自動控制理論第十二版

1、CHAPTER 8FREQUENCY RESPONSE METHODSCONTENTS8.1 Introduction8.2 Frequency Response Plots8.3 Frequency Response Measurements8.4 Performance Specifications in the Frequency Domain8.5 Log Magnitude and Phase DiagramsCONTENTS8.6 Design Examples8.7 Frequency Response Methods Using Control Design Software8

2、.8 Sequential Design Example: Disk Drive Read System8.9 Summary8.1 IntroductionThe frequency response of a system is defined as the steady-state response of the system to a sinusoidal input signal.The sinusoid is a unique input signal, and the resulting output signal for a linear system, as well as

3、signals throughout the system, is sinusoidal in the steady state; it differs from the input waveform only in amplitude and phase angle.8.1 Introduction8.1 Introduction 對于一般的線性定常系統，系統的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統的傳遞函數為G(s)。).()()()()()(21npspspssNsRsCsG式中， 為極點。njpj,.,2 , 1,若：)()(,sin)(22jsjsRsRsRtRtrmmm則則：js

4、kjskpskpskpskjsjsRpspspssNpspspssRsNsCccnnmnn2122112121.)().()()().()()()()(8.1 Introduction拉氏反變換為：tjctjctpntptpekekekekektcn2121.)(21若系統穩(wěn)定，則極點都在s左半平面。當 ，即穩(wěn)態(tài)時：0,.,0, 021tptptpneeettjctjcsekektc21)(式中， 分別為：21,cckkjjGRjsjsjsRsGjssCkjjGRjsjsjsRsGjssCkmjsmjscmjsmjsc2)()()()(| )(2)()()()(| )(218.1 Introd

5、uction而)()()()()(| )(| )()()(| )(| )()(jjGjjsjjGjjseAejGsGjGeAejGsGjG)(2)(1)(2,)(2jmcjmceAjRkeAjRk)(sin()(sin()(2)()()()(21tCtRAjeeRAekektcmmtjtjmtjctjcs式中：Rm 、Cm分別為輸入輸出信號的幅值。上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統，加入一個正弦信號，它的穩(wěn)態(tài)響應是一個與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍，相位移動了 。 和 都是頻率的函數。| )(|)(jGA)()(jG)(A)(8.1 Intr

6、oductionLaplace transform pair:and8.1 IntroductionFourier transform pair:and8.2 Frequency Response PlotsIm (G) = X ()Re (G) = R ()0The polar plane.8.2 Frequency Response Plots db110 10010000204060 110 10010000/2-/2-Bode圖的坐標系圖的坐標系8.2 Frequency Response Plots采用對數坐標圖的優(yōu)點是采用對數坐標圖的優(yōu)點是 : a).可以將幅值的乘除化為加減可以將

7、幅值的乘除化為加減; b).可以擴展低頻段可以擴展低頻段; c).可以采用簡便方法繪制近似的對數幅頻曲線可以采用簡便方法繪制近似的對數幅頻曲線 d).將實驗獲得的頻率特性數據畫成頻率特性曲線將實驗獲得的頻率特性數據畫成頻率特性曲線 , 能方便地確定頻率特性的函數表達式能方便地確定頻率特性的函數表達式 .8.2 Frequency Response Plots5 . 0)1/(1)(TTjjG8.2 Frequency Response PlotsA transfer function is called a minimum phase transfer function if all its

8、zeros lie in the left-hand s-plane.It is called a nonminimum phase transfer function if it has zeros in the right-hand s-plane.8.2 Frequency Response Plots比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié):G(s)=K (K0)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié):G(s)=1/s微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié):G(s)=s慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié):G(s)=1/(Ts+1)一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié):G(s)=Ts+1振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)最小相位環(huán)節(jié) 非最小相位環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié):G(s)=K

