全國高中物理競賽專題六機械振動與機械波

1、專題六機械振動和機械波【基本內(nèi)容】一、機械振動1、物體在它的平衡位置附近所作的往復(fù)運動如聲源的振動、鐘擺的擺動等2、產(chǎn)生振動的條件：有恢復(fù)力的作用且所受阻力足夠小3、回復(fù)力：物體離開平衡位置時所受到的指向平衡位置的力二、簡諧振動1、簡諧振動：如果一個物體振動的位移按余弦（或正弦） 函數(shù)的規(guī)律時間變化, 稱這種運動為簡諧振動2、周期與頻率：物體進行一次全振動（振動物體運動狀態(tài)完全重復(fù)一次）所需要的時間, 稱為振動的周期T ；單位時間的全振動次數(shù)稱為頻率, 2秒內(nèi)的全振動次數(shù)稱為圓頻率3、振幅 A：質(zhì)點離開平衡位置的最大位移的絕對值, 稱為振幅4、相位：振動方程中的t稱為相位5、簡諧振動的振動曲線

2、：振動位移時間的變化關(guān)系曲線稱為振動曲線如圖所示x/cmx/cm10105012t/s01t/s-10-10(b)(a)6、旋轉(zhuǎn)矢量表示法如圖所示 , 當(dāng)矢量 OM 繞其始點（坐標(biāo)原點）以角速度做勻速轉(zhuǎn)動時 , 其末端在 x 軸上的投影點P 的運動簡諧振動三、簡諧振動的能量與共振1、以彈簧振子為例, 簡諧振動的能量為MOPxE EKEP1 mv21 kx21 kA22222、阻尼振動：在阻尼作用下振幅逐漸減少的振動稱為阻尼振動, 其振動方程為xA0e t cos( t)式中 ,為阻尼因子 ,為振動的圓頻率, 它與固有圓頻率0 和阻尼因子關(guān)系為2203、受迫振動： 在周期性外力作用下的振動 ,

3、稱為受迫振動 , 在穩(wěn)定情況下 , 受迫振動是簡諧振動 , 振動頻率等于外力的頻率 , 與振動系統(tǒng)的固有頻率無關(guān) , 其振幅為2h2A)2 ( 022 )2(2當(dāng)強迫力的頻率等于系統(tǒng)固有頻率時, 系統(tǒng)將有最大的振動振幅, 這種現(xiàn)象稱為共振 強迫力的頻率偏離系統(tǒng)的固有頻率越大, 振幅則越小四、兩個簡諧振動的合成有如下四種形式的合成：1、同方向、 同頻率的簡諧振動合成, 合成的結(jié)果仍然是與分振動同方向、同頻率的簡諧振動 , 合振動的振幅和相分別為AA12A222A1 A2 cos(21 )tanA1 sin1A2sin2A1 cosA2cos122、同方向、頻率相近的簡諧振動的合成, 合成的結(jié)果不

4、再是簡諧振動, 合振動的振幅隨時間緩慢地周期性變化, 稱為“拍”的頻率拍的頻率123、相互垂直的同頻率簡諧振動的合成, 合成運動的軌跡方程是x2y22xy cos( 21 ) sin 2 ( 2 1 )A12A22A1A24、相互垂直、頻率之比為整數(shù)比的兩簡諧振動合成, 這時是有一定規(guī)律的穩(wěn)定閉合曲線,形成李薩如圖形五、機械波1、機械振動在彈性媒質(zhì)中的傳播, 稱為機械波 當(dāng)質(zhì)點振動方向和波的傳播方向垂直時,稱為橫波；當(dāng)振動方向與波的傳播方向一致時, 稱為縱波2、波的周期（頻率） 、波長和波速一個完整波通過媒質(zhì)中某點所需的時間, 稱為波的周期 , 在波源和觀察 （接收） 者相對媒質(zhì)靜止時 , 波

5、的周期就是各媒質(zhì)元的振動周期, 用符號 T 表示單位時間內(nèi)通過媒質(zhì)中某點的完整波的數(shù)目, 稱為波的頻率 , 波的頻率就是各媒質(zhì)元的振動頻率 , 用符號表示 , 周期和頻率反映了波在時間上的周期性, 有關(guān)系式T1沿波的傳播方向上相位差為2 的兩點間的距離 , 一個完整波形的長度, 稱為波的波長 ,用符號表示 , 波長反映了波在空間的周期性單位時間內(nèi)某振動狀態(tài)傳播的距離, 稱為波速 , 又稱相速 , 用符號 u 表示 , 上述各量之間有如下關(guān)系 uT3、波面和波線波動過程中 , 介質(zhì)中振動相位相同的點連成的面稱為波陣面, 簡稱波面 , 而某一時刻 , 最前面的波面 , 稱為該時刻的波前沿波的傳播方

