高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)第五講動(dòng)量與角動(dòng)量

1、 高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)第五講 動(dòng)量與角動(dòng)量一、知識(shí)點(diǎn)擊1動(dòng)量定理 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理：，即 即合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：將質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理推廣到有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，即可得到質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 令和分別表示質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)所受的外力和內(nèi)力的總沖量，則和表示質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)總的末動(dòng)量和初動(dòng)量之矢量和，則： 而，因質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力是成對(duì)出現(xiàn)的，且等值反向。即所有外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的總沖量等于質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量的增量2動(dòng)量守恒定律 內(nèi)容：系統(tǒng)不受外力或所受外力的合力為零，這個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量就保持不變 表達(dá)式：系統(tǒng)內(nèi)相互作用前總動(dòng)量等于相互作用后總動(dòng)量：。 系統(tǒng)總動(dòng)量的變化量為零： 對(duì)于兩個(gè)物體組成的

2、系統(tǒng)可表達(dá)為：相互作用的兩個(gè)物體的動(dòng)量的變化量大小相等，方向相反。 或者作用前兩物體的總動(dòng)量等于作用后的總動(dòng)量： 適用范圍：動(dòng)量守恒定律適用于宏觀、微觀，高速、低速 定律廣義：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變它質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)質(zhì)心守恒質(zhì)點(diǎn)系在無(wú)外力作用或者在外力偶作用下，其質(zhì)心將保持原來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心在外力作用下作某種運(yùn)動(dòng)，則內(nèi)力不能改變質(zhì)心的這種運(yùn)動(dòng)。 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：作用在質(zhì)點(diǎn)系上的合外力等于質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，即，其質(zhì)心加速度：。定理只給出質(zhì)心運(yùn)動(dòng)情況，并不涉及質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)及它們繞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。3碰撞問(wèn)題 彈性碰撞：碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失 由可得：， （2）非彈性碰撞：碰撞時(shí)有動(dòng)能損

3、失。為此引入恢復(fù)系數(shù)e，它由兩球材料決定，與其質(zhì)量、初速度無(wú)關(guān)。其定義式為e=1為完全彈性碰撞情形；e0時(shí)，碰后兩物體結(jié)合一起速度相同，稱為完全非彈性；0er2，所以F2F1（4）拉力作功A等于小球動(dòng)能的增量即例6、一個(gè)無(wú)滑滾動(dòng)的臺(tái)球正面撞上一個(gè)同樣的靜止臺(tái)球，請(qǐng)分析碰撞后兩個(gè)球的運(yùn)動(dòng)證明兩球的終態(tài)和兩球之間或球與桌面之間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)無(wú)關(guān)（滾動(dòng)摩擦可以忽略不計(jì)）分析和解：本題的焦點(diǎn)在于每一個(gè)小球相對(duì)于其與桌面的接觸點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變可以想見(jiàn)，第一個(gè)臺(tái)球停止下來(lái)并在原地轉(zhuǎn)動(dòng)，而第二個(gè)球則運(yùn)動(dòng)起來(lái)但無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)因此在整個(gè)碰撞過(guò)程中，第一個(gè)臺(tái)球只是把動(dòng)量傳遞給第二個(gè)球，角動(dòng)量卻保持了下來(lái)碰撞之后，摩擦使

4、得第一個(gè)球向前運(yùn)動(dòng)，但轉(zhuǎn)動(dòng)越來(lái)越慢，同時(shí)摩擦使得第二個(gè)球平移運(yùn)動(dòng)越來(lái)越慢，同時(shí)增加了轉(zhuǎn)動(dòng)兩球之間的摩擦可以忽略不計(jì)，因此碰撞過(guò) 程中， 它們之間的相互作用力與其表面垂直因而第一個(gè)球碰撞后停下來(lái)，同時(shí)第二個(gè)球得到了第一個(gè)球的初速度兩個(gè)球的轉(zhuǎn)動(dòng)在碰撞前后沒(méi)有變化，即第一個(gè)球在原地轉(zhuǎn)動(dòng)，第二個(gè)球無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)地以速度平移 臺(tái)球和桌面之間的摩擦力很重要，將影響兩球的運(yùn)動(dòng)第一個(gè)球在摩擦力F摩擦力=mg的作用下加速向前，而第二個(gè)球則在同樣的力的作用下減速運(yùn)動(dòng)，如圖57所示第一個(gè)球的轉(zhuǎn)動(dòng)由于摩擦力的作用將變慢，而第二個(gè)球的轉(zhuǎn)動(dòng)將因之增加這部分摩擦力的作用， 直到兩球達(dá)到無(wú)摩擦滾動(dòng)的狀態(tài)為止，然后將保持那樣的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

