確定性與隨機(jī)性混沌

1、 本文旨在本文旨在: 從實(shí)例出發(fā)，對(duì)非線性耗散系統(tǒng)從實(shí)例出發(fā)，對(duì)非線性耗散系統(tǒng)中的混沌及其控制與同步研究中遇到的有中的混沌及其控制與同步研究中遇到的有關(guān)基本概念與問(wèn)題關(guān)基本概念與問(wèn)題作一些哲理性解釋作一些哲理性解釋。包。包括：括： 一、確定性混沌的基本概念一、確定性混沌的基本概念 二、隨機(jī)混沌的約定含義二、隨機(jī)混沌的約定含義 三、對(duì)混沌控制與同步的幾點(diǎn)看法三、對(duì)混沌控制與同步的幾點(diǎn)看法混沌是什么混沌是什么？ 混沌代表一類混沌代表一類特定形式的確定性穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)特定形式的確定性穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng), 它有別于經(jīng)典的周期運(yùn)動(dòng)和概周期運(yùn)動(dòng)，它有別于經(jīng)典的周期運(yùn)動(dòng)和概周期運(yùn)動(dòng)，也不涉及其它非穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)。混沌是一群樣也不

2、涉及其它非穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)?；煦缡且蝗簶颖具\(yùn)動(dòng)的本運(yùn)動(dòng)的集合集合，由于兩個(gè)相鄰樣本軌道之，由于兩個(gè)相鄰樣本軌道之間存在間存在互斥性互斥性，故從不同的初始條件出發(fā)，故從不同的初始條件出發(fā)的穩(wěn)態(tài)軌道都不相同。但又共享一個(gè)相空的穩(wěn)態(tài)軌道都不相同。但又共享一個(gè)相空間間Poincare截面上的截面上的混沌吸引子混沌吸引子。各個(gè)穩(wěn)。各個(gè)穩(wěn)態(tài)樣本運(yùn)動(dòng)的映射點(diǎn)都不超越、又遍歷該態(tài)樣本運(yùn)動(dòng)的映射點(diǎn)都不超越、又遍歷該混沌吸引子。這就是混沌運(yùn)動(dòng)的混沌吸引子。這就是混沌運(yùn)動(dòng)的遍歷遍歷性。性。 混沌的發(fā)現(xiàn)清楚地告訴人們混沌的發(fā)現(xiàn)清楚地告訴人們, 即使確定的即使確定的 非線性系統(tǒng)在確定的激勵(lì)和確定的初始條非線性系統(tǒng)在確定的激勵(lì)和

3、確定的初始條件下，也可能產(chǎn)生不完全確定的結(jié)果。這件下，也可能產(chǎn)生不完全確定的結(jié)果。這是一種是一種觀念上的突破觀念上的突破。說(shuō)明確定性系統(tǒng)還說(shuō)明確定性系統(tǒng)還含有內(nèi)在的隨機(jī)性?；煦邕\(yùn)動(dòng)對(duì)初始條件含有內(nèi)在的隨機(jī)性?；煦邕\(yùn)動(dòng)對(duì)初始條件極為敏感的依賴性、混沌吸引子及其吸引極為敏感的依賴性、混沌吸引子及其吸引域的分形特征等等，都意味著隨機(jī)性。事域的分形特征等等，都意味著隨機(jī)性。事實(shí)上，實(shí)上，混沌反映了確定性非線性系統(tǒng)內(nèi)在混沌反映了確定性非線性系統(tǒng)內(nèi)在的隨機(jī)性。的隨機(jī)性。Intrinsic Stoshasticity inForced Duffing System :lltAxktxxxkx:Alarger

