馬爾柯夫鏈預(yù)測(cè)

1、第三節(jié) 馬爾柯夫鏈預(yù)測(cè)馬爾柯夫(Markov)是俄國(guó)數(shù)學(xué)家。馬爾可夫法和博克斯一詹金斯法都是隨機(jī)時(shí)間序列分析法。1馬爾柯夫鏈預(yù)測(cè)馬爾柯夫鏈預(yù)測(cè)是利用某一系統(tǒng)的現(xiàn)狀及其發(fā)展動(dòng)向去預(yù)測(cè)該系統(tǒng)未來(lái)狀況的一種分析方法和技術(shù)。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，在由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)換至另一種狀態(tài)的轉(zhuǎn)換過(guò)程中，存在著轉(zhuǎn)移概率，這種轉(zhuǎn)移概率可以依據(jù)其緊接的前一種狀態(tài)推算出來(lái)，而與該系統(tǒng)的原始狀態(tài)和此次轉(zhuǎn)移以前的有限次或無(wú)限次轉(zhuǎn)移無(wú)關(guān)。系統(tǒng)的這種由一種狀態(tài)至另一種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移過(guò)程為馬爾柯夫過(guò)程，其整體轉(zhuǎn)移過(guò)程稱(chēng)為馬爾柯夫鏈。2馬爾柯夫鏈預(yù)測(cè)對(duì)于某一預(yù)測(cè)對(duì)象的馬爾柯夫過(guò)程或馬爾柯夫鏈的運(yùn)動(dòng)、變化進(jìn)行研究分析，進(jìn)而推測(cè)預(yù)測(cè)對(duì)象的未來(lái)狀況和變化

2、趨勢(shì)的工作過(guò)程，稱(chēng)為馬爾柯夫分析。 馬爾柯夫分析做為一種基本的隨機(jī)分析方法，不論在社會(huì)科學(xué)還是在自然科學(xué)中近年來(lái)都得到了廣泛的應(yīng)用。 3第一節(jié) 馬爾柯夫過(guò)程分析基本原理一、概率向量二、概率矩陣三、系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)四、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣此部分內(nèi)容在吉林科學(xué)技術(shù)出版社經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)及數(shù)量分析 吳風(fēng)山4馬爾柯夫鏈作為一種基本的預(yù)測(cè)模型，以預(yù)測(cè)客觀(guān)經(jīng)濟(jì)事件的未來(lái)狀態(tài)。當(dāng)探討由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)為另一種狀態(tài)的時(shí)候，可以使用這種模型，盡管這種方法只限于具有特殊性質(zhì)的問(wèn)題，但可從這種方法中獲得有益的信息。第二節(jié) 馬爾柯夫過(guò)程分析在預(yù)測(cè)中的應(yīng)用5第二節(jié) 馬爾柯夫過(guò)程分析在預(yù)測(cè)中的應(yīng)用應(yīng)用馬爾柯夫鏈進(jìn)行預(yù)測(cè)工作，首先必須把研究的問(wèn)題

3、歸納成獨(dú)立的狀態(tài)，例如對(duì)于商品的銷(xiāo)售情況可以歸納為暢銷(xiāo)，滯銷(xiāo)等狀態(tài)。其次是需要確定經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)期后，事件由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)為另一種狀態(tài)的概率，且這種概率必須滿(mǎn)足下列條件： 1 只與目前的狀態(tài)有關(guān)， 2 與具體的時(shí)間周期無(wú)關(guān)， 3 預(yù)測(cè)期間狀態(tài)的個(gè)數(shù)必須保持不變。如果現(xiàn)實(shí)問(wèn)題符合上述假定，則構(gòu)成一階馬爾柯夫鏈。并可據(jù)此建立預(yù)測(cè)模型6具體步驟是： 1. 確定系統(tǒng)的狀態(tài)。首先把預(yù)測(cè)所需要研究的目標(biāo)歸納成一組“狀態(tài)”。各狀態(tài)之間應(yīng)互不相容，且所有的狀態(tài)共同構(gòu)成一完備事件組。 2確定轉(zhuǎn)移概率矩陣。依據(jù)歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)字計(jì)算比例數(shù)或統(tǒng)計(jì)事件發(fā)生的頻率，依此確定轉(zhuǎn)移概率和狀態(tài)發(fā)生的概率；利用抽樣調(diào)查方法確定轉(zhuǎn)移概率或用主

