(江蘇專用)高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第五章平面向量與復(fù)數(shù)課時(shí)跟蹤檢測(cè)文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

1、零向量名稱a(1)| a| | | a|；的方向與 a 的方向(2) 當(dāng) 0 時(shí)， aword第五章 平面向量與復(fù)數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算1向量的有關(guān)概念定義既有大小又有方向的量； 向量的大小叫向量做向量的長(zhǎng)度 (或稱模 )長(zhǎng)度為 0 的向量；其方向是任意的單位向量平行向量共線向量相等向量相反向量長(zhǎng)度等于 1 個(gè)單位的向量方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量備注平面向量是自由向量記作 0非零向量 a 的單位向量為| a|0 與任一向量平行或共線兩向量只有相等或不等， 不能比較大小0 的相反向量為 02. 向量的

2、線性運(yùn)算向量運(yùn)算加法減法數(shù)乘定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算求 a 與 b 的相反向量b 的和的運(yùn)算叫做 a 與 b 的差某某數(shù) 與向量 a 的積的運(yùn)算法則 (或幾何意義 )三角形法則平行四邊形法則運(yùn)算律(1) 交換律： a b b a；(2) 結(jié)合律：( ab) c a( b c)a ba( b)三角形法則( a ) ( ) a；( )a aa； ( ab) a b相同；當(dāng) 0 時(shí)，1 / 51213worda 的方向與 a 的方向相反；當(dāng) 0時(shí)， a 03. 共線向量定理向量 a( a0 )與 b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得 b a . 小題體驗(yàn) 1 ( 教材習(xí)題改編 )化簡(jiǎn)：(1)( AB

3、 MB ) BO OM _；(2) NQ QP MN MP _.答案： (1) AB (2)02已知 a與 b是兩個(gè)不共線的向量， 且向量 a b 與 ( b3a) 共線， 則 _.1答案：3.( 教材習(xí)題改編 ) 如圖，設(shè) ABC三條邊的中線 AD， BE， CF 相交于點(diǎn) G，則下列三個(gè)向量： AB CB CA， GA GB CG， BF CD EA 中，等于零向量的是 _( 填序號(hào) ) 解析：中，原式 AB BC CA 0.中，原式中，原式GA GB GC GC GC 0.BF DC AE ( BA AC BC ) BC 0.所以三個(gè)向量中等于零向量的是 .答案：1在利用向量減法時(shí)，易弄

4、錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤2在向量共線的重要條件中易忽視“ a0”，否則 可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)3要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系 小題糾偏 1已知 a， b 是任意向量，下列條件中可推得 a b， | a| | b| ，a 與 b 方向相反，解析：由向量共線的定義知填 .答案：2 / 51a 與 b共線的有 _( 填序號(hào) )a 0 或 b0， a， b都是單位向量word2對(duì)于向量 a與 b，下列說法正確的是 _( 填序號(hào) )如果 a 與 b 共線，則 a b 或 a b；如果 a 與 b 共線，則 a與 b 平行；如果 a 與 b 共線，則存在實(shí)數(shù) ，使得

5、 a b .解析： a 與 b 共線不能確定其長(zhǎng)度關(guān)系，故錯(cuò)誤；當(dāng) a0 而 b0 時(shí)，這樣的 不存在，故錯(cuò)誤；向量平行和共線是相同的概念，故正確答案：3若菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為 2，則 | AB CB CD | _. 解析： | AB CB CD | | AB BC CD | | AD | 2. 答案： 2考點(diǎn)一 平面向量的有關(guān)概念 基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透 題組練透 1下列說法正確的是 _平行向量的方向一定相同；與任意向量都平行的向量一定是零向量；相等的向量一定是平行向量；共線向量一定在同一條直線上 .解析：平行向量的方向也可能相反，所以錯(cuò)誤；只有零向量與任意向量都平行，所以正確；顯然正確；

6、共線向量只要方向相同或相反即可，不一定在同一條直線上，所以錯(cuò)誤答案：2下列命題中正確的是_若 ab，則 | a| | b|；若 | a| b| ，則 a0) ，使 ka b ( a kb)，即 ka b a kb.( k ) a ( k 1) b.a， b 是不共線的兩個(gè)非零向量，1k 0 ， k 1 0，k 1， 解得又 0，kk 1，或 1，1.(1) 證明向量共線：對(duì)于向量(2) 證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù) 由題悟法 共線向量定理的 3 個(gè)應(yīng)用a， b，若存在實(shí)數(shù) ，使 a b，則 a 與 b 共線，使 AB AC ，則 A， B， C三點(diǎn)共線(3) 求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等

7、的條件列方程 提醒 證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn)(組)求參數(shù)的值 即時(shí)應(yīng)用 2如圖， 在 ABC中， D， F 分別是 BC，AC的中點(diǎn)， AE AD ，AB a， AC b.(1) 用 a， b 表示向量 AD ， AE ， AF ， BE ， BF ；(2) 求證： B， E， F 三點(diǎn)共線 解： (1) 延長(zhǎng) AD到 G，1使 AD AG ，連結(jié) BG， CG，得到 ?ABGC，所以 AG a b，AD 2 AG 2( a b)，AE 3 AD 3( ab)，AF AC b，BE AE AB ( ab) a ( b 2a)，6 / 511 121wordBF AF AB b