4、 ofyProbabilitsin:ionapproximatorderFirsteDissipativ:0)(sin03 穩(wěn)態(tài)幅頻曲線大/小A吸引域647. 0,10. 1l大/小A吸引域463. 0,12. 1l大/小A吸引域291. 0,14. 1l大/小A吸引域0957. 0,16. 1l大A發(fā)生概率吸引域邊界混沌運(yùn)動(dòng)的主要特性混沌運(yùn)動(dòng)的主要特性1 有界性：有界性： 相空間的混沌吸引子相空間的混沌吸引子2 集合性、隨機(jī)性：集合性、隨機(jī)性： 從不同的初始條件得從不同的初始條件得 到不同的到不同的表觀無(wú)序表觀無(wú)序樣本、組成集合樣本、組成集合3 遍歷性：遍歷性： 每個(gè)樣本都遍歷一個(gè)共同的吸每

5、個(gè)樣本都遍歷一個(gè)共同的吸引子引子4 對(duì)初始條件的敏感性：對(duì)初始條件的敏感性： 內(nèi)在隨機(jī)性的一內(nèi)在隨機(jī)性的一個(gè)突出表現(xiàn)個(gè)突出表現(xiàn), 導(dǎo)致正的導(dǎo)致正的Lyapunov指數(shù)指數(shù)5 分形性：分形性： 具有無(wú)限層次的具有無(wú)限層次的自相似自相似結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu) 6 有序性：有序性： 一種無(wú)周期的有序態(tài)，一種無(wú)周期的有序態(tài)， 短、短、 中期樣本軌道的可預(yù)測(cè)性中期樣本軌道的可預(yù)測(cè)性, 歷史與未來(lái)演化歷史與未來(lái)演化中的有序規(guī)律，包括通向混沌的道路與激中的有序規(guī)律，包括通向混沌的道路與激變變 7 普適性：普適性： 如存在不依賴于具體模型及其如存在不依賴于具體模型及其參數(shù)參數(shù) 的一些特征量的一些特征量Feigenbaum常

6、數(shù)常數(shù) 8 依存性：依存性： 對(duì)模型及其外部環(huán)境的依賴性，對(duì)模型及其外部環(huán)境的依賴性，包括相空間格局及其演化包括相空間格局及其演化 9 可控性：可控性： 它和特征它和特征6和和8有聯(lián)系，如相有聯(lián)系，如相空間格局的可變性、混沌樣本的可跟蹤性空間格局的可變性、混沌樣本的可跟蹤性低維混沌系統(tǒng)的相空間格局 混沌系統(tǒng)混沌系統(tǒng)指的是處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下指的是處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的非線性動(dòng)力系統(tǒng)。的非線性動(dòng)力系統(tǒng)。 相空間格局相空間格局(overall constitution in phase space)是指是指: 系統(tǒng)參數(shù)凍結(jié)情系統(tǒng)參數(shù)凍結(jié)情形下形下, 各個(gè)吸引子及其吸引域、鞍及其各個(gè)吸引子及其吸引域、鞍

7、及其穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形、分形邊界穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形、分形邊界(或隔離或隔離帶帶)等在相平面上的布局。等在相平面上的布局。 值得注意值得注意,混沌相空間格局中提到的混沌相空間格局中提到的那些那些鞍鞍型不穩(wěn)定吸引子等等都是在系統(tǒng)型不穩(wěn)定吸引子等等都是在系統(tǒng)經(jīng)歷無(wú)數(shù)次分岔、或混沌激變時(shí)遺留下經(jīng)歷無(wú)數(shù)次分岔、或混沌激變時(shí)遺留下來(lái)的來(lái)的, 他們?cè)诨煦绲男纬苫蜣D(zhuǎn)化過(guò)程中都他們?cè)诨煦绲男纬苫蜣D(zhuǎn)化過(guò)程中都起過(guò)重要作用起過(guò)重要作用，正是這些不穩(wěn)定因素協(xié)，正是這些不穩(wěn)定因素協(xié)同促成了混沌的產(chǎn)生或激變。反過(guò)來(lái)說(shuō)，同促成了混沌的產(chǎn)生或激變。反過(guò)來(lái)說(shuō)，它們又構(gòu)成對(duì)混沌的它們又構(gòu)成對(duì)混沌的一種潛在威脅一種潛在威脅。只。只要其

