻尼情況續(xù) (a)根分布 (b)單位階躍響應(yīng) 欠阻尼情況(0z 1)系統(tǒng)的誤差為 當(dāng)t時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差e ()。 10z=，無阻尼情況系統(tǒng)特征根 s1,2= jwn 單位階躍響應(yīng) 等幅振蕩振蕩頻率:n當(dāng)系統(tǒng)有一定阻尼時(shí)，d n 11 z =，臨界阻尼情況 兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)特征根：s1= s 2= -wn (a)根分布 (b)單位階躍響應(yīng) 系統(tǒng)輸出的拉氏變換 無超調(diào)無振蕩單調(diào)過程 12 z ，過阻尼情況 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根： (a)根分布 (b)單位階躍響應(yīng)無超調(diào)過程比 z =長(zhǎng) 13不同z值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線族 z 值一定:欠阻尼比臨界阻尼更快達(dá)到

4、穩(wěn)態(tài)值;過阻尼系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍; 系統(tǒng)大多設(shè)計(jì)成欠阻尼 14三、二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo) 工程實(shí)際中往往習(xí)慣把二階系統(tǒng)調(diào)整為欠阻尼過程，151.性能指標(biāo)延滯時(shí)間td ：響應(yīng)曲線到達(dá)終值50%所需的時(shí)間主要包括： 最大百分比超調(diào)量sp ：峰值時(shí)間tp ：響應(yīng)曲線到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間 調(diào)整時(shí)間ts：響應(yīng)到達(dá)并保持在終值5%或2%內(nèi)所需的最短時(shí)間上升時(shí)間tr ：響應(yīng)從終值10%上升到終值90%所需的時(shí)間衡量系統(tǒng)性能優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)16性能指標(biāo)圖解調(diào)整時(shí)間ts 峰值時(shí)間tp 上升時(shí)間tr 超調(diào)量 延滯時(shí)間td 17其它性能指標(biāo)振蕩次數(shù)N：在0tts時(shí)間內(nèi)，過渡過程c(t)穿越其穩(wěn)態(tài)值c()次數(shù)的一半。衰減比

5、n： 過渡過程曲線上同方向的相鄰兩個(gè)波峰之比， n =B/B。對(duì)于定值控制系統(tǒng)： 常以系統(tǒng)對(duì)單位擾動(dòng)輸入信號(hào)時(shí)的響應(yīng)特性來衡量瞬態(tài)性能18上升時(shí)間tr (rise time)c(tr)為12.性能指標(biāo)計(jì)算19峰值時(shí)間tp (peak time)求導(dǎo)整理到達(dá)第一個(gè)峰值時(shí)m = 1峰值時(shí)間：峰值時(shí)間tp與振蕩頻率wd成反比。當(dāng)wn一定，z 越小，tp也越小 20 最大超調(diào)量sp (percent overshot)代入t= tp 21 最大超調(diào)量sp 求法(續(xù)) sp與z 的關(guān)系 22調(diào)節(jié)時(shí)間ts由ts定義近似算法兩邊取對(duì)數(shù)23小結(jié)當(dāng)wn一定，要減小tr和tp，必須減少z 值，要減少ts那么應(yīng)增大

6、zwn值，而且z 值有一定范圍，不能過大增大wn，能使tr，tp和ts都減少最大超調(diào)量sp只由z 決定，z 越小，sp越大。24四、 增加零極點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)響應(yīng)的影響高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式零極點(diǎn)的形式 式中q+2l=m，k+2r=n 25高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 假設(shè)沒有重極點(diǎn) 26高階系統(tǒng)小結(jié)高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由 -pi和-z niw ni決定各分量所對(duì)應(yīng)的系數(shù)取決于系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布 系統(tǒng)的零、極點(diǎn)共同決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀系數(shù)很小的分量、遠(yuǎn)離虛軸,衰減很快,?？梢院雎愿唠A系統(tǒng)的性能可用低階系統(tǒng)近似估計(jì) 27主導(dǎo)極點(diǎn)定義有一對(duì)或一個(gè)極點(diǎn)距虛軸較近，其它極點(diǎn)較遠(yuǎn)，其實(shí)數(shù)局部

