全國(guó)高中物理競(jìng)賽專題六機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波

1、專題六機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波【基本內(nèi)容】一、機(jī)械振動(dòng)1、物體在它的平衡位置附近所作的往復(fù)運(yùn)動(dòng)如聲源的振動(dòng)、鐘擺的擺動(dòng)等2、產(chǎn)生振動(dòng)的條件：有恢復(fù)力的作用且所受阻力足夠小3、回復(fù)力：物體離開平衡位置時(shí)所受到的指向平衡位置的力二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)1、簡(jiǎn)諧振動(dòng)：如果一個(gè)物體振動(dòng)的位移按余弦（或正弦） 函數(shù)的規(guī)律時(shí)間變化, 稱這種運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)2、周期與頻率：物體進(jìn)行一次全振動(dòng)（振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全重復(fù)一次）所需要的時(shí)間, 稱為振動(dòng)的周期T ；單位時(shí)間的全振動(dòng)次數(shù)稱為頻率, 2秒內(nèi)的全振動(dòng)次數(shù)稱為圓頻率3、振幅 A：質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的最大位移的絕對(duì)值, 稱為振幅4、相位：振動(dòng)方程中的t稱為相位5、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線

2、：振動(dòng)位移時(shí)間的變化關(guān)系曲線稱為振動(dòng)曲線如圖所示x/cmx/cm10105012t/s01t/s-10-10(b)(a)6、旋轉(zhuǎn)矢量表示法如圖所示 , 當(dāng)矢量 OM 繞其始點(diǎn)（坐標(biāo)原點(diǎn)）以角速度做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) , 其末端在 x 軸上的投影點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量與共振1、以彈簧振子為例, 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量為MOPxE EKEP1 mv21 kx21 kA22222、阻尼振動(dòng)：在阻尼作用下振幅逐漸減少的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng), 其振動(dòng)方程為xA0e t cos( t)式中 ,為阻尼因子 ,為振動(dòng)的圓頻率, 它與固有圓頻率0 和阻尼因子關(guān)系為2203、受迫振動(dòng)： 在周期性外力作用下的振動(dòng) ,

3、稱為受迫振動(dòng) , 在穩(wěn)定情況下 , 受迫振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng) , 振動(dòng)頻率等于外力的頻率 , 與振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率無關(guān) , 其振幅為2h2A)2 ( 022 )2(2當(dāng)強(qiáng)迫力的頻率等于系統(tǒng)固有頻率時(shí), 系統(tǒng)將有最大的振動(dòng)振幅, 這種現(xiàn)象稱為共振 強(qiáng)迫力的頻率偏離系統(tǒng)的固有頻率越大, 振幅則越小四、兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成有如下四種形式的合成：1、同方向、 同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成, 合成的結(jié)果仍然是與分振動(dòng)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng) , 合振動(dòng)的振幅和相分別為AA12A222A1 A2 cos(21 )tanA1 sin1A2sin2A1 cosA2cos122、同方向、頻率相近的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成, 合成的結(jié)果不

4、再是簡(jiǎn)諧振動(dòng), 合振動(dòng)的振幅隨時(shí)間緩慢地周期性變化, 稱為“拍”的頻率拍的頻率123、相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成, 合成運(yùn)動(dòng)的軌跡方程是x2y22xy cos( 21 ) sin 2 ( 2 1 )A12A22A1A24、相互垂直、頻率之比為整數(shù)比的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成, 這時(shí)是有一定規(guī)律的穩(wěn)定閉合曲線,形成李薩如圖形五、機(jī)械波1、機(jī)械振動(dòng)在彈性媒質(zhì)中的傳播, 稱為機(jī)械波 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直時(shí),稱為橫波；當(dāng)振動(dòng)方向與波的傳播方向一致時(shí), 稱為縱波2、波的周期（頻率） 、波長(zhǎng)和波速一個(gè)完整波通過媒質(zhì)中某點(diǎn)所需的時(shí)間, 稱為波的周期 , 在波源和觀察 （接收） 者相對(duì)媒質(zhì)靜止時(shí) , 波

5、的周期就是各媒質(zhì)元的振動(dòng)周期, 用符號(hào) T 表示單位時(shí)間內(nèi)通過媒質(zhì)中某點(diǎn)的完整波的數(shù)目, 稱為波的頻率 , 波的頻率就是各媒質(zhì)元的振動(dòng)頻率 , 用符號(hào)表示 , 周期和頻率反映了波在時(shí)間上的周期性, 有關(guān)系式T1沿波的傳播方向上相位差為2 的兩點(diǎn)間的距離 , 一個(gè)完整波形的長(zhǎng)度, 稱為波的波長(zhǎng) ,用符號(hào)表示 , 波長(zhǎng)反映了波在空間的周期性單位時(shí)間內(nèi)某振動(dòng)狀態(tài)傳播的距離, 稱為波速 , 又稱相速 , 用符號(hào) u 表示 , 上述各量之間有如下關(guān)系 uT3、波面和波線波動(dòng)過程中 , 介質(zhì)中振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成的面稱為波陣面, 簡(jiǎn)稱波面 , 而某一時(shí)刻 , 最前面的波面 , 稱為該時(shí)刻的波前沿波的傳播方

6、向所作的有向曲線稱為波射線, 簡(jiǎn)稱波線六、平面簡(jiǎn)諧波yA若波源和波線上各質(zhì)點(diǎn)都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的連續(xù)波稱為簡(jiǎn)諧波,00 xA簡(jiǎn)諧波是最基本的波, 各種復(fù)雜的波都可以看成許多不同頻率的簡(jiǎn)諧波的合成在波動(dòng)中 , 每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都在進(jìn)行振動(dòng), 對(duì)一個(gè)波的完整的描述, 應(yīng)該是給出波動(dòng)中任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程, 這種方程稱為波函數(shù), 平面簡(jiǎn)諧在理想的無吸收的均勻無限大介質(zhì)中傳播的波函數(shù)表達(dá)式為yA cos(tx )A cos 2 ( tx )Acos 2( xut )uT式中 , “ - ”代表沿軸正方向傳播的波, “ +”代表沿軸反方向傳播的波七、波的能量、能流和能流密度波的能量包括媒質(zhì)中質(zhì)元的振動(dòng)動(dòng)能和因媒質(zhì)形變