8、中任何一種不穩(wěn)定吸引子在內(nèi)部參要其中任何一種不穩(wěn)定吸引子在內(nèi)部參數(shù)的攝動(dòng)或外部激勵(lì)或控制的影響下，數(shù)的攝動(dòng)或外部激勵(lì)或控制的影響下，一旦改變了穩(wěn)定性，就可能導(dǎo)致相關(guān)混一旦改變了穩(wěn)定性，就可能導(dǎo)致相關(guān)混沌吸引子的崩潰。沌吸引子的崩潰。Fractal Chaotic AttractorsSymmetry Breaking Bifurcation, Top Lyapunov exponent of Duffing systemtFxaxxcxcos)1(2 The periodic phase trajectory for = 0.935 The periodic phase trajectorie

9、s for = 0.945 Flow pattern of Poincar mapping points around the saddle and nodes Zoom of that middle part with reduced number of initial conditionsFlow lines with few number of initial condition points Periodic saddle point and its stable and unstable manifolds Bifurcation and Crisis inParametricall

10、y Driven Duffing System 2 . 0sin13112221txxxxxxxTop Lyapunov ExponentChaotic Attractors-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123隨機(jī)混沌的約定含義隨機(jī)混沌的約定含義 顧名思義，隨機(jī)混沌理應(yīng)兼具隨機(jī)顧名思義，隨機(jī)混沌理應(yīng)兼具隨機(jī)性與混沌性，它屬于性與混沌性，它屬于隨機(jī)運(yùn)動(dòng)與混隨機(jī)運(yùn)動(dòng)與混沌運(yùn)動(dòng)的交集。沌運(yùn)動(dòng)的交集。 實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上, 隨機(jī)混沌是非線性系統(tǒng)的、隨機(jī)混沌是非線性系統(tǒng)的、同時(shí)反映了外在隨機(jī)性與內(nèi)在隨機(jī)同時(shí)反映了外在隨機(jī)性與內(nèi)在隨機(jī)性影響性影響的一種響應(yīng)。這里只給出

11、它的一種響應(yīng)。這里只給出它的一個(gè)約定性定義。的一個(gè)約定性定義。 在確定性混沌研究中，通常限于考察在確定性混沌研究中，通常限于考察系統(tǒng)在系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的響應(yīng)演變，并著下的響應(yīng)演變，并著眼于考察系統(tǒng)響應(yīng)眼于考察系統(tǒng)響應(yīng)從外觀有序到外觀從外觀有序到外觀無(wú)序無(wú)序的突變的突變。 現(xiàn)現(xiàn)約定約定從探索確定性系統(tǒng)各種外在隨從探索確定性系統(tǒng)各種外在隨機(jī)因素如何影響原系統(tǒng)內(nèi)在隨機(jī)因素機(jī)因素如何影響原系統(tǒng)內(nèi)在隨機(jī)因素的發(fā)揮這一角度來(lái)考察隨機(jī)混沌。這的發(fā)揮這一角度來(lái)考察隨機(jī)混沌。這時(shí)，時(shí)，確定性因素仍占主導(dǎo)作用，而隨確定性因素仍占主導(dǎo)作用，而隨機(jī)因素只處于次要地位。機(jī)因素只處于次要地位。也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，

