數(shù)字圖像處理：Ch4 頻率域?yàn)V波-3

1、Ch4 頻率域?yàn)V波本章學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT）以及基于DFT濾波的圖像增強(qiáng)方法。4.1 基本概念（Fourier Series、Fourier Transform of Continuous variables、Convolution theorem）4.2 取樣和取樣函數(shù)的傅里葉變換4.3 一維離散傅里葉變換4.4 二維離散傅里葉變換4.5 頻率域?yàn)V波Before that.復(fù)習(xí)&補(bǔ)充4.2 取樣和取樣函數(shù)的傅里葉變換4.3 一維離散傅里葉變換正變換公式逆變換公式正變換公式其中u=0,1, M-1， v=0,1, N-14.

2、4 二維離散傅里葉變換逆變換公式 式中 m = 0,1, , M-1，n = 0,1, , N-1空間域頻譜4.4 二維離散傅里葉變換空間域頻譜4.4 二維離散傅里葉變換離散傅里葉變換的性質(zhì)平移周期性思考：如何將F的原點(diǎn)平移到圖像中心？（0,0）（0,0）離散傅里葉變換的性質(zhì)FFT(快速傅里葉變換)傅里葉變換計(jì)算復(fù)雜度高，實(shí)際編程實(shí)現(xiàn)時(shí)采用快速傅里葉變換。自行閱讀第4.11節(jié)，并嘗試matlab函數(shù)fft, fft2, fftshift。注意：為了方便進(jìn)行FFT運(yùn)算，通常圖像寬高為2的整數(shù)次方。Ch4 頻率域?yàn)V波本章學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transfo

3、rm，DFT）以及基于DFT濾波的圖像增強(qiáng)方法。4.1 基本概念（Fourier Series、Fourier Transform of Continuous variables、Convolution theorem）4.2 取樣和取樣函數(shù)的傅里葉變換4.3 一維離散傅里葉變換4.4 二維離散傅里葉變換4.5 頻率域?yàn)V波傅里葉變換的頻率分量和圖像空間特征之間的聯(lián)系 低頻對(duì)應(yīng)著圖像的慢變化分量，如圖像的平滑部分 較高的頻率對(duì)應(yīng)圖像中變化越來(lái)越快的灰度級(jí)，如邊緣或噪聲等尖銳部分 變化最慢的頻率成分（u=v=0）,對(duì)應(yīng)一幅圖像的平均灰度級(jí)4.5 頻率域?yàn)V波4.5 頻率域?yàn)V波DFTf(x,y)g(x

4、,y)H(u,v)IDFTG(u,v)F(u,v) 頻率域低通濾波器框圖f(x,y)：含有噪聲的原始圖F(u,v)：是f(x,y)的傅里葉變換H(u,v)：根據(jù)需要選擇的低通濾波器傳遞函數(shù)，在低通濾波器中， H(u,v)使 F(u,v)的高頻分量衰減，使低頻通過。這里要求該濾波器的傳遞函數(shù)對(duì)F(u,v)的R(u,v)和I(u,v)產(chǎn)生同樣的影響，以保證不改變變換的相位，所以稱這種濾波器為零相位移濾波器。G(u,v)：F(u,v)經(jīng)濾波后的頻域函數(shù)，G(u,v)=F(u,v)H(u,v) (u,v=0,1, N-1)g(x,y)：處理后的空域函數(shù)。實(shí)例課本圖4.29原圖傅里葉譜原圖課本圖4.30

5、去除直流分量后低通課本圖4.31高通?1. 理想低通濾波器（ILPF）1) 傳遞（轉(zhuǎn)換）函數(shù)H(u,v)=1 若D(u,v)D00 若D(u,v)D0 式中D0是一個(gè)規(guī)定的非負(fù)量，稱為截止頻率。 D(u,v)是u,v平面上某點(diǎn)(u,v)距原點(diǎn)(0,0)的距離。D(u,v)=(u2+v2)1/2理想濾波器：以D0為半徑的圓內(nèi)的所有頻率分量無(wú)損地通過，圓外的所有分量完全衰減（是一個(gè)分段函數(shù)）。4.5 頻率域?yàn)V波2) 三維透視圖和剖面圖0D0D(u,v)H(u,v)1H(u,v)是距離函數(shù)D(u,v)的函數(shù)的截面圖4.5 頻率域?yàn)V波3) 關(guān)于圖像在頻域的能量分布問題理想低通濾波器的截止頻率的設(shè)計(jì)用E

6、T(u,v)表示圖像在頻域的全部能量；E(u,v)表示能量譜： 則總能量用表示以原點(diǎn)(0,0)或以(N/2,N/2)為圓心，以截止頻率D0為半徑的圓內(nèi)包圍的能量與總能量ET之百分比。4.5 頻率域?yàn)V波Q: 如果選擇小些的D0時(shí)，濾波后的圖像的樣子？A: 亮度足夠（因能量損失不大），但圖像變模糊了。 空域 f(x,y) * h(x,y) = g(x,y)DFTIDFTIDFT頻域 F(u,v)H(u,v) = G(u,v) 頻域中劇烈的濾波（也就是選擇小的D0），則在h(x,y)的NN區(qū)域中產(chǎn)生大量的環(huán)，因此，在g(x,y)中產(chǎn)生明顯的振鈴效應(yīng)。4) 振鈴效應(yīng) 振鈴效應(yīng)理想低通濾波器的一種特性H

7、(u,v)h(x,y)卷積f(x,y)h(x,y)振鈴效應(yīng)例子：2. 巴特沃思（Butterworth）低通濾波器（BLPF） 由于理想低通濾波器截止頻率D0突然截止，引起振鈴效應(yīng)，使圖像模糊。巴特沃思低通濾波器可以克服這一缺點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于截止頻率D0處的H(u,v)不等于零，逐漸衰減。即傳遞函數(shù)H(u,v)中不存在一個(gè)驟然的截止頻率，通常把H(u,v)開始小于其最大值的一定比例的點(diǎn)當(dāng)作其截止頻率。 n是階數(shù) D0 是截止頻率，通常D0值對(duì)應(yīng)于H(u,v)下降到0.5（歸一化后，最大值為1）的D(u,v)值。 其中1) 傳遞函數(shù)（兩種選擇） 其中 n是階數(shù) D0 是截止頻率，通常D0值對(duì)應(yīng)于H(u

8、,v)下降到 （歸一化后，最大值為1）的D(u,v)值。2) 剖面圖Butterworth低通濾波器的截面圖02D(u,v)/D0H(u,v)1H(u,v)作為D(u,v)/D0的函數(shù)的截面圖130.53) 空間圖 Butterworth低通濾波器的三維透視圖H(u,v)作為u、v的函數(shù)的三維透視圖 對(duì)Butterworth低通濾波器的分析 在任何經(jīng)BLPF處理過的圖像中，都沒有明顯的振鈴效應(yīng)，因?yàn)檫@種濾波器的傳遞函數(shù)H(u,v)在低頻和高頻之間是平滑過渡的。Butterworth低通濾波器處理結(jié)果理想低通濾波器處理結(jié)果（有明顯的振鈴效應(yīng)）課設(shè)上的有趣課題：基于圖像的定位，基于DFT、DCT的數(shù)字圖像水印嵌入與提取，基于圖像的人機(jī)交互，互動(dòng)3D游戲The End屆時(shí)歡迎給出建議：Best Poster, Be