8、a ( b 2a)2(2) 證明：由 (1) 可知 BE 3 BF ，又因?yàn)?BE ， BF 有公共點(diǎn) B，所以 B， E， F 三點(diǎn)共線一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1 (2016 某某測(cè)試 )在 ABC中，已知 M是 BC中點(diǎn)，設(shè) CB a， CA b，則 AM _.解析： AM AC CM CA 2CB b2a.答案： b a2 在四邊形 ABCD中， AB a 2b， BC 4a b， CD 5a3b， 則四邊形 ABCD 的形狀是 _解析：由已知，得 AD AB BC CD 8a2b2( 4a b) 2 BC ，故 AD BC . 又因?yàn)?AB 與 CD 不平行，所以四邊形 ABCD

9、是梯形答案：梯形3已知 O， A， B， C 為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，若 2 AC CB 0，則向量 OC _.( 用 OA， OB 表示 )解析： 因?yàn)?AC OC OA， CB OB OC， 所以 2 AC CB 2( OC OA )( OB OC ) OC 2 OA OB 0，所以 OC 2 OA OB .答案： 2 OA OB4. 如圖， 在平行四邊形 ABCD中，對(duì)角線 AC與 BD交于點(diǎn) O，AB AD AO ，則 _.解析：因?yàn)?ABCD為平行四邊形，所以 AB AD AC 2 AO ，已知 AB AD AO ，故 2.答案： 25設(shè)點(diǎn) M是線段 BC的中點(diǎn)， 點(diǎn) A在直線 BC外

10、， BC 2 16，| AB AC | | AB AC |，則| AM | _.7 / 511 1 11word解析：由 | AB AC | | AB AC | 可知， AB AC ，則 AM為 RtABC斜邊 BC上的中線，因此， | AM | 2| BC | 2.答案： 2二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1 (2016 某某中學(xué)月考 )設(shè) O是 ABC的外心，則 AO ， BO， CO 是_ ( 填 序號(hào) )相等向量；模相等的向量；平行向量；起點(diǎn)相同的向量解析：由題意，知點(diǎn) O到三個(gè)頂點(diǎn) A， B， C 的距離相等，所以 AO ， BO， CO 是模相等的向量顯然 AO ， BO， CO 的

11、起點(diǎn)不同且方向均不相同，故填 .答案：2已知向量 a， b， c 中任意兩個(gè)都不共線，但 a b 與 c 共線，且 bc 與 a 共線，則向量 a bc _.解析：依題意，設(shè) a b mc， b c na，則有 ( ab) ( bc) mcna，即 a c mcna. 又 a與 c 不共線，于是有 m 1， n 1， a b c， a bc 0.答案： 03在?ABCD中， AB a， AD b， AN 3 NC ，M為 BC的中點(diǎn)， 則 MN _( 用 a， b 表示 )解析：由 AN 3 NC ，得b) a2b 4a4b.答案： a b1 14 44 AN 3 AC 3( a b)， AM

12、 a b，所以 MN (a4 (2016 啟東中學(xué)月考 ) 在邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD中， 設(shè) AB a， AD b， AC c，則 | a bc| _.解析：如圖所示，a bc AB AD AC AB AD AB AD2 AB 2a，| a bc| 2.答案： 28 / 51MD |1 1 3 32 22 | BM | | 3 MD | 3 .3 | MD | | MD | 112 4SABC1 1SAOCword5設(shè) O在 ABC的內(nèi)部， D 為 AB的中點(diǎn)，且 OA OB 2 OC 0，則 ABC的面積 與 AOC的面積的比值為 _解析： D為 AB的中點(diǎn)， 則 OD 2( OA

13、OB )， 又 OA OB2 OC 0， OD OC ， O為 CD的中點(diǎn)，又 D為 AB中點(diǎn)，SAOC SADC SABC，則 4.答案： 46設(shè) M是 ABC所在平面上的一點(diǎn)，且3 3MB 2 MA 2 MC 0， D 是 AC的中點(diǎn)，則| |的值為 _BM |解析： D是 AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)四邊形 MAEC為平行四邊形，MD至 E，使得 DE MD， MD MD ( MA MC ) MB 2 MA 2MC 0， MB ( MA MC ) 3 MD ， 1答案：37若點(diǎn) O是 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足 | OB OC | | OB OC 2 OA | ，則 ABC的形狀為 _解析： O

14、B OC 2OA OB OA OC OA AB AC ， OB OC CB AB AC ，| AB AC | | AB AC |.故 AB AC ， ABC為直角三角形答案：直角三角形8已知 D， E， F 分別為 ABC的邊 BC， CA， AB的中點(diǎn)，且 BC a， CA b，給出下 列命題： AD a b； BE a b； CF a b； AD BE CF 0.其中正確命題的個(gè)數(shù)為 _9 / 5121 111211 1 1 12 11 1 12 13 31 1word解析：BE BC a， CA b， AD CBBC 2CA a2b，故正確； AC 2a b，故錯(cuò)；CF ( CB AD

