重積分高等數(shù)學(xué)課件

1、主講：汪強(qiáng)注意上課聽(tīng)講！重 積 分 上課！不準(zhǔn)笑.第九章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重 積 分 三、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、引例 二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計(jì)算 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分的概念與性質(zhì) 第九章 解法: 類似定積分解決問(wèn)題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:底： xoy 面上的閉區(qū)域 D頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂?D 的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨?/p>

2、體分為 n 個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4)“取極限”令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 平面薄片的質(zhì)量 有一個(gè)平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為設(shè)D 的面積為 ,則若非常數(shù) ,仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第 k 小塊的質(zhì)量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1) 解決

3、問(wèn)題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù) I , 使可積 , 在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果 在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃 記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.

4、(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如, 在D :上二重積分存在 ;在D 上 二重積分不存在 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、二重積分的性質(zhì)( k 為常數(shù)) 為D 的面積, 則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別, 由于則5. 若在D上6. 設(shè)D 的面積為 ,則有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7.(二重積分的中值定理)證: 由性質(zhì)6 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1. 比

5、較下列積分的大小:其中解: 積分域 D 的邊界為圓周它與 x 軸交于點(diǎn) (1,0) ,而域 D 位從而于直線的上方, 故在 D 上 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2. 判斷積分的正負(fù)號(hào).解: 分積分域?yàn)閯t原式 =猜想結(jié)果為負(fù) 但不好估計(jì) .舍去此項(xiàng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例3. 估計(jì)下列積分之值解: D 的面積為由于積分性質(zhì)5即: 1.96 I 2D機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 8. 設(shè)函數(shù)D 位于 x 軸上方的部分為D1 , 當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關(guān)于x 軸對(duì)稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,

6、則有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4. 求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 二重積分的定義2. 二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 被積函數(shù)相同, 且非負(fù), 思考與練習(xí)解: 由它們的積分

7、域范圍可知1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè)D 是第二象限的一個(gè)有界閉域 , 且 0 y 1, 則的大小順序?yàn)?( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 計(jì)算解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4. 證明:其中D 為解: 利用題中 x , y 位置的對(duì)稱性, 有又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P78 2，4，5 P95 1(1), 8第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)備用題1. 估計(jì) 的值, 其中 D 為解: 被積函數(shù)D 的面積的最大值的最小值機(jī)動(dòng) 目錄

8、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 判斷的正負(fù).解：當(dāng)時(shí)，故又當(dāng)時(shí)，于是機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三節(jié)一、三重積分的概念 二、三重積分的計(jì)算機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三重積分 第九章 一、三重積分的概念 類似二重積分解決問(wèn)題的思想, 采用引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”解決方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義. 設(shè)存在,稱為體積元素, 若對(duì) 作任意分割: 任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì): 例如 下

9、列“乘中值定理.在有界閉域 上連續(xù),則存在使得V 為 的體積, 積和式” 極限記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、三重積分的計(jì)算1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次積分法 先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過(guò)計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算. 的密度函數(shù) , 方法:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 方法1. 投影法 (“先一后二” ) 該物體的質(zhì)量為細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為微元線密度記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 方法2. 截面法 (“先二后一”)為底, d z

10、 為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 投影法方法3. 三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果 ,把二重積分化成二次積分即得:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號(hào)時(shí), 因?yàn)榫鶠榉秦?fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計(jì)算.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 小結(jié): 三重積分的計(jì)算方法方法1. “先一后二”方法2. “先二后一”方法3. “三次積分”具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中 為三個(gè)坐標(biāo)例1. 計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域 .解:面及平面機(jī)

11、動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2. 計(jì)算三重積分解: 用“先二后一 ” 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單 ;2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中為由例3. 計(jì)算三重積分所圍解: 在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4. 計(jì)算三重積分解: 在柱面坐標(biāo)系下所圍成 .與平面

12、其中由拋物面原式 =機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例5. 計(jì)算三重積分解: 在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中 與球面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例6.求曲面所圍立體體積.解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,利用對(duì)稱性, 所求立體體積為yoz面對(duì)稱, 并與xoy面相

13、切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xoz 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系* 說(shuō)明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對(duì)應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè)計(jì)算提示: 利用對(duì)稱性原式 = 奇函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 設(shè)由錐面和球面所圍成 , 計(jì)算提示:利用對(duì)稱性用球坐標(biāo) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)P10

14、6 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4)第四節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題 1. 計(jì)算所圍成. 其中 由分析：若用“先二后一”, 則有計(jì)算較繁! 采用“三次積分”較好.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 所圍,故可 思考: 若被積函數(shù)為 f ( y ) 時(shí), 如何計(jì)算簡(jiǎn)便? 表為 解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 計(jì)算其中解:利用對(duì)稱性機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法一 問(wèn)題的提出二 直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分利用三 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分四 小結(jié) 按定義:二重積分是一個(gè)特定乘積和式

15、極限 然而，用定義來(lái)計(jì)算二重積分，一般情況下是非常麻煩的. 那么，有沒(méi)有簡(jiǎn)便的計(jì)算方法呢?這就是我們今天所要研究的課題。下面介紹:一、問(wèn)題的提出二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有關(guān),為此, 先介紹： 1、積分域 D:如果積分區(qū)域?yàn)椋篨型 X型區(qū)域的特點(diǎn)：a、平行于y軸且穿過(guò)區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)； b、（1）X-型域（2）Y-型域：Y型 Y型區(qū)域的特點(diǎn)：a、穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)。b、 2、X-型域下二重積分的計(jì)算: 由幾何意義，若 此為平行截面面積為已知的立體的體積.截面為曲邊梯形面積為：(曲頂柱體的體積)則yZ 注: 若

