高等代數(shù)總復習

1、復復習習第第四四五五六六七七九九章章矩陣復習提綱矩陣復習提綱一一.基本方法基本方法1 求方陣的冪：四種方法求方陣的冪：四種方法 的的方方法法求求1A. 2 )AE()EA(AAA E(AB11行行變變換換或或一一個個可可逆逆陣陣）:BAX. 3 求解矩陣方程求解矩陣方程 X)E()BA(BAX1行變換行變換元素法元素法有相應的方法有相應的方法解解BXA 初等變換法初等變換法子式法子式法求秩的方法求秩的方法:. 4 初等變換是工具初等變換是工具二二. 重點公式重點公式: ,AB)AB( ,AB)AB.(1-1-1-1TTT ,BAAB,A1A,AA. 21T 1nnnAA,AkkA 1m1211

2、1m21AAAAAA. 3 111-1m1m1m21AAAAAA 1-1111CBACOACBOA 1-1-111COBCA-ACOBA可逆）可逆）A(AAA,EAAAAA. 41 1n)A(r01n)A(r1An)A(r . 5*可逆可逆)B(r)A(r)BA(r )B(r),A(rmin)BA(rn)B(r)A(rlnnm OBOBA 可可得得由由)C(r)AC(rA 列滿秩時，列滿秩時，);B(r)BA(rA 行滿秩時，行滿秩時，OCOAC 可可得得由由三三.重要結論重要結論:;BAB1.A的乘法公式成立的乘法公式成立與與可換時，可換時，與與可換；可換；與與nEA可換；可換；與與1AA

3、可換；可換；與與 AA;AAA. 2T 對稱對稱;AAAT 反對稱反對稱與數(shù)量矩陣可換，與數(shù)量矩陣可換，A兩兩同同階階對對角角陣陣可可換換，可逆A. 30A n)A( r 的的行行（列列）向向量量組組無無關關A的的乘乘積積可可分分解解為為若若干干初初等等矩矩陣陣A；可得可得由由可逆時可逆時CBACAB,A )C(r)CA(r);B(r)AB(r 是初等矩陣；是初等矩陣；，則則一次行變換一次行變換PPAB,BA. 4 是初等矩陣；是初等矩陣；，則則一次列變換一次列變換QAQC,CA 陣陣仍仍是是初初等等矩矩陣陣。初初等等矩矩陣陣都都可可逆逆，且且逆逆,OOOEA. 5r 初等變換初等變換,A階梯

4、形階梯形行變換行變換 ；可得可得由由OBOAB EBA,B 使使OAX 齊次方程齊次方程只只有有零零解解的的特特征征值值都都不不為為零零A二二次次型型復復習習提提綱綱:方方法法種種方方法法化化二二次次型型為為標標準準型型的的三三. 1證證明明正正定定的的方方法法. 2第第六六章章復復習習提提綱綱:.概念概念一一線線性性空空間間的的定定義義. 1)(. 2惟惟一一性性和和不不惟惟一一性性基基、坐坐標標和和維維數(shù)數(shù)子子空空間間、生生成成子子空空間間. 3子子空空間間的的交交、和和、直直和和. 4間間同同構構映映射射與與同同構構線線性性空空5.基基、維維數(shù)數(shù)和和坐坐標標常常見見的的線線性性空空間間的

5、的自自然然結結論論：二二.無無關關組組、秩秩的的有有關關結結論論線線性性相相關關、無無關關、極極大大. 1生生成成的的子子空空間間相相同同兩兩向向量量組組等等價價 . 2的的基基的的子子空空間間的的基基可可擴擴充充為為 VV. 3：交、和的三個充要條件交、和的三個充要條件. 421VV 121VVV 221VVV 直和的三個充要條件：直和的三個充要條件：. 5 21VV 的的分分解解式式惟惟一一 維維數(shù)數(shù)的的和和和和的的維維數(shù)數(shù) 補補空空間間存存在在定定理理.6維數(shù)公式維數(shù)公式. 7)Vdim(V21 )Vdim(V2121dimVdimV ,VV. 8的的同同構構映映射射到到為為由由 相關相

6、關則則s21, , 相關相關)(,),(),(s21 )(線性無關線性無關)(線性無關線性無關的的基基的的基基的的像像是是VVVnP. 9維維線線性性空空間間上上的的任任意意數(shù)數(shù)域域nP均同構于均同構于維維線線性性空空間間全全部部同同構構上上的的數(shù)數(shù)域域nP方法：方法：三三.判判線線性性空空間間的的方方法法. 1判判子子空空間間的的方方法法. 2線性無關的方法：線性無關的方法：判判s21, ,. 3 定義法定義法).1同構法：同構法：).2在自然基下的坐標，在自然基下的坐標，求出求出s21, ,Ps21n 中中向向量量組組得得是是否否無無關關判判s21, 求導法：求導法：.3)特殊值法：特殊值

