數(shù)列的概念與簡單表示方法

1、 13/13 6.1數(shù)列的概念及簡單表示法1數(shù)列的定義按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項2數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1_an其中nN遞減數(shù)列an1_1時，anSnSn1eq f(n2,3)aneq f(n1,3)an1.eq f(an,an1)eq f(n1,n1).eq f(an,an1)eq f(n1,n1)，eq f(a4,a3)eq f(5,3)，eq f(a3,a2)eq f(4,2)，eq f(a2,a1)3.以上n1個式子的等號兩端分別相乘，得到eq f(an,a

2、1)eq f(nn1,2)，又a11，aneq f(nn1,2).思維升華已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解當出現(xiàn)anan1m時，構(gòu)造等差數(shù)列；當出現(xiàn)anxan1y時，構(gòu)造等比數(shù)列；當出現(xiàn)anan1f(n)時，用累加法求解；當出現(xiàn)eq f(an,an1)f(n)時，用累乘法求解(1)已知數(shù)列an滿足a11，aneq f(n1,n)an1(n2)，則an_.(2)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an1(nN)，則a5等于()A16 B16 C31 D32答案(1)eq f(1,n)(2)B解析(1)aneq f(n1,n)an1 (n2)，an1eq f(n2

3、,n1)an2，a2eq f(1,2)a1.以上(n1)個式子相乘得ana1eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(n1,n)eq f(a1,n)eq f(1,n).(2)當n1時，S12a11，a11.當n2時，Sn12an11，an2an2an1，an2an1.an是等比數(shù)列且a11，q2，故a5a1q42416.數(shù)列問題中的函數(shù)思想典例：(12分)已知數(shù)列an(1)若ann25n4，數(shù)列中有多少項是負數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值(2)若ann2kn4且對于nN，都有an1an.某數(shù)k的取值X圍思維啟迪(1)求使an0的n值；從二次函數(shù)看an的最小值(2)數(shù)列是一類特殊

4、函數(shù)，通項公式可以看作相應(yīng)的解析式f(n)n2kn4.f(n)在N上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù)從二次函數(shù)的對稱軸研究單調(diào)性規(guī)X解答解(1)由n25n40，解得1nan知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因為通項公式ann2kn4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到nN，所以eq f(k,2)3.12分溫馨提醒(1)本題給出的數(shù)列通項公式可以看做是一個定義在正整數(shù)集N上的二次函數(shù)，因此可以利用二次函數(shù)的對稱軸來研究其單調(diào)性，得到實數(shù)k的取值X圍，使問題得到解決(2)在利用二次函數(shù)的觀點解決該題時，一定要注意二次函數(shù)對稱軸位置的選取(3)易錯分析：本題易錯答案為k2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量

5、是正整數(shù).方法與技巧1求數(shù)列通項或指定項通常用觀察法(對于交錯數(shù)列一般用(1)n或(1)n1來區(qū)分奇偶項的符號)；已知數(shù)列中的遞推關(guān)系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項，若求通項可用歸納、猜想和轉(zhuǎn)化的方法2強調(diào)an與Sn的關(guān)系：aneq blcrc (avs4alco1(S1n1,SnSn1n2).3已知遞推關(guān)系求通項：對這類問題的要求不高，但試題難度較難把握一般有二種常見思路：(1)算出前幾項，再歸納、猜想；(2)利用累加或累乘法可求數(shù)列的通項公式失誤與防X1數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在利用函數(shù)觀點研究數(shù)列時，一定要注意自變量的取值，如數(shù)列anf(n)和函數(shù)yf(x)的單調(diào)性是不同的2數(shù)列的通項公式不

6、一定唯一A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)一、選擇題1數(shù)列0,1,0，1,0,1,0，1，的一個通項公式是an等于()A.eq f(1n1,2)Bcos eq f(n,2)Ccos eq f(n1,2) Dcos eq f(n2,2)答案D解析令n1,2,3，逐一驗證四個選項，易得D正確2數(shù)列an的前n項和為Sn，若a11，an13Sn(n1)，則a6等于()A344B3441C45D451答案A解析當n1時，an13Sn，則an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，該數(shù)列從第二項開始是以4為公比的等比數(shù)列又a23S13a13，aneq blcrc (avs4alc

