《金融工程學(xué)》課件第12章

1、金融工程學(xué)第八章 傳統(tǒng)風(fēng)險資產(chǎn)定價1 第十二章 數(shù)值方法5第十章 互換定價3第三篇 金融資產(chǎn)定價第十一章 期權(quán)定價4第九章 遠(yuǎn)期與期貨定價2本章學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解二叉樹定價的基本原理；掌握二叉樹定價的一般方法和風(fēng)險中性方法；掌握蒙特卡洛期權(quán)定價方法的原理和步驟；了解蒙特卡洛方法在美式期權(quán)和復(fù)雜期權(quán)定價中的應(yīng)用；掌握有限差分方法的原理及其在期權(quán)定價中的應(yīng)用。第十二章 數(shù)值方法第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型一、二叉樹模型 Binomial Options Pricing ModelIn finance, the binomial options pricing model (BOPM) provides

2、a generalizable numerical method for the valuation of options. The binomial model was first proposed by Cox, Ross and Rubinstein in 1979. Essentially, the model uses a “discrete-time” (lattice based) model of the varying price over time of the underlying financial instrument. In general, binomial op

3、tions pricing models do not have closed-form solutions.第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型一、二叉樹模型Similar assumptions underpin both the binomial model and the BlackScholes model, and the binomial model thus provides a discrete time approximation to the continuous process underlying the BlackScholes model. In fact, for Eur

4、opean options without dividends, the binomial model value converges on the BlackScholes formula value as the number of time steps increases. The binomial model assumes that movements in the price follow a binomial distribution; for many trials, this binomial distribution approaches the normal distri

5、bution assumed by BlackScholes.第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型一、二叉樹模型期權(quán)及其他衍生證券定價的二叉樹模型的出發(fā)點(diǎn)是假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價格波動服從二項分布（Binomial Distribution）。離散型隨機(jī)變量服從二式分布需要滿足以下三個條件：在每一次隨機(jī)試驗中，隨機(jī)變量只有兩種可能的結(jié)果，而且是互相對立的；在一系列隨機(jī)試驗中，隨機(jī)變量的結(jié)果發(fā)生的概率保持不變；每次試驗是獨(dú)立的，與其它各次試驗結(jié)果無關(guān)。第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型一、二叉樹模型第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型一、二叉樹模型利用二叉樹模型為風(fēng)險資產(chǎn)估值包括以下三個步驟：（1）構(gòu)造一個關(guān)于目標(biāo)資產(chǎn)價格波動的

6、二叉樹；（2）確定二叉樹中每種可能結(jié)果的概率；（3）利用每個可能的結(jié)果和對應(yīng)的概率，計算目標(biāo)資產(chǎn)在期末的期望價值。第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型二、一般方法 三個基本假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價格服從二項分布，并且二項分布的相關(guān)參數(shù)可以通過歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行合理估計；市場不存在賣空約束，投資者可以通過把標(biāo)的資產(chǎn)和基于標(biāo)的資產(chǎn)的某種衍生證券進(jìn)行合理組合，從而構(gòu)造出無風(fēng)險資產(chǎn)的現(xiàn)金流；市場不存在套利機(jī)會。 二叉樹無套利定價法：一個歐式看漲期權(quán)的例子 二叉樹無套利定價法：一個歐式看漲期權(quán)的例子1單位股票組合終值在完全套期保值的情況下，無論標(biāo)的股票的價格是上漲還是下跌，上述投資組合的終值都是一樣的，即： 二叉樹無套利定價法

7、：一個歐式看漲期權(quán)的例子 二叉樹無套利定價法：一個歐式看漲期權(quán)的例子 二叉樹無套利定價法：一個歐式看漲期權(quán)的例子通過上述例子中求解歐式看漲期權(quán)價格的過程，我們可以總結(jié)出利用二叉樹模型定價的過程，包括以下三個步驟：構(gòu)造關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價格波動的二叉樹，并根據(jù)目標(biāo)期權(quán)的類型和性質(zhì)確定其在期末的價值分布；利用目標(biāo)衍生證券和標(biāo)的資產(chǎn)構(gòu)造出無風(fēng)險組合；計算無風(fēng)險組合的現(xiàn)值，并根據(jù)無套利原理求解衍生證券的價格。第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型三、風(fēng)險中性模型將適當(dāng)變形得到令進(jìn)一步變?yōu)榈谝还?jié) 二叉樹期權(quán)定價模型三、風(fēng)險中性模型第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型三、風(fēng)險中性模型第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型四、參數(shù)估計Cox、Ro