12、相對(duì)于確定的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，隨機(jī)激勵(lì)或相對(duì)于確定的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，隨機(jī)激勵(lì)或參數(shù)隨機(jī)攝動(dòng)將約定為小量。參數(shù)隨機(jī)攝動(dòng)將約定為小量。 兩類隨機(jī)混沌問(wèn)題 有有兩類隨機(jī)因素兩類隨機(jī)因素需要重點(diǎn)考慮，即系需要重點(diǎn)考慮，即系統(tǒng)物理統(tǒng)物理參數(shù)的隨機(jī)攝動(dòng)參數(shù)的隨機(jī)攝動(dòng)以及外部以及外部激勵(lì)激勵(lì)的隨機(jī)變化。的隨機(jī)變化。由此構(gòu)成兩類隨機(jī)混沌由此構(gòu)成兩類隨機(jī)混沌問(wèn)題。問(wèn)題。 隨機(jī)參數(shù)非線性系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的隨機(jī)參數(shù)非線性系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的隨機(jī)混沌響應(yīng)問(wèn)題隨機(jī)混沌響應(yīng)問(wèn)題 確定性非線性系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧和隨機(jī)共同確定性非線性系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧和隨機(jī)共同激勵(lì)下的激勵(lì)下的隨機(jī)混沌響應(yīng)問(wèn)題隨機(jī)混沌響應(yīng)問(wèn)題Forced Stochastic Duffin

13、g System uofPDFlikeArchuasuasuup1011220,cos3tFxxx uTop LE隨機(jī)混沌吸引子Triple-well potential Duffing system under harmonic and bounded noise excitationsprocessWienertBtBtdtdyxxxyyx: )()()(coscos221153Top LEStochastic Chaos Attractors混沌控制 所謂混沌控制所謂混沌控制, 實(shí)質(zhì)上就是要實(shí)質(zhì)上就是要改造改造其面其面對(duì)的對(duì)的相空間格局相空間格局; 從非混沌的改變?yōu)榛鞆姆腔煦绲母淖優(yōu)榛煦?/p>

14、的沌的; 或從混沌的改變?yōu)榉腔煦绲?、或或從混沌的改變?yōu)榉腔煦绲?、或改變到更加混沌的。至于怎樣才能改改變到更加混沌的。至于怎樣才能改造成所期望的新格局呢？還得作具體造成所期望的新格局呢？還得作具體分析，要看老格局有哪些薄弱環(huán)節(jié)，分析，要看老格局有哪些薄弱環(huán)節(jié)，關(guān)于促成新格局又有哪些有利條件。關(guān)于促成新格局又有哪些有利條件。采取的策略和辦法則可以多種多樣。采取的策略和辦法則可以多種多樣。 相空間格局是在相空間格局是在凍結(jié)凍結(jié)參數(shù)條件下參數(shù)條件下形成的定局。形成的定局。它依賴于各個(gè)分岔參數(shù)它依賴于各個(gè)分岔參數(shù)的取值的取值,有時(shí)還很敏感。有時(shí)還很敏感。 因此因此,適當(dāng)調(diào)適當(dāng)調(diào)節(jié)某個(gè)敏感參數(shù)就可能激活沉

15、睡的不節(jié)某個(gè)敏感參數(shù)就可能激活沉睡的不穩(wěn)定周期吸引子穩(wěn)定周期吸引子, ,從而顛覆相關(guān)的混沌從而顛覆相關(guān)的混沌吸引子。吸引子。Ott, Grebogi,與與Yorke 提出的提出的混沌控制微調(diào)參數(shù)法混沌控制微調(diào)參數(shù)法12 即基于此原理。即基于此原理。 實(shí)際上存在多種多樣的混沌控制方法，實(shí)際上存在多種多樣的混沌控制方法，除此以外，還可以增加外激或參激除此以外，還可以增加外激或參激(不不論簡(jiǎn)諧的還是隨機(jī)的論簡(jiǎn)諧的還是隨機(jī)的 ), 也可以增加狀也可以增加狀態(tài)反饋態(tài)反饋(不論實(shí)時(shí)的、還是延時(shí)的、甚不論實(shí)時(shí)的、還是延時(shí)的、甚至經(jīng)過(guò)濾波的至經(jīng)過(guò)濾波的)。 Fradkov與與 Evans 在其關(guān)于混沌控制的綜