6、向所作的有向曲線稱為波射線, 簡稱波線六、平面簡諧波yA若波源和波線上各質(zhì)點都作簡諧振動的連續(xù)波稱為簡諧波,00 xA簡諧波是最基本的波, 各種復(fù)雜的波都可以看成許多不同頻率的簡諧波的合成在波動中 , 每一個質(zhì)點都在進行振動, 對一個波的完整的描述, 應(yīng)該是給出波動中任一質(zhì)點的振動方程, 這種方程稱為波函數(shù), 平面簡諧在理想的無吸收的均勻無限大介質(zhì)中傳播的波函數(shù)表達式為yA cos(tx )A cos 2 ( tx )Acos 2( xut )uT式中 , “ - ”代表沿軸正方向傳播的波, “ +”代表沿軸反方向傳播的波七、波的能量、能流和能流密度波的能量包括媒質(zhì)中質(zhì)元的振動動能和因媒質(zhì)形變

7、產(chǎn)生的彈性勢能, 可以采用能量密度表示 , 即媒質(zhì)單位體積內(nèi)的波動能量, 稱為波的能量密度, 用表示 , 有dEA2 2 sin 2txdVu考慮一個周期內(nèi)能量的平均值, 稱為平均能量 , 用表示,則有1TTdt1A2 22伴隨波的傳播, 波的能量也在傳播, 將單位時間通過傳播方向上單位面積的( 平均 ) 能量 ,稱為平均能流密度, 又稱波的強度用符號I 表示 , 有Iu八、波的干涉和衍射1、惠更斯原理在波的傳播過程中 , 波陣面上的一點都可以看做是發(fā)射子波的波源 , 在其后的任一時刻 , 這些子波的包跡就成為新的波陣面 , 這就是惠更斯原理2、波的疊加原理幾列波在同一介質(zhì)空間相遇時, 每一列

8、波都將獨立地保持自已原有的特性, 并不會因其他波的存在而改變, 在它們重疊區(qū)域內(nèi), 一點的振動是各列單獨在該點引起振動的矢量和, 波的這種性質(zhì)稱為波的疊加原理3、波的干涉滿足相干條件的波在空間相遇疊加時 , 某些點的振動始終加強 , 另一些點的振動始終減弱, 在空間形成一個穩(wěn)定的分布 , 這種現(xiàn)象稱為波的干涉 , 兩束相干波的合振幅為AA12A222A1 A2 cos2其中21(r2 r1 )4、波的衍射波在傳播中遇到障礙物時改變傳播方向, 傳到障礙 “陰影” 區(qū)域的現(xiàn)象叫做波的衍射發(fā)生明顯衍射現(xiàn)象的條件是：障礙物或孔的尺寸比波長小, 或者跟波長相差不多九、駐波由兩列同振幅, 相向傳播的相干波

9、疊加而成的波, 稱為駐波, 相應(yīng)的駐波方程為y2 Acos2x cos2十、聲波彈性媒質(zhì)中, 各質(zhì)點振動的傳播過程稱為“聲波”, 它是一種機械波起源于發(fā)聲體的、振動頻率在2020000Hz的聲波能引起人的聽覺, 又稱可聽聲波, 頻率在10420Hz的機械波稱為次聲波,頻率在 21042108 Hz 的機械波稱為超聲波1、聲波的反射、干涉和衍射聲波遇到障礙物而改變原來傳播方向的現(xiàn)象稱為聲波的反射圍繞發(fā)生的音叉轉(zhuǎn)一周聽到忽強忽弱的聲音,這種現(xiàn)象實際上就是聲波的干涉由于聲波的波長在17cm17m 之間 ,聲波很容易繞過障礙物進行傳播我們把這一現(xiàn)象叫聲波的衍射2、聲音的共鳴共鳴就聲音的共振現(xiàn)象樂音與噪

10、音好聽、悅耳的聲音叫樂音,是由周期性振動的聲源發(fā)出的嘈雜刺耳的聲音為噪音,是由非周期性振動的聲源產(chǎn)生的4、音調(diào)、響度和音品是樂音的三要素音調(diào)：基音頻率的高低,基頻高則稱音調(diào)高響度：聲音強弱的主觀描述,跟人、聲強（單位時間內(nèi)通過垂直于聲波傳播方向的單位面積的能量）等有關(guān)音品：俗稱音色,它反映了不同聲源發(fā)出的聲音具有不同的特色,音品由聲音所包含的語言的強弱和頻率決定十一、多普勒效應(yīng)當(dāng)波源、觀察者相對傳播波的介質(zhì)運動時, 觀察接受到的頻率偏離波源頻率的現(xiàn)象, 稱為多普勒現(xiàn)象 , 有如下關(guān)系uRRsuR式中 ,R 為觀察接收的頻率, 依賴于觀察者相對于媒質(zhì)的速率( vR ) 和波源相對于媒質(zhì)的速率 (

11、 vs ), vs 為波源的頻率, u 為波速【例題】例 1如圖所示，彈簧下端固定在水平桌面上，當(dāng)質(zhì)量為m1 的 A 物體連接在彈簧的上端并保持靜止時，彈簧被壓縮了長度a ?，F(xiàn)有質(zhì)量為m2 的 B 物體，從高為h 處自由落下，試求：1）B 物體和 A 物體發(fā)生完全非彈性碰撞，彈簧振子的振幅和初位相各為多少？周期多大？2）B 物體和 A 物體發(fā)生彈性碰撞，彈簧振子的振幅和周期多大？寫B(tài)h出振動方程（只考慮一次碰撞）。A設(shè)設(shè)彈簧的質(zhì)量可以略去不計，把彈簧開始運動時作為時間的起點，x軸以向下為正。解： 1） B 和 A 粘在一起運動，總質(zhì)量為m1m2 ，振動周期Tm1m22a m1m22m1 gk設(shè)