4、觀(guān)概率法估計(jì)轉(zhuǎn)移概率。 3. 進(jìn)行預(yù)測(cè)計(jì)算。多種方案分析，確定預(yù)測(cè)結(jié)果。7馬爾柯夫預(yù)測(cè)流程圖用馬爾柯夫過(guò)程分析進(jìn)行預(yù)測(cè)的工作流程圖8第三節(jié) 馬爾柯夫過(guò)程分析預(yù)測(cè)應(yīng)用實(shí)例 設(shè)有A、B、C三家企業(yè)的同種產(chǎn)品上個(gè)月在某地區(qū)市場(chǎng)上的占有率分別為：0.52，0.30，0.18 根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查情況，每1000戶(hù)顧客中分別購(gòu)買(mǎi)A、B，C三家企業(yè)產(chǎn)品的變化情況如表19 分析動(dòng)態(tài)變化情況:上月份購(gòu)買(mǎi)A企業(yè)產(chǎn)品的顧客為520人，本月份有156人轉(zhuǎn)為B企業(yè)，有52人轉(zhuǎn)為C企業(yè)，A企業(yè)只保住老顧客312人；上月份購(gòu)買(mǎi)B企業(yè)產(chǎn)品的顧客為300人，本月份有105人轉(zhuǎn)為購(gòu)買(mǎi)A企業(yè)產(chǎn)品，有90人轉(zhuǎn)為購(gòu)買(mǎi)C企業(yè)產(chǎn)品，B企業(yè)保住老

5、顧客105人；上月份購(gòu)買(mǎi)C企業(yè)產(chǎn)品的顧客為180人，本月份有18人轉(zhuǎn)為購(gòu)A買(mǎi)企業(yè)產(chǎn)品、有36人轉(zhuǎn)為購(gòu)買(mǎi)B企業(yè)產(chǎn)品，C企業(yè)現(xiàn)有老顧客268人。10下面用馬爾柯夫分析方法預(yù)測(cè)：如按目前趨勢(shì)發(fā)展下去，三家企業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率，客戶(hù)轉(zhuǎn)移對(duì)A企業(yè)的影響程度如何？11 1將上述情況表達(dá)成初始狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率矩陣形式。以上月份為第一周期，如以S（0）表示第一周期A、B、C三個(gè)企業(yè)產(chǎn)品市場(chǎng)占有率的概率向量，則 S（0）=(0.52 0.30 0.18)即在初始狀態(tài)，1000戶(hù)顧客中，A企業(yè)有520戶(hù)，占產(chǎn)品總銷(xiāo)售額的52，B企業(yè)有300戶(hù)，占產(chǎn)品總銷(xiāo)售額的30，C企業(yè)有180戶(hù)，占產(chǎn)品銷(xiāo)售額的18。12利用相鄰

6、兩個(gè)周期產(chǎn)品銷(xiāo)售額(市場(chǎng)占有率)的數(shù)據(jù)來(lái)推測(cè)未來(lái)銷(xiāo)售周期內(nèi)的顧客分配情況，主要取決于：1) 現(xiàn)在市場(chǎng)占有率的分配情況，即每一家購(gòu)貨顧客人數(shù)的百分比；2) 某企業(yè)現(xiàn)有顧客在下一銷(xiāo)售周期仍購(gòu)買(mǎi)該企業(yè)產(chǎn)品的顧客人數(shù)百分比和在下一銷(xiāo)售周期轉(zhuǎn)向購(gòu)買(mǎi)其它企業(yè)產(chǎn)品顧客人數(shù)的百分比，即保留率和轉(zhuǎn)出率；3) 某企業(yè)原有顧客在下一周期轉(zhuǎn)向本企業(yè)購(gòu)貨的百分，即轉(zhuǎn)入率。 13為分析研究未來(lái)若干周期的顧客流向，把表1的顧客人數(shù)轉(zhuǎn)移的數(shù)據(jù)，化為轉(zhuǎn)移概率。見(jiàn)表2。表中數(shù)據(jù)是每個(gè)企業(yè)在一個(gè)周期的顧客數(shù)與前一個(gè)周期顧客數(shù)相除所得到的比例。表中每一行表示某企業(yè)從一個(gè)周期到下一個(gè)周期將能保住的顧客數(shù)的百分比，以及將要喪失給競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手

