動態(tài)線段長的最小值問題

1、動態(tài)線段長的最小值問題單動點類：線段的一個端點是定點，另一個端點是動點，此類問題常用到兩類幾何原型：1.點到直線的距離，垂線段最短如圖，在RtAABC中，匕A = 90, BD平分ZABC交AC于D點，AB=4, BD = 5,點P是線段BC上的一動點，則PD的最小值是已知。的半徑為5，弦AB的長為8，點P在弦AB上，則OP的最小值 .如圖，在AABC中，AB=6, BC=8, ZACB=30，將 ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到 ABC.點 E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點P的對應(yīng) 點是點P，則線段EP，長度的最小值為.【解析】E點為定點

2、，P在線段AC運(yùn)動，這樣可以化歸為點到直線的最短距離問題，當(dāng)且僅當(dāng)ABLAC時，點P為AC與AC的交點.如圖，邊長為2a的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB，將線段BM繞 點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BM 連接HN.則在點M運(yùn)動過程中，線段HN長度的最小值是.【解析】如圖，取BC的中點G，連接MG，可證得AMBG NBH (SAS)，則NH=MG，而根據(jù)垂線段最短，MG上CH時，MG最短，即HN最短，n 一 r1 一 一11-11 aa此時/ BCH=5x60 = 30，CG=5AB=x2a=a，MG=5CG=xa=，HN=S.一點到圓上各點的最小距離已知，。0的半徑為5,

3、點P為。0內(nèi)一點，且OP=3，則點P與圓上各點距離的最小值為于H,連接AH,則AH的最小值為,類似地，當(dāng)點P在圓外時，最短距離如圖所示等腰直角ABC中，匕C=90，AC=BC=4，D為線段AC上一動點，連接BD，過點C作CHLBD【解析】不論D如何動，CH始終與BD垂直，那么點H點的軌跡就是以BC中點M為半徑的圓，這樣動 線段AH的最小值，就順利的轉(zhuǎn)化為點A與。M各點的最小值問題.如圖，在正方形ABCD中，動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊DC，CB上移動， 連接AE和DF交于點P，由于點E，F(xiàn)的移動，使得點P也隨之運(yùn)動，若AD=2,線段CP的最小值是【解析】速度相同，則意味

4、著DE=CF，存在 ADEADCF (SAS)，可進(jìn)一步證得AEDF，于是點P 的軌跡是在以AD中點M為圓心的圓周上，CP的最小值就化歸為點C到。M各點的最小值問題.變式1：如圖，正方形ABCD中，AB=4，動點E從A出發(fā)向D運(yùn)動，同時動點F從D出發(fā)向點C運(yùn)動，點E、F運(yùn)動的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點時停止運(yùn)動，運(yùn)動過程中線段AF.BE交于點P，M是線段BC上任意一點，則MD+MP的最小值為.EFMAN，MB【解析】速度相同，則意味著AE=DF，存在 BAE*ADF （SAS），可進(jìn)一步證得AFBE，于是點P的軌跡是在以AB中點N為圓心的2圓周上（如圖所示），當(dāng)P點在正方形對稱中心的時候，P

5、到線段BC各點的距離最小，接下去線段和最小可轉(zhuǎn)化為同直線的問題，作D關(guān)于BC的對D稱點。，連接P。，則PQ就是MD+MP的最小值.變式2：如圖，正方形ABCD中，AB=4，動點E從A出發(fā)向C運(yùn)動，同時動點F從D出發(fā)向點B運(yùn)動，點E、F運(yùn)動的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點時停止運(yùn)動，運(yùn)動過程中線段AF、BE交于點P，M是線段BC上任意一點，則MD+MP的最小值為.EFMAEDFNCB M【解析】變式2只是將上題P的軌跡變成半圓，這樣就轉(zhuǎn)化為點和圓上各點的最小值問題.變式3：直線y=x+4分別與x軸、y軸相交與點M、N，邊長為2的正方形OABC 一個頂點O在坐標(biāo)系的原點，直線AN與MC相交與點P，若

6、正方形繞著點O旋轉(zhuǎn)一周，則點P到點（0，2）長度的最小值是D如圖，在矩形ABCD中，AB=4, AD=6, E為AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC邊上的動點.將MFB沿EF.（能力訓(xùn)練P67第11題）所在的直線折疊得到 EBF，連接BD，則BD的最小值為不論如何翻折，始終保持EB=EB，故，點B，的運(yùn)動軌跡是在以E為圓心的圓周上，BD的最小值化歸為點D到。E各點的最小值問題.11.雙動點類：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點A（2，3），B（3, 4）為圓心，以1、3為半徑作OAOB，M、N分 別是OAOB上的動點，P為x軸上的動點，則PM+PN的最小值等于.【解析】作。A關(guān)于x軸的對稱。A，連接BA分別交OA和。B于M、N，交x軸于P，如圖，則此時PM +PN最小.如圖，OO是以原點為圓心，杈為半徑的圓，點P是直線y=x+6上的一點，過點P作OO的一條切 線PQ，Q為切點，則切線長PQ的最小值為.【解析】VP在直線j=x+6上，.設(shè)P坐標(biāo)為（m，6m），連接OQ，OP，由PQ為圓O的切線，得到PQLOQ，在RtAOPQ中，根據(jù)勾股定理得：OP2=PQ2+OQ2,.P0=m2+(6m)22=2m212m+34 = 2(m3)2+16,則當(dāng)m = 3時，切線長PQ的最小值為4.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx (k/0)經(jīng)過點