15、BE CA ) ( ab) a b，故正確； CF b 2aa 2b2b 2a0.正確命題為 .答案： 39. 在 ABC中， D， E分別為 BC， AC邊上的中點(diǎn)， G為 BE上一點(diǎn)，且 GB2GE，設(shè) AB a， AC b，試用 a， b 表示 AD ， AG .解： AD 2( AB AC ) 2a2b.AG AB BG AB 3 BE AB 3( BA BC )3 AB 3( AC AB )1 13 AB 3 AC a b.10設(shè) e1， e2 是兩個(gè)不共線的向量，已知 AB 2e1 8e2， CB e13e2， CD 2e1e2 .(1) 求證： A， B， D三點(diǎn)共線；(2) 若

16、 BF 3e1 ke2，且 B， D， F 三點(diǎn)共線，求 k 的值解： (1) 證明：由已知得 BD CD CB (2 e1e2) ( e1 3e2) e14e2 ， AB 2e1 8e2， AB 2 BD .又 AB 與 BD 有公共點(diǎn) B，A， B， D三點(diǎn)共線(2) 由(1) 可知 BD e14e2， BF 3e1 ke2，且 B， D， F三點(diǎn)共線， BF BD ( R)，即 3e1 ke2 e 14 e2，10 / 512 12 .2 得2word3，k 4 .解得 k 12.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1 在直角梯形 ABCD中， A90， B30， AB2 3， BC2， 點(diǎn)

17、E 在線段 CD上，若 AE AD AB ，則 的取值 X 圍是_解析：由題意可求得 AD1， CD 3，所以 AB 2 DC .點(diǎn) E在線段 CD上， DE DC (0 1) AE AD DE ， 又 AE AD AB AD 2 DC AD DE ， 1，即 即 的取值2 . 0 1， 0 2 .1X 圍是 0，1答案： 0，2. 如圖，在 ABC中，延長(zhǎng) CB到 D，使 BDBC，當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AD上移動(dòng)時(shí)，若 AE AB AC ， t ，則 t 的最大值是 _解析： 設(shè) AE k AD (0 k1)， 則 AE k( AC 2 CB ) k AC2( AB AC ) 2k AB k

18、AC . AE AB AC ， 2k， k， t 3k, 0k1，當(dāng) k 1 時(shí)， t 取得最大值 3.答案： 33已知 O， A， B是不共線的三點(diǎn)，且 OP mOA nOB ( m， nR)(1) 若 mn 1，求證： A， P， B 三點(diǎn)共線；(2) 若 A， P， B三點(diǎn)共線，求證： mn 1. 證明： (1) 若 mn 1，則 OP mOA (1 m) OB OB m( OA OB )， OP OB m( OA OB )，即 BP mBA ， BP 與 BA 共線又 BP 與 BA 有公共點(diǎn) B，11 / 51n 1 0，m 0，wordA， P， B 三點(diǎn)共線(2) 若 A， P，

19、 B三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù) ，使 BP BA ， OP OB ( OA OB )又 OP mOA nOB .故有 mOA ( n 1) OB OA OB ，即( m ) OA ( n 1) OB 0.O， A， B 不共線， OA， OB 不共線， mn 1.第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算1平面向量基本定理如果 e1， e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量 a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1， 2 ，使 a 1e1 2e2 .其中，不共線的向量 e1， e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1) 向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模： 設(shè) a( x 1

20、， y 1)， b( x2， y2) ，則a b( x1 x2， y1 y2 )， a b( x 1x2， y 1y2)，a ( x 1， y 1)， | a| xy .(2) 向量坐標(biāo)的求法：若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè) A( x 1， y 1)， B( x2， y2) ，則 AB ( x2 x1， y2 y 1)， | AB | x2 x 1 2 y2 y1 2 .3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè) a( x 1， y 1)， b( x2， y2) ，其中 b0.a b? x 1y2 x2y1 0. 小題體驗(yàn) 1已知向量 a(1， m)， b ( m,2) ，若 ab，則實(shí)數(shù)

21、 m_.12 / 51所以x1 y 1word解析：由 ab，得 12 m2 0，所以 m22，即 m 2.答案： 22 ( 教材習(xí)題改編 ) 已知 a (2,1) ，答案： ( 6,19) 3設(shè) e1， e2 是平面內(nèi)一組基向量，且b( 3,4) ，則 3a4b_.a e1 2e2， b e1e2，則向量 e1e2 可以表示為另一組基向量 a， b 的線性組合，即 e1 e2 _a_b.解析：由題意，設(shè) e1 e2 manb因?yàn)?ae12e2， b e1 e2 ，所以 e1e2 m( e12e2) n( e1e2) ( mn) e1(2 mn)e2 . 由平面向量基本定理，得mn 1，2mn

22、 1，m ， n .答案：2 13 31若 a， b為非零向量，當(dāng) ab 時(shí)， 中一種情形而導(dǎo)致出錯(cuò)；2 要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息；a， b 的夾角為 0或 180，求解時(shí)容易忽視其盡管在形式上它們完全一樣， 但意義完全不同，3若 a( x1， y 1)， b( x2， y2) ，則 a b 的充要條件不能表示成可能等于 0，應(yīng)表示為 x1y2 x2y1 0. 小題糾偏 1已知 A(1,2) ， B(4,2) ，則把向量 AB 按向量 a ( 1,3)x2 y2，因?yàn)?x2， y2 有平移后得到的向量是_解析： 當(dāng)向量平移 (起點(diǎn)和終點(diǎn)同時(shí)平移 ) 時(shí)，