7、產(chǎn)生的彈性勢(shì)能, 可以采用能量密度表示 , 即媒質(zhì)單位體積內(nèi)的波動(dòng)能量, 稱為波的能量密度, 用表示 , 有dEA2 2 sin 2txdVu考慮一個(gè)周期內(nèi)能量的平均值, 稱為平均能量 , 用表示,則有1TTdt1A2 22伴隨波的傳播, 波的能量也在傳播, 將單位時(shí)間通過傳播方向上單位面積的( 平均 ) 能量 ,稱為平均能流密度, 又稱波的強(qiáng)度用符號(hào)I 表示 , 有Iu八、波的干涉和衍射1、惠更斯原理在波的傳播過程中 , 波陣面上的一點(diǎn)都可以看做是發(fā)射子波的波源 , 在其后的任一時(shí)刻 , 這些子波的包跡就成為新的波陣面 , 這就是惠更斯原理2、波的疊加原理幾列波在同一介質(zhì)空間相遇時(shí), 每一列

8、波都將獨(dú)立地保持自已原有的特性, 并不會(huì)因其他波的存在而改變, 在它們重疊區(qū)域內(nèi), 一點(diǎn)的振動(dòng)是各列單獨(dú)在該點(diǎn)引起振動(dòng)的矢量和, 波的這種性質(zhì)稱為波的疊加原理3、波的干涉滿足相干條件的波在空間相遇疊加時(shí) , 某些點(diǎn)的振動(dòng)始終加強(qiáng) , 另一些點(diǎn)的振動(dòng)始終減弱, 在空間形成一個(gè)穩(wěn)定的分布 , 這種現(xiàn)象稱為波的干涉 , 兩束相干波的合振幅為AA12A222A1 A2 cos2其中21(r2 r1 )4、波的衍射波在傳播中遇到障礙物時(shí)改變傳播方向, 傳到障礙 “陰影” 區(qū)域的現(xiàn)象叫做波的衍射發(fā)生明顯衍射現(xiàn)象的條件是：障礙物或孔的尺寸比波長(zhǎng)小, 或者跟波長(zhǎng)相差不多九、駐波由兩列同振幅, 相向傳播的相干波

9、疊加而成的波, 稱為駐波, 相應(yīng)的駐波方程為y2 Acos2x cos2十、聲波彈性媒質(zhì)中, 各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的傳播過程稱為“聲波”, 它是一種機(jī)械波起源于發(fā)聲體的、振動(dòng)頻率在2020000Hz的聲波能引起人的聽覺, 又稱可聽聲波, 頻率在10420Hz的機(jī)械波稱為次聲波,頻率在 21042108 Hz 的機(jī)械波稱為超聲波1、聲波的反射、干涉和衍射聲波遇到障礙物而改變?cè)瓉韨鞑シ较虻默F(xiàn)象稱為聲波的反射圍繞發(fā)生的音叉轉(zhuǎn)一周聽到忽強(qiáng)忽弱的聲音,這種現(xiàn)象實(shí)際上就是聲波的干涉由于聲波的波長(zhǎng)在17cm17m 之間 ,聲波很容易繞過障礙物進(jìn)行傳播我們把這一現(xiàn)象叫聲波的衍射2、聲音的共鳴共鳴就聲音的共振現(xiàn)象樂音與噪

10、音好聽、悅耳的聲音叫樂音,是由周期性振動(dòng)的聲源發(fā)出的嘈雜刺耳的聲音為噪音,是由非周期性振動(dòng)的聲源產(chǎn)生的4、音調(diào)、響度和音品是樂音的三要素音調(diào)：基音頻率的高低,基頻高則稱音調(diào)高響度：聲音強(qiáng)弱的主觀描述,跟人、聲強(qiáng)（單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于聲波傳播方向的單位面積的能量）等有關(guān)音品：俗稱音色,它反映了不同聲源發(fā)出的聲音具有不同的特色,音品由聲音所包含的語言的強(qiáng)弱和頻率決定十一、多普勒效應(yīng)當(dāng)波源、觀察者相對(duì)傳播波的介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí), 觀察接受到的頻率偏離波源頻率的現(xiàn)象, 稱為多普勒現(xiàn)象 , 有如下關(guān)系uRRsuR式中 ,R 為觀察接收的頻率, 依賴于觀察者相對(duì)于媒質(zhì)的速率( vR ) 和波源相對(duì)于媒質(zhì)的速率 (

11、 vs ), vs 為波源的頻率, u 為波速【例題】例 1如圖所示，彈簧下端固定在水平桌面上，當(dāng)質(zhì)量為m1 的 A 物體連接在彈簧的上端并保持靜止時(shí)，彈簧被壓縮了長(zhǎng)度a 。現(xiàn)有質(zhì)量為m2 的 B 物體，從高為h 處自由落下，試求：1）B 物體和 A 物體發(fā)生完全非彈性碰撞，彈簧振子的振幅和初位相各為多少？周期多大？2）B 物體和 A 物體發(fā)生彈性碰撞，彈簧振子的振幅和周期多大？寫B(tài)h出振動(dòng)方程（只考慮一次碰撞）。A設(shè)設(shè)彈簧的質(zhì)量可以略去不計(jì)，把彈簧開始運(yùn)動(dòng)時(shí)作為時(shí)間的起點(diǎn)，x軸以向下為正。解： 1） B 和 A 粘在一起運(yùn)動(dòng)，總質(zhì)量為m1m2 ，振動(dòng)周期Tm1m22a m1m22m1 gk設(shè)