16、在其關(guān)于混沌控制的綜述述14中著重介紹了三類混沌控制方法中著重介紹了三類混沌控制方法: OGY方法、方法、Pyragas基于延時(shí)反饋的控制基于延時(shí)反饋的控制方法方法15、以及非反饋控制方法。、以及非反饋控制方法。OGY方方法與法與Pyragas方法在思想上是一致的，都方法在思想上是一致的，都是是通過(guò)鎮(zhèn)定某個(gè)潛在的不穩(wěn)定周期解通過(guò)鎮(zhèn)定某個(gè)潛在的不穩(wěn)定周期解UPOUPO來(lái)顛覆混沌解，來(lái)顛覆混沌解，也就是實(shí)施一次也就是實(shí)施一次策反策反。 設(shè)選定的設(shè)選定的UPO周期為周期為T(mén)，它在混沌運(yùn)動(dòng)頻譜，它在混沌運(yùn)動(dòng)頻譜上留下的烙印上留下的烙印, 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于f = 1/T的周期運(yùn)動(dòng)主的周期運(yùn)動(dòng)主頻分量、及附屬

17、的一些倍頻分量。再設(shè)頻分量、及附屬的一些倍頻分量。再設(shè) y(t) 代表系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，代表系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，Pyragas方方法中的法中的 延時(shí)負(fù)反饋延時(shí)負(fù)反饋 u(t）可表示如下）可表示如下: 其中其中 K 代表可調(diào)反饋系數(shù)，代表可調(diào)反饋系數(shù)，代表代表 可調(diào)延時(shí)。這樣，當(dāng)取可調(diào)延時(shí)。這樣，當(dāng)取 = T 時(shí)，時(shí)， 每次反饋后每次反饋后y y（t t）中對(duì)應(yīng)目標(biāo)小譜峰）中對(duì)應(yīng)目標(biāo)小譜峰 的周期分量的周期分量 ( (包括主頻與其附屬的倍包括主頻與其附屬的倍 頻分量頻分量) ) 信息始終不變信息始終不變，而而 y（t） 中其它各種分量的信息不斷減弱，中其它各種分量的信息不斷減弱， 最終，只

18、留下一個(gè)周期為最終，只留下一個(gè)周期為 T 的穩(wěn)定周的穩(wěn)定周 期運(yùn)動(dòng)。期運(yùn)動(dòng)。)()()(tytyKtu Pyragas的控制目標(biāo)也可借頻域?yàn)V波法近的控制目標(biāo)也可借頻域?yàn)V波法近 似實(shí)現(xiàn)。就是將混沌信號(hào)通過(guò)似實(shí)現(xiàn)。就是將混沌信號(hào)通過(guò)Notch Filter（一種有（一種有“V”形缺口通帶的帶通濾波器）反形缺口通帶的帶通濾波器）反復(fù)復(fù) 濾波，濾波，只需將濾波器通帶底部對(duì)準(zhǔn)只需將濾波器通帶底部對(duì)準(zhǔn)f f 就可以就可以 了。這樣，對(duì)應(yīng)于了。這樣，對(duì)應(yīng)于f 的信號(hào)分量每次濾波都的信號(hào)分量每次濾波都 毫發(fā)無(wú)損毫發(fā)無(wú)損, 通帶外的信號(hào)分量則迅速濾通帶外的信號(hào)分量則迅速濾除，除， 而通帶內(nèi)而通帶內(nèi)f 兩側(cè)的信號(hào)

19、分量需要許多次反復(fù)兩側(cè)的信號(hào)分量需要許多次反復(fù) 濾波才能濾除。最后只留下周期為濾波才能濾除。最后只留下周期為T(mén)( (=1/f） 的穩(wěn)定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)信號(hào)。的穩(wěn)定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)信號(hào)。Notch Filter Feedback隨機(jī)混沌控制隨機(jī)混沌控制gainfeedbackparameterrandomboundedorbbwhereatxtFcxxbxax:11,0, )(sin)(3 延遲反饋抑制混沌延遲反饋抑制混沌 (= +1) 延遲反饋誘發(fā)混沌延遲反饋誘發(fā)混沌 (= 1)混沌同步 混沌同步也是一種混沌控制?；煦缤揭彩且环N混沌控制。Boccaletti 27 2002年在年在Physics Repor

