2006-2008年河南專升本高數(shù)試題及答案(共19頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2006年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀?？粕M(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)試卷 一、單項選擇題（每題2分，共計60分，在每小題的備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫在題干后面的括號內(nèi)。不選、錯選或多選者，該題無分）1.已知函數(shù)的定義域為 ，則 的定義域為 （ ） A. B. C. D. 解：.2.在是 （ ）A奇函數(shù) B. 偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D. 既奇又偶函數(shù)解： .3. 當(dāng)時，是的 （ ） A. 高階無窮小 B. 低階無窮小 C. 同階非等價無窮小 D. 等價

2、無窮小 解： ， .4. （ ）A. B. 2 C. 3 D. 5解：.5.設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：.6. 設(shè)函數(shù)在可導(dǎo) ，則 （ ） A. B. C. D. -解： 7. 若曲線上點處的切線與直線平行，則的坐標(biāo)（ ）A. （2，5） B. （-2，5） C. （1，2） D.（-1，2） 解： .8.設(shè)，則 （ ） A. B. C.- D. 解： .9.已知，則 （ ） A. B. C. D. 解：. 10. 有 （ ）一條垂直漸近線，一條水平漸近線 B. 兩條垂直漸近線，一條水平漸近線 C. 一條垂直漸近線，兩條水平漸近線 D. 兩條垂直漸近線，

3、兩條水平漸近線 解：.11.在下列給定的區(qū)間滿足羅爾中值定理的是 （ ） B. C. D 解： 由羅爾中值定理 條件：連續(xù)、可導(dǎo)及端點的函數(shù)值相等12. 函數(shù)在區(qū)間為 （ ）A. 單增且凹 B. 單增且凸 C. 單減且凹 D. 單減且凸 解： . 13.曲線 ，則 （ ） A. B. C. D. 解：. 14. 設(shè)函數(shù) ，則 （ ） A. B. C. D. 解：. 15. （ ）A. B. 0 C. D. 解：是常數(shù)，所以 .16.下列廣義積分收斂的為 （ ）A. B. C. D. 解：. 17.設(shè)區(qū)域D由所圍成，則區(qū)域D的面積為 （ ）A. B. C. D. 解：由定積分的幾何意義可得D的面

4、積為 .18. 若直線與平面平行，則常數(shù)（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解： .19.設(shè)，則偏導(dǎo)數(shù)為 （ ）A.2 B.1 C.-1 D.-2解： .20. 方程確定函數(shù) ，則 = （ ）A. B. C. D. 解： 令21.設(shè)函數(shù) ，則 （ ） B. C. D. 解： .22.函數(shù) 在定義域上 （ ） A.有極大值，無極小值 B. 無極大值，有極小值 C.有極大值，有極小值 D. 無極大值，無極小值解： 是極大值.23由圍成的閉區(qū)域D ，則 （ ） A. B. 2 C.4 D. 16解：有二重積分的幾何意義知：區(qū)域D的面積為.24累次積分交換后為 （ ）A. B. C. D. 解

5、： 積分區(qū)域.25.二重積分在直角坐標(biāo)系下積分區(qū)域可表示為 （ ） A. B. C. D. 解：在極坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為：，在直角坐標(biāo)系下邊界方程為，積分區(qū)域為右半圓域26.設(shè)為直線坐標(biāo)從點到的有向線段，則 （ ）A. 2 B.1 C. -1 D. -2解： 從1變到0 ，.27.下列級數(shù)絕對收斂的是 （ ）A B C D 解： .28. 設(shè)冪級數(shù)為常數(shù)），在 處收斂，則 （ ）A. 絕對收斂 B. 條件收斂 C. 發(fā)散 D. 斂散性不確定解：在收斂，則在絕對收斂，即級數(shù)絕對收斂. 29. 微分方程的通解為 （ ） A. B. C. D. 解： .30.微分方程，特解用特定系數(shù)法可設(shè)為 （