7、的顧客數(shù)的的百分比。表中每一列表示各個(gè)企業(yè)在下一個(gè)周期將能保住的顧客數(shù)的百分比，以及該企業(yè)將要從其它競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手那里獲得顧客的百分比。即行表示保留與喪失顧客數(shù)的百分比；列表示保留與獲得顧客的百分比。14上表用矩陣形式表示，則為此矩陣稱(chēng)為顧客流動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，式中的各行與各列構(gòu)成各自的行向量。狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣還表示一個(gè)隨機(jī)挑選的顧客，從一個(gè)周期到下一個(gè)周期仍購(gòu)買(mǎi)某一企業(yè)產(chǎn)品的可能概率。152 計(jì)算本期市場(chǎng)占有率假設(shè)近期內(nèi)轉(zhuǎn)移概率基本不變(即顧客的愛(ài)好變化)，根據(jù)馬爾柯夫過(guò)程分析的原理和預(yù)測(cè)模型，利用市場(chǎng)占有率概率向量S(0)與轉(zhuǎn)移概率矩陣P，計(jì)算得到本月三家產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率S(1)為：S(1)

8、= S(0) P即162 計(jì)算本期市場(chǎng)占有率這樣我們得到本期A、B、C三個(gè)企業(yè)產(chǎn)品市場(chǎng)占有率的行向量S(1)為： 173 后續(xù)周期趨勢(shì)預(yù)測(cè) 預(yù)測(cè)下個(gè)月三個(gè)企業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率S(2)，可將本月三個(gè)企業(yè)產(chǎn)品市場(chǎng)占有率概率行向量S(1)乘以轉(zhuǎn)移概率矩陣P，即可得到每一企業(yè)下月份的市場(chǎng)占有率S(2) ，即183 后續(xù)周期趨勢(shì)預(yù)測(cè)這樣得第二周期(下月)A，B、C三個(gè)企業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率為：這說(shuō)明在轉(zhuǎn)移概率基本不變的情況下，如果能夠估計(jì)出總的市場(chǎng)容量，即可求得各企業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量。19 如果需要進(jìn)行長(zhǎng)期趨勢(shì)預(yù)測(cè)，則可繼續(xù)計(jì)算下去，由第二周期的市場(chǎng)占有率行向量與轉(zhuǎn)移概率矩陣的乘積求得S(3)，其余類(lèi)推。

9、即20下面根據(jù)上式對(duì)上例A，B，C三個(gè)企業(yè)產(chǎn)品第一至十二周期的市場(chǎng)占有情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，將其數(shù)據(jù)列表3中，并繪制A，B，C三個(gè)企業(yè)產(chǎn)品銷(xiāo)售隨周期的變化趨勢(shì)曲線(xiàn)，如圖2。 212223 分析A，B，C三家產(chǎn)品的變化趨勢(shì)表3和圖2可以看到，A企業(yè)產(chǎn)品和B企業(yè)產(chǎn)品逐期下降，且A企業(yè)產(chǎn)品下降幅度較大，C企業(yè)產(chǎn)品卻以較大的幅度逐期上升。這說(shuō)明A企業(yè)要想保住產(chǎn)品在市場(chǎng)上的優(yōu)勢(shì)，必須分析產(chǎn)品下降的原因，采取相應(yīng)的銷(xiāo)售策略和措施。244 平衡狀態(tài)分析平衡狀態(tài)是各企業(yè)產(chǎn)品銷(xiāo)售份額不發(fā)生逐期變化的狀態(tài)。即在顧客基本不流動(dòng)時(shí)，這一系統(tǒng)所達(dá)到的平衡條件或穩(wěn)定條件。從上例看到，當(dāng)轉(zhuǎn)移概率基本不變時(shí)，隨著時(shí)間的推移，A、B企