23、 不改變向量的大小和方向， 所以所求的向量就是 AB (4,2) (1,2) (3,0) 答案： (3,0)2已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)向量 a(1,2) ， b( m1， m3) ，使得平面內(nèi)的任意一個(gè)向量 c 都可以唯一分解成 c a b，則實(shí)數(shù) m的取值 X 圍為_解析：依題意可知 a， b 為直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一對(duì)基底，所以 a， b 不共線當(dāng) a， b 共線時(shí)， 1(m3) 2(m1) 0，解得 m5，所以 a， b 不共線時(shí)，只需 m5. 故實(shí)數(shù) m 的取值 X 圍為( ， 5) (5 ， )13 / 51323111 1 11 1 1 1 16 61 1212 13 3word答案：

24、 ( ， 5) (5 ，)3. 如圖，在平行四邊形 ABCD中， AC與 BD相交于點(diǎn)的中點(diǎn)， AE的延長(zhǎng)線與 CD交于點(diǎn) F，若 AC a， BD 示)O， E是線段 ODb，則 AF _( 用 a， b 表解析： AC a， BD b， AD AO OD 2 AC 2 BD 2( ab)E 是 OD的中點(diǎn)，EB3 DE. 由 DEF BEA，1得 DF AB，31于是 DF AB1 1 BD 3 2 ( OB OA )1 AC AC BD 6a 6b6( ab)， AF AD DF ( ab) ( ab) a b.答案： a b考點(diǎn)一 平面向量基本定理及其應(yīng)用 基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透 題組

25、練透 1 在矩形 ABCD中， O是其對(duì)角線的交點(diǎn)， 若 BC e1， DC e2， 則用 e1， e2 表示 OC為_解析： 因?yàn)?O是矩形 ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)， BC e1， DC e2，所以 OC 2( AD AB ) ( BC DC ) 2( e1e2)答案： 2( e1 e2)2.( 易錯(cuò)題 )如圖，以向量 OA a， OB b 為鄰邊作 ?OADB，14 / 5132 2 2 OD3 3 6 6 2 62 2 1 5 1 1 OD6 61 556 6 3 3 2 6 a b，3 31 156 6 61 1 1wordBM BC ， CN CD ，用 a， b 表示 OM ， ON

26、 ， MN .解： BA OA OB a b，BM BA a b， OM OB BM OD a b，1 ON OC CD3 3a3b， MN ON OM a b.1 12 6OD a b a b a b.綜上， OM 1 5 ON 2a2b， MN 1a 1b. 謹(jǐn)記通法 用平面向量基本定理解決問題的一般思路(1) 先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決(2) 在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理，如“題組練透”第 2 題考點(diǎn)二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透 題組練透 1 (2016

27、某某二模 ) 若向量 a(2,1) ， b( 1,2) ， c 0， 2 ，則 c 可用向量 a， b表示為 _解析：設(shè) c xayb，則 0， 2 (2x y， x 2y)，2x y 0，所以 x 2y ， 解得x ，y 1，1則 c a b.2答案： c a b2已知點(diǎn) M(5 ，6) 和向量 a (1 ， 2) ，若 MN 3a，則點(diǎn) N的坐標(biāo)為 _15 / 51 解得y 6 6，即xyword解析： MN 3a 3(1 ， 2) ( 3,6) ，設(shè) N(x， y) ，則 MN ( x5， y6) ( 3,6) ，x 5 3， 所以2，0.答案： (2,0)3已知 A( 2,4) ， B

28、(3 ， 1)， C( 3， 4) 設(shè) AB a， BC b， CA c，且 CM3c， CN 2b，(1) 求 3a b 3c；(2) 求滿足 a mbnc 的實(shí)數(shù) m， n；(3) 求 M， N的坐標(biāo)及向量 MN 的坐標(biāo)解：由已知得 a(5 ， 5)， b ( 6， 3)， c (1,8) (1)3 a b3c 3(5 ， 5)( 6， 3) 3(1,8) (15 6 3， 15 324) (6 ， 42)(2) mbnc ( 6mn， 3m8n)，6mn5， m 1，3m8n 5， n 1.(3) 設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)， CM OM OC 3c， OM 3c OC (3,24) ( 3， 4

29、) (0,20) M(0,20) 又 CN ON OC 2b， ON 2b OC (12,6) ( 3， 4) (9,2) ，N(9,2) ， MN (9 ， 18) 謹(jǐn)記通法 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1) 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)(2) 解題過程中， 常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則， 通過列方程 ( 組)來進(jìn)行求解考點(diǎn)三 平面向量共線的坐標(biāo)表示已知 a(1,0) ， b (2,1) 重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研 典例引領(lǐng) (1) 當(dāng) k 為何值時(shí)， ka b 與 a 2b 共線；(2) 若 AB 2a3b，