8、ss and Rubinstein（1979）證明，用二叉樹模型描述資產(chǎn)價格的波動時，如果每期二叉樹時間間隔趨近于0，二叉樹資產(chǎn)價格模型趨近于幾何布朗運(yùn)動（Geometric Brownian Motion），二叉樹資產(chǎn)價格模型可以用來近似表示風(fēng)險中性假設(shè)下資產(chǎn)價格的連續(xù)運(yùn)動。Cox and Rubinstein（1985）將二叉樹期權(quán)定價模型應(yīng)用于標(biāo)的資產(chǎn)支付股利的美式期權(quán)的定價，同時證明當(dāng)Black and Scholes提出的某些假設(shè)不成立時，二叉樹期權(quán)定價模型也具有實(shí)用性。Brennan and Schwartz（1978）、Cox and Rubinstein（1985）分析了資產(chǎn)價

9、格波動的連續(xù)模型與二叉樹模型之間的聯(lián)系，并且證明在很多嚴(yán)格的情況下，盡管標(biāo)的資產(chǎn)價格不存在解析解，二叉樹模型同樣可以用來為期權(quán)等衍生證券定價，定價結(jié)果與偏微分方程數(shù)值解是一致的。二叉樹期權(quán)定價方法也可以用來處理標(biāo)的資產(chǎn)支付收益的情況，有興趣的同學(xué)可以參考Cox et al.（1979）、Pliska（1997）。第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型五、多期二叉樹二叉樹模型期權(quán)的到期現(xiàn)金流第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型六、美式期權(quán)：一個看漲期權(quán)的例子第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型七、三叉樹期權(quán)定價模型和二叉樹期權(quán)定價模型一樣，三叉樹期權(quán)定價模型的出發(fā)點(diǎn)是假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價格波動服從三項分布，即標(biāo)的資產(chǎn)的價格在每個小

10、的時間周期末有三種可能的結(jié)果。第一節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型七、三叉樹期權(quán)定價模型求解上述方程組得到：第二節(jié) Monte Carlo模擬隨著衍生市場的發(fā)展，各種新的衍生證券不斷出現(xiàn)，很多衍生證券到期日的收益都存在路徑依賴（Path Dependent）的特性，而且其中一些衍生證券的標(biāo)的資產(chǎn)不再局限于單一資產(chǎn)，這使得利用二叉樹模型來定價可能隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)呈指數(shù)增加而變得不可行。而Monte Carlo方法在處理多項標(biāo)的資產(chǎn)以及路徑依賴等問題上則非常有效。最早闡述Monte Carlo方法在金融中的應(yīng)用的是赫茲（David B. Hertz），1965年他在哈佛經(jīng)濟(jì)評論上的論文系統(tǒng)討論了Monte Car

11、lo方法在公司金融和風(fēng)險管理中的應(yīng)用。1977年，加拿大學(xué)者博伊爾（Phelim P. Boyle）在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志上發(fā)表了一篇討論Monte Carlo方法在期權(quán)定價中的應(yīng)用的文章。目前，MC方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)的方方面面，當(dāng)然最主要的應(yīng)用還在復(fù)雜金融衍生證券的定價和風(fēng)險管理上。第二節(jié) Monte Carlo模擬一、原理與步驟 用 Monte Carlo 的方法估計圓周率圖12.8 用Monte Carlo的方法估計圓周率第二節(jié) Monte Carlo模擬一、原理與步驟 用 Monte Carlo 的方法求定積分圖12.9 用Monte Carlo的方法估計定積分11第二節(jié) Mo

12、nte Carlo模擬一、原理與步驟 Monte Carlo 的方法的基本思想Monte Carlo方法基本思想：當(dāng)所要求解的問題可以轉(zhuǎn)化為某個事件發(fā)生的概率，或者是某個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)的量時，可以通過建立一個概率模型或隨機(jī)過程，然后通過某種實(shí)驗的方法得到該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機(jī)變量若干個具體觀察值的算術(shù)平均值，然后通過某種實(shí)驗的方法得到該事件的概率，將概率適當(dāng)轉(zhuǎn)換即可得到問題的解，解的精度可以用估計值的標(biāo)準(zhǔn)誤差表示。第二節(jié) Monte Carlo模擬一、原理與步驟 Monte Carlo 的方法解決問題的基本步驟用Monte Carlo模擬的方法解決問題的可