9、 (K0)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié):G(s)=1/(1-Ts)一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié):G(s)=1-Ts) 1/2/(122nnss1/2/22nnss1/2/22nnss) 1/2/(122nnss振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)8.2 Frequency Response Plots幅相與對數曲線如圖所示幅相與對數曲線如圖所示 .比例環(huán)節(jié)輸入輸出關系為比例環(huán)節(jié)輸入輸出關系為)()(tKxty頻率特性是頻率特性是KjG)(對數幅頻特性為對數幅頻特性為KLlg20)(對數相頻特性為對數相頻特性為0)(db0020-20111010100100-/2 對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線20lgk

10、jK 比例環(huán)節(jié)的幅相曲線比例環(huán)節(jié)的幅相曲線08.2 Frequency Response Plots積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)輸入輸出關系為輸入輸出關系為 :)(1)(txpty式中式中.dtdp 傳遞函數和頻率特性分別為傳遞函數和頻率特性分別為 :211)(,1)(jejjGssG對數幅頻特性是對數幅頻特性是 :lg20)(L可見是條直線可見是條直線 , 斜率為斜率為20lg)(ddL即橫坐標即橫坐標 lg 每增加單位長度每增加單位長度( 每增加每增加十倍十倍)時時 , L( ) 減少減少 20dB , 故斜率是故斜率是 -20dB/十倍頻程十倍頻程 , 記作記作 -20dB/dec . 直線直線和零

11、分貝線交于和零分貝線交于 為為 1 的地方的地方 .相頻特性是相頻特性是 ,如圖所示如圖所示 .90)(8.2 Frequency Response Plots慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)(G(s)=1/(Ts+1)( )(1 lg2011lg20)(2dBTTjL)()(Tarctg1()1G jwj T一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)(G(s)=Ts+18.2 Frequency Response Plots8.2 Frequency Response Plots 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數是的傳遞函數是1)(2)(1)(2nnsssG振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為jsdndnnjsnnnjsjss

12、jG)(2)(2222根據方程根據方程, 幅頻特性和相頻特性的解析式分別為幅頻特性和相頻特性的解析式分別為2222224)1 (1)(nnjG式中式中 為阻尼振蕩頻率為阻尼振蕩頻率21nd8.2 Frequency Response Plots時時時時1,12tan1,12tan)(222211nnnnnnjG因為因為1800)(01)0(jGjG故振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線從實軸故振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線從實軸上上( 1,j0 )開始開始 , 最后在第三象限最后在第三象限和負實軸相切并交于原點和負實軸相切并交于原點.8.2 Frequency Response Plots當當 時時n0)(L因此低頻漸近線

13、是零分貝線因此低頻漸近線是零分貝線 . 而當而當 時時nnLlg40)(這是一條斜率為這是一條斜率為 -40dB/dec 的直線的直線 , 和零分貝線交于和零分貝線交于 的地的地方方 . 故振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為故振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為 n .n 振蕩環(huán)節(jié)的對數幅頻特性為振蕩環(huán)節(jié)的對數幅頻特性為2222)2()1 (lg20)(nnL8.2 Frequency Response Plots8.2 Frequency Response Plots典型環(huán)節(jié)幅相曲線8.2 Frequency Response Plots典型環(huán)節(jié)對數曲線8.2 Frequency Response Plots系統幅相曲線

14、繪制步驟：系統幅相曲線繪制步驟：1、分別求出、分別求出w=0、 時的時的G(jw)2、畫出幅相曲線中間幾點、畫出幅相曲線中間幾點3、確定、確定w=0 時時G(jw)的的變化范圍變化范圍8.2 Frequency Response Plots8.2 Frequency Response Plots8.2 Frequency Response Plots8.2 Frequency Response Plots8.2 Frequency Response Plots8.2 Frequency Response Plots系統對數頻率特性(Bode圖)的繪制系統傳函由多個典型環(huán)節(jié)相串聯：系統傳函由多個

15、典型環(huán)節(jié)相串聯：12( )( )( )( )( )rG s H sGs GsGs那么，系統對數幅頻和對數相頻特性曲線為：那么，系統對數幅頻和對數相頻特性曲線為：111()2 0 lg ()2 0 lg()()()rriiiirkkLwAwAwww112()1()()()()()() rkkrrjwiiGjw HjwGjw GjwGjwAwe8.2 Frequency Response Plots 系統開環(huán)對數幅值等于各環(huán)節(jié)的對數幅值之和；相位等于系統開環(huán)對數幅值等于各環(huán)節(jié)的對數幅值之和；相位等于各環(huán)節(jié)的相位之和。各環(huán)節(jié)的相位之和。 因此，開環(huán)對數幅值曲線及相位曲線分別由各串聯環(huán)節(jié)對因此，開環(huán)對