6、）A. B. C. D. 解：-1不是微分方程的特征根，為一次多項式，可設(shè) .二、填空題（每題2分，共30分）31.設(shè) ，則_解：.32.若=_解：. 33.已知，則_解： .34.函數(shù) ，在處取得極值-2，則.解：.35.曲線的拐點為 _解： .36.設(shè)是可微函數(shù)，且為某函數(shù)的原函數(shù)，有 則_解：. 37. _解： .38.設(shè) ，則 _解： .39. 已知 ，則向量與的夾角為=_解： . 40.空間曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面方程為 _. 解：把中的換成即得所求曲面方程.41. 函數(shù)，則 _解： .42.設(shè)區(qū)域，則 .解： . 43. 函數(shù)在 處的展開成冪級數(shù)為 解： .44.冪級數(shù)的和函數(shù)為

7、_解：.45.通解為的二階線性齊次常系數(shù)微分方程為_解： .三、計算題（每小題5分，共40分）46 解： .47.設(shè)， 求解：取對數(shù)得 ：，兩邊對求導(dǎo)得：所以.48.求 解： 49.求 解： . .50.設(shè) ，其中是可微函數(shù)，求 解： .xyo1251計算積分 ，其中由直線所圍成的閉區(qū)域.解：積分區(qū)域如圖所示，可表示為：. 所以 52求冪級數(shù)的收斂區(qū)間（不考慮端點）.解： 令，級數(shù)化為 ，這是不缺項的標(biāo)準(zhǔn)的冪級數(shù).因為 ，故級數(shù)的收斂半徑，即級數(shù)收斂區(qū)間為（-3，3）.對級數(shù)有，即.故所求級數(shù)的收斂區(qū)間為.53求微分方程 通解.解：微分方程可化為 ，這是一階線性微分方程，它對應(yīng)的齊次線性微分方

8、程通解為.設(shè)非齊次線性微分方程的通解為，則，代入方程得.故所求方程的通解為.四、應(yīng)用題（每題7分，共計14分）54.某公司甲乙兩廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，甲乙兩廠月產(chǎn)量分別為千件；甲廠月產(chǎn)量成本為，乙廠月產(chǎn)量成本為 ；要使月產(chǎn)量為8千件，且總成本最小，求甲乙兩廠最優(yōu)產(chǎn)量和最低成本？解：由題意可知：總成本，約束條件為.問題轉(zhuǎn)化為在條件下求總成本的最小值 .由得，代入得目標(biāo)函數(shù)為的整數(shù)）.則，令得唯一駐點為，此時有.故使得到極小唯一極值點，即最小值點.此時有.所以 甲乙兩廠最優(yōu)產(chǎn)量分別為5千件和3千件，最低成本為38成本單位.55.求曲線和軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的體積.xyO 12解：平面圖形如下圖所

9、示：此立體可看作區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得到。利用體積公式.顯然，拋物線與兩交點分別為（1，0）；（2，0）平面圖形在軸的下方.故 .五、證明題（6分）56設(shè)在上連續(xù)，且 ，求證 .并計算. 證明：因為，而，故即有. 利用上述公式有. 說明：由于時間緊，個別題目語言敘述與試卷有點不近相同，沒有進(jìn)行認(rèn)真檢查，考生僅作參考.河南省“專升本”考試高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)專家葛云飛提供.2007年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀?？粕M(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)試卷題號一二三四五六總分核分人分?jǐn)?shù)得分評卷人一. 單項選擇題（每題2分，共計50分）在每小題的備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫在題干后面的括號內(nèi).不選、錯選或

10、多選者，該題無分.1.集合的所有子集共有 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集個數(shù)。2.函數(shù)的定義域為 （ ） A. B. C. D. 解： 。3. 當(dāng)時，與不等價的無窮小量是 ( ) A. B. C. D. 解：根據(jù)常用等價關(guān)系知，只有與比較不是等價的。應(yīng)選A。4.當(dāng) 是函數(shù) 的 （ ） A.連續(xù)點 B. 可去間斷點 C.跳躍間斷點 D. 第二類間斷點解： ；。5. 設(shè) 在處可導(dǎo)，且，則的值為（ ） A.-1 B. -2 C. -3 D.-4 解： 。 6.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有，則在區(qū)間內(nèi)，圖形 （ ）A單調(diào)遞減且為凸的 B單調(diào)遞增且為凸的 C單調(diào)遞減且為凹的 D單調(diào)遞增且為