20、ts上發(fā)表了上發(fā)表了長(zhǎng)達(dá)百頁(yè)的報(bào)告長(zhǎng)達(dá)百頁(yè)的報(bào)告,對(duì)此前的混沌同步研究進(jìn)對(duì)此前的混沌同步研究進(jìn)展作了全面的報(bào)道。著重介紹了展作了全面的報(bào)道。著重介紹了Pecora和和Caroll 28原創(chuàng)的驅(qū)動(dòng)原創(chuàng)的驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)模式下的響應(yīng)模式下的PC方方法法, 以及在此基礎(chǔ)上經(jīng)擴(kuò)展的主動(dòng)以及在此基礎(chǔ)上經(jīng)擴(kuò)展的主動(dòng)-被動(dòng)模被動(dòng)模式下的式下的APD方法方法29，內(nèi)容幾乎涉及混沌，內(nèi)容幾乎涉及混沌同步現(xiàn)象的各個(gè)方面，如完全同步（同步現(xiàn)象的各個(gè)方面，如完全同步（CS）、）、廣義同步廣義同步GS）、滯后同步（）、滯后同步（LS）、相位）、相位同步（同步（PS）等等。）等等。 隨機(jī)混沌樣本同步隨機(jī)混沌樣本同步)5, 1(

21、,diag)()()(:),()(:0,sin)(:T5151103 iyyekkkkKYYKtFYGYAYRespondingyyyyYRYtFYGAYYDrivingSystemticDeterminisEquivalentatFcxxbxaxSystemDuffingStochasticiiiPhase trajectory of mean response-101-0.8-0.40.00.40.8dE X (t ,) /dtE X (t ,) Top LE0.00.20.40.60.81.0-0.4-0.20.00.2 k = 0.0 k = 0.1 k = 0.2TopkMean r

22、esponses without control under differentinitial conditions, A: for driving; B: for responding050100150200250300-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 A BE x ( t , ) tMean responses with control under differentinitial conditions, A: for driving; B: for responding050100150200250300-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 A B

23、E x ( t , ) tMean response error050100150-2.0-1.5-1.0-0.50.00.5 e1 e2 e3 e4 e5ErrortWithout control3800038500390003950040000-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5Mean responsetWith control, k=0.98, k”=0.2390003950040000-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 B DY Axis TitletChaotic attractor for driving system-1.5-1.0-0.50.00.5

24、1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6Y Axis TitleX axis title混沌同步的特點(diǎn) 1 混沌同步實(shí)質(zhì)上是對(duì)混沌樣本的跟蹤?；煦缤綄?shí)質(zhì)上是對(duì)混沌樣本的跟蹤。 由驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)提供參考模板；由驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)提供參考模板； 由響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)施反饋跟蹤。由響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)施反饋跟蹤。 2 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)樣本運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)樣本運(yùn)動(dòng)的 Top LE 是是正正的；的； 響應(yīng)系統(tǒng)跟蹤運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)系統(tǒng)跟蹤運(yùn)動(dòng)的 Top LE 是是負(fù)負(fù)的。的。噪聲誘導(dǎo)同步噪聲誘導(dǎo)同步 上述上述 混沌同步現(xiàn)象混沌同步現(xiàn)象 多少帶有人為的強(qiáng)多少帶有人為的強(qiáng)制作用。另一熱門(mén)話題是制作用。另一熱門(mén)話題是”噪聲誘導(dǎo)同噪聲誘導(dǎo)