13、以歸納為3個步驟：（1）建立概率模型或隨機(jī)過程，將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問題；（2）從已知概率模型或隨機(jī)過程中進(jìn)行抽樣，并對抽樣結(jié)果進(jìn)行觀察和記錄；（3）建立合適的估計量，并通過必要的轉(zhuǎn)換得到問題的解。第二節(jié) Monte Carlo模擬二、隨機(jī)路徑的產(chǎn)生 （1）連續(xù)隨機(jī)過程如果影響衍生證券價值的標(biāo)的資產(chǎn)只有一個（如某股票期權(quán)），假設(shè)標(biāo)的股票價格服從幾何布朗運(yùn)動，根據(jù)伊藤引理我們有:結(jié)合對數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)，求解上式可以得到：第二節(jié) Monte Carlo模擬二、隨機(jī)路徑的產(chǎn)生 （1）連續(xù)隨機(jī)過程第二節(jié) Monte Carlo模擬二、隨機(jī)路徑的產(chǎn)生 （2）跳躍擴(kuò)散過程雖然大部分關(guān)于衍

14、生證券定價的模型都假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價格波動是連續(xù)的隨機(jī)過程，但是也有很多研究發(fā)現(xiàn)實(shí)際市場上資產(chǎn)價格經(jīng)常發(fā)生跳躍，資產(chǎn)價格的分布往往具有尖峰厚尾的特征。Monte Carlo的方法也可以用來模擬這樣的隨機(jī)過程。第二節(jié) Monte Carlo模擬二、隨機(jī)路徑的產(chǎn)生 （2）跳躍擴(kuò)散過程第二節(jié) Monte Carlo模擬二、隨機(jī)路徑的產(chǎn)生 （2）跳躍擴(kuò)散過程第二節(jié) Monte Carlo模擬三、期權(quán)定價 （1）歐式期權(quán)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)到期日的價值分別可以表示為第二節(jié) Monte Carlo模擬三、期權(quán)定價 （2）路徑依賴期權(quán)第二節(jié) Monte Carlo模擬三、期權(quán)定價 （2）路徑依賴期權(quán)第二節(jié)

15、Monte Carlo模擬三、期權(quán)定價 （2）路徑依賴期權(quán)第二節(jié) Monte Carlo模擬三、期權(quán)定價 （2）路徑依賴期權(quán)第二節(jié) Monte Carlo模擬三、期權(quán)定價 （3）多種標(biāo)的資產(chǎn)期權(quán)第二節(jié) Monte Carlo模擬三、期權(quán)定價 （3）多種標(biāo)的資產(chǎn)期權(quán)第二節(jié) Monte Carlo模擬三、期權(quán)定價 （4）美式期權(quán)第三節(jié) 有限差分方法一、基本原理B-S微分方程是有限差分方法的理論和模型基礎(chǔ)。根據(jù)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的價格滿足幾何布朗運(yùn)動假設(shè)時，基于標(biāo)的資產(chǎn)的任何一種衍生證券的價格都滿足B-S微分方程：第三節(jié) 有限差分方法二、B-S微分方程的差分形式根據(jù)一階偏導(dǎo)差分形式的選

16、擇，建立與偏微分方程相應(yīng)的差分方程有多種形式。從求解的方法來看，可以分為隱性差分（Implicit Difference）和顯性差分（Explicit Difference）兩種。其中隱性差分求解的過程必須通過求解一個代數(shù)方程組才能得到微分方差的解；顯性差分求解的過程更為直觀，通過直接運(yùn)算即可求出。第三節(jié) 有限差分方法二、B-S微分方程的差分形式 （1）隱性差分（Implicit Difference）圖12.11 隱性差分方法第三節(jié) 有限差分方法二、B-S微分方程的差分形式 （2）顯性差分（Explicit Difference）圖12.12 顯性差分方法第三節(jié) 有限差分方法三、美式期權(quán)定價本章小結(jié)本章介紹了三類最基本的期權(quán)定價數(shù)值方法：二叉樹模型、蒙特卡洛模擬和有限差分方法。二項期權(quán)定價模型假設(shè)股價波動只有向上和向下兩