7、法：.4)求求基基的的方方法法：. 4觀察法觀察法).1:), ,(L).2s21的基的方法的基的方法求求 的的極極大大無無關關組組的的方方法法即即求求s21, , 的的基基的的方方法法求求21WW3). ),(L 4).s21 求求),(Lt21 的的基基的的方方法法A),(),(n21n21 基變換公式基變換公式. 5過過渡渡矩矩陣陣的的求求法法. 6).1求求法法的的過過渡渡矩矩陣陣到到基基由由自自然然基基A,n21n21 求求法法的的過過渡渡矩矩陣陣到到由由兩兩非非自自然然基基A,).2n21n21 坐坐標標變變換換公公式式. 7XAY-1 或或AYX第第七七章章復復習習提提綱綱:.概

8、念概念一一、性性質質線線性性變變換換的的定定義義及及運運算算. 1A. 2 線線性性變變換換的的矩矩陣陣相似矩陣相似矩陣. 3特特征征值值與與特特征征向向量量. 4間間、特特征征方方程程、特特征征子子空空特特征征矩矩陣陣、特特征征多多項項式式基基、維維數(shù)數(shù)矩矩陣陣變變換換在在標標準準正正交交基基下下的的特特別別：正正交交變變換換和和對對稱稱AImkerAAV或或. 5. 6不不變變子子空空間間. 7方法方法二二.A 是是的坐標，的坐標，是是Y. 1 X的的坐坐標標，AXY 則則方方法法求求特特征征值值與與特特征征向向量量的的. 2 抽象矩陣抽象矩陣具體數(shù)字矩陣具體數(shù)字矩陣 APPPA. 3-1

9、，使使的的方方法法，求求可可逆逆陣陣判判A判判矩矩陣陣是是對對角角陣陣的的方方法法：是是否否可可以以在在一一組組基基下下的的寫出寫出A，在在某某組組基基下下的的矩矩陣陣 A是是否否可可以以對對角角化化判判A注意注意A的的特特征征向向量量的的寫寫法法為為對對角角陣陣變變換換在在該該基基下下的的矩矩陣陣恰恰也也可可直直接接找找出出一一組組基基，AV求求. 4的基與維數(shù)的方法：的基與維數(shù)的方法：ker5.求求A:的基及維數(shù)的方法的基及維數(shù)的方法結論結論三三.征征向向量量的的結結論論有有關關的的矩矩陣陣的的特特征征值值特特與與A. 1特特征征值值特特征征向向量量的的性性質質. 2kerAdim Vdi

10、m. 3A可可逆逆變變換換單單射射是是滿滿射射. 5可對角化的充要條件：可對角化的充要條件：A. 6個個無無關關的的特特征征向向量量；有有nA;)(iinnAEr ;diminVi ;dimdimdim21nVVVs An個互不相同的特征值個互不相同的特征值有有A充分條件：充分條件：是是一一維維inWWWWV,21 A子子空空間間 AV dim4.kerA的基與的基與AV的的基基的的原原像像的的基基合合起起來來是是 V于于對對角角陣陣實實對對稱稱矩矩陣陣恒恒正正交交相相似似. 7當當形形矩矩陣陣任任一一復復矩矩陣陣都都相相似似于于若若. 8對對線線性性變變換換的的加加、數(shù)數(shù)乘乘上上全全體體線線

11、性性變變換換的的集集合合數(shù)數(shù)域域,V. 9同同構構做做成成線線性性空空間間，且且與與nnP 第第九九章章復復習習提提綱綱:.概念概念一一內積、歐氏空間定義內積、歐氏空間定義. 1長長度度、夾夾角角、正正交交. 2:A. 3內內積積關關于于基基的的度度量量矩矩陣陣標準正交基及存在性標準正交基及存在性. 4正正交交矩矩陣陣及及性性質質.5)E(標標準準正正交交基基下下是是正正定定同構同構. 6補空間補空間空間正交的概念、正交空間正交的概念、正交. 6正交變換定義正交變換定義. 7對稱變換定義對稱變換定義. 8方法方法二二.求求出出標標準準正正交交基基利利用用施施密密特特正正交交化化方方法法由由一一

12、組組基基出出發(fā)發(fā),. 1方方法法對對角角陣陣，使使求求正正交交矩矩陣陣 AUUU. 21)(標標準準型型的的方方法法正正交交變變換換法法求求二二次次型型的的求求內內積積的的方方法法：. 3YX,).1、為為在在標標準準正正交交基基下下的的坐坐標標已已知知 YX),(T 則則YX,).2、在在某某基基下下的的坐坐標標為為已已知知 AYX),(T 則則結論結論三三.正正定定矩矩陣陣取取定定一一組組基基時時，內內積積. 1關關正正交交向向量量組組一一定定線線性性無無. 2都合同都合同同一個內積的度量矩陣同一個內積的度量矩陣 2121VVVV.3正正交交，則則與與 WWV. 4，都都有有唯唯一一的的正正交交補補的的任任意意子子空空間間nRn . 5維維歐歐氏氏空空間間都都同同構構于于 正交陣正交陣標準正交基下的矩陣是標準正交基下的矩陣是