11、凹的解：單調(diào)增加；凸的。應(yīng)選B。7.曲線的拐點是 （ ） A. B. C. D. 解：，應(yīng)選A 。8.曲線的水平漸近線是 （ ）A. B. C. D. 解： 。9. （ ） A. 0 B. C.2 D. 1 解： 。 10.若函數(shù)是的原函數(shù)，則下列等式正確的是 （ ）A. B. C. D. 解：根據(jù)不定積分與原函數(shù)的關(guān)系知，。應(yīng)選B。 11. （ ）A. B. C. D. 解：。12. 設(shè)，則 （ ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 解： 。13. 下列廣義積分收斂的是 （ ） A. B. C. D. 解：由積分和積分的收斂性知，收斂，應(yīng)選C 。14. 對不定積分，下列計算結(jié)果錯誤是 （

12、） A. B. C. D. 解：分析結(jié)果，就能知道選擇C。15. 函數(shù)在區(qū)間的平均值為 （ ）A. B. C. 8 D. 4解： 。16. 過軸及點的平面方程為 （ ） A. B. C. D. 解：經(jīng)過軸的平面可設(shè)為，把點代入得應(yīng)選C。也可以把點代入所給的方程驗證，且不含。17. 雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面方程為 （ ）A. B. C. D. 解：把中換成得，應(yīng)選A。18. （ ） A. B. C.0 D. 極限不存在解： 。 19.若，則 （ ） A. B. 1 C. D. 0 解： 。20. 方程 所確定的隱函數(shù)為，則 （ ）A. B. C. D. 解：令，應(yīng)選A。21. 設(shè)為拋物線上從到

13、的一段弧，則 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2解：從0變到1， 。22.下列正項級數(shù)收斂的是 （ ）A. B. C. D. 解：對級數(shù)、需要利用積分判別法，超出大綱范圍。級數(shù)有結(jié)論：當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散。級數(shù)、與級數(shù)利用比較判別法的極限形式來確定-發(fā)散的，應(yīng)選C。23.冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 （ ） A. B. C. D.解： 令，級數(shù)化為收斂區(qū)間為，即。24. 微分特解形式應(yīng)設(shè)為 （ ） A. B. C. D. 解： 不是特征方程的特征根，特解應(yīng)設(shè)為。應(yīng)選B。25.設(shè)函數(shù)是微分方程的解，且，則在處（ ）A.取極小值 B. 取極大值 C.不取極值 D. 取最大值解：有 。得分評卷人二、填空題

14、（每題2分，共30分）26.設(shè)，則_.解： 。27._.解：構(gòu)造級數(shù)，利用比值判別法知它是收斂的，根據(jù)收斂級數(shù)的必要條件。 28.若函數(shù)在處連續(xù)，則_. 解：。29.已知曲線上點處的切線平行于直線，則點的坐標(biāo)為 _解：。30.設(shè)，則 _解： 。31.設(shè)，則_解： 。32. 若函數(shù)在處取得極值2，則_，_解：；。33. _解：。34_ 解：。35.向量的模_解：。36. 已知平面：與平面：垂直，則_解：。37.設(shè)，則_ 解：。 38.已知，交換積分次序后，則_ 解： ，所以次序交換后為。39.若級數(shù)收斂，則級數(shù)的和為 _解：，而，所以。40.微分方程的通解為_ 解：有二重特征根1，故通解為（為任

15、意常數(shù)）。得分評卷人三、判斷題（每小題2分，共10分）你認(rèn)為正確的在題后括號內(nèi)劃“”，反之劃“”.41.若數(shù)列單調(diào)，則必收斂. ( )解：如數(shù)列單調(diào)，但發(fā)散，應(yīng)為。42.若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則一定不存在，使. ( )解：如在滿足上述條件，但存在，使得，應(yīng)為。43. ( )解：第二步不滿足或，是錯誤的，事實上。應(yīng)為。44. ( )解：因，由定積分保序性知：，應(yīng)為。45.函數(shù)在點處可微是在處連續(xù)的充分條件.( )解：在點處可微可得在點處連續(xù)，反之不成立，應(yīng)為應(yīng)為。得分評卷人四、計算題（每小題5分，共40分）46求. 解： 。47.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解： 兩邊取自然對數(shù)得 ，-（1分） 兩