16、數幅值曲線及相位曲線分別由各串聯環(huán)節(jié)對數幅值曲線和相位曲線疊加而成。數幅值曲線和相位曲線疊加而成。 典型環(huán)節(jié)的對數漸近幅頻對數曲線為不同斜率的直線或折典型環(huán)節(jié)的對數漸近幅頻對數曲線為不同斜率的直線或折線，故疊加后的開環(huán)漸近幅頻特性曲線仍為不同斜率的線段組線，故疊加后的開環(huán)漸近幅頻特性曲線仍為不同斜率的線段組成的折線。成的折線。 因此，需要首先確定低頻起始段的斜率和位置，然后確定因此，需要首先確定低頻起始段的斜率和位置，然后確定線段轉折頻率（交接頻率）以及轉折后線段斜率的變化，就可線段轉折頻率（交接頻率）以及轉折后線段斜率的變化，就可繪制出由低頻到高頻的開環(huán)對數漸近幅頻特性曲線。繪制出由低頻到高

17、頻的開環(huán)對數漸近幅頻特性曲線。8.2 Frequency Response Plots繪制步驟概括如下繪制步驟概括如下: (1) (1) 將系統頻率特性改寫為各個典型環(huán)節(jié)的乘積形式將系統頻率特性改寫為各個典型環(huán)節(jié)的乘積形式, ,確定各環(huán)確定各環(huán)節(jié)的轉折頻率節(jié)的轉折頻率, ,并將轉折頻率由低到高依次標注到半對數坐標紙上并將轉折頻率由低到高依次標注到半對數坐標紙上； (2) (2) 繪制繪制L(L( ) )的低頻段漸近線；的低頻段漸近線； (3) (3) 按轉折頻率由低頻到高頻的順序按轉折頻率由低頻到高頻的順序, ,在低頻漸近線的基礎上在低頻漸近線的基礎上, ,每每遇到一個轉角頻率遇到一個轉角頻率

18、, ,根據環(huán)節(jié)的性質改變漸近線斜率根據環(huán)節(jié)的性質改變漸近線斜率, ,繪制漸近線繪制漸近線, ,直到繪出轉折頻率最高的環(huán)節(jié)為止。直到繪出轉折頻率最高的環(huán)節(jié)為止。 (4)(4)如需要精確對數幅頻特性，則可在各轉折頻率處加以修正。如需要精確對數幅頻特性，則可在各轉折頻率處加以修正。 (5)(5)相頻特性曲線由各環(huán)節(jié)的相頻特性相加獲得。相頻特性曲線由各環(huán)節(jié)的相頻特性相加獲得。 8.2 Frequency Response Plots8.2 Frequency Response Plots8.2 Frequency Response Plots8.2 Frequency Response PlotsAs

19、ymptotic Curves for Basic Terms of a Transfer Function.8.2 Frequency Response Plots8.2 Frequency Response PlotsPole-zero patterns giving the same amplitude response and different phase characteristics.8.2 Frequency Response PlotsThe phase characteristics for the minimum phase and nonminimum phase tr

20、ansfer function.8.2 Frequency Response PlotsThe all-pass network: pole-zero pattern8.2 Frequency Response PlotsThe all-pass network: frequency response.8.2 Frequency Response PlotsThe all-pass network: a lattice network.8.3 Frequency Response MeasurementsA Bode diagram for a system with an unidentif

