理論力學(xué)復(fù)習(xí)課

1、公理一（二力平衡公理）公理一（二力平衡公理）作用于剛體的二力,其平衡的充分必要條件是：此二力大小相等，方向相反，作用線沿同一直線。公理二（增減平衡力系公理）公理二（增減平衡力系公理）在作用于剛體的任一力系上，增加或減去一平衡力系，原力系的效應(yīng)不變。公理三（力的平行四邊形法則）公理三（力的平行四邊形法則）作用于物體同一點(diǎn)上的二力可以合成為一個(gè)力（稱為合力）。合力作用點(diǎn)仍在該點(diǎn)，合力的大小和方向由以兩分力為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線確定。公理四（作用和反作用定律）公理四（作用和反作用定律）兩物體間的相互作用力，總是大小相等，方向相反，作用線沿同一直線。公理五（剛化公理）公理五（剛化公理）若可變形

2、體在已知力系作用下處于平衡狀態(tài)，則如將這個(gè)已變形但平衡的物體變?yōu)閯傮w，其平衡不受影響。適用于處于平衡狀態(tài)下的物體和物體系統(tǒng)都適用。PAG 2 若作用于物體的全部主動(dòng)力的合力作用線在摩擦角之內(nèi),則無(wú)論這個(gè)力怎樣大,物塊必保持靜止。 自鎖自鎖現(xiàn)象現(xiàn)象fffRAFRFRF自鎖fRAF不發(fā)生自鎖ff0 , 如在同一結(jié)點(diǎn)的所有內(nèi)力為未知的桿中，除某如在同一結(jié)點(diǎn)的所有內(nèi)力為未知的桿中，除某一桿外，其余各桿均共線，則該桿稱為此結(jié)點(diǎn)的單桿一桿外，其余各桿均共線，則該桿稱為此結(jié)點(diǎn)的單桿1NF2NF02NF02NF 結(jié)點(diǎn)平衡的特殊情況（零桿的判別） 零桿：零桿：1).1).兩根桿的結(jié)點(diǎn)兩根桿的結(jié)點(diǎn) a). 若結(jié)點(diǎn)

3、上若結(jié)點(diǎn)上無(wú)荷載無(wú)荷載，則，則二桿全為零二桿全為零。a a) )b).若若荷載沿荷載沿其中其中一桿一桿的方向，則該桿軸力為的方向，則該桿軸力為F，另一桿另一桿 為零為零 桿。桿。1NF2NFFFN102NFb b) )F在桁架中，軸力為零的桿件。在桁架中，軸力為零的桿件。單桿：?jiǎn)螚U：2). 有單桿的結(jié)點(diǎn)有單桿的結(jié)點(diǎn) a).在圖示荷載作用下單桿在圖示荷載作用下單桿3的軸力利用的軸力利用 Fy=0 可求?？汕蟆?b).在在荷載沿單桿荷載沿單桿作用下，則作用下，則單桿單桿軸力等于軸力等于F，另兩桿軸力相等。，另兩桿軸力相等。 c).單桿單桿結(jié)點(diǎn)上無(wú)荷載結(jié)點(diǎn)上無(wú)荷載作用，則作用，則單桿單桿軸力等于軸力

4、等于0。b)1NF2NF3NF21NNFFsin3FFNF a)c)F1NF2NF3NFFFN321NNFF1NF2NF3NF21NNFF03NF a)1NF2NF4NF3NF1NF2NF43NNFF34NNFF b) 3). 四桿結(jié)點(diǎn)四桿結(jié)點(diǎn) a).X結(jié)點(diǎn)，當(dāng)結(jié)點(diǎn)無(wú)荷載時(shí)，共線兩桿內(nèi)力相等且符號(hào)相同結(jié)點(diǎn)，當(dāng)結(jié)點(diǎn)無(wú)荷載時(shí)，共線兩桿內(nèi)力相等且符號(hào)相同 b).K結(jié)點(diǎn)，當(dāng)結(jié)點(diǎn)無(wú)荷載時(shí)，非共線兩桿內(nèi)力相等符號(hào)相反。結(jié)點(diǎn)，當(dāng)結(jié)點(diǎn)無(wú)荷載時(shí)，非共線兩桿內(nèi)力相等符號(hào)相反。已知點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：已知點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：求在任一瞬時(shí)該點(diǎn)的切向加速度、法向加速度及軌跡曲線的曲率半徑。求在任

5、一瞬時(shí)該點(diǎn)的切向加速度、法向加速度及軌跡曲線的曲率半徑。( )xx t( )yy t解：由已知的運(yùn)動(dòng)方程求得動(dòng)點(diǎn)在任一瞬時(shí)的速度與加速度的大小為解：由已知的運(yùn)動(dòng)方程求得動(dòng)點(diǎn)在任一瞬時(shí)的速度與加速度的大小為2222( )()()()xyaxy切向加速度的大小為：切向加速度的大小為： 22dd( )()x xy yatxy 法向加速度的大小為：法向加速度的大小為： 2222( )()nx yy xaaaxy 軌跡曲線的曲率半徑為：軌跡曲線的曲率半徑為： 32222( )()nxyax yy x 動(dòng)動(dòng) 量量 矩矩質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩：的動(dòng)量矩： 質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸Z的動(dòng)量矩：的動(dòng)量矩：()Omm