12、平衡位置為 O 點(diǎn)， B 和 A 發(fā)生碰撞處離 O 點(diǎn)的位移 bm2 g , b x0 為初位置。k碰撞后共同速度為 v0m22gh ，它的方向和x 軸方向相同。m1m2由振動(dòng)能量公式得1 m1 m2 v021 kx02 1 kA2222所以Ax2m1m2 v2m22a 22m22ha0k0m12m1 m1 m2由初始條件 x0Acos 0 , v0A sin0 ，得tan0v0,x00tan 1v0.x0所以0tan1 m12m1hm2a m1m2而 x0 0,v00.得3022） B 和 A 發(fā)生彈性碰撞，碰撞后B 和 A 又分開， A 物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期T 2m12akgA 物體振動(dòng)的

13、平衡位置是原來B 和 A 碰撞的位置，所以初始位置x 00B 和 A 發(fā)生彈性碰撞，所以m22ghm2v2m1v1 ,.1 m 2 gh1 m v21 m v222222112m22gh解得v1m1m2式中的 v1 為 A 物體振動(dòng)的初始速度v0 ，由振動(dòng)的能量公式得1 mv021 kA222所以Am1 v02m22ahkm1m2由于 v0 方向和 x 方向相同，初始位置就是平衡位置，所以在用余弦函數(shù)表示的振動(dòng)方程中初位相為，振動(dòng)方程為2x Acos t2m22ah cosg t2m1m2a 2例 2 一彈簧振子 ,兩端為質(zhì)量都是 m0.1kg 、大小不計(jì)的物體A 、 B 中間為一靜止長(zhǎng)度為

14、l0 ,勁度系數(shù)為 k0,質(zhì)量可以忽略的理想彈簧,現(xiàn)此振子自某一高度、BxV0A 端在下 ,豎直的自由下落至一水平桌面開始下落時(shí), A 距桌面的高度為MH2m ,開始時(shí)彈簧無伸長(zhǎng)或壓縮, A 與桌面發(fā)生彈性碰撞后躍離桌面,當(dāng)V00AA 第二次接觸桌面時(shí) ,發(fā)現(xiàn)彈簧的壓縮達(dá)到最大求k0 之值；圖（ a）1）彈簧的勁度系數(shù)2） A 第二次與桌面接觸時(shí)的速度解：取 x 坐標(biāo)軸沿豎直方向,原點(diǎn)在桌面 ,方向向上 ,振子豎直下落 ,彈簧無壓縮或伸長(zhǎng),故A 、 B 均為自由落體 ,當(dāng) A 到達(dá)桌面時(shí) , A 、 B 的速度相同 ,均為VAVB2ghV0（ 1）命 A 與桌面碰撞之時(shí)刻為t0 ,即 t0 時(shí)

15、 ,A 與桌面發(fā)生彈性碰撞而反向此時(shí)有VAV0 ,VBV0 ,（ 2）X A0,X Bl0 ,暫不考慮重力之影響,則由圖（ a）可知 , A 、B 相向運(yùn)動(dòng) ,壓縮彈簧 ,而產(chǎn)生簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) , t 0時(shí),彈簧無形變 ,由（ 2）之初條件 ,可以寫出 A 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)之運(yùn)動(dòng)方程XA( t )X s i n 2 f t0（ 3）V( t)V c o s 2 f tA0（ 3）式中 ,已知 V02gh , X 0 、 f 待定由圖可知 , 在振動(dòng)運(yùn)動(dòng)中 , A 、 B 相向運(yùn)動(dòng) ,中點(diǎn) M 不動(dòng)故振動(dòng)可視作M 固定的兩個(gè)振子,振子 MA （或 MB ）之等效勁度系數(shù)為k, k2k0 ,故有fk m 22

16、k0 m 2（ 4）振子 A 之最大振動(dòng)動(dòng)能為1 mV02,最大振動(dòng)勢(shì)能為1 2k0 X02,21 mV021 2k02X 0222X 0 V0 m 2 k0（ 5）現(xiàn)在考慮重力的效應(yīng),重力的存在使得A 、 B 在振動(dòng)的同時(shí) ,還在作自由落體運(yùn)動(dòng)在時(shí)間 0t 的期間 ,重力使A 產(chǎn)生的位移為gt2 2故在 t0 時(shí) , A 的坐標(biāo)應(yīng)為X (t )X 0 sin 2 ftgt 2 2（ 6）彈簧最大壓縮時(shí)為t1 ,此時(shí)應(yīng)有2 f1t2（ 7）t1 時(shí), X A (t1 ) X 0 ,VA (t1) 0此時(shí) , A 與桌面發(fā)生第二次碰撞,即應(yīng)有X (t1 ) X0 sin 2 ft1 gt12 2

17、 0由（ 7）、（ 8）兩式可得gX02)2 ( 4f代入 X 0 、 f 之值 ,有m2k02gh1 2 g 122k0 mk04256 mgh代入各量的數(shù)值 ,有 k00.19N m當(dāng) A 與桌面第二次撞擊時(shí),其振動(dòng)速度為零,故其速度就是t1 時(shí)的自由落體速度V (t1 )gt18.0m s例 3 如果沿地球的直徑挖一條隧道 ,求物體從此隧道一端自由釋放到達(dá)另一端所需的時(shí)間 ,設(shè)地球是一個(gè)密度均勻的球體,不考慮阻力 , 地球半徑為 R ,如圖（a）所示解：考察質(zhì)量為 m 的物體在隧道中離地心距離r 時(shí)的受力 ,它可r以看作受兩個(gè)力：一是半徑為r 的球體所產(chǎn)生的引力,一是內(nèi)外半徑OR為r和

