復變函數與積分變換：第一、二章習題

1、1第一、二章習題五、函數解析性相關性質六、初等函數一、復數的計算二、由方程(不等式)判斷對應圖形的性質三、復變函數極限和連續(xù)判別四、映射的像2復數復變函數極限連續(xù)性代數運算乘冪與方根復數表示法代數表示法 三角表示法指數表示法復球面復平面擴充曲線與區(qū)域判別定理C-R條件可導與解析初等函數3一、復數的計算1. i 的特點0時，的值等于（ ）當幾何上的 i ：模為1輻角主值為向量運算時 ：和1無區(qū)別42. 模相關問題3. 輻角及主值注意二者區(qū)別6（A） （C）（B）那么 （ ）設復數 滿足 ， , （D）A的輻角和輻角主值.74. 商的運算（代數）分子分母同乘分母共軛或三角形式已知 則85. 幾種形

2、式的轉化例1將復數化為三角形式.解三角形式為(輻角用主值)三角形式乘積和商兩復數相乘等于模相乘，輻角相加。幾何意義兩復數相除等于模相除，輻角相減。9例2將復數化為三角形式，并求解因為所以k = 0, 1, 25. 冪和方根的計算：10二、由方程(不等式)判斷對應圖形的性質直線方程:圓方程:1. 曲線之方程2. 常見平面點集概念區(qū)域、單連通域、多連通域、有界、無界11例3 滿足下列條件的點集是什么, 如果是區(qū)域, 指出是單連通域還是多連通域?解(a)無界多連通域.Oxy1(令z = x + iy, 復實復)3.方程之曲線12(b)Oxy-ii1/2(c)Oxy-1-i無界單連通域.13三、復變函

3、數極限和連續(xù)判別1. 復變函數極限和連續(xù)可通過對應兩個二元實函數的極限和連續(xù)性來判別練習: 設, 指出它在哪些點處不連續(xù)，并說明原因.除外連續(xù). 14例設 ，試討論下列函數的連續(xù)性：解因為2.判斷極限不存在讓z沿不同路徑趨近于015所以f (z) 在z0 處連續(xù).z0 = 0時，在復平面除去原點外連續(xù)，在原點處所以不連續(xù).16例5 函數 將 平面上的下列曲線變成 平面上的什么曲線？四、映射的像解又于是表示 平面上的圓.(1)（將映射對應二元函數與已知條件結合）17解表示 平面上以 為圓心， 為半徑的圓.18練習：答案：五、 函數解析性相關性質1 函數解析、可導的判別20練習:2121例6 函數

4、 在何處可導，何處解析.解故 僅在直線 上可導.故 在復平面上處處不解析.222、f (z)取常值的等價條件23例7證明: 已知 f (z) 在 D 內解析，如果在 D 內證分兩種情況討論(1) u = 0時,所以u, v 均為常數, 故f (z)為常數.arg f (z) = 常數, 則 f (z) 取常值.24因為arg z 在D內是一個常數,所以兩邊同時取關于x, y的偏導數得由此可知或者u = v = 0,從而f (z)為一常數.(2)時,25或者又f (z)在 D 內解析, 所以滿足柯西 黎曼方程:由上面兩式得26所以u, v 均為常數, 故 f (z) 為常數.練習1.如果在單位圓

5、內處處為零，且，那么在內( )（D）任意常數（A） 0 （B） 1（C） 1C27正確的是( )2設函數在區(qū)域內有定義，則下列命題中，則 (A) 若在 D內是一常數，在 D內是一常數 (B) 若在 D內是一常數，在 D內是一常數(C) 若在 D內是一常數，在 D內是一常數（D）在 D內是一常數若f (z)與在 D內解析，則3設在區(qū)域 D 內是解析的，如果是實常數，那么f (z)在 D 內( )D 為常函數283 解析函數的導數練習2. 設則方程的所有根為3. 設則方程的所有根為 1.設，則=)1(f29六、初等函數1 與實初等函數不同的性質 (1). 指數函數具有周期性(2). 負數無對數的結論不再成立(3). 三角正弦與余弦不再具有有界性30例8 下列命題中，正確的是( )（A）設為實數，則（B）若是函數的奇點,則在點不可導（C）若在區(qū)域內滿足柯西-黎曼方程，則在內解析（D）若在區(qū)域內解析,則在內也解析D31設為任意實數，則( )（A）無定義（B）等于1（C）是復數，其實部等于1（D）是復數，其模等于1D32例9 解方程解2. 初等函數的計算33例10 求出 的值.解34解例11 試求 函數值及其主值:令 得主值:35例12 試求