30、BC a mb， 且 A， B， C三點(diǎn)共線，求 m的值16 / 513word解： (1) a (1,0) ， b(2,1) ，ka b k(1,0) (2,1) ( k 2， 1)，a2b(1,0) 2(2,1) (5,2) ，ka b 與 a 2b共線，2( k 2) ( 1) 5 0，k .(2) AB 2(1,0) 3(2,1) (8,3) ， BC (1,0) m(2,1) (2 m 1， m) A， B， C三點(diǎn)共線， AB BC ，8m3(2 m 1) 0，m2 . 由題悟法 向量共線充要條件的 2 種形式(1) ab? a b( b0)；(2) ab? x1y2 x2y1 0

31、( 其中 a(x1， y1)， b (x2， y2) 當(dāng)涉及向量或點(diǎn)的坐標(biāo)問題時(shí)一般利用 (2) 比較方便 即時(shí)應(yīng)用 1已知向量 OA ( k, 12)， OB (4,5) ， OC ( k, 10) ，且 A， B， C三點(diǎn)共線，則 k_.解析： AB OB OA (4 k， 7)， AC OC OA ( 2k， 2) A， B， C三點(diǎn)共線， AB ， AC 共線， 2(4 k) 7( 2k) ，解得 k .2答案：32 (2016 某某調(diào)研 ) 已知向量 a (2,3) ， b ( 1,2) ，若 ma4b 與 a 2b 共線，則 m 的值為 _解析： ma4b(2 m4,3 m8)，

32、a 2b(4 ， 1) ，由于 ma4b 與 a2b 共線， (2m4) 4(3 m8) ，解得 m 2.答案： 217 / 512 21 1解得54word一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1. 如圖， 在平行四邊形 ABCD中， E 為 DC邊的中點(diǎn)， 且 AB a， ADb，則 BE _.( 用 a， 解析： BE BA AD DE答案： b ab 表示) a b a b a.2 (2016 某某調(diào)研 ) 若 AC為平行四邊形 ABCD的一條對(duì)角線， AB (2,4) ， AC (1,3) ，則 AD _.解析：由題意可得 AD BC AC AB (1,3) (2,4) ( 1， 1)答案：

33、 ( 1， 1)3 (2015 某某四校聯(lián)考 ) 已知向量 a(5,2) ， b( 4，3)， c( x， y) ，若 3a 2b c 0，則 c _.解析：由題意可得 3a 2b c (23 x, 12 y) (0,0) ，所以x 23， y 12，所以 c ( 23， 12)23x 0，12y 0，答案： ( 23， 12)4 (2015 蘇北四市調(diào)研 ) 已知向量 a(1,3) ， b( 2,1)量 kab 共線，則實(shí)數(shù) k _.解析： kab k(1,3) ( 2,1) ( k 2,3 k 1)， 因?yàn)橄蛄?2( k 2) 3(3 k1) 0，解得 k 1.， c (3,2) 若向量

34、c 與向c 與向量 kab共線， 所以答案： 15若三點(diǎn) A(1 ， 5)， B(a， 2)， C( 2， 1) 共線，則實(shí)數(shù) a 的值為 _ 解析： AB ( a 1,3) ， AC ( 3,4) ，據(jù)題意知 AB AC ，4( a 1) 3( 3) ，即 4a 5，a 4.5答案：二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1 已知在 ?ABCD中， AD (2,8) ， AB ( 3,4) ，對(duì)角線 AC與 BD相交于點(diǎn) M，則 AM_.18 / 511 2 0，12解得 . AD ，AM AC ，所以2 22 2 .word解析： 因?yàn)樵??ABCD中， 有 AC AB 2 AM 2( AB AD

35、)1 11 1 ( 1,12) ， 6 .21答案： ，62 (2016 某某一中月考 ) 已知向量 0，則 m_.解 析： a ( m,1)， b ( m2,2) ，m m2 0， 解得 2，m0或2.a( m,1)， b ( m2, 2) 若存在 R，使得 a ba b 0， ( m m2, 1 2 ) (0,0) ， 即答案： 0 或 23 已知平行四邊形 ABCD中， AD (3,7) ， AB ( 2,3) ， 對(duì)角線 AC與 BD交于點(diǎn) O，則 CO 的坐標(biāo)為 _解析： AC AB AD ( 2,3) (3,7) (1,10) 1 1 OC AC ， 5 CO答案：1 ， 5 .1

36、2， 54設(shè)向量 a (1 ， 3)， b( 2,4) ， c ( 1， 2) ，若表示向量 4a, 4b 2c, 2( ac)， d 的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量 d_.解析：設(shè) d( x， y) ，由題意知 4a (4 ， 12)， 4b2c ( 6， 20)， 2( a c) (4，2) ，又 4a4b 2c2( ac )d0，所以 (4 ， 12) ( 6,20) (4 ， 2) ( x， y ) (0,0) ，解得 x 2， y 6，所以 d( 2， 6)答案： ( 2， 6)5. (2016 某某調(diào)研 ) 如圖，點(diǎn) A， B， C是圓 O上三點(diǎn)，線段 OC與線段 AB交于

37、圓內(nèi)一點(diǎn) P. 若 OC mOA 2mOB， AP AB ，則 _.解析：由題意，設(shè) OP nOC . 又 AP OP OA ( OB OA )，故 nOC OA ( OB OA )， n( mOA 2mOB ) OA ( OB OA ) ，即 ( mn 1) OA (2 mn ) OB 0. 而 OA 與 OB 不共線，故有mn 1 0， 22mn 0， 319 / 51則 得 ( AB 3word2答案：6在 ABC中， 點(diǎn) P在 BC上， 且 BP 2 PC，點(diǎn) Q是 AC的中點(diǎn)， 若 PA (4,3) ， PQ(1,5) ，則 BC _.解析： AQ PQ PA ( 3,2) ， AC