6、vrmv)()(xyOzvmmvmmOABvmmO2)(2)(BOAvmmz正負(fù)號(hào)規(guī)定與力對(duì)軸矩的規(guī)正負(fù)號(hào)規(guī)定與力對(duì)軸矩的規(guī)定相同對(duì)著軸看：定相同對(duì)著軸看： 順時(shí)針為負(fù)順時(shí)針為負(fù)逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正1 1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩與對(duì)軸的動(dòng)量矩與對(duì)軸z 的動(dòng)量矩之間的關(guān)系的動(dòng)量矩之間的關(guān)系：( ( ) ()OzzMm vMmv質(zhì)系對(duì)質(zhì)系對(duì)軸軸Z動(dòng)量矩動(dòng)量矩：iiiiiOOvmrvmmL)( zOiizzLvmmL )(動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。2 2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)系對(duì)點(diǎn)質(zhì)系對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩

7、動(dòng)量矩:ziiiizzJrmvmmL2)(1)平動(dòng)剛體平動(dòng)剛體CCCOOvmrvmmL)()(CCCiiiiivmrvrmvmr)(CzzvmmL 平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于剛體質(zhì)心的動(dòng)量平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于剛體質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)（軸）的對(duì)該點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩。動(dòng)量矩。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度與角速度的乘積。的乘積。3. 剛體動(dòng)量矩計(jì)算剛體動(dòng)量矩計(jì)算：(2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的固定軸的動(dòng)量矩，平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的固定軸的動(dòng)量矩，等于等于剛體隨同

8、質(zhì)剛體隨同質(zhì)心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)心質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。CCzzJvmmL)(3) 平面運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體（一）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理（一）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理Fdtvmd)(兩邊叉乘矢徑 , 有Frdtvmdr)(r左邊可寫(xiě)成vmdtrdvmrdtddtvmdr)()(, )( , 0FmFrvmvvmdtrdO而)()( , )(FmvmmdtdFrvmrdtdOO 質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在在質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。這

9、就是上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。理。故：將上式在通過(guò)固定點(diǎn)將上式在通過(guò)固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得)()( ),()( ),()(FmvmmdtdFmvmmdtdFmvmmdtdzzyyxx 上式稱上式稱質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理，也稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定，也稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的投影形式。即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，理的投影形式。即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一軸之矩。等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一軸之矩。稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。若)0)( 0)

10、(FmFmzO則)( vmmO常矢量)(常量vmmz 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和（外力系的主矩）。外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和（外力系的主矩）。（二）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理（二）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序，而則, 0)( ),()(iiOiiOOFmvmmL)()()(eOeiOOMFmdtLd質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理), 3 , 2 , 1( )()()()()(niFmFmvmmdtdeiOiiOiiO 對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有), 3 ,

11、2 , 1( )()()()()(niFmFmvmmdtdeiOiiOiiO 對(duì)質(zhì)點(diǎn)Mi ：)()()()()()()( ,)( ,)(ezeizzeyeiyyexeixxMFmdtdLMFmdtdLMFmdtdL將上式在通過(guò)固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得 上式稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理。即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對(duì)同一軸的主矩）。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒（1）當(dāng) 時(shí)， 常矢量。 （2）當(dāng) 時(shí)， 常量。0)(eOM0)(ezMOLzL 定理說(shuō)明內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只

12、有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。剛體剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理，有zzJL )()(ezzMJdtd)(22)( ezzezzMdtdJMJ或剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程解決兩類問(wèn)題解決兩類問(wèn)題：（1）已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。（2）已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。對(duì)于一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體特殊情況特殊情況：（1） 若 ,則恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn) 動(dòng)或保持靜止。（2） 若 常量，則 =常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。 將 與 比較，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 是剛 體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量

13、。0)()()(ezezFmM, 0)(ezM)(ezzMJFam zJ剛體剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則2iizrmJdmrJmz2 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對(duì)某軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國(guó)際單位制中單位kgm2 。定義剛體對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義為例： 勻質(zhì)細(xì)直桿長(zhǎng)為l ,質(zhì)量為m 。 求：（求：（1）對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； （2）對(duì)z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算22221 12lzlmJxdxmll2201 3lzmJxdxmll解解：（）積分法）積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用） 對(duì)

14、于均質(zhì)剛體， 僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無(wú)關(guān)。對(duì)于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。z由 所定義的長(zhǎng)度 稱為剛體對(duì) z 軸的回轉(zhuǎn)半徑。mJzz2zzmJ（2） 回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑同一個(gè)剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同的。2mdJJzCz 剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心且與該軸剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心且與該軸平行的平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積之乘積。（3）平行移軸定理）平行移軸定理（4）計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法）計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先

15、計(jì)算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 然后再加起來(lái)就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 若物體有空心部分, 要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來(lái)處理。OOCOJJJ桿222221)(2131RlmRmlm)423(213122221lRlRmlm【解解】例：鐘擺： 均質(zhì)直桿m1, l ； 均質(zhì)圓盤(pán)：m2 , R 。 求 JO 。一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理 設(shè)質(zhì)量m為的質(zhì)點(diǎn)，在主動(dòng)力 、約束反力 的作用下運(yùn)動(dòng)，其加速度為a，如圖（a）所示。FNFaNFFM(a)NFFMIF(b)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理和質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理對(duì)質(zhì)點(diǎn)M應(yīng)有 NFFma上式可改寫(xiě)為N()0FFma 由于 ，則上式記作：IFma NI0FFF這說(shuō)明，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所受的主動(dòng)力、約束反力與質(zhì)點(diǎn)的慣性力的矢量和為零。也可理解為：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所受的主動(dòng)力、約束反力與虛加的質(zhì)點(diǎn)的