5、下面證明，兩個(gè)小球最終的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)既不依賴于摩擦因數(shù)，也與摩擦因數(shù)隨位置的可能變化無(wú)關(guān)碰撞后，原來(lái)運(yùn)動(dòng)的小球以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，其相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量為。由于小球的質(zhì)心靜止，即平動(dòng)帶來(lái)的角動(dòng)量變化為零，所以小球相對(duì)于其與桌面接觸點(diǎn)P的角動(dòng)量也為.由于摩擦力經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，因此小球相對(duì)于P點(diǎn)的角動(dòng)量不會(huì)因摩擦力的作用而變化（重力和桌面的支撐力之和為零，因此它們也不會(huì)產(chǎn)生凈力矩） 以速度作無(wú)滑滾動(dòng)的小球，其角動(dòng)量為自身角動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量之和。如圖58所示，左側(cè)為碰撞后短時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)小球和它的受力情況，右側(cè)為最后的無(wú)滑滾動(dòng)狀態(tài)根據(jù)角動(dòng)量守恒，我們有，因此。由類似的道理可以得到，第二個(gè)小球的最終速度為，與摩擦因

6、數(shù)的大小無(wú)關(guān)。 三、小試身手1 四個(gè)質(zhì)量分別為m1、m2、m3、m4的小球，用已拉緊的不可伸長(zhǎng)的輕繩互相連接，放在光滑的水平桌面上如圖59所示，其中已知，如果給1小球一個(gè)沿著2、1兩小球連線方向的沖量I，判斷能否求出4個(gè)小球獲得的速度。若m1=m2=m3=m4，且，則4小球的速度為多大？ 200812232 一塊質(zhì)量為M的滑塊靜止在光滑水平面上，滑塊內(nèi)有一如圖5一10所示的光滑管道，、已知，有一質(zhì)量為m的小球從左端口滑下，求m自滑下到返回左端口的總時(shí)間（可?。? 由一光滑細(xì)管構(gòu)成一半徑為R的圓環(huán)，放在水平光滑桌面上（圖5一11）管內(nèi)A1、A2處有兩個(gè)質(zhì)量為m的小球，圓形管道的質(zhì)量是，開(kāi)始時(shí)管道

7、靜止，兩小球向右以等大的速度開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，細(xì)管上P1、P2處有兩個(gè)缺口（已知），小球自小孔中穿出后，將在平面上某處相遇，求：（1）相遇時(shí)兩球與管道中心O的距離（2）從小球穿出缺口直到小球相遇的過(guò)程中，管道在平面上移動(dòng)的路程s4 在圖5一12 和圖5一12 中，一個(gè)質(zhì)量m=0.1 kg的小雪橇放在一塊質(zhì)量M1 kg的木板上雪橇上的馬達(dá)牽引著一根繩子，使雪橇具有速度，忽略木板和桌面之間的摩擦雪橇和木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為=0.02。先握住木板，起動(dòng)馬達(dá)當(dāng)雪橇達(dá)到速度時(shí)，放開(kāi)木板在這瞬間，雪橇與木板一端的距離為L(zhǎng)=0.5 m.繩子栓在：（1）遠(yuǎn)處的樁上；（2）木板的端點(diǎn)試描述在上述兩種情形下木板與雪橇的運(yùn)