12、平衡位置為 O 點， B 和 A 發(fā)生碰撞處離 O 點的位移 bm2 g , b x0 為初位置。k碰撞后共同速度為 v0m22gh ，它的方向和x 軸方向相同。m1m2由振動能量公式得1 m1 m2 v021 kx02 1 kA2222所以Ax2m1m2 v2m22a 22m22ha0k0m12m1 m1 m2由初始條件 x0Acos 0 , v0A sin0 ，得tan0v0,x00tan 1v0.x0所以0tan1 m12m1hm2a m1m2而 x0 0,v00.得3022） B 和 A 發(fā)生彈性碰撞，碰撞后B 和 A 又分開， A 物體做簡諧振動，周期T 2m12akgA 物體振動的

13、平衡位置是原來B 和 A 碰撞的位置，所以初始位置x 00B 和 A 發(fā)生彈性碰撞，所以m22ghm2v2m1v1 ,.1 m 2 gh1 m v21 m v222222112m22gh解得v1m1m2式中的 v1 為 A 物體振動的初始速度v0 ，由振動的能量公式得1 mv021 kA222所以Am1 v02m22ahkm1m2由于 v0 方向和 x 方向相同，初始位置就是平衡位置，所以在用余弦函數(shù)表示的振動方程中初位相為，振動方程為2x Acos t2m22ah cosg t2m1m2a 2例 2 一彈簧振子 ,兩端為質(zhì)量都是 m0.1kg 、大小不計的物體A 、 B 中間為一靜止長度為

14、l0 ,勁度系數(shù)為 k0,質(zhì)量可以忽略的理想彈簧,現(xiàn)此振子自某一高度、BxV0A 端在下 ,豎直的自由下落至一水平桌面開始下落時, A 距桌面的高度為MH2m ,開始時彈簧無伸長或壓縮, A 與桌面發(fā)生彈性碰撞后躍離桌面,當(dāng)V00AA 第二次接觸桌面時 ,發(fā)現(xiàn)彈簧的壓縮達到最大求k0 之值；圖（ a）1）彈簧的勁度系數(shù)2） A 第二次與桌面接觸時的速度解：取 x 坐標(biāo)軸沿豎直方向,原點在桌面 ,方向向上 ,振子豎直下落 ,彈簧無壓縮或伸長,故A 、 B 均為自由落體 ,當(dāng) A 到達桌面時 , A 、 B 的速度相同 ,均為VAVB2ghV0（ 1）命 A 與桌面碰撞之時刻為t0 ,即 t0 時

15、 ,A 與桌面發(fā)生彈性碰撞而反向此時有VAV0 ,VBV0 ,（ 2）X A0,X Bl0 ,暫不考慮重力之影響,則由圖（ a）可知 , A 、B 相向運動 ,壓縮彈簧 ,而產(chǎn)生簡諧運動 , t 0時,彈簧無形變 ,由（ 2）之初條件 ,可以寫出 A 作簡諧振動之運動方程XA( t )X s i n 2 f t0（ 3）V( t)V c o s 2 f tA0（ 3）式中 ,已知 V02gh , X 0 、 f 待定由圖可知 , 在振動運動中 , A 、 B 相向運動 ,中點 M 不動故振動可視作M 固定的兩個振子,振子 MA （或 MB ）之等效勁度系數(shù)為k, k2k0 ,故有fk m 22

16、k0 m 2（ 4）振子 A 之最大振動動能為1 mV02,最大振動勢能為1 2k0 X02,21 mV021 2k02X 0222X 0 V0 m 2 k0（ 5）現(xiàn)在考慮重力的效應(yīng),重力的存在使得A 、 B 在振動的同時 ,還在作自由落體運動在時間 0t 的期間 ,重力使A 產(chǎn)生的位移為gt2 2故在 t0 時 , A 的坐標(biāo)應(yīng)為X (t )X 0 sin 2 ftgt 2 2（ 6）彈簧最大壓縮時為t1 ,此時應(yīng)有2 f1t2（ 7）t1 時, X A (t1 ) X 0 ,VA (t1) 0此時 , A 與桌面發(fā)生第二次碰撞,即應(yīng)有X (t1 ) X0 sin 2 ft1 gt12 2

17、 0由（ 7）、（ 8）兩式可得gX02)2 ( 4f代入 X 0 、 f 之值 ,有m2k02gh1 2 g 122k0 mk04256 mgh代入各量的數(shù)值 ,有 k00.19N m當(dāng) A 與桌面第二次撞擊時,其振動速度為零,故其速度就是t1 時的自由落體速度V (t1 )gt18.0m s例 3 如果沿地球的直徑挖一條隧道 ,求物體從此隧道一端自由釋放到達另一端所需的時間 ,設(shè)地球是一個密度均勻的球體,不考慮阻力 , 地球半徑為 R ,如圖（a）所示解：考察質(zhì)量為 m 的物體在隧道中離地心距離r 時的受力 ,它可r以看作受兩個力：一是半徑為r 的球體所產(chǎn)生的引力,一是內(nèi)外半徑OR為r和