7、o1(1n1，,34n2n2.)當n6時，a63462344.3若數(shù)列an的通項公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10等于()A15 B12 C12 D15答案A解析由題意知，a1a2a1014710(1)10(3102)(14)(710)(1)9(392)(1)10(3102)3515.4已知數(shù)列an的通項公式為an(eq f(4,9)n1(eq f(2,3)n1，則數(shù)列an()A有最大項，沒有最小項B有最小項，沒有最大項C既有最大項又有最小項D既沒有最大項也沒有最小項答案C解析數(shù)列an的通項公式為an(eq f(4,9)n1(eq f(2,3)n1，令t(eq f(2,3)n1，t

8、(0,1，t是減函數(shù)，則ant2t(teq f(1,2)2eq f(1,4)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知an先遞增后遞減故有最大項和最小項，選C.5若Sn為數(shù)列an的前n項和，且Sneq f(n,n1)，則eq f(1,a5)等于()A.eq f(5,6)B.eq f(6,5)C.eq f(1,30)D30答案D解析當n2時，anSnSn1eq f(n,n1)eq f(n1,n)eq f(1,nn1)，所以eq f(1,a5)5630.二、填空題6已知數(shù)列eq f(n2,n21)，則0.98是它的第_項答案7解析eq f(n2,n21)0.98eq f(49,50)，n7.7數(shù)列an中，a11，對于所

9、有的n2，nN，都有a1a2a3ann2，則a3a5_.答案eq f(61,16)解析由題意知：a1a2a3an1(n1)2，an(eq f(n,n1)2(n2)，a3a5(eq f(3,2)2(eq f(5,4)2eq f(61,16).8已知an是遞增數(shù)列，且對于任意的nN，ann2n恒成立，則實數(shù)的取值X圍是_答案(3，)解析方法一(定義法)因為an是遞增數(shù)列，所以對任意的nN，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因為n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.方法二(函數(shù)法)設(shè)f(n)ann2n，其圖象的對稱軸為直線neq f(,

10、2)，要使數(shù)列an為遞增數(shù)列，只需使定義在正整數(shù)上的函數(shù)f(n)為增函數(shù)，故只需滿足f(1)3.三、解答題9數(shù)列an的通項公式是ann27n6.(1)這個數(shù)列的第4項是多少？(2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？解(1)當n4時，a4424766.(2)令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是這個數(shù)列的第16項(3)令ann27n60，解得n6或n1(舍)故數(shù)列從第7項起各項都是正數(shù)10已知數(shù)列an的通項公式為aneq f(9nn1,10n)，試判斷此數(shù)列是否有最大項？若有，第幾項最大，最大項是多少？若

11、沒有，說明理由解an1aneq f(9n1n2,10n1)eq f(9nn1,10n)eq f(9n,10n)eq f(8n,10)，當n0，即an1an；當n8時，an1an0，即an1an；當n8時，an1an0，即an1an.則a1a2a3a10a11，故數(shù)列an有最大項，為第8項和第9項，且a8a9eq f(989,108)eq f(99,108).B組專項能力提升(時間：30分鐘)1跳格游戲：如圖，人從格子外只能進入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外跳到第8個格子的方法種數(shù)為()A8種 B13種 C21種 D34種答案C解析設(shè)跳到第n個格子的方法種數(shù)有an，則

12、到達第n個格子的方法有兩類：向前跳1格到達第n個格子，方法種數(shù)為an1；向前跳2格到達第n個格子，方法種數(shù)為an2，則anan1an2，由數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的前8項分別是1,1,2,3,5,8,13,21.跳到第8個格子的方法種數(shù)是21.故選C.2數(shù)列an滿足anan1eq f(1,2) (nN)，a22，Sn是數(shù)列an的前n項和，則S21為()A5 B.eq f(7,2) C.eq f(9,2) D.eq f(13,2)答案B解析anan1eq f(1,2)(nN)，a1eq f(1,2)a2eq f(1,2)2，a22，a3eq f(1,2)2，a42，故a2n2，a2n1eq f(1,2)2.S2110eq f(1,2)a15eq f(1,2)2eq f(7,2).3若數(shù)列n(n4)(eq f(2,3)n中的最大項是第k項，則k_.答案4解析由題意得eq blcrc (avs4alco1(kk4f(2,3)kk1k5f(2,3)k1,kk4f(2,3)kk1k3f(2,3)k1)，所以eq blcrc (avs4alco1(k210,k22k90)，由kN可得k4.4已知數(shù)列an滿足前n項和Snn21，數(shù)列bn滿足bneq f(2,an1)，且前n項和為Tn，設(shè)T2n1Tn.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)判