21、ied transfer function.8.3 Frequency Response Measurements傳遞函數的確定傳遞函數的確定 ：（1）對實驗測得的系統對數幅頻曲線進行分段處理。即用斜對實驗測得的系統對數幅頻曲線進行分段處理。即用斜率為率為 20dB/dec整數倍的直線整數倍的直線段來近似測量到的曲線。段來近似測量到的曲線。（2）當某）當某 處系統對數幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化時，此處系統對數幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化時，此 即為某個環(huán)節(jié)的轉折頻率。即為某個環(huán)節(jié)的轉折頻率。當斜率變化當斜率變化+20dB/dec時時,可知可知 處有一個一階微分環(huán)節(jié)處有一個一階微分環(huán)節(jié)Ts+1

22、;若斜率變化若斜率變化 -20dB/dec時時,則則 處處有一個慣性環(huán)節(jié)有一個慣性環(huán)節(jié)1/(Ts+1);若斜率變化若斜率變化-40dB/dec時，則時，則 處有處有一個二階振蕩環(huán)節(jié)一個二階振蕩環(huán)節(jié)1/(Ts2+2ns+1) 。 8.3 Frequency Response Measurements（3）系統最低頻率段的斜率由開環(huán)積分環(huán)節(jié)個數決定。）系統最低頻率段的斜率由開環(huán)積分環(huán)節(jié)個數決定。低頻段低頻段斜率為斜率為-20 dB/dec,則系統開環(huán)傳遞有則系統開環(huán)傳遞有 個積分環(huán)節(jié)，系統為個積分環(huán)節(jié)，系統為 型型系統。系統。（4）開環(huán)增益）開環(huán)增益K的確定：的確定： 由由 =1作作0dB線的垂線

23、，此線與低線的垂線，此線與低頻段頻段(或其延長線或其延長線)的交點的分貝值的交點的分貝值=20lgK(dB),由此求由此求K值。值。 當低頻段斜率為當低頻段斜率為-20dB/dec時時,此線此線(或其延長線或其延長線)與與0dB線交點處線交點處的的 值等于開環(huán)增益值等于開環(huán)增益K值。值。 當低頻段斜率為當低頻段斜率為-40dB/dec時時,此線此線(或其延長或其延長)與與0dB線交點處的線交點處的 值即等于值即等于K1/2。 其他幾種常見其他幾種常見情況如下表所示。情況如下表所示。8.3 Frequency Response Measurements幾種常見系統Bode 圖的K值 ) 1()(

24、1wssKsG) 1)(1()(21wswssKsG) 1() 1()(12wsswsKsG12wwKc213wwwKc12wwwKc8.3 Frequency Response Measurements例例 試確定如圖所示實驗頻率響應曲線的系統傳遞函數。試確定如圖所示實驗頻率響應曲線的系統傳遞函數。 8.3 Frequency Response Measurements8.3 Frequency Response Measurements8.4 Performance Specifications in the Frequency DomainAt the resonant frequenc

25、y r a maximum value Mp of the frequency response is attained.8.4 Performance Specifications in the Frequency DomainA second-order closed-loop system.8.4 Performance Specifications in the Frequency DomainMagnitude characteristic of the second-order system.8.4 Performance Specifications in the Frequen

26、cy DomainThe bandwidth is the frequency B at which the frequency response has declined 3 dB from its low-frequency value.8.5 Log Magnitude and Phase DiagramsLog-magnitude-phase curve for G1 (j)8.5 Log Magnitude and Phase DiagramsLog-magnitude-phase curve for G2 (j)8.6 Design ExamplesExample:Engravin

27、g Machine Control System8.6 Design ExamplesExample:Engraving Machine Control SystemBlock diagram model.8.6 Design ExamplesExample:Engraving Machine Control SystemFrequency Response for G (j)8.6 Design ExamplesExample:Engraving Machine Control SystemBode diagram for G (j)8.6 Design ExamplesExample:En

28、graving Machine Control SystemBode diagram for close-loop system.8.6 Design ExamplesExample:Control of one leg of a six-legged robotAn artists conception of the six-legged Ambler.8.6 Design ExamplesExample: Control of one leg of a six-legged robotElements of the control system design process emphasized in this six-legged robot example.8.6 Design ExamplesExample:Control of one leg of a six-legged robotControl system for one leg.8.7 Frequency Response Methods Using Control Design SoftwareThe Bode plot associated with equation:8.7 Frequency Response Methods Using