16、邊對求導(dǎo)得：，-（3分）即，-（4分）故 。-（5分）48.求不定積分.解： -（1分） -（3分）-（4分）。-（5分）49.計算定積分 .解：因，所以-（2分）-（4分）。-（5分）50.設(shè)，且為可微函數(shù)，求. 解：令 ，有，利用微分的不變性得 -（3分） -（4分） -（5分）51計算，其中為圓環(huán)區(qū)域：.解：積分區(qū)域如圖07-1所示：的邊界、用極坐標(biāo)表示分別為，；故積分區(qū)域在極坐標(biāo)系系下為圖07-1，-（2分）故-（3分） -（4分） 。-（5分）52將展開為的冪級數(shù)，并寫出收斂區(qū)間. 解： 因；-（2分）。所以；。-（3分）故-（4分） 。-（5分）53求微分方程的通解.解：方程可化為

17、，這是一階線性非齊次微分方程，-（1分）它對應(yīng)的齊次方程的通解為，-（2分）設(shè)原方程有通解，代入方程得，即 ，-（3分）所以 ，-（4分）故所求方程的通解為。-（5分）得分評卷人五、應(yīng)用題（每題7分，共計14分）54. 某工廠欲建造一個無蓋的長方題污水處理池，設(shè)計該池容積為V立方米，底面造價每平方米元，側(cè)面造價每平方米元,問長、寬、高各為多少米時，才能使污水處理池的造價最低？ 解：設(shè)長方體的長、寬分別為 ，則高為，又設(shè)造價為，-（1分）由題意可得 ；-（3分）而 在定義域內(nèi)都有意義.令得唯一駐點，-（5分）由題可知造價一定在內(nèi)部存在最小值，故就是使造價最小的取值，此時高為。所以，排污無蓋的長方

18、體的長、寬、高分別為、時，工程造價最低。-（7分）圖07-255. 設(shè)平面圖形D由曲線,直線及y軸所圍成.求：（1）平面圖形D的面積;(2) 平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 解：平面圖形D如圖07-2所示：-（1分）取為積分變量，且（1）平面圖形D的面積為-（3分）。-（4分）（2）平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成旋轉(zhuǎn)體的體積為 。-（7分）或 。 得分評卷人六、證明題（6分）56.若在上連續(xù)，則存在兩個常數(shù)與，對于滿足的任意兩點，證明恒有.證明： 因在有意義，從而在上連續(xù)且可導(dǎo)，即在上滿足拉格朗日中值定理的條件，-（2分）故存在，使得 ，-（3分）又因在上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間

19、上最值定理知，在上既有最大值又有最小值，不妨設(shè)分別是最小值和最大值，從而時，有。-（5分）即 ，故 。-（6分）2008年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀?？粕M(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué) 試卷題號一二三四五總分核分人分?jǐn)?shù)得分評卷人一. 單項選擇題（每題2分，共計60分）在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫在題干后面的括號內(nèi).不選、錯選或多選者，該題不得分.1. 函數(shù)的定義域為 （ ） A. B. C. D. 解：.2. （ ） A.1 B. 0 C. D. 解：.3. 點是函數(shù)的 ( ) A.連續(xù)點 B. 跳躍間斷點 C.可去間斷點 D. 第二類間斷點解: .4.下列極限存在的為

20、 （ ） A. B. C. D. 解:顯然只有,其他三個都不存在,應(yīng)選B.5. 當(dāng) 時，是比的（ ）A低階無窮小 B高階無窮小 C等階無窮小 D.同階但不等價無窮小解: ,. 6.設(shè)函數(shù)，則 （ ）A在處連續(xù)，在處不連續(xù) B在處連續(xù)，在處不連續(xù) C在，處均連續(xù) D在，處均不連續(xù)解: 在處連續(xù); 在處不連續(xù);應(yīng)選A.7.過曲線上的點(0,1)處的法線方程為 （ ）A. B. C. D. 解: .8.設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則 （ ）A. -1 B.1 C. -3 D. 3 解：,應(yīng)選C.9.若函數(shù) ，則 （ ） A. B. C. D. 解：,應(yīng)選B. 10.設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則 （ ）A.-2

