第二章第五節(jié)函數(shù)的微分PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第二章第五節(jié)函數(shù)的微分第二章第五節(jié)函數(shù)的微分一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 x , 面積為 A , 則,2xA 0 xx面積的增量為220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關(guān)于x 的線(xiàn)性主部高階無(wú)窮小0 x時(shí)為故xxA02稱(chēng)為函數(shù)在 的微分0 x當(dāng) x 在0 x取得增量x時(shí),0 x變到,0 xx邊長(zhǎng)由其第1頁(yè)/共23頁(yè)的微分微分,)(xfy 在點(diǎn) 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴(lài)于x 的常數(shù))則稱(chēng)函數(shù))(xfy 而 稱(chēng)為xA在)(xf0 x

2、點(diǎn)記作yd,df或即xAyd定理定理: 函數(shù))(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是0 x處可導(dǎo)，在點(diǎn)0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在點(diǎn)0 x可微可微,第2頁(yè)/共23頁(yè)定理定理 : 函數(shù)證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點(diǎn) 可微 ,0 x則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點(diǎn) 的可導(dǎo),0 x且)(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn) 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0第3頁(yè)/共23頁(yè)定理定理 : 函數(shù))(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條

3、件充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn) 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 線(xiàn)性主部 即xxfy)(d0在點(diǎn) 的可導(dǎo),0 x)0)(0時(shí) xf則第4頁(yè)/共23頁(yè)注注: :0)(0 xf時(shí) ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時(shí)yyd很小時(shí), 有近似公式xyyd與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)?shù)?頁(yè)/共23頁(yè) 例1 求函數(shù)yx2在x1和x3處的微分 dy(x2)|x1x2x

4、函數(shù)yx2在x3處的微分為 dy(x2)|x3x6x 例2 求函數(shù) yx3當(dāng)x2 x 002時(shí)的微分 yf(x)在點(diǎn)x0可微yAxo(x) dy= f (x0)x 解 函數(shù)yx2在x1處的微分為 解 先求函數(shù)在任意點(diǎn)x 的微分 dy(x3)x3x2x 再求函數(shù)當(dāng)x2 Dx002時(shí)的微分 dy|x=2, x=0.02=3220.02=0.24=3x2| x=2, x=0.02第6頁(yè)/共23頁(yè) 當(dāng)|x|很小時(shí) |ydy|比|x|小得多 因此 在點(diǎn)M的鄰近 我們可以用切線(xiàn)段來(lái)近似代替曲線(xiàn)段 y是曲線(xiàn)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量; dy是過(guò)點(diǎn)(x0 f(x0)的切線(xiàn)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量. 當(dāng)x從x0變到x0+x時(shí)

5、二、微分的幾何意義則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy導(dǎo)數(shù)也叫作微商自變量的微分自變量的微分,為稱(chēng) x記作xdxyxd記第7頁(yè)/共23頁(yè)d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx (xm)m xm1 (sin x)cos x (cos x)sin x(tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (

6、csc x)csc x cot x (a x)ax ln a (e x)ex微分公式: 導(dǎo)數(shù)公式: 1.基本初等函數(shù)的微分公式三、微分的基本公式和運(yùn)算法則第8頁(yè)/共23頁(yè)axxaln1)(logxx1)(ln211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cotarc(xxdxaxxdaln1)(logdxxxd1)(lndxxxd211)(arcsindxxxd211)(arccosdxxxd211)(arctandxxxd211)cotarc(微分公式: 導(dǎo)數(shù)公式: 第9頁(yè)/共23頁(yè)2、 微分的四則運(yùn)算法則微分的四則運(yùn)算法則設(shè) u(x) , v(x)

7、均可微 , 則)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不變微分形式不變3. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv第10頁(yè)/共23頁(yè) 在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí) 可以不寫(xiě)出中間變量 例3 ysin(2x1) 求dy 2cos(2x1)dx cos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sin u)cos udu 若yf(u) uj(x) 則dyf (u)du 解 把2x1看成中間變量u 則 例4 例例

8、 4 )1ln(2xey 求 dy )1 (11)1ln(222xxxedeeddyxdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212 解 )1 (11)1ln(222xxxedeeddy xdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212xdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212 第11頁(yè)/共23頁(yè)例例5. 設(shè),0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyx

9、sin)sin(例例6. 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1說(shuō)明說(shuō)明: 上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容.CC注意: 數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性.第12頁(yè)/共23頁(yè)四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1.函數(shù)的近似計(jì)算 )()(0 xoxxfy當(dāng)x很小時(shí),)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:第13頁(yè)/共23頁(yè)特別當(dāng)xx,00很小時(shí),xffxf)0()0()

10、(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x證明證明:令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小時(shí)當(dāng) xxx1)1 (第14頁(yè)/共23頁(yè)180dx29sin的近似值 .解解: 設(shè),sin)(xxf取300 x,62929180 x則2123)0175. 0(485. 06sin6cos)180(例例7. 求18029sin29sin5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3例例8. 計(jì)算xx1)1 (第15頁(yè)/共23頁(yè)例例9. 有

11、一批半徑為1cm 的球 , 為了提高球面的光潔度,解解: 已知球體體積為334RV鍍銅體積為 V 在01. 0, 1RR時(shí)體積的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用銅約為16. 113. 09 . 8( g )用銅多少克 . )cmg9 . 8:(3銅的密度估計(jì)一下, 每只球需要鍍上一層銅 ,厚度定為 0.01cm , 第16頁(yè)/共23頁(yè)2.誤差估計(jì) 某量的精確值為 A ,其近似值為 a ,aA稱(chēng)為a 的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差aaA稱(chēng)為a 的相對(duì)誤差相對(duì)誤差若AaAA稱(chēng)為測(cè)量 A 的絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限aA稱(chēng)為測(cè)量 A 的相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限第1

12、7頁(yè)/共23頁(yè)誤差傳遞公式誤差傳遞公式 :已知測(cè)量誤差限為,x按公式)(xfy 計(jì)算 y 值時(shí)的誤差yydxxf)(xxf)(故 y 的絕對(duì)誤差限約為xyxf)(相對(duì)誤差限約為xyxfxfy)()(若直接測(cè)量某量得 x ,第18頁(yè)/共23頁(yè)例例10. 設(shè)測(cè)得圓鋼截面的直徑 mm,0 .60D測(cè)量D 的 絕對(duì)誤差限,mm05. 0D欲利用公式24DA圓鋼截面積 ,解解:計(jì)算 A 的絕對(duì)誤差限約為DAADD205. 00 .602715. 4 A 的相對(duì)誤差限約為242DDADADD20 .6005. 02%17. 0試估計(jì)面積的誤差 . 計(jì)算(mm)第19頁(yè)/共23頁(yè)練習(xí)練習(xí)1.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21dtan2.dsinxxx3sec3. d( )sin2 dxxCx2cos21第20頁(yè)/共23