8、動(dòng)雪橇何時(shí)到達(dá)木板一端？5 如圖5一13所示，一質(zhì)量為M、長(zhǎng)為L(zhǎng)帶薄擋板P的木板，靜止在水平的地面上，設(shè)木板與地面間的靜摩擦因數(shù)與滑動(dòng)摩擦因數(shù)相等，皆為質(zhì)量為m的人從木板的一端由靜止開(kāi)始相對(duì)于地面勻加速地向前走向另一端，到達(dá)另一端時(shí)便驟然抓住擋板P而停在木板上已知人與木板間的靜摩擦因數(shù)足夠大，人在木板上不滑動(dòng)問(wèn)在什么條件下最后可使木板向前方移動(dòng)的距離達(dá)到最大？其值等于多少？ 6 弟兄五個(gè)在連續(xù)靠近放置的跳板上表演雜技他們各自的質(zhì)量分別為60kg，50kg，40 kg，30 kg和20 kg。第一個(gè)最重的演員從2m高度跳到第一個(gè)跳板上（見(jiàn)圖514）。老二、老三、老四接著一個(gè)個(gè)被彈起落到相鄰的跳板

9、上假定演員的肌力正好都用于克服各種阻力，并且跳板的質(zhì)量可以忽略。試求最后一個(gè)兄弟被彈起的高度h5是多少？7 半徑為R，無(wú)摩擦地旋轉(zhuǎn)著的圓板的邊緣，趴著n10個(gè)甲蟲(chóng)，每個(gè)的質(zhì)量為，甲蟲(chóng)同時(shí)開(kāi)始以同樣的速度向板中心爬動(dòng)。開(kāi)始，板是以角速度旋轉(zhuǎn)，假若甲蟲(chóng)們中間停住后，板旋轉(zhuǎn)的角速度變?yōu)椋宓霓D(zhuǎn)動(dòng)慣量是，那么每個(gè)甲蟲(chóng)做了多少功？8 如圖515所示，一塊長(zhǎng)為的光滑平板PQ固定在輕質(zhì)彈簧上端，彈簧的下端與地面固定連接。平板被限制在兩條豎直光滑的平行導(dǎo)軌之間（圖中未畫出豎直導(dǎo)軌），從而只能地豎直方向運(yùn)動(dòng)。平板與彈簧構(gòu)成的振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期。一小球B放在光滑的水平臺(tái)面上，臺(tái)面的右側(cè)邊緣正好在平板P端的正上方，

10、到P端的距離為。平板靜止在其平衡位置。水球B與平板PQ的質(zhì)量相等?，F(xiàn)給小球一水平向右的速度，使它從水平臺(tái)面拋出。已知小球B與平板發(fā)生彈性碰撞，碰撞時(shí)間極短，且碰撞過(guò)程中重力可以忽略不計(jì)。要使小球與平板PQ發(fā)生一次碰撞而且只發(fā)生一次碰撞，的值應(yīng)在什么范圍內(nèi)？取參考解答1解：設(shè)1小球獲得外力沖量I的同時(shí)，三根繩中的沖量分別為I1、I2、I3（如右圖），由沖量定理可得對(duì)1小球： 對(duì)2小球： 對(duì)3小球： 對(duì)4小球： 由、的關(guān)聯(lián)關(guān)系，可得 由方程一可解出，、九個(gè)未知數(shù)如果再把條件m1=m2=m3=m4，代入，可解得：2解：取滑塊為參考系，小球受三個(gè)力：mg，F(xiàn)N和，設(shè)小球相對(duì)M的加速度是，則對(duì)m：對(duì)M