21、B.-1 C. D. 解： ,應(yīng)選D.11.下列函數(shù)中，在區(qū)間-1,1上滿足羅爾中值定理條件的是 （ ）A. B. C. D. 解：驗證羅爾中值定理的條件,只有滿足,應(yīng)選C. 12. 曲線的拐點是 （ ）A. B. C.無拐點 D. 解: ,應(yīng)選B.13. 曲線 （ ）A. 只有水平漸進(jìn)線 B. 既有水平漸進(jìn)線又有垂直漸進(jìn)線C. 只有垂直漸進(jìn)線 D. 既無水平漸進(jìn)線又無垂直漸進(jìn)線解： .14.如果的一個原函數(shù)是,那么 （ ） A. B. C. D. 解：,應(yīng)選D.15. ( )A . B.C. D. 解: ,應(yīng)選A.16.設(shè)，則的取值范圍為 ( )A . B. C. D. 解:此題有問題,定積

22、分是一個常數(shù),有,根據(jù)定積分的估值性質(zhì),有,但這個常數(shù)也在其它三個區(qū)間,都應(yīng)該正確,但真題中答案是B.17. 下列廣義積分收斂的是 （ ）A. B. C. D. 解:顯然應(yīng)選D.18. （ ） A. B. C. D. 解：,應(yīng)選D.19.若可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則 （ ） A. B. C. D. 解：對兩邊求導(dǎo)有:,即有 ,還初始條件,代入得,應(yīng)選A.20. 若函數(shù)滿足，則 （ ）A. B. C. D. 解：令,則,故有,應(yīng)選C.21. 若 則 ( )A B C D 解: ,應(yīng)選C.22.直線與平面的位置關(guān)系為 A. 直線與平面斜交 B. 直線與平面垂直 C. 直線在平面內(nèi) D. 直線與平面平行

23、解： ,而點(-2,-4,0)不在平面內(nèi),為平行,應(yīng)選D.23. （ ） A. 2 B.3 C. 1 D.不存在 解: ,應(yīng)選A.24.曲面在點（1，2，5）處切平面方程（ ）A BC D解:令,也可以把點（1，2，5）代入方程驗證,應(yīng)選A.25.設(shè)函數(shù)，則 （ ）A. B. C. D. 解: ,應(yīng)選B.26.如果區(qū)域D被分成兩個子區(qū)域和且，,則 ( )A. 5 B. 4 C. 6 D.1解:根據(jù)二重積分的可加性, ,應(yīng)選C.27.如果是擺線從點到點的一段弧，則 ( )A. B. C. D. 解:有此積分與路徑無關(guān),取直線段從變到0,則 ,應(yīng)選C.28.以通解為（為任意常數(shù)）的微分方程為 (

24、) A. B. C. D. 解: ,應(yīng)選B.29. 微分方程的特解形式應(yīng)設(shè)為 （ ）A . B. C. D.解:-1是單特征方程的根,是一次多項式,應(yīng)設(shè),應(yīng)選A.30下列四個級數(shù)中，發(fā)散的級數(shù)是 （ ）A. B. C. D. 解:級數(shù)的一般項的極限為,是發(fā)散的,應(yīng)選B.得分評卷人二、填空題（每題2分，共30分）31的_條件是. 解：顯然為充要(充分且必要).32. 函數(shù)在區(qū)間單調(diào) ，其曲線在區(qū)間內(nèi)的凹凸性為 的. 解：在內(nèi)單調(diào)增加,在內(nèi)大于零,應(yīng)為凹的. 33.設(shè)方程為常數(shù))所確定的隱函數(shù) ,則_.解： .34. .解: .35. .解：函數(shù)在區(qū)間是奇函數(shù)，所以.36. 在空間直角坐標(biāo)系中,以為頂點的的面積為_ .解：，所以的面積為.37. 方程在空間直角坐標(biāo)下的圖形為_.解:是橢圓柱面與平面的交線,為兩條平行直線.38.函數(shù)的駐點為 . 解: . 39.若，則 . 解: .40.解: .41.直角坐標(biāo)系下的二重積分(其中為環(huán)域)化為極坐標(biāo)形式為_.解：.42.以為通解的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為 .解:由為通解知,有二重特征根-3,從而,微分方程為.43.等比級數(shù),當(dāng)_時級數(shù)收斂,當(dāng)_時級數(shù)發(fā)散.解: 級數(shù)是等比級數(shù), 當(dāng)時,級數(shù)收斂,當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.44.函數(shù)展開為的冪級數(shù)為_解: .45.的斂