18、R 的均勻球殼對(duì)m,b所產(chǎn)生的引力 如圖（）所示圖（ a）球殼對(duì) A 點(diǎn)的物體的 m 的引力 ,等于組成球殼的所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)m 產(chǎn)生引力的矢量和,現(xiàn)將球殼分成很多的薄殼層,如圖（ c）所示 ,過 A 點(diǎn)可做 n 對(duì)圓錐體（ n 很大） ,圖中只畫出一對(duì) ,圓錐體將殼層分割成小體積元V ,由萬有引力定律 ,它們對(duì) A 點(diǎn)的的引力為f1Gm1mr12f2Gm2mrr22R式中 m1S1r , m2S2rO因?yàn)閮蓤A錐體的頂角（立體角）相同,則S1S2圖（ b ）r2r 212由以上三式可得f1f 2也就是說：m1 與m2 對(duì) m 的引力大小相等、方向相反,合力為零所以整個(gè)殼層上的質(zhì)點(diǎn)對(duì) m 的引力的合力

19、為零地球?qū) 的引力 ,就等于以物體距地心距離的距離r 為半徑的球體所產(chǎn)生的引力 ,力指向地心 O ,大小為S1r 3mMmr1FrAGM3r2G3RR其中 M 為地球的質(zhì)量 ,因 GMg ,所以R2r2Fmg rS2R物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng) ,振動(dòng)角頻率為mg Rg圖（ c）mR物體由隧道一端到達(dá)另一端所需時(shí)間tTR2g例 4 圓柱體浮標(biāo)的小運(yùn)動(dòng)某種海上浮標(biāo)由一個(gè)輕質(zhì)實(shí)心圓柱體和一根剛性勻質(zhì)細(xì)桿連接而成圓柱體的半徑為a ,長(zhǎng)度為 l ,質(zhì)量均勻分布 ,密度為細(xì)桿的質(zhì)量等于圓柱體的質(zhì)量 ,長(zhǎng)度等于圓柱體的直徑,密度遠(yuǎn)大于海水密度（海水密度記為0 ）設(shè)浮標(biāo)處于如圖 （ a）所示平衡位置1）試導(dǎo)出圖中角與

20、之間的關(guān)系設(shè)細(xì)桿體積很小,忽略不計(jì)02）若浮標(biāo)因受到某種干擾而豎直下壓了一個(gè)小量,從而在其平衡位置附近上下振動(dòng),如圖（b）所示試確定這種豎直方向振動(dòng)的角頻率,結(jié)果用 a 、 g 和表達(dá)（其中g(shù) 為重力加速度）aaz圖（ a）圖（ b）解： 1）因?yàn)楦?biāo)總質(zhì)量（包括圓柱體和細(xì)桿）為M2 a2l浮標(biāo)排開水的體積小于a2l ,排開水的質(zhì)量小于a2l0 ,由圖（ a）中所示 ,必有a2l02 a2l即2利用幾何知識(shí)易得排開水的體積為Vla 2sincos此式中取值范圍為：0利用平衡條件,浮標(biāo)重量等于水的浮力,即2 a2 lla 2sincos0得到與的關(guān)系為01sin cos11 sin 202222

21、）取水面為豎直向上z 軸的坐標(biāo)原點(diǎn) ,平衡時(shí)與水平面同高的圓柱上一點(diǎn)為代表點(diǎn)（可取在過柱中心豎直方向的直徑上的點(diǎn)）,當(dāng)浮標(biāo)上下振動(dòng)時(shí),可用此代表點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行描述設(shè)運(yùn)動(dòng)中浮標(biāo)的坐標(biāo)為z （代表點(diǎn)的坐標(biāo)） 由于浮標(biāo)重力不變,當(dāng) z 為正時(shí) ,浮力減小 ,合力為負(fù)則重力和浮力的合力為Fla 2sincosla 2sincos0 g0 gla 2sincossincos在小振動(dòng)情況下,1 利用三角函數(shù)公式以及sin,cos1 ,并略去二級(jí)小量 ,化簡(jiǎn)得F0 gla 2 2sin 22a 0lg sinz這里已利用： asinz 這是一個(gè)與z 成正比 ,方向與 z 方向相反的線性回復(fù)力 （此處稱準(zhǔn)彈簧力

22、） 浮標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程為Maz2a 0lg sinz振動(dòng)角頻率為2a 0lg sing sin0Ma代入 1）中結(jié)論 ,最后得2g sinasincos例 5 兩個(gè)倔強(qiáng)系數(shù)為k ，質(zhì)量為 m 的相同彈簧振子1、2置于光滑水平臺(tái)面，固定端分別為 A、B ，兩振子間又用倔強(qiáng)系數(shù)為3 k 的彈簧Ak3kkB2122相連，如圖所示，今使兩振子以相同頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，求振動(dòng)頻率。x1x2解：設(shè)兩振子的位移各為x1、 x2 （各以自己平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)） ，如圖所示，則兩振子所受的力各為F1kx13k x2x1,2F2kx23kx1 .x22若兩振子作同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們所受的力應(yīng)該與各自的位移成正比，方向

23、指向平衡位置。由于兩振子質(zhì)量相同，所受力與位移的比例系數(shù)應(yīng)相同，即應(yīng)有F1kx13k x2x1ax1 ,2F2kx23k x2x1ax2 .2兩式整理后得5kx13kax2223k x15ka x222兩式相除得225k3ka22a1 k, a24k.根據(jù)諧振規(guī)律，得兩種振動(dòng)角頻率1k , 22 kmm將兩振子向同一方向拉開相同位移后靜止釋放，它們就將以同一頻率1 振動(dòng)；將兩振子向相反方向拉開相同位移后靜止釋放，它們就將以同一頻率2 振動(dòng)。例 6一個(gè)大容器中裝有互不相溶的兩種液體,它們的密度分別為1和（12）現(xiàn)2讓一長(zhǎng)為 L 、密度為 1 ( 12 ) 的均勻木棍 ,豎直地放在上面的液體內(nèi),其