16、 (x,y)0 仍然適用。注意: 1）上式說(shuō)明: 二重積分可化為二次定積分計(jì)算;2）積分次序: X-型域 先Y后X;3）積分限確定法: 域中一線插, 內(nèi)限定上下， 域邊兩線夾，外限依靠它。為方便，上式也常記為：3、Y-型域下二重積分的計(jì)算： 同理：Y型域下于是 1）積分次序: Y-型域 ,先x后Y; 2）積分限確定法: “域中一線插”, 須用平行于X軸的射線穿插區(qū)域 。注意: 注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時(shí)，關(guān)鍵在于正確確定積分限,一定要做到熟練、準(zhǔn)確。4、利用直系計(jì)算二重積分的步驟（1）畫(huà)出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）確定積分限，化為二次定積分；（2）根據(jù)積分域類型, 確定

17、積分次序；（4）計(jì)算兩次定積分，即可得出結(jié)果.解：X型Y型例2解：X-型例3解： （如圖）將D作Y型-125、若區(qū)域?yàn)榻M合域，如圖則：0 6、如果積分區(qū)域既是X型， 又是Y型, 則有解：積分區(qū)域如圖xyo231原式解：原式例6解：先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖解二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇 積分次序）Y型X型7.小結(jié)三 利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 當(dāng)一些二重積分的積分區(qū)域D用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單，或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標(biāo)系下根本無(wú)法計(jì)算時(shí)，我們可以在極坐標(biāo)系下考慮其計(jì)算問(wèn)題。1 直系與極系下的二重積分關(guān)系（如圖）（1）面積元素變換為極系下：（2）二重積分轉(zhuǎn)換公式：（3）注

18、意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分需要進(jìn)行“三換”：2 極系下的二重積分化為二次積分用兩條過(guò)極點(diǎn)的射線夾平面區(qū)域，由兩射線的傾角得到其上下限任意作過(guò)極點(diǎn)的半射線與平面區(qū)域相交，由穿進(jìn)點(diǎn)，穿出點(diǎn)的極徑得到其上下限。將直系下的二重積分化為極系后，極系下的二重積分仍然需要化為二次積分來(lái)計(jì)算。（1）區(qū)域如圖1具體地（如圖）圖1（2）區(qū)域如圖2圖2（3）區(qū)域如圖3圖3（4）區(qū)域如圖4圖4解解解解在極系下：（如圖）o2aD解計(jì)算二重積分應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)： 先要考慮積分區(qū)域的形狀，看其邊界曲線用直系方程表示簡(jiǎn)單還是極系方程表示簡(jiǎn)單，其次要看被積函數(shù)的特點(diǎn)，看使用極坐標(biāo)后函數(shù)表達(dá)式能否簡(jiǎn)化并易

19、于積分。首先，選擇坐標(biāo)系。其次，化二重積分為二次積分。 根據(jù)區(qū)域形狀和類型確定積分次序，從而穿線確定內(nèi)限，夾線確定外限。最后，計(jì)算二次積分。 由內(nèi)向外逐層計(jì)算，內(nèi)層積分計(jì)算時(shí)，外層積分變量看做常量。四、小結(jié)一、立體體積 二、曲面的面積 三、物體的質(zhì)心 四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 五、物體的引力 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 重積分的應(yīng)用 第九章 1. 能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)所求量是 對(duì)區(qū)域具有可加性 從定積分定義出發(fā) 建立積分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點(diǎn) 畫(huà)出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、 定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便 2. 用重積分解決問(wèn)題的方法

20、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、立體體積 曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為 占有空間有界域 的立體的體積為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積 V . 解: 曲面的切平面方程為它與曲面的交線在 xoy 面上的投影為(記所圍域?yàn)镈 )在點(diǎn)例1. 求曲面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積 d A 無(wú)限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d

21、 ,(稱為面積元素)則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若光滑曲面方程為 若光滑曲面方程為隱式則則有且機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例3. 計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解: 曲面在 xoy 面上投影為則出的面積 A .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4. 計(jì)算半徑為 a 的球的表面積.解:設(shè)球面方程為 球面面積元素為方法2 利用直角坐標(biāo)方程. (見(jiàn)書(shū) P109)方法1 利用球坐標(biāo)方程.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知, 該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域 ,

22、有連續(xù)密度函數(shù)則 公式 ,分別位于為為即:采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導(dǎo)出其質(zhì)心 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 將 分成 n 小塊,將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第 k 塊上任取一點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同理可得則得形心坐標(biāo)：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片,(A 為 D 的面積)得D 的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度 對(duì) x 軸的 靜矩 對(duì) y 軸的 靜矩機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例5. 求位于兩圓和的質(zhì)心.

23、解: 利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例6. 一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線的方程為內(nèi)儲(chǔ)有高為 h 的均質(zhì)鋼液,解: 利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，采用柱坐標(biāo), 則爐壁方程為因此故自重, 求它的質(zhì)心.若爐不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x , y , z) 處的微元 因此物體 對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和, 故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類似可得:對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