10、業(yè)產(chǎn)品市場(chǎng)占有率逐期下降，C產(chǎn)品市場(chǎng)占有率逐期上升，但變化的速率隨后續(xù)周期而逐漸變小。到第十周期后A，B、C三家企業(yè)的產(chǎn)品市場(chǎng)占有率就基本保持不變了。所謂平衡條件就是各企業(yè)銷(xiāo)售份額不再隨周期發(fā)生變化的條件。25因此，我們可以根據(jù)定理將某一周期銷(xiāo)售份額的概率向量乘以轉(zhuǎn)移概率之后，得出與該周期銷(xiāo)售份額完全相同的概率向量的方法，來(lái)確定平衡條件。仍以上題為例。我們從表中看到進(jìn)行到第十周期時(shí)S(0)(0.388，0.275，0.387)，再進(jìn)行下去轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)已不再變化，那么這一點(diǎn)是否就是平衡點(diǎn)呢?我們根據(jù)平衡條件的定義進(jìn)行計(jì)算并比較其計(jì)算結(jié)果。26根據(jù)平衡條件，如果上例出現(xiàn)平衡狀態(tài)。則上一期狀態(tài)經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)

11、移后其狀態(tài)應(yīng)當(dāng)不變，即相鄰兩個(gè)周期各企業(yè)的產(chǎn)品市場(chǎng)占有率相同，如用轉(zhuǎn)移矩陣表示則應(yīng)為：并且滿(mǎn)足各產(chǎn)品市場(chǎng)占有率之和等于1條件，即 27如以分別代表平衡狀態(tài)A，B，C企業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率，則達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，應(yīng)有下列關(guān)系式成立：式中銷(xiāo)售概率向量：為該系統(tǒng)的平衡條件。28于是上例在平衡狀態(tài)有29 以上方程組有4個(gè)方程，而只有3個(gè)未知量，故知有一個(gè)方程不獨(dú)立，可以去掉一個(gè)方程，解出三個(gè)平衡狀態(tài)值去掉任意方程后，解上述聯(lián)立方程組得： 30即平衡系統(tǒng)的平衡條件這個(gè)結(jié)果與上面逐期進(jìn)行計(jì)算所得結(jié)果完全相同，這表明，三種產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率分別達(dá)到38.8，27.5，38.7 時(shí)，且轉(zhuǎn)移概率不變，該系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)

12、，此時(shí)三種產(chǎn)品市場(chǎng)占有率不再隨周期的后 延而變化。 31在計(jì)算上述平衡狀態(tài)時(shí)，我們僅使用了狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，而沒(méi)有涉及到現(xiàn)在周期或初始的系統(tǒng)狀態(tài)，可見(jiàn)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)僅與轉(zhuǎn)移概率有關(guān)，而與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無(wú)關(guān) (各狀態(tài)分量不為零時(shí))，就是說(shuō)，只有轉(zhuǎn)移概率才能決定最終的平衡狀態(tài)。馬爾柯夫過(guò)程分析，可以用于預(yù)測(cè)和對(duì)策分析，即可以預(yù)測(cè)出事物狀態(tài)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間轉(zhuǎn)入其它狀態(tài)時(shí)所占的比例，也可根據(jù)某些轉(zhuǎn)移矩陣確定出事物在遠(yuǎn)期(平衡狀態(tài)時(shí))所占的比例，并由此選擇經(jīng)營(yíng)策略，制定分階段的最優(yōu)對(duì)策。32 本章所討論的問(wèn)題僅限于一階馬爾柯夫過(guò)程分析，沒(méi)有涉及二階或高階馬爾柯夫過(guò)程，即假定系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至一次狀態(tài)的概率僅取決于該系統(tǒng)前一狀態(tài)的結(jié)果，但是在