38、 2 AQ ( 6,4) PC PA AC ( 2,7) ， BC 3 PC ( 6,21) 答案： ( 6,21)7 (2015 某某模擬 )如圖所示，在 ABC中，點(diǎn) O是 BC的中點(diǎn)，過點(diǎn) O的直線分別交直線 AB，AC于不同的兩點(diǎn) M，N，若 AB mAM ，AC n AN ，則 mn 的值為 _解析：連結(jié) AO，則 AO 2 AC ) 2 AM 2 AN .1 m n又 M， O， N三點(diǎn)共線， 1，即 mn 2.m n2 2答案： 28 P a| a( 1,1) m(1,2) ， mR， Q b| b(1 ，2) n(2,3) ， nR是兩個(gè)向 量集合，則 PQ等于_解析： P中，

39、 a( 1 m,1 2m)，Q中， b(1 2n， 2 3n)1 m12n， m 12，12m 2 3n. n 7.此時(shí) a b ( 13， 23)答案： 13， 23 9平面內(nèi)給定三個(gè)向量 a (3,2) ， b( 1,2) ， c(4,1) (1) 求滿足 a mbnc 的實(shí)數(shù) m， n；(2) 若( akc) (2 b a) ，某某數(shù) k .解： (1) 由題意得 (3,2) m( 1,2) n(4,1) ，20 / 512mn2，5 1333.5word m4n3， 所以m，解得n .(2) akc (3 4k, 2 k)， 2b a( 5,2) ，由題意得 2(3 4k) ( 5)

40、(2 k) 0，解得 k 10 (2016 啟東模擬 ) 在 ABC中，已知 A(3,1) ， B(1,0) ， C(2， 3)(1) 判斷 ABC的形狀；(2) 設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OD mOC ( mR)，且 ( AB mOC ) BC ，求 | OD |. 解： (1) 由兩點(diǎn)間的距離公式，得 | AB| | AC| 5. AB ( 2， 1)， AC ( 1,2) ， AB AC 22 0，ABC為等腰直角三角形 .(2) 由題，可知 AB ( 2， 1)， OC (2,3) ， BC (1,3) ， 則 AB mOC ( 2 2m， 1 3m)又( AB mOC ) BC ，則有 3

41、( 22m)(1 3m) 0，故 m由兩點(diǎn)間的距離公式，得 | OC| 13， | OC | 13， | OD | | m| OC | .三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1向量 a， b， c 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若_.c a b( ， R)，則 解析：以向量 a 和 b 的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 ( 設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為 1)，21 / 511 3 12 22 2 13 1 2232 3331 1B ， . 于是 OC2 2word則 A(1 ， 1)， B(6,2) ， C(5 ， 1)，a AO ( 1,1) ， b OB (6,2) ， c BC ( 1， 3)

42、c a b， ( 1， 3) ( 1,1) (6,2) ，即 6 1， 2 3，解得 2， 2， 4.答案： 42. 如圖，半徑為 1 的扇形 AOB的圓心角為且 COB30 . 若 OC OA OB ，則120，點(diǎn) C 在 AB上， _.解析：由已知，可得 OAOC，以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OC， OA所在直線分別為 x 軸、 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則有 C(1,0) ， A(0,1) ， B(cos 30，sin 30 ) ，即 3 1 (1,0) ， OA (0,1) ， OB ， ， 由 OC OA OB， 得(1,0)1， ， ， 0， 3.答案： 33. 如圖， G是 OAB的重

43、心， P，P， G， Q三點(diǎn)共線(1) 設(shè) PG PQ ，將 OG 用Q分別是邊， OP ， (0,1) ，3 12 2 3 ，解得 ，OA， OB上的動(dòng)點(diǎn)，且OQ 表示；(2) 設(shè) OP x OA， OQ y OB ，證明： x y是定值 解： (1) OG OP PG OP PQ OP ( OQ OP ) (1 ) OP OQ .(2) 證明：一方面，由 (1) ，得 OG (1 ) OP OQ22 / 513 3 22 2 11 11 OA1word(1 ) xOA yOB ；另一方面， G是 OAB的重心， OG OM ( OA OB )1 13 3OB . 而 OA， OB 不共線，

44、1 x3，由，得y .1x 3 3 ，解得y 3 .xy 3( 定值 )第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用1平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量 a 和 b，它們的夾角為 積( 或內(nèi)積 ) ，記作 a b . 即 a b |a|b| cos2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1) a b b a .(2)( a) b ( a b) a ( b)(3)( ab) c a c b c .3平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論，把數(shù)量 |a|b| cos 叫做 a 和 b 的數(shù)量，規(guī)定 0 a 0.已知非零向量結(jié)論模夾角a( x 1， y 1)， b( x2， y2)幾何表示 坐標(biāo)表示a b| a| a a