24、下端離兩液體分界2面的距離為3 L ,由靜止開始下落試計(jì)算木棍到達(dá)最低處所需的時(shí)間假定由于木棍運(yùn)動(dòng)4而產(chǎn)生的液體阻力可以忽略不計(jì),且兩液體都足夠深,保證木棍始終都在液體內(nèi)部運(yùn)動(dòng),未露出液面 ,也未與容器相碰解： 1）用 S 表示木棍的橫截面積, 從靜止開始到其下端到達(dá)兩液體交界面為止, 在這過程中 , 木棍受向下的重力1 (12 ) LSg 和向上的浮力1LSg 由牛頓第二定律可知, 其下2落的加速度a121 g（ 1）12用 t 表示所需的時(shí)間 , 則13 L1 a t 2（ 2）421 1由此解得t13L (12 )（ 3）2(21) g2）木棍下端開始進(jìn)入下面液體后, 用 L 表示木棍在

25、上面液體中的長(zhǎng)度, 這時(shí)木棍所受重力不變 ,仍為 1( 12)LSg ,但浮力變?yōu)? L Sg2 ( LL )Sg 當(dāng) LL時(shí), 浮力小于重2力；當(dāng) L 0 時(shí) , 浮力大于重力 , 可見有一個(gè)合力為零的平衡位置用L0表示在此平衡位置時(shí), 木棍在上面液體中的長(zhǎng)度, 則此時(shí)有1 (12) LSg1L Sg2(LL) Sg（ 4）200由此可得L0L（ 5）2即木棍的中點(diǎn)處于兩液體交界處時(shí), 木棍處于平衡狀態(tài), 取一坐標(biāo)系 , 其原點(diǎn)位于交界面上 , 豎直方向?yàn)?z 軸 , 向上為正 , 則當(dāng)木棍中點(diǎn)的坐標(biāo)z 0 時(shí) , 木棍所受合力為零當(dāng)中點(diǎn)坐標(biāo)為 z 時(shí), 所受合力為11zSg 21( 2 1

26、 )Sgz kz( 12 ) LSg1LL z Sg222式中k(21) Sg（ 6）這時(shí)木棍的運(yùn)動(dòng)方程為kz1 (12) LSaz2az 為沿 z方向加速度az2(21) gz2z( 12 ) L2(21 ) g（ 7）22 ) L(1由此可知為簡(jiǎn)諧振動(dòng), 其周期T22(12 )L（ 8）2(1 ) g2為了求同時(shí)在兩種液體中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,先求振動(dòng)的振幅 A木棍下端剛進(jìn)入下面液體時(shí) ,其速度v a1t1（ 9）由機(jī)械能守恒可知1 1 (12 )SL v21 kz21 kA2（ 10）2222式中 z1 L 為此時(shí)木棍中心距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離, 由（1）、（ 3）、2（9）式可求得 v , 再將 v

27、 和（ 6）式中的 k 代人（ 10）式得AL（ 11）由此可知 , 從木棍下端開始進(jìn)入下面液體到棍中心到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)所走的距離是振幅的一半 , 從參考圓（如圖）上可知 , 對(duì)應(yīng)的為30 , 對(duì)應(yīng)的時(shí)間為 T /12 因此木棍從下端開始進(jìn)入下面液體到上端進(jìn)入下面液體所用的時(shí)間, 即棍中心從 zL 到 zL 所用22的時(shí)間為t22T(12)L（12）1232(1 )g3）從木棍全部浸入下面液體開始, 受力情況的分析和1中類似 , 只是浮力大于重力, 所以做勻減速運(yùn)動(dòng) , 加速度的數(shù)值與a1 一樣 , 其過程和 1中情況相反地對(duì)稱, 所用時(shí)間t3t1（ 13）4）總時(shí)間為t t1 t2 t6 62(

28、36(12 )L（14）1) g例 7某一作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振子,從最大正向位移處開始計(jì)時(shí),經(jīng) 1s回復(fù)力的即時(shí)功率達(dá)到最大值 ,且在振動(dòng)過程中即時(shí)功率數(shù)值（絕對(duì)值）最大的兩位置間的距離為40cm ,振子質(zhì)量m 為 1kg 1）試作出振子的振動(dòng)圖線；2）求出 t 從零時(shí)刻到第一次回復(fù)力的即時(shí)功率達(dá)到最大值時(shí)振子的動(dòng)能Ek 和這一過程中振子受到的沖量解： 1）設(shè)振子作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程表示為xAcost則對(duì)任一位移x ,回復(fù)力可表示為FkxkA cost速度為vAsint這樣回復(fù)力的功率P 可表示為PFvkA2 sint cos tkA2 sin 2t2當(dāng) sin 2 t 1,即 tT 8時(shí),回復(fù)力的功率

29、P 最大 ,由此得T8s由題意可知 , t 1s 時(shí), x20cm ,即20Acos 218得A202cm這樣 ,振子的振動(dòng)方程表示為y202 costcmy cm4202故振子的振動(dòng)圖線如圖所示02610t sm得2022）由T 2kk42m2N/mT 216則振動(dòng)的能量為E總1kA 20.025 J2因振動(dòng)過程中總機(jī)械能守恒,故EkE總1kx20.01251mv222而Imv1N s 0.157 N s20例 8如圖（a）所示 ,同一平面內(nèi)三點(diǎn)：o、 A、 B ,在此面內(nèi)放置一剛性桿,桿中點(diǎn)在 o ,桿可在平面內(nèi)繞o 點(diǎn)調(diào)節(jié)方位 桿上離 o 點(diǎn)兩邊等距離的兩點(diǎn)S1 和 S2 假設(shè) S1 和