18、R 的均勻球殼對m,b所產(chǎn)生的引力 如圖（）所示圖（ a）球殼對 A 點的物體的 m 的引力 ,等于組成球殼的所有質(zhì)點對m 產(chǎn)生引力的矢量和,現(xiàn)將球殼分成很多的薄殼層,如圖（ c）所示 ,過 A 點可做 n 對圓錐體（ n 很大） ,圖中只畫出一對 ,圓錐體將殼層分割成小體積元V ,由萬有引力定律 ,它們對 A 點的的引力為f1Gm1mr12f2Gm2mrr22R式中 m1S1r , m2S2rO因為兩圓錐體的頂角（立體角）相同,則S1S2圖（ b ）r2r 212由以上三式可得f1f 2也就是說：m1 與m2 對 m 的引力大小相等、方向相反,合力為零所以整個殼層上的質(zhì)點對 m 的引力的合力

19、為零地球?qū) 的引力 ,就等于以物體距地心距離的距離r 為半徑的球體所產(chǎn)生的引力 ,力指向地心 O ,大小為S1r 3mMmr1FrAGM3r2G3RR其中 M 為地球的質(zhì)量 ,因 GMg ,所以R2r2Fmg rS2R物體作簡諧振動 ,振動角頻率為mg Rg圖（ c）mR物體由隧道一端到達另一端所需時間tTR2g例 4 圓柱體浮標(biāo)的小運動某種海上浮標(biāo)由一個輕質(zhì)實心圓柱體和一根剛性勻質(zhì)細桿連接而成圓柱體的半徑為a ,長度為 l ,質(zhì)量均勻分布 ,密度為細桿的質(zhì)量等于圓柱體的質(zhì)量 ,長度等于圓柱體的直徑,密度遠大于海水密度（海水密度記為0 ）設(shè)浮標(biāo)處于如圖 （ a）所示平衡位置1）試導(dǎo)出圖中角與

20、之間的關(guān)系設(shè)細桿體積很小,忽略不計02）若浮標(biāo)因受到某種干擾而豎直下壓了一個小量,從而在其平衡位置附近上下振動,如圖（b）所示試確定這種豎直方向振動的角頻率,結(jié)果用 a 、 g 和表達（其中g(shù) 為重力加速度）aaz圖（ a）圖（ b）解： 1）因為浮標(biāo)總質(zhì)量（包括圓柱體和細桿）為M2 a2l浮標(biāo)排開水的體積小于a2l ,排開水的質(zhì)量小于a2l0 ,由圖（ a）中所示 ,必有a2l02 a2l即2利用幾何知識易得排開水的體積為Vla 2sincos此式中取值范圍為：0利用平衡條件,浮標(biāo)重量等于水的浮力,即2 a2 lla 2sincos0得到與的關(guān)系為01sin cos11 sin 202222

21、）取水面為豎直向上z 軸的坐標(biāo)原點 ,平衡時與水平面同高的圓柱上一點為代表點（可取在過柱中心豎直方向的直徑上的點）,當(dāng)浮標(biāo)上下振動時,可用此代表點的坐標(biāo)進行描述設(shè)運動中浮標(biāo)的坐標(biāo)為z （代表點的坐標(biāo)） 由于浮標(biāo)重力不變,當(dāng) z 為正時 ,浮力減小 ,合力為負則重力和浮力的合力為Fla 2sincosla 2sincos0 g0 gla 2sincossincos在小振動情況下,1 利用三角函數(shù)公式以及sin,cos1 ,并略去二級小量 ,化簡得F0 gla 2 2sin 22a 0lg sinz這里已利用： asinz 這是一個與z 成正比 ,方向與 z 方向相反的線性回復(fù)力 （此處稱準(zhǔn)彈簧力

22、） 浮標(biāo)的動力學(xué)方程為Maz2a 0lg sinz振動角頻率為2a 0lg sing sin0Ma代入 1）中結(jié)論 ,最后得2g sinasincos例 5 兩個倔強系數(shù)為k ，質(zhì)量為 m 的相同彈簧振子1、2置于光滑水平臺面，固定端分別為 A、B ，兩振子間又用倔強系數(shù)為3 k 的彈簧Ak3kkB2122相連，如圖所示，今使兩振子以相同頻率作簡諧振動，求振動頻率。x1x2解：設(shè)兩振子的位移各為x1、 x2 （各以自己平衡位置為坐標(biāo)原點） ，如圖所示，則兩振子所受的力各為F1kx13k x2x1,2F2kx23kx1 .x22若兩振子作同頻率的簡諧振動，它們所受的力應(yīng)該與各自的位移成正比，方向