11、：由，可解得所以下到底端時(shí)，小球因轉(zhuǎn)彎和滑塊發(fā)生一個(gè)比較猛烈的作用，此過(guò)程中動(dòng)量守恒設(shè)轉(zhuǎn)彎結(jié)束后小球和滑塊的速度分別為和，那么 可求出，和，相對(duì)速度水平段的時(shí)間一個(gè)來(lái)回的總時(shí)間3解：（1）取管道為參考系，兩小球自小孔穿出后將沿切線方向運(yùn)動(dòng)，因此小球從A1、A2處到P1、P2處的過(guò)程中動(dòng)量守恒機(jī)械能守恒可解得小球相對(duì)環(huán)的速度環(huán)的速度小球從穿出小孔到相遇的時(shí)間 管道在平面上移動(dòng)的路程4答案：（1）雪橇不能到達(dá)木板的另一端（2）木板不動(dòng)提示：（1）木板與桌面間無(wú)摩擦，因此它們構(gòu)成一孤立系統(tǒng)，而雪橇與木板是有摩擦的，在第一種情形中雪做勻速運(yùn)動(dòng)，雪橇與木板以不同的速度運(yùn)動(dòng)，這樣就引起最大摩擦力mg，它作

12、用在木板上，因而產(chǎn)生加速度，直至木板達(dá)到雪橇速度。加速時(shí)間在這段時(shí)間內(nèi)，雪橇在木板上經(jīng)過(guò)的距離為因此，雪撬離木板右端點(diǎn)的距離為雪橇不能到達(dá)木板的另一端，因?yàn)閺倪@時(shí)起，木板也做勻速運(yùn)動(dòng)。在加速期間，馬達(dá)必須用力mg牽引繩子，但以后馬達(dá)不能施加任何力，它只是卷繞繩子。（2）我們可以用動(dòng)量守恒定律來(lái)分析。當(dāng)我們放開(kāi)木板時(shí)，雪撬的動(dòng)量為。釋放后的木板具有速度，它由下式?jīng)Q定：此式表明，所以木板保持不動(dòng)，雪橇以同一速度繼續(xù)前進(jìn)。5 解：在人從木板的一端向另一端運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，先討論木板發(fā)生向后運(yùn)動(dòng)的情形設(shè)人開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到剛抵達(dá)另一端尚未停下這段過(guò)程中所用的時(shí)間為t，以x1表示木板向后移動(dòng)的距離，如圖所示以f表示

13、人與木板間的靜摩擦力，以F表示地面作用在木板上的摩擦力，以和分別表示人和木板的加速度，則有 ，由以上四式聯(lián)立解之，得對(duì)人和木板組成的系統(tǒng)，人在木板另一端驟然停下后，兩者的總動(dòng)量等于從開(kāi)始到此時(shí)地面的摩擦力F（外力）的沖量，忽略人驟然停下那段極短的時(shí)間，則有V為人在木板另一端剛停下時(shí)兩者一起運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)人在木板另一端停下后兩者一起向前移動(dòng)的距離為x2，與地面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為，則有 木板向前移動(dòng)的凈距離為將以上各式聯(lián)立解之得由上式可知，欲使木板向前移動(dòng)的距離X為最大值，應(yīng)有即即木板向前移動(dòng)的距離為最大的條件是：人作用于木板的靜摩擦力等于地面作用于木板的滑動(dòng)摩擦力移動(dòng)的最大距離為由上面可見(jiàn)，在設(shè)木板

14、發(fā)生向后運(yùn)動(dòng)，即的情況下，f = F時(shí)，X有極大值換句話說(shuō)，在時(shí)間0一t內(nèi)木板剛剛不動(dòng)的條件下X有極大值再來(lái)討論木板不動(dòng)，即fF的情況這時(shí)，因?yàn)閒F，所以人積累的動(dòng)能和碰后的總動(dòng)能都將變小，從而前進(jìn)的距離x也小于上述的Xmax。6解：首先我們注意一下圖517的翹板，中間是一個(gè)無(wú)限重的支柱第一個(gè)兄弟跳到翹板的一端，同時(shí)把第二個(gè)兄弟彈到空中，我們可以看作是弟兄們“通過(guò)”翹板的碰撞假定碰撞的持續(xù)時(shí)間很短，由此我們可以不考慮重力對(duì)碰撞本身的影響，因?yàn)樵谂鲎驳臅r(shí)間t里，每一個(gè)兄弟和重力相關(guān)的沖量矩（對(duì)翹板中心計(jì)算）與t成正比，是非常小的碰撞時(shí)翹板支點(diǎn)是不動(dòng)的，我們可以采用角動(dòng)量守恒定律來(lái)研究又由于翹板非