25、同步步”，Boccaletti 將此歸類于混沌同步問(wèn)將此歸類于混沌同步問(wèn)題，其提法是：題，其提法是：研究?jī)蓚€(gè)非直接耦合的混研究?jī)蓚€(gè)非直接耦合的混沌系統(tǒng)在同一噪聲樣本作用下誘生的同步沌系統(tǒng)在同一噪聲樣本作用下誘生的同步現(xiàn)象?，F(xiàn)象。所謂噪聲樣本不過(guò)是代表白噪聲所謂噪聲樣本不過(guò)是代表白噪聲(或或有界噪聲有界噪聲)的一個(gè)確定性偽隨機(jī)函數(shù)。由于的一個(gè)確定性偽隨機(jī)函數(shù)。由于混沌樣本也具有類似的表觀無(wú)序特點(diǎn)，與混沌樣本也具有類似的表觀無(wú)序特點(diǎn)，與上述問(wèn)題并提的還有上述問(wèn)題并提的還有 混沌誘導(dǎo)同步混沌誘導(dǎo)同步 問(wèn)問(wèn)題，提法中只需把噪聲樣本改成混沌樣本。題，提法中只需把噪聲樣本改成混沌樣本。 事實(shí)上，在所列舉的

26、誘導(dǎo)同步數(shù)值實(shí)例中事實(shí)上，在所列舉的誘導(dǎo)同步數(shù)值實(shí)例中,即使對(duì)于兩個(gè)相同、獨(dú)立的非線性系統(tǒng)，即使對(duì)于兩個(gè)相同、獨(dú)立的非線性系統(tǒng)，也只有在噪聲激勵(lì)下的響應(yīng)均不依賴于初也只有在噪聲激勵(lì)下的響應(yīng)均不依賴于初始條件的情況下，也就是始條件的情況下，也就是相應(yīng)的最大條件相應(yīng)的最大條件LyapunovLyapunov指數(shù)指數(shù)(LCLE)(LCLE)均為負(fù)時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)均為負(fù)時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)所謂所謂 誘導(dǎo)同步誘導(dǎo)同步。至于該同步信號(hào)究竟至于該同步信號(hào)究竟是不是混沌是不是混沌? 誰(shuí)也沒(méi)有提到。憑肉眼看，誰(shuí)也沒(méi)有提到。憑肉眼看，只能說(shuō)它們都是表觀無(wú)序的。只能說(shuō)它們都是表觀無(wú)序的。 若說(shuō)它們是混沌，那么為什么相應(yīng)的若說(shuō)它

27、們是混沌，那么為什么相應(yīng)的LCLELCLE又是負(fù)又是負(fù)的？的？Boccaletti 引用他人的辯解是引用他人的辯解是“Lyapunov指數(shù)對(duì)一類特殊的混沌系統(tǒng)可能已失去意義指數(shù)對(duì)一類特殊的混沌系統(tǒng)可能已失去意義”。我的理解恰巧相反。我的理解恰巧相反。 我認(rèn)為：我認(rèn)為：LCLE為負(fù)為負(fù), 意味著意味著所選定的噪聲（或混沌）樣本激勵(lì)已經(jīng)抑制了系所選定的噪聲（或混沌）樣本激勵(lì)已經(jīng)抑制了系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性, 從而此時(shí)不可能產(chǎn)生混沌響應(yīng)。從而此時(shí)不可能產(chǎn)生混沌響應(yīng)。因此因此,這時(shí)的表觀無(wú)序響應(yīng)不過(guò)是系統(tǒng)對(duì)應(yīng)這時(shí)的表觀無(wú)序響應(yīng)不過(guò)是系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于無(wú)序確定性樣本激勵(lì)的無(wú)序非穩(wěn)態(tài)響應(yīng)于無(wú)序確定性樣本激勵(lì)的無(wú)序非穩(wěn)態(tài)響應(yīng)而已。而已。 Not all that looks irregular is chaos!Largest Conditional Lya