23、指向平衡位置。由于兩振子質(zhì)量相同，所受力與位移的比例系數(shù)應(yīng)相同，即應(yīng)有F1kx13k x2x1ax1 ,2F2kx23k x2x1ax2 .2兩式整理后得5kx13kax2223k x15ka x222兩式相除得225k3ka22a1 k, a24k.根據(jù)諧振規(guī)律，得兩種振動角頻率1k , 22 kmm將兩振子向同一方向拉開相同位移后靜止釋放，它們就將以同一頻率1 振動；將兩振子向相反方向拉開相同位移后靜止釋放，它們就將以同一頻率2 振動。例 6一個大容器中裝有互不相溶的兩種液體,它們的密度分別為1和（12）現(xiàn)2讓一長為 L 、密度為 1 ( 12 ) 的均勻木棍 ,豎直地放在上面的液體內(nèi),其

24、下端離兩液體分界2面的距離為3 L ,由靜止開始下落試計算木棍到達最低處所需的時間假定由于木棍運動4而產(chǎn)生的液體阻力可以忽略不計,且兩液體都足夠深,保證木棍始終都在液體內(nèi)部運動,未露出液面 ,也未與容器相碰解： 1）用 S 表示木棍的橫截面積, 從靜止開始到其下端到達兩液體交界面為止, 在這過程中 , 木棍受向下的重力1 (12 ) LSg 和向上的浮力1LSg 由牛頓第二定律可知, 其下2落的加速度a121 g（ 1）12用 t 表示所需的時間 , 則13 L1 a t 2（ 2）421 1由此解得t13L (12 )（ 3）2(21) g2）木棍下端開始進入下面液體后, 用 L 表示木棍在

25、上面液體中的長度, 這時木棍所受重力不變 ,仍為 1( 12)LSg ,但浮力變?yōu)? L Sg2 ( LL )Sg 當(dāng) LL時, 浮力小于重2力；當(dāng) L 0 時 , 浮力大于重力 , 可見有一個合力為零的平衡位置用L0表示在此平衡位置時, 木棍在上面液體中的長度, 則此時有1 (12) LSg1L Sg2(LL) Sg（ 4）200由此可得L0L（ 5）2即木棍的中點處于兩液體交界處時, 木棍處于平衡狀態(tài), 取一坐標(biāo)系 , 其原點位于交界面上 , 豎直方向為 z 軸 , 向上為正 , 則當(dāng)木棍中點的坐標(biāo)z 0 時 , 木棍所受合力為零當(dāng)中點坐標(biāo)為 z 時, 所受合力為11zSg 21( 2 1

26、 )Sgz kz( 12 ) LSg1LL z Sg222式中k(21) Sg（ 6）這時木棍的運動方程為kz1 (12) LSaz2az 為沿 z方向加速度az2(21) gz2z( 12 ) L2(21 ) g（ 7）22 ) L(1由此可知為簡諧振動, 其周期T22(12 )L（ 8）2(1 ) g2為了求同時在兩種液體中運動的時間,先求振動的振幅 A木棍下端剛進入下面液體時 ,其速度v a1t1（ 9）由機械能守恒可知1 1 (12 )SL v21 kz21 kA2（ 10）2222式中 z1 L 為此時木棍中心距坐標(biāo)原點的距離, 由（1）、（ 3）、2（9）式可求得 v , 再將 v

27、 和（ 6）式中的 k 代人（ 10）式得AL（ 11）由此可知 , 從木棍下端開始進入下面液體到棍中心到達坐標(biāo)原點所走的距離是振幅的一半 , 從參考圓（如圖）上可知 , 對應(yīng)的為30 , 對應(yīng)的時間為 T /12 因此木棍從下端開始進入下面液體到上端進入下面液體所用的時間, 即棍中心從 zL 到 zL 所用22的時間為t22T(12)L（12）1232(1 )g3）從木棍全部浸入下面液體開始, 受力情況的分析和1中類似 , 只是浮力大于重力, 所以做勻減速運動 , 加速度的數(shù)值與a1 一樣 , 其過程和 1中情況相反地對稱, 所用時間t3t1（ 13）4）總時間為t t1 t2 t6 62(

28、36(12 )L（14）1) g例 7某一作簡諧運動的振子,從最大正向位移處開始計時,經(jīng) 1s回復(fù)力的即時功率達到最大值 ,且在振動過程中即時功率數(shù)值（絕對值）最大的兩位置間的距離為40cm ,振子質(zhì)量m 為 1kg 1）試作出振子的振動圖線；2）求出 t 從零時刻到第一次回復(fù)力的即時功率達到最大值時振子的動能Ek 和這一過程中振子受到的沖量解： 1）設(shè)振子作簡諧運動的方程表示為xAcost則對任一位移x ,回復(fù)力可表示為FkxkA cost速度為vAsint這樣回復(fù)力的功率P 可表示為PFvkA2 sint cos tkA2 sin 2t2當(dāng) sin 2 t 1,即 tT 8時,回復(fù)力的功率

29、P 最大 ,由此得T8s由題意可知 , t 1s 時, x20cm ,即20Acos 218得A202cm這樣 ,振子的振動方程表示為y202 costcmy cm4202故振子的振動圖線如圖所示02610t sm得2022）由T 2kk42m2N/mT 216則振動的能量為E總1kA 20.025 J2因振動過程中總機械能守恒,故EkE總1kx20.01251mv222而Imv1N s 0.157 N s20例 8如圖（a）所示 ,同一平面內(nèi)三點：o、 A、 B ,在此面內(nèi)放置一剛性桿,桿中點在 o ,桿可在平面內(nèi)繞o 點調(diào)節(jié)方位 桿上離 o 點兩邊等距離的兩點S1 和 S2 假設(shè) S1 和