15、常輕，我們可以認(rèn)為翹板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零。根據(jù)題中后面的說(shuō)明和上面的假設(shè)我們可以認(rèn)為碰撞時(shí)機(jī)械能是守恒的，也就是說(shuō)是彈性碰撞。令表示第一個(gè)兄弟碰撞后的速度。與圖5一17上的指向同一個(gè)方向。由系統(tǒng)的角動(dòng)量和機(jī)械能守恒，可以寫出解這個(gè)方程組，我們得到兩組解1），2），第一組解相當(dāng)于碰撞之前；而第二組解相當(dāng)于碰撞之后。第二個(gè)兄弟跳到相鄰的翹板上，在碰撞的瞬間速度是。相繼而來(lái)的過(guò)程和第一次完全相似。因此以后的弟兄們彈起的速度相應(yīng)地為，將前面的計(jì)算結(jié)果代人，可得第五個(gè)兄弟彈起的速度為所求的高度h5可以利用下式計(jì)算，于是得到把題中數(shù)據(jù)代入得：。7解：在板加上甲蟲(chóng)的系統(tǒng)上沒(méi)有任何對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的外力矩作用，因此該系統(tǒng)

16、對(duì)過(guò)板中心的豎直軸的角動(dòng)量守恒用r表示甲蟲(chóng)離板中心的末距離系統(tǒng)對(duì)板中心軸的初始轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，而末了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由角動(dòng)量守恒定律有 所有甲蟲(chóng)一起所做的功等于系統(tǒng)在末了和開(kāi)始的動(dòng)能之差（即轉(zhuǎn)動(dòng)能之差）： 將式代入式，得于是將題中所給的數(shù)值代入后，得8解：如果小球的水平速度比較大，它與平板的第一次碰撞正好發(fā)生在平板的邊緣Q處，這時(shí)的值便是滿足題中條件的最大值；如果小球的水平速度較小，在它與平板發(fā)生第一次碰撞后再次接近平板時(shí)，剛好從平板的邊緣Q處越過(guò)而不與平板接觸，這時(shí)的值便是滿 足題中條件的最小值設(shè)小球從臺(tái)面水平拋出到與平板發(fā)生第一次碰撞經(jīng)歷的時(shí)間為，有hPQBu0 （1）若碰撞正好發(fā)生在Q處，則有（2

17、）從（1）、（2）兩式解得的值便是滿足題中條件的最 大值，即（3） 代入有關(guān)數(shù)據(jù)得（4）如果，小球與平板的碰撞處將不在Q點(diǎn)設(shè)小球第一次剛要與平板碰撞時(shí)在豎直方向的速度為，則有（5）以、分別表示碰撞結(jié)束時(shí)刻小球和平板沿豎直方向的速度，由于碰撞時(shí)間極短，在碰撞過(guò)程中，小球和平板在豎直方向的動(dòng)量守恒設(shè)小球和平板的質(zhì)量都是m，則有（6）因?yàn)榕鲎彩菑椥缘?，且平板是光滑的，由能量守恒可得?）解（6）、（7）兩式，得（8）（9）碰撞后，平板從其平衡位置以為初速度開(kāi)始作簡(jiǎn)諧振動(dòng)取固定坐標(biāo)，其原點(diǎn)O與平板處于平衡位置時(shí)板的上表面中點(diǎn)重合，x軸的方向豎直向下，若以小球和平板發(fā)生碰撞的時(shí) 刻作為，則平板在t時(shí)刻離開(kāi)平衡位置的位移（10）式中（11）A和是兩個(gè)待定的常量，利用參考圓方法，在t時(shí)刻平板振動(dòng)的速度（12）因時(shí)，由（9）、（11）、（