30、 S2 兩點(diǎn)處各有一振動(dòng)方向相同,頻率相同的波源,各向同性地向四周傳播正弦簡(jiǎn)諧波當(dāng)桿在某一位置時(shí) , S1、S2 傳至 A 點(diǎn)或 B 點(diǎn)均產(chǎn)生波的疊加,若 A 處振動(dòng)最大時(shí), B 處正好振動(dòng)最小（近乎零）在此情況下 ,求桿上 S1 和 S2 最小距離、 桿的方位以及兩波源振動(dòng)的位相差設(shè) oA、oB 遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)和桿長(zhǎng),AoBAS1S2BoS2S1圖（ a）圖（ b）解：設(shè)桿上 S1和 S2 的間距為 l ,桿方向（ S1 指向 S2）與 oB 的方向（ o 指向 B ）夾角為,與 oA 方向的夾角為,如圖（ a）所示設(shè)波源S1 的振動(dòng)位相落后于波源S2 的振動(dòng)位相因 A點(diǎn)離o點(diǎn)很遠(yuǎn),所以由S和

31、S 發(fā)出的波到達(dá)A 的波程差為,12l cos兩波抵達(dá) A 的相位差為2l cos同理 ,由 S1 和 S2 發(fā)出的波達(dá)B 點(diǎn)的相位差為B2l cos為使 A 處振動(dòng)最大時(shí) , B 處振動(dòng)最小 ,應(yīng)有條件AB2n1即l2coscos2n1利用三角公式改寫為l22sinsin2n122解得 S1 和 S2 間距離2n1l4sinsin22為使 l 最小 ,有兩種取法：1） n0,由此得22l min4sin1222其中表示在AoB 的平分線上 ,再加表示 SS 的方向在圖（ a）中角平分線2122方向再逆時(shí)針轉(zhuǎn)的方向如圖（b）所示2在這種情況下,為使 A 處振動(dòng)最大 ,應(yīng)滿足2k22k即l co

32、s1因此 , S1 和 S2 兩振動(dòng)的位相差滿足lcos22k21 2k21cos22k4sin222） n1,2,由此得2lmin4sin2222這種情況表示SS12 的方向在圖（ a）中角平分線方向再順時(shí)針轉(zhuǎn)的方向 ,即圖（ b）中2SS12 方向的反方向即圖（b）中 , S1 和 S2対調(diào)位置在這種情況下,為使 A 處振動(dòng)最大 ,應(yīng)滿足：2Ak即2l cos22k得 S、S 兩振動(dòng)的位相差12lcos2 2k2 2k 22 22k2cos4sin22以上 lmin、 、就是題文中所求例 9一平面簡(jiǎn)諧波向負(fù)y 方向傳播 ,振幅為6m,圓頻率6 rad s ,當(dāng) t2s 時(shí) ,距原點(diǎn) O 1

33、2cm 處的 A 點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為 xA 3cm,vA0 ；而距原點(diǎn)22cm 處的 B 點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為 xB0,vB 0 ,設(shè)波長(zhǎng)10cm ,求波動(dòng)方程 （用余弦函數(shù)） 表示并畫出 t 0時(shí)的波形圖解：設(shè)波動(dòng)方程為x 6costyvB 點(diǎn)在 t2s 時(shí)的狀態(tài)為xB6cos62220vvB36sin62202v故62222n（ 1）v2A 點(diǎn)在 t2s 時(shí)的狀態(tài)為xA6cos62123vvA36sin61202v故62122n3（ 2）v因 A、B 間的距離小于波長(zhǎng),所以（ 1）和（ 2）式中的 n 應(yīng)相等 ,由（ 1）減（ 2）式得7 2 c m s將 v 代入（ 1）式 ,應(yīng)在 0 到 2內(nèi)取

34、值 ,得,或 233故所求的波動(dòng)方程為x6cos6y4t372波長(zhǎng)vTv 224cm當(dāng) t0時(shí) ,波形圖如圖所示x6-16-12-8-448121620y-6例 10 兩輛汽車 A 與 B ,在 t0 時(shí)從十字路口 O 處以速度 vA 和 vB 沿水平的、相互正交的公路勻速前進(jìn) ,如圖（ a）所示 ,汽車 A 持續(xù)的以固定的頻率0 鳴笛 ,求在任意時(shí)刻 t 汽車 B 的司機(jī)所檢測(cè)到的笛聲頻率已知聲速為u ,且當(dāng)然有 u vA、vB 解：如圖所示 , t 時(shí)刻汽車 B 位于 B t 處 ,距 O 點(diǎn)距離為 vB t ,此時(shí)傳播到汽車 B 的笛聲不是 t 時(shí)刻而是較早時(shí)刻由A 車發(fā)出的 ,汽車 A

35、 發(fā)出此笛聲時(shí)位于A(t1 ) 處 ,距 O 點(diǎn)的距離為vA t1 ,此笛聲由發(fā)出點(diǎn)到接收點(diǎn)（t 時(shí)刻汽車 B 所在點(diǎn)）所傳播的路程為u t t1 ,由幾何關(guān)系可知OAvAA t1A t1vAOBB tvBB tvB圖（ a）圖（ b）222（ 1）vB tvAt1u t t1即u2vA2 t122u 2tt1u2vB2 t 20這是以 t1 為變量的一元二次方程,其解為t1u 2u 2 vA2vB2vA2vB2tu2vA2由于 u2u2vA2 ,但 t1t ,所以上式只能取減號(hào)u2u2 v2v2v2v2t1ABABu2vA2t（ 2）u2 v2Av2BvA2 vB2vA2t t12vA2t（