30、 S2 兩點處各有一振動方向相同,頻率相同的波源,各向同性地向四周傳播正弦簡諧波當(dāng)桿在某一位置時 , S1、S2 傳至 A 點或 B 點均產(chǎn)生波的疊加,若 A 處振動最大時, B 處正好振動最?。ń趿悖┰诖饲闆r下 ,求桿上 S1 和 S2 最小距離、 桿的方位以及兩波源振動的位相差設(shè) oA、oB 遠大于波長和桿長,AoBAS1S2BoS2S1圖（ a）圖（ b）解：設(shè)桿上 S1和 S2 的間距為 l ,桿方向（ S1 指向 S2）與 oB 的方向（ o 指向 B ）夾角為,與 oA 方向的夾角為,如圖（ a）所示設(shè)波源S1 的振動位相落后于波源S2 的振動位相因 A點離o點很遠,所以由S和

31、S 發(fā)出的波到達A 的波程差為,12l cos兩波抵達 A 的相位差為2l cos同理 ,由 S1 和 S2 發(fā)出的波達B 點的相位差為B2l cos為使 A 處振動最大時 , B 處振動最小 ,應(yīng)有條件AB2n1即l2coscos2n1利用三角公式改寫為l22sinsin2n122解得 S1 和 S2 間距離2n1l4sinsin22為使 l 最小 ,有兩種取法：1） n0,由此得22l min4sin1222其中表示在AoB 的平分線上 ,再加表示 SS 的方向在圖（ a）中角平分線2122方向再逆時針轉(zhuǎn)的方向如圖（b）所示2在這種情況下,為使 A 處振動最大 ,應(yīng)滿足2k22k即l co

32、s1因此 , S1 和 S2 兩振動的位相差滿足lcos22k21 2k21cos22k4sin222） n1,2,由此得2lmin4sin2222這種情況表示SS12 的方向在圖（ a）中角平分線方向再順時針轉(zhuǎn)的方向 ,即圖（ b）中2SS12 方向的反方向即圖（b）中 , S1 和 S2対調(diào)位置在這種情況下,為使 A 處振動最大 ,應(yīng)滿足：2Ak即2l cos22k得 S、S 兩振動的位相差12lcos2 2k2 2k 22 22k2cos4sin22以上 lmin、 、就是題文中所求例 9一平面簡諧波向負y 方向傳播 ,振幅為6m,圓頻率6 rad s ,當(dāng) t2s 時 ,距原點 O 1

33、2cm 處的 A 點的振動狀態(tài)為 xA 3cm,vA0 ；而距原點22cm 處的 B 點的振動狀態(tài)為 xB0,vB 0 ,設(shè)波長10cm ,求波動方程 （用余弦函數(shù)） 表示并畫出 t 0時的波形圖解：設(shè)波動方程為x 6costyvB 點在 t2s 時的狀態(tài)為xB6cos62220vvB36sin62202v故62222n（ 1）v2A 點在 t2s 時的狀態(tài)為xA6cos62123vvA36sin61202v故62122n3（ 2）v因 A、B 間的距離小于波長,所以（ 1）和（ 2）式中的 n 應(yīng)相等 ,由（ 1）減（ 2）式得7 2 c m s將 v 代入（ 1）式 ,應(yīng)在 0 到 2內(nèi)取

34、值 ,得,或 233故所求的波動方程為x6cos6y4t372波長vTv 224cm當(dāng) t0時 ,波形圖如圖所示x6-16-12-8-448121620y-6例 10 兩輛汽車 A 與 B ,在 t0 時從十字路口 O 處以速度 vA 和 vB 沿水平的、相互正交的公路勻速前進 ,如圖（ a）所示 ,汽車 A 持續(xù)的以固定的頻率0 鳴笛 ,求在任意時刻 t 汽車 B 的司機所檢測到的笛聲頻率已知聲速為u ,且當(dāng)然有 u vA、vB 解：如圖所示 , t 時刻汽車 B 位于 B t 處 ,距 O 點距離為 vB t ,此時傳播到汽車 B 的笛聲不是 t 時刻而是較早時刻由A 車發(fā)出的 ,汽車 A

35、 發(fā)出此笛聲時位于A(t1 ) 處 ,距 O 點的距離為vA t1 ,此笛聲由發(fā)出點到接收點（t 時刻汽車 B 所在點）所傳播的路程為u t t1 ,由幾何關(guān)系可知OAvAA t1A t1vAOBB tvBB tvB圖（ a）圖（ b）222（ 1）vB tvAt1u t t1即u2vA2 t122u 2tt1u2vB2 t 20這是以 t1 為變量的一元二次方程,其解為t1u 2u 2 vA2vB2vA2vB2tu2vA2由于 u2u2vA2 ,但 t1t ,所以上式只能取減號u2u2 v2v2v2v2t1ABABu2vA2t（ 2）u2 v2Av2BvA2 vB2vA2t t12vA2t（