7、為它的110或更小，并且附近又沒有零點(diǎn)，28主導(dǎo)極點(diǎn) 舉例三階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 若系統(tǒng)的性能可用二階系統(tǒng)來表示 主導(dǎo)極點(diǎn)29主導(dǎo)極點(diǎn)舉例(續(xù)將三階系統(tǒng)看成是由主導(dǎo)極點(diǎn)決定的二階系統(tǒng)與一個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成 慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)較大，其作用較強(qiáng)。二階系統(tǒng)輸出c1(t)經(jīng)過慣性環(huán)節(jié)的濾波后，震蕩現(xiàn)象減弱很多 30仿真結(jié)果當(dāng)z =0.45時(shí)，通過計(jì)算機(jī)仿真能夠得到系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應(yīng)t-1/t超調(diào)量sp%調(diào)節(jié)時(shí)間ts2.250.44409.631.50.663.909.300.91.11112.38.810.42.5018.68.670.0520.020.58.37020.58.24當(dāng)t =2.25

8、時(shí)，實(shí)數(shù)極點(diǎn)為-1/t = -0.444，而復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部為 -0.45，二者相差不大，系統(tǒng)是過阻尼的，響應(yīng)沒有超調(diào)t 調(diào)整為0.9，即實(shí)數(shù)極點(diǎn)為-1.11，那么計(jì)算得到的超調(diào)量為12%，調(diào)節(jié)時(shí)間為8.8秒 注意上述的結(jié)果僅在閉環(huán)傳遞函數(shù)沒有零點(diǎn)的情況下才是正確的 31有零點(diǎn)情況如果二階系統(tǒng)包含有零點(diǎn)，且該零點(diǎn)位于主導(dǎo)極點(diǎn)附近，那么會(huì)對(duì)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生影響 標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)1個(gè)零點(diǎn) 階躍響應(yīng)包含:標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)及該響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的大小與零點(diǎn)成反比，即零點(diǎn)距離虛軸越遠(yuǎn)，附加零點(diǎn)的影響就越小 32有零點(diǎn)時(shí)的仿真結(jié)果 含有一個(gè)零點(diǎn)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) a/zwn超調(diào)量sp%調(diào)節(jié)時(shí)間ts峰值時(shí)間

9、tp523.18.03.0239.77.62.2189.910.11.80.5210.010.31.5表3.2 二階系統(tǒng)附加零點(diǎn)對(duì)性能指標(biāo)的影響 33例 3.1 假設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 試分析零點(diǎn)-2.5和極點(diǎn)-6對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響。 解1、系統(tǒng)的傳遞系數(shù)(或靜態(tài)增益)為1，所以系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零 零極點(diǎn)分布圖34例 3.1續(xù)2、 應(yīng)用MATLAB進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，得到單 位階躍響應(yīng)曲線 單位階躍響應(yīng)曲線 A: 原三階系統(tǒng)， 超調(diào)量sp%=37%調(diào)節(jié)時(shí)間ts=1.6秒B:忽略極點(diǎn)的系統(tǒng)超調(diào)量sp%=54.5%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts=1.5秒D:忽略零極點(diǎn)的系統(tǒng)超調(diào)量sp%=9.5%，調(diào)節(jié)時(shí)

10、間ts=1.2秒C:忽略零點(diǎn)的系統(tǒng)超調(diào)量sp%=5.5%調(diào)節(jié)時(shí)間ts=1.4秒不能忽略零極點(diǎn)的影響一個(gè)不能忽略的零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響 是使超調(diào)量加大，響應(yīng)速度加快一個(gè)不能忽略的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響 是使超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間增加返回353.2 勞斯判據(jù) -代數(shù)判據(jù)一、 穩(wěn)定性(Stability)的概念(a) 穩(wěn)定的 (b) 不穩(wěn)定的 定義穩(wěn)定:系統(tǒng)受到外作用后，偏離了正常工作點(diǎn)。當(dāng)外作用消失后，系統(tǒng)能回復(fù)到原來的工作點(diǎn)。BIBO 有界輸入有界輸出穩(wěn)定：在有界輸入作用下，其輸出響應(yīng)也是有界的。36線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部 在根平面的左半部 =所有特征根37系統(tǒng)穩(wěn)定性的簡(jiǎn)單例子38