45、cos |a|b| a|cos xyx 1x2y 1y2xy xy23 / 51212 2wordab 的充要條件| a b| 與 |a|b| 的關(guān)系a b 0| a b| |a|b| y1y2 | x 1x2y 1y2 0| x 1x2xy x y 小題體驗(yàn) 1 (2015 全國卷改編 ) 向量 a (1 ， 1)， b( 1,2) ，則 (2 a b) a_.解析：法一： a(1 ， 1)， b( 1,2) ，a2 2， a b 3，從而 (2ab) a2a2 a b 4 3 1.法二： a (1 ， 1)， b( 1,2) ，2ab (2 ， 2) ( 1,2) (1,0) ，從而 (2

46、ab) a(1,0) (1 ， 1) 1.答案： 12 ( 教材習(xí)題改編 ) 已知向量 a， b 滿足 | a| | b| 2，且 a b2，則 a 與 b 的夾角為 _解析：因?yàn)?cos a， b ，所以 a， b .答案：33 ( 教材習(xí)題改編 ) 已知向量 a， b 滿足 | a| 1， | b| 2， a 與 b 的夾角為 60，則 | a b| _.解析： | a b| a b 22 2 a b 2a b 1 2 212cos 60 3.答案： 34已知兩個(gè)單位向量 e1， e2 的夾角為 ，若向量 b1 e1 2e2， b2 3e1 4e2，則 b1 b2_.解析： b1 e12e

47、2， b2 3e14e2，則 b1 b2 ( e1 2e2) (3 e14e2) 3e21 2e1 e2 8e .因?yàn)?e1， e2 為單位向量， e1， e2 ，所以 b1 b2 3 2 8 6.答案： 624 / 51293 23 word1 (1)0 與實(shí)數(shù) 0 的區(qū)別： 0a00， a( a) 00， a 000； (2)0 的方向是任意的，并非沒有方向， 0 與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系2 a b 0 不能推出 a0 或 b0，因?yàn)?a b 0 時(shí)，有可能 ab.3在運(yùn)用向量夾角時(shí)，注意其取值 X 圍0 ， 4在用 |a| a2求向量的模時(shí)，一定要把求出的 小題糾偏

48、 1給出下列說法：a2 再進(jìn)行開方若 a b0，則 a 和 b 的夾角為銳角，若 a b0，即 184t 0，解得 t .但當(dāng) t 8 時(shí)，兩向量同向，應(yīng)舍去，故實(shí)數(shù) t 的取值9答案： 2，8X 圍是 ， 8 (8 ， )(8 ，)3已知向量 a(2cos ， 2sin )，為_解析：以坐標(biāo)原點(diǎn) O為起點(diǎn)，可知向量的夾角為 . 2 ， ， b (0 ， 1) ，則 a 與 b 的夾角a和 b 如圖所示，易知它們答案：2 考點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算 基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透 題組練透 1 ( 易錯(cuò)題 ) 設(shè)向量 a ( 1,2) ， b ( m,1) ，如果向量 a2b 與 2a b平行，

49、那么 a b_.25 / 5112 33 1 211 532word解析： a2b ( 1 2m,4)， 2a b ( 2 m,3) ，由題意得 3( 12m) 4( 2 m) 0，則 m ，所以 a b 1 2 2.5答案：2設(shè)向量 a， b均為單位向量，且 | ab| 1，則 a與 b 的夾角為 _解析： | ab| 1，又 | a| | b| 1， cosa2 2a bb2 1.a， b 2 .又 a， b 0 ， ， a， b答案：3 (2016 某某中學(xué)檢測(cè) ) 如圖，已知_.2 3 .e1， e2 為互相垂直的兩個(gè)單位向量，則 | ab| 解析：由題設(shè)，知b 2e12e2，a e1

50、 e2，所以 a b 2e1 4e2，所以 | a b|2 2 16e1 e2 16e 2e1 4e2 4e1 20 2 5.答案： 2 54 (2015 某某高考 )在等腰梯形 ABCD中， 已知 ABDC，AB2， BC1，32點(diǎn) E 和 F 分別在線段 BC和 DC上，且 BE BC ，61DF DC ，則 AE_ABC60. AF 的值為解析：取 BA ， BC 為一組基底，2則 AE BE BA BC BA ，26 / 512 .17 2 25 212 18 42918312word5 7AF AB BC CF BA BC 12 BA 12 BA BC ，2 AE AF BC BA7

51、 BA BC | BA | BA BC 3| BC | 27 25 1 212 1821 2 32918 .答案： 謹(jǐn)記通法 向量數(shù)量積的 2 種運(yùn)算方法方法 運(yùn)用提示 適用題型當(dāng)已知向量的模和夾角 時(shí)， 可利用定 適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)定義法坐標(biāo)法義法求解，即 a b | a| | b|cos 當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若 a ( x1， y1)， b ( x2， y2) ，則 a bx 1x2y 1y2計(jì)算問題適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題考點(diǎn)二 平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 常考常新型考點(diǎn)多角探明 命題分析平面向量的夾角與模的問題是高考中的?？純?nèi)容，題