36、 3）u令u2 vA2vB2vA2vB2k（ 4）有u2kkvA2（ 5）t1u2 vA2 t, t t1u2vA2 t在 t1 時(shí)刻 ,位于 A(t1 ) 處的汽車 A 發(fā)出的笛聲沿直線（即波線）A t1 B t 在 t 時(shí)刻傳到B t 處,以A t 、B t 分別表示車速與笛聲傳播方向的夾角,有1coscosA t1vAt1vAu2k（ 6）u t t1u k vA2B tvBtvBu2vA2（ 7）t t1uk vA2u令 v 表示 B 車司機(jī)接收到笛聲的頻率,由多普勒效應(yīng)可知uvB c o s B t（ 8）u0vA c o s A t1由（ 6） -（ 8）式 ,得u2u2Av2Bv

37、2vA2 vB2vA2Bv2 u 2Av2u2v2u2 v2v2v2 v20AABAB例 11 將一根長(zhǎng)為 100 多厘米的均勻弦線 ,沿水平的 x 軸放置 ,拉緊并使兩端固定現(xiàn)對(duì)離固定的右端 25cm 處（取該處為原點(diǎn) O ,如圖（ a）所示）的弦上一點(diǎn)施加一個(gè)沿垂直于弦線方向（即 y 軸方向）的擾動(dòng) ,其位移隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖預(yù)（ b）所示該擾動(dòng)將沿弦線傳播而形成波（孤立的脈沖波） 已知該波在弦線中的傳播速度為 2.5 cm/s ,且波在傳播和反射過程中都沒有能量損失1）試在圖（ a）中準(zhǔn)確地畫出自 O 點(diǎn)沿弦向右傳播的波在 t 2.5 s 時(shí)的波形圖2）該波向右傳播到固定點(diǎn)時(shí)將發(fā)生反射

38、,反射波向左傳播 ,反射點(diǎn)總是固定不動(dòng)的這可看成是向右傳播的波和向左傳播的波相疊加,使反射點(diǎn)的位移始終為零由此觀點(diǎn)出發(fā),試在圖（ a）中準(zhǔn)確地畫出 t 12.5 s 時(shí)的波形圖3）在圖（ a）中準(zhǔn)確地畫出 t 10.5 s時(shí)的波形圖圖（ a）圖（ b）解： t2.5s , t10.5 s 和 t12.5s 的波形如圖（ c）所示圖（ c）其中 10.5 s時(shí)的波形, 如果沒有固定點(diǎn)應(yīng)如AB 所示 , 以固定點(diǎn)D 對(duì)稱作出反射波B C , 再和 AC 合成 , 形成了 AED 如圖（ d）12.5 s 的波形 , 如果沒有固定點(diǎn)應(yīng)如AB 所示 ,以固定點(diǎn)對(duì)稱作出反射波A B 如圖（ e）圖（ d

39、）圖（ e）例 12質(zhì)量為 m 的一系列小球用勁度系數(shù)為k 的相同的小彈簧等間距（間距為d ）地連成一排 ,如圖所示 當(dāng)左端小球作頻率為的左右簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí),此振動(dòng)將自左向右逐一傳播,使各小球相繼作同頻率、同幅度的振動(dòng),求振動(dòng)狀態(tài)的傳播速度（設(shè)k ）m解：這是一個(gè)彈性媒質(zhì)中傳播縱波的被簡(jiǎn)化了的物理模型由于小球間彈簧作用力的有限特性以及每個(gè)小球的慣性,左端小球的振動(dòng)狀態(tài)將逐一向右傳播 ,右邊小球的振動(dòng)狀態(tài)將逐一落后于左邊小球的振動(dòng)狀態(tài),即傳播速度為有限值又由于系統(tǒng)的對(duì)稱性,每個(gè)小球的振動(dòng)狀態(tài)比其相鄰左邊小球的振動(dòng)狀態(tài)落后相同的相位,設(shè)為每個(gè)小球在各自平衡位置附近的振動(dòng)頻率相同又因?yàn)闊o能量損耗,每個(gè)小

40、球的振幅均相等因此 ,我們可以把第n 個(gè)小球的振動(dòng)位移寫成xn Acos( t n )（ 1）其中 , A 為振幅 ,為角頻率dmkmkmkmkmkmxn 1xnxn 1與此同時(shí) ,我們還可以寫出第n 個(gè)小球的動(dòng)力學(xué)方程：mank xn 1xn k xn xn 1k xn 1xn 1 2kxn（ 2）其中 xn 1 , xn , xn 1 為第 n1,n, n1 個(gè)小球在運(yùn)動(dòng)中的位移第n 個(gè)小球在運(yùn)動(dòng)中受到相鄰兩小球間的彈性力作用（注意：這就是簡(jiǎn)化模型的特點(diǎn),即第 n 個(gè)小球不受較遠(yuǎn)小球的作用力 ,而且相鄰小球間的作用力用彈性力近似）將方程（ 1）代入動(dòng)力學(xué)方程（2） ,得m 2 A cos(

41、t n)kA cos tn 1costn12kA cost n其中已利用 an2 A cos(tn ) 再利用三角公式 ,整理得m 2 Ac o s ( tn)2k A c o stnc o sk2Ac o st n2k A 1 c o sc o st n（ 3）為使（ 3）式在運(yùn)動(dòng)中任意時(shí)刻始終成立,即與時(shí)間 t 無關(guān) ,必須滿足m 22k 1 cos（ 4）利用題文所給條件2k1,則1所以,因而 1 cosm112cos2代入式（ 4）得mk位相落后可以確定振動(dòng)時(shí)間上的落后,即tmk因此 ,振動(dòng)的傳播速度為vdd ktm由此 ,可以說明 ,質(zhì)量越大（即慣性越大）,傳播速度越慢：彈簧k 值越