36、 3）u令u2 vA2vB2vA2vB2k（ 4）有u2kkvA2（ 5）t1u2 vA2 t, t t1u2vA2 t在 t1 時刻 ,位于 A(t1 ) 處的汽車 A 發(fā)出的笛聲沿直線（即波線）A t1 B t 在 t 時刻傳到B t 處,以A t 、B t 分別表示車速與笛聲傳播方向的夾角,有1coscosA t1vAt1vAu2k（ 6）u t t1u k vA2B tvBtvBu2vA2（ 7）t t1uk vA2u令 v 表示 B 車司機接收到笛聲的頻率,由多普勒效應(yīng)可知uvB c o s B t（ 8）u0vA c o s A t1由（ 6） -（ 8）式 ,得u2u2Av2Bv

37、2vA2 vB2vA2Bv2 u 2Av2u2v2u2 v2v2v2 v20AABAB例 11 將一根長為 100 多厘米的均勻弦線 ,沿水平的 x 軸放置 ,拉緊并使兩端固定現(xiàn)對離固定的右端 25cm 處（取該處為原點 O ,如圖（ a）所示）的弦上一點施加一個沿垂直于弦線方向（即 y 軸方向）的擾動 ,其位移隨時間的變化規(guī)律如圖預(yù)（ b）所示該擾動將沿弦線傳播而形成波（孤立的脈沖波） 已知該波在弦線中的傳播速度為 2.5 cm/s ,且波在傳播和反射過程中都沒有能量損失1）試在圖（ a）中準(zhǔn)確地畫出自 O 點沿弦向右傳播的波在 t 2.5 s 時的波形圖2）該波向右傳播到固定點時將發(fā)生反射

38、,反射波向左傳播 ,反射點總是固定不動的這可看成是向右傳播的波和向左傳播的波相疊加,使反射點的位移始終為零由此觀點出發(fā),試在圖（ a）中準(zhǔn)確地畫出 t 12.5 s 時的波形圖3）在圖（ a）中準(zhǔn)確地畫出 t 10.5 s時的波形圖圖（ a）圖（ b）解： t2.5s , t10.5 s 和 t12.5s 的波形如圖（ c）所示圖（ c）其中 10.5 s時的波形, 如果沒有固定點應(yīng)如AB 所示 , 以固定點D 對稱作出反射波B C , 再和 AC 合成 , 形成了 AED 如圖（ d）12.5 s 的波形 , 如果沒有固定點應(yīng)如AB 所示 ,以固定點對稱作出反射波A B 如圖（ e）圖（ d

39、）圖（ e）例 12質(zhì)量為 m 的一系列小球用勁度系數(shù)為k 的相同的小彈簧等間距（間距為d ）地連成一排 ,如圖所示 當(dāng)左端小球作頻率為的左右簡諧振動時,此振動將自左向右逐一傳播,使各小球相繼作同頻率、同幅度的振動,求振動狀態(tài)的傳播速度（設(shè)k ）m解：這是一個彈性媒質(zhì)中傳播縱波的被簡化了的物理模型由于小球間彈簧作用力的有限特性以及每個小球的慣性,左端小球的振動狀態(tài)將逐一向右傳播 ,右邊小球的振動狀態(tài)將逐一落后于左邊小球的振動狀態(tài),即傳播速度為有限值又由于系統(tǒng)的對稱性,每個小球的振動狀態(tài)比其相鄰左邊小球的振動狀態(tài)落后相同的相位,設(shè)為每個小球在各自平衡位置附近的振動頻率相同又因為無能量損耗,每個小

40、球的振幅均相等因此 ,我們可以把第n 個小球的振動位移寫成xn Acos( t n )（ 1）其中 , A 為振幅 ,為角頻率dmkmkmkmkmkmxn 1xnxn 1與此同時 ,我們還可以寫出第n 個小球的動力學(xué)方程：mank xn 1xn k xn xn 1k xn 1xn 1 2kxn（ 2）其中 xn 1 , xn , xn 1 為第 n1,n, n1 個小球在運動中的位移第n 個小球在運動中受到相鄰兩小球間的彈性力作用（注意：這就是簡化模型的特點,即第 n 個小球不受較遠小球的作用力 ,而且相鄰小球間的作用力用彈性力近似）將方程（ 1）代入動力學(xué)方程（2） ,得m 2 A cos(

41、t n)kA cos tn 1costn12kA cost n其中已利用 an2 A cos(tn ) 再利用三角公式 ,整理得m 2 Ac o s ( tn)2k A c o stnc o sk2Ac o st n2k A 1 c o sc o st n（ 3）為使（ 3）式在運動中任意時刻始終成立,即與時間 t 無關(guān) ,必須滿足m 22k 1 cos（ 4）利用題文所給條件2k1,則1所以,因而 1 cosm112cos2代入式（ 4）得mk位相落后可以確定振動時間上的落后,即tmk因此 ,振動的傳播速度為vdd ktm由此 ,可以說明 ,質(zhì)量越大（即慣性越大）,傳播速度越慢：彈簧k 值越