52、常見的命題角度有：(1) 平面向量的模；(2) 平面向量的夾角；(3) 平面向量的垂直 題點(diǎn)全練角度一：平面向量的模1(2015 某某高考 ) 已知 e1，e2 是平面單位向量，b e2 1，則 | b| _.解析： e1 e2 ，題型多為填空題， 難度適中， 屬中檔且 e1 e2 若平面向量 b 滿足 b e127 / 512 33 3 . 21 3 ，11 2 22 word | e1| e2 |cos e1， e2 2 e1， e2 60.又 b e1 b e2 1 0， b， e1 b， e2 30.由 b e1 1，得 | b| e1|cos 30 答案：32 (2016 某某一中檢

53、測(cè) ) 若 a， b，1， | b| 1 2 3c 均為單位向量， 且 a b 0， ( a c) (bc) 0，則| abc| 的最大值為 _解析： 由題意， 知 a2 1，b2 1，c2 1. 由 a b0 及( ac) (bc) 0，知( ab) c1. 因?yàn)?| a b c| 2 a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c ，所以 | a b c| 2 3 2( a cb c) 1，故 | a bc| max1.答案： 1角度二：平面向量的夾角3 (2015 某某高考改編 ) 已知非零向量 a， b滿足 | b| 4| a| ，且 a(2 ab) ，則 a 與 b 的夾角為 _解析

54、： a(2 a b) ， a (2 ab) 0， 2| a| 2a b 0，即 2| a| 2| a| b|cos a， b 0. | b| 4| a| ， 2| a| 24| a| 2cos a， b 0，cos a， b 2， a， b 3 .答案：34 (2016 某某名校聯(lián)考 ) 在 ABC中， AB ( 2， 3)， AC (1， 2) ，則 ABC的面積為 _解析：由題意得， (| AB | | AC |) 2 (| AB | | AC | cos AB ， AC ) 2(| AB | | AC | sin AB ， AC ) 2，即(| AB | | AC |) 2 ( AB A

55、C ) 2(| AB | | AC | sin AB ， AC ) 2， | AB | | AC | sin AB ， AC 2 3，SABC2| AB | | AC | sin AB ， AC 1 2 .3答案： 128 / 51a b1 712word角度三：平面向量的垂直5 (2014 某某高考改編 ) 已知向量 a( k, 3)， b(1,4) ， c (2,1) ，且 (2 a 3b) c， 則實(shí)數(shù) k _.解析：因?yàn)?2a3b (2 k 3， 6)， (2 a 3b) c，所以 (2a 3b) c 2(2 k 3) 6 0，解得 k 3.答案： 36 已知向量 AB 與 AC 的夾

56、角為 120， 且| AB | 3， | AC | 2. 若 AP AB AC ，且 AP BC ，則實(shí)數(shù) 的值為 _解析： BC AC AB ，由于 AP BC ，所以 AP BC 0，即( AB AC ) ( AC AB ) AB 2 AC 2 ( 1) AB AC 9 4( 1) 32 2 0，解得 12 .7答案： 方法歸納 平面向量數(shù)量積求解問題的策略(1) 求兩向量的夾角： cos | a| | b| ，要注意 0 ， (2) 兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是： ab? a b 0? | a b| | ab|.(3) 求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問題的處理方法有：a2

57、 a a | a| 2 或 | a| a a.| ab| ab 2 a2 2 a b b2 .若 a(x， y ) ，則 | a| x2y2 .考點(diǎn)三 平面向量與三角函數(shù)的綜合 重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研 典例引領(lǐng) (2016 蘇北四市調(diào)研 ) 已知函數(shù) f ( x) a b，其中 a(2cos x， 3sin x, 1)， x R.(1) 求函數(shù) y f ( x) 的單調(diào)遞減區(qū)間；(2) 在 ABC中，角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c， f ( A) 1， a (3， sin B) 與 n(2， sin C) 共線，求邊長(zhǎng) b 和 c 的值解： (1) f ( x) a b 2

58、cos x 3sin 2 x 29 / 5122x)， b(cos7，且向量 m66又 k ， k 3 3 . 1.word1 cos 2 x 3sin 2 x 1 2cos 2x ，令 2k2 x 2 k( kZ)，解得 k xk ( kZ)，所以 f ( x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為6 3 ( kZ)(2) f ( A) 12cos 2A 1，cos 2A 33 2A 2A ，即 Aa 7，由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A( bc) 2 3bc7. 向量 m(3， sin B) 與 n (2， sin C) 共線，所以 2sin B3sin C.由正弦定理得 2b 3c，由，可得

59、 b3， c 2. 由題悟法 平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1) 題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解(2) 給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等 即時(shí)應(yīng)用 已知 a (cos x, 2cos x)， b (2cos x， sin x)， f ( x) a b.(1) 把 f ( x) 圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到 g( x) 的圖象，求 g( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間；(2) 當(dāng) a0， a 與 b 共線時(shí)，求 f

60、( x) 的值解： (1) f ( x) a b 2cos x 2sin xcos x sin 2 x cos 2 x 1 2sin 2x 2 430 / 51 2 11113261 1 1 3 k，5 7 5 7 word1.g( x) 2sin 2 x 1 2sin 2x 1.由 2k 2 x 2k ， kZ 得， 24 k x 24 k ， k Z，g( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 24 24 k ， kZ.(2) a0， a 與 b 共線， cos x0， sin xcos x 4cos 2x 0， tan x 4.f ( x) 2 cos 2x 2sin xcos x xs2osx 2