11、結(jié)論假設(shè)系統(tǒng)特征根均具有負(fù)實(shí)部，那么系統(tǒng)穩(wěn)定。復(fù)數(shù)根對(duì)應(yīng)振蕩過程；實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)非周期過程。假設(shè)有一個(gè)或一個(gè)以上是正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。假設(shè)有實(shí)部為零的特征根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 39二、 勞斯判據(jù)(Routh Criterion)1. 系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)，且不等于0。穩(wěn)定的必要條件：402. 勞斯判據(jù) 系統(tǒng)特征方程 勞斯陣列表 第一列系數(shù)均為正數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定。計(jì)算行第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)，那么第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)等于右半平面上根的個(gè)數(shù)。 系數(shù)行41說明系數(shù)的計(jì)算進(jìn)行到其余的系數(shù)項(xiàng)全為0止，直到s0行；系數(shù)的完整陣列為倒三角形；為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可用一個(gè)正整

12、數(shù)去除或乘某一行的各元素，并不影響穩(wěn)定性結(jié)論。42例3.2 系統(tǒng)特征方程為試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解2、勞斯陣列表： s4 1 12 6 s3 6 11 0 s2 61/6 6 s1 455/61 0 s0 61、系數(shù)均為正，滿足穩(wěn)定的必要條件 3、第一列系數(shù)均為正，系統(tǒng)穩(wěn)定 。43系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 1、勞斯表如下 s5 1 2 5 s4 3 1 6 s3 5 9 (各系數(shù)均已乘3) s2 -11 15 (各系數(shù)均已乘5/2) s1 174 (各系數(shù)均已乘11) s0 15 2、第一列系數(shù)符號(hào)改變了兩次，有兩個(gè)實(shí)部為正的特征根，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。例3.344特殊情況

13、 (1) 勞斯陣列表中某一行的第一個(gè)系數(shù)為零，其余各系數(shù)不為零(或沒有其余項(xiàng)) 。可以用一個(gè)很小的正數(shù)e 來代替為零的元素，繼續(xù)計(jì)算其他各項(xiàng)。 解1、勞斯表 s 3 1 1 s 2 2 2 s 1 0e s 0 2 2、e 的上下兩個(gè)系數(shù)符號(hào)相同， 有一對(duì)虛根存在,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。系統(tǒng)特征方程為試用判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 例3.4用一個(gè)很小的正數(shù)e 來代替零 如果e 上下元素符號(hào)相同，說明特征方程有一對(duì)共軛虛根臨界狀態(tài)，屬不穩(wěn)定。如果e 上下元素符號(hào)相反，說明特征方程有正實(shí)部根存在，系統(tǒng)不穩(wěn)定45特殊情況 (2) 勞斯表中某一行的所有系數(shù)均為零，那么說明存在大小相等，并且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根。 處理步驟

14、利用該行上一行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式求輔助多項(xiàng)式對(duì)s 的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)放到該行上 繼續(xù)計(jì)算勞斯表 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根可通過解輔助方程得到 46例3.5系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)求右半平面根的個(gè)數(shù)。 解1、勞斯表如下 s 5 1 3 -4 s 4 2 6 -8 輔助多項(xiàng)式 2s 4 + 6s 2 - 8 s 3 0 0 求導(dǎo)數(shù) 8 12 構(gòu)成新行 8s 3 + 12s s 2 3 -8 s 1 100/3 s 0 -82、第1列系數(shù)符號(hào)改變1次，有1個(gè)根在右半平面 ,系統(tǒng)不穩(wěn)定47三、 勞斯判據(jù)的應(yīng)用 1. 穩(wěn)定裕量的檢驗(yàn)如果所有根均在新虛軸的左邊，那么系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量s 1 48例3.5 檢驗(yàn)特征