42、大（即彈簧越硬） ,傳播速度越快【訓(xùn)練題】1、一根未被固定的質(zhì)量為m 的勻質(zhì)彈簧 ,在作用其一端的恒力F 作用F下沿光滑水平面運動若將此彈簧一端固定在天花板上懸掛起來,則彈簧此時長度比運動時短 如圖所示 ,為使彈簧長度與恒力F 作用下水平運動時相等,問在彈簧下端應(yīng)掛質(zhì)量M 為多少的重物？M2、懸掛在同一高度的兩根不可伸長的輕質(zhì)繩,繩長均為 l ,下面掛一質(zhì)量為 M 的光滑勻質(zhì)薄平板平板中央有一質(zhì)量為m 的光滑小木塊開始系統(tǒng)處于靜止懸掛狀態(tài),兩繩互相平行如圖所示,而后在兩繩平面內(nèi)給平板一個小的水平速度v0 ,此板即做小角擺動求小擺動的周期（提示 ,當(dāng)很小時 ,有近似式 sin,cos112 ）m

43、Mv023、如圖所示,彈簧振子系統(tǒng)中mM2 k gk ,1 0t0 時N, xm 10cm,0vkk00 , 在0Mh1cm 高處有一質(zhì)量為m0.4kg 的小物體下落,當(dāng) M 沿 xOx0 x軸負向通過平衡位置時,小物體剛好落在M 上 ,且無反彈 ,試求此后兩物體一起運動的規(guī)律4、如圖所示 ,U 形槽置于光滑水平面上,其質(zhì)量為 M ,一質(zhì)量為kkm 的物塊用兩根勁度系數(shù)均為k 的輕彈簧與 U 形槽相連接 ,系統(tǒng)初始靜止 ,現(xiàn)作用一水平恒力F 于 U 形槽后 ,試求物塊相對于槽的運動Fm規(guī)律5、如圖所示 ,在水平桌面上的中心有一光滑小孔O ,一條勁度系數(shù)為k 的輕Cv0而細的彈性繩穿過小孔,繩的

44、一段系一質(zhì)量為m的質(zhì)點 ,彈性繩自然長度等于OOlOA 現(xiàn)將質(zhì)點沿桌面拉至B 處（設(shè) OB l ）,并將質(zhì)點沿垂直于OB 的方向以速度 v0 沿桌面拋出 ,試求：A1）質(zhì)點繞 O 點轉(zhuǎn)過 900 至 C 點所需的時間2）質(zhì)點到達C 點時的速度及C 點至 O 點的距離、如圖所示,質(zhì)量為 M 的箱內(nèi)懸一彈性系數(shù)為k 的彈簧彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球,6,彈簧原長為 l0 , 箱內(nèi)上下底間距為 l 初始時箱底離地面高度為h ,并靜止小球在彈力和重力作用下達平衡某時 ,箱子自由下落 ,落地時與地作完全非彈性碰撞設(shè)箱著地時,彈簧長度正好與初始未下落時的彈簧長度相等求Mk1） h 的最小值為多大？lm2）

45、在 1）的條件下 ,當(dāng)箱子著地后 ,小球不會與箱底碰撞的最小l 值題h中設(shè) mM 7、單擺由一根長為l2 的輕質(zhì)桿和桿段質(zhì)量為m 的重物組成 ,若在桿中某點處另加一質(zhì)量為 m 的重物 ,試求擺的運動周期最多改變百分之幾？8、一根勁度系數(shù)為k 的輕彈簧水平放置,一端固定 ,另一端連接一個質(zhì)量為m 的物塊 ,放在水平桌面上, 現(xiàn)將物塊沿彈簧長度方向拉離平衡位置O ,使它到 O 點的距離為x0 時靜止釋放 ,此后物體在平衡位置附近來回運動 ,由于摩擦 ,振動不斷衰減 ,當(dāng)物塊第 n 次速度為零時 ,恰好停在平衡位置處 ,求物體與桌面間的動摩擦因數(shù)9、如圖所示 ,兩質(zhì)量同為 m 的薄木板 ,用一條質(zhì)量

46、可以忽略、勁度系數(shù)為k 的彈簧相連 ,置于靠墻光滑的水平地面上若先把彈簧壓縮d0,然后釋放 ,Cd01）試論述木塊 B 離墻后兩木塊相對于它們的中心C 將作BA什么運動：2）試求出反映出此運動特征的主要物理量10、如圖所示 ,一水平橫桿 MN 距水平地面高為 1 米,橫桿下用NMA細線懸掛一小球A , A 通過一根輕彈簧與另一相同的小球B 相連靜止不動時 ,彈簧伸長 3cm,今將懸線球 A 的細線燒斷 , A、 B 便與彈簧一起往下運動假設(shè)已經(jīng)知道,在重力作用下 A、 B 與彈簧B合成的系統(tǒng)的重心作自由落體運動,而且發(fā)現(xiàn)當(dāng) B 觸及地面上的橡皮泥橡皮泥時 ,彈簧的伸長剛好為 3cm然后 B 與橡皮泥發(fā)生完全非彈性碰撞 ,試求彈簧相對其自由長度的最大壓縮量11