42、大（即彈簧越硬） ,傳播速度越快【訓(xùn)練題】1、一根未被固定的質(zhì)量為m 的勻質(zhì)彈簧 ,在作用其一端的恒力F 作用F下沿光滑水平面運(yùn)動(dòng)若將此彈簧一端固定在天花板上懸掛起來,則彈簧此時(shí)長(zhǎng)度比運(yùn)動(dòng)時(shí)短 如圖所示 ,為使彈簧長(zhǎng)度與恒力F 作用下水平運(yùn)動(dòng)時(shí)相等,問在彈簧下端應(yīng)掛質(zhì)量M 為多少的重物？M2、懸掛在同一高度的兩根不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)繩,繩長(zhǎng)均為 l ,下面掛一質(zhì)量為 M 的光滑勻質(zhì)薄平板平板中央有一質(zhì)量為m 的光滑小木塊開始系統(tǒng)處于靜止懸掛狀態(tài),兩繩互相平行如圖所示,而后在兩繩平面內(nèi)給平板一個(gè)小的水平速度v0 ,此板即做小角擺動(dòng)求小擺動(dòng)的周期（提示 ,當(dāng)很小時(shí) ,有近似式 sin,cos112 ）m

43、Mv023、如圖所示,彈簧振子系統(tǒng)中mM2 k gk ,1 0t0 時(shí)N, xm 10cm,0vkk00 , 在0Mh1cm 高處有一質(zhì)量為m0.4kg 的小物體下落,當(dāng) M 沿 xOx0 x軸負(fù)向通過平衡位置時(shí),小物體剛好落在M 上 ,且無反彈 ,試求此后兩物體一起運(yùn)動(dòng)的規(guī)律4、如圖所示 ,U 形槽置于光滑水平面上,其質(zhì)量為 M ,一質(zhì)量為kkm 的物塊用兩根勁度系數(shù)均為k 的輕彈簧與 U 形槽相連接 ,系統(tǒng)初始靜止 ,現(xiàn)作用一水平恒力F 于 U 形槽后 ,試求物塊相對(duì)于槽的運(yùn)動(dòng)Fm規(guī)律5、如圖所示 ,在水平桌面上的中心有一光滑小孔O ,一條勁度系數(shù)為k 的輕Cv0而細(xì)的彈性繩穿過小孔,繩的

44、一段系一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn) ,彈性繩自然長(zhǎng)度等于OOlOA 現(xiàn)將質(zhì)點(diǎn)沿桌面拉至B 處（設(shè) OB l ）,并將質(zhì)點(diǎn)沿垂直于OB 的方向以速度 v0 沿桌面拋出 ,試求：A1）質(zhì)點(diǎn)繞 O 點(diǎn)轉(zhuǎn)過 900 至 C 點(diǎn)所需的時(shí)間2）質(zhì)點(diǎn)到達(dá)C 點(diǎn)時(shí)的速度及C 點(diǎn)至 O 點(diǎn)的距離、如圖所示,質(zhì)量為 M 的箱內(nèi)懸一彈性系數(shù)為k 的彈簧彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球,6,彈簧原長(zhǎng)為 l0 , 箱內(nèi)上下底間距為 l 初始時(shí)箱底離地面高度為h ,并靜止小球在彈力和重力作用下達(dá)平衡某時(shí) ,箱子自由下落 ,落地時(shí)與地作完全非彈性碰撞設(shè)箱著地時(shí),彈簧長(zhǎng)度正好與初始未下落時(shí)的彈簧長(zhǎng)度相等求Mk1） h 的最小值為多大？lm2）

45、在 1）的條件下 ,當(dāng)箱子著地后 ,小球不會(huì)與箱底碰撞的最小l 值題h中設(shè) mM 7、單擺由一根長(zhǎng)為l2 的輕質(zhì)桿和桿段質(zhì)量為m 的重物組成 ,若在桿中某點(diǎn)處另加一質(zhì)量為 m 的重物 ,試求擺的運(yùn)動(dòng)周期最多改變百分之幾？8、一根勁度系數(shù)為k 的輕彈簧水平放置,一端固定 ,另一端連接一個(gè)質(zhì)量為m 的物塊 ,放在水平桌面上, 現(xiàn)將物塊沿彈簧長(zhǎng)度方向拉離平衡位置O ,使它到 O 點(diǎn)的距離為x0 時(shí)靜止釋放 ,此后物體在平衡位置附近來回運(yùn)動(dòng) ,由于摩擦 ,振動(dòng)不斷衰減 ,當(dāng)物塊第 n 次速度為零時(shí) ,恰好停在平衡位置處 ,求物體與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)9、如圖所示 ,兩質(zhì)量同為 m 的薄木板 ,用一條質(zhì)量

46、可以忽略、勁度系數(shù)為k 的彈簧相連 ,置于靠墻光滑的水平地面上若先把彈簧壓縮d0,然后釋放 ,Cd01）試論述木塊 B 離墻后兩木塊相對(duì)于它們的中心C 將作BA什么運(yùn)動(dòng)：2）試求出反映出此運(yùn)動(dòng)特征的主要物理量10、如圖所示 ,一水平橫桿 MN 距水平地面高為 1 米,橫桿下用NMA細(xì)線懸掛一小球A , A 通過一根輕彈簧與另一相同的小球B 相連靜止不動(dòng)時(shí) ,彈簧伸長(zhǎng) 3cm,今將懸線球 A 的細(xì)線燒斷 , A、 B 便與彈簧一起往下運(yùn)動(dòng)假設(shè)已經(jīng)知道,在重力作用下 A、 B 與彈簧B合成的系統(tǒng)的重心作自由落體運(yùn)動(dòng),而且發(fā)現(xiàn)當(dāng) B 觸及地面上的橡皮泥橡皮泥時(shí) ,彈簧的伸長(zhǎng)剛好為 3cm然后 B 與橡皮泥發(fā)生完全非彈性碰撞 ,試求彈簧相對(duì)其自由長(zhǎng)度的最大壓縮量11