15、方程式 是否有根在右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在直線 s= -1的右邊。 解1、勞斯陣列表 s 3 2 13 s 2 10 4 s 1 12.2 s 0 42、第一列無符號(hào)改變，故沒有根在s平面右半平面。49例3.5續(xù)3、令s= z-1，代入特征方程式，得 4、新的勞斯陣列表 z 3 2 -1 z 2 4 -1 z 1 -1/2 z 0 -1 5、第一列符號(hào)改變一次，故有一個(gè)根在直線s= -1的右邊，因此穩(wěn)定裕量不到1 502. 分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響 特征方程 勞斯陣列表：s 3 1 5 s 2 6 K s 1 s 0 K 當(dāng)0K30時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定513.3 反響控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差瞬態(tài)響應(yīng)性能指

16、標(biāo) 穩(wěn)態(tài)誤差 穩(wěn)態(tài)誤差是對(duì)系統(tǒng)精度的一種衡量輸入信號(hào)不同，穩(wěn)態(tài)誤差也不同系統(tǒng)參數(shù)變化會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差 52一、穩(wěn)態(tài)誤差的概念1.H(s)=1 時(shí),單位反響系統(tǒng) e(t)=r(t)-b(t) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)：2.H(s)1 時(shí), 非單位反響系統(tǒng) E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-G(s)H(s)E(s) E(s)+G(s)H(s)E(s)=R(s) E(s)= R(s) 1+G(s)H(s) 1誤差信號(hào)與給定值間的傳遞函數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差與下述有關(guān)： 輸入信號(hào) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 系統(tǒng)參數(shù) 當(dāng)輸入信號(hào)形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù) 穩(wěn)態(tài)誤差定義： 穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)誤差。53二、

17、穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算 一般計(jì)算法 根據(jù)誤差信號(hào)e(t)與輸入信號(hào)r(t)之間的傳遞函數(shù) 終值定理54控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 當(dāng)=0時(shí)，稱系統(tǒng)為0型系統(tǒng)。當(dāng)=1，2，時(shí)，稱系統(tǒng)為1型，2型， 系統(tǒng)。誤差系數(shù)法 1.系統(tǒng)的型號(hào)系統(tǒng)有個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，型系統(tǒng)。 Gk(s)中其他零、極點(diǎn)對(duì)分類沒有影響。 增加型號(hào)數(shù)，可使系統(tǒng)精度提高，但對(duì)穩(wěn)定性不利，實(shí)際系統(tǒng)中 。 552. r(t)作用時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系1 r(t)=1時(shí)靜態(tài)位置誤差系數(shù)0型系統(tǒng)， = 0 1型或1型以上的系統(tǒng)， Kp的大小反映了系統(tǒng)在階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。562 單位斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 靜態(tài)速度誤差系數(shù) 0型系統(tǒng)， = 0 1型系

18、統(tǒng)， = 2型或高于2型系統(tǒng)， 2 r(t)=t 時(shí)Kv的大小反映了系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號(hào)的能力。57 注意： Kv 雖為速度誤差系數(shù)，但計(jì)算的是系統(tǒng)在跟蹤等速度信號(hào)時(shí)，出現(xiàn)的位置上的誤差。 如以下圖： (a) =0 (b) =1 (c) 2583 單位拋物線信號(hào)輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 時(shí)0型或1型系統(tǒng)，= 0或1 2型系統(tǒng)， =2 3型或高于3型系統(tǒng)， 3 Ka的大小反映了系統(tǒng)跟蹤等加速輸入信號(hào)的能力。59 注意： Ka 雖為加速度誤差系數(shù)，但計(jì)算的是系統(tǒng)在跟蹤等加速度信號(hào)時(shí)，出現(xiàn)的位置上的誤差。 如以下圖： (a) 2 (b) =2 (c) 360穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)系 統(tǒng)階 躍 輸 入r(t) = 1 斜 坡 輸 入 r(t) = t 拋物線輸入r(t)=t2/2 0型 1型02型00當(dāng)輸入信號(hào)是上述典型信號(hào)的組合時(shí)，v 值應(yīng)按最復(fù)雜的輸入信號(hào)來選定。 61例3.9 已知系統(tǒng)如圖，當(dāng)參考輸入r(t)= 46t3t2時(shí)，試分別求出兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差