高中物理奧賽必看講義-力與物體的平衡

1、 力與物體的平衡第一講 力的處理一、矢量的運(yùn)算1、加法表達(dá)： + = 。名詞：為“和矢量”。法則：平行四邊形法則。如圖1所示。和矢量大?。篶 = ，其中為和的夾角。和矢量方向：在、之間，和夾角= arcsin2、減法表達(dá)： = 。名詞：為“被減數(shù)矢量”，為“減數(shù)矢量”，為“差矢量”。法則：三角形法則。如圖2所示。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點，然后連接兩時量末端，指向被減數(shù)時量的時量，即是差矢量。差矢量大?。篴 = ，其中為和的夾角。差矢量的方向可以用正弦定理求得。一條直線上的矢量運(yùn)算是平行四邊形和三角形法則的特例。例題：已知質(zhì)點做勻速率圓周運(yùn)動，半徑為R ，周期為T ，求它在T內(nèi)和

2、在T內(nèi)的平均加速度大小。解說：如圖3所示，A到B點對應(yīng)T的過程，A到C點對應(yīng)T的過程。這三點的速度矢量分別設(shè)為、和。根據(jù)加速度的定義 = 得：= ，= 由于有兩處涉及矢量減法，設(shè)兩個差矢量 = ，= ，根據(jù)三角形法則，它們在圖3中的大小、方向已繪出（的“三角形”已被拉伸成一條直線）。本題只關(guān)心各矢量的大小，顯然： = = = ，且： = = ， = 2= 所以：= = = ，= = = 。（學(xué)生活動）觀察與思考：這兩個加速度是否相等，勻速率圓周運(yùn)動是不是勻變速運(yùn)動？答：否；不是。3、乘法矢量的乘法有兩種：叉乘和點乘，和代數(shù)的乘法有著質(zhì)的不同。 叉乘表達(dá)： = 名詞：稱“矢量的叉積”，它是一個新

3、的矢量。叉積的大?。篶 = absin，其中為和的夾角。意義：的大小對應(yīng)由和作成的平行四邊形的面積。叉積的方向：垂直和確定的平面，并由右手螺旋定則確定方向，如圖4所示。顯然，但有：= 點乘表達(dá)： = c名詞：c稱“矢量的點積”，它不再是一個矢量，而是一個標(biāo)量。點積的大?。篶 = abcos，其中為和的夾角。二、共點力的合成1、平行四邊形法則與矢量表達(dá)式2、一般平行四邊形的合力與分力的求法余弦定理（或分割成Rt）解合力的大小正弦定理解方向三、力的分解1、按效果分解2、按需要正交分解第二講 物體的平衡一、共點力平衡1、特征：質(zhì)心無加速度。2、條件： = 0 ，或 = 0 ， = 0例題：如圖5所示

4、，長為L 、粗細(xì)不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的夾角在圖上已標(biāo)示，求橫桿的重心位置。解說：直接用三力共點的知識解題，幾何關(guān)系比較簡單。答案：距棒的左端L/4處。（學(xué)生活動）思考：放在斜面上的均質(zhì)長方體，按實際情況分析受力，斜面的支持力會通過長方體的重心嗎？解：將各處的支持力歸納成一個N ，則長方體受三個力（G 、f 、N）必共點，由此推知，N不可能通過長方體的重心。正確受力情形如圖6所示（通常的受力圖是將受力物體看成一個點，這時，N就過重心了）。答：不會。二、轉(zhuǎn)動平衡1、特征：物體無轉(zhuǎn)動加速度。2、條件：= 0 ，或M+ =M- 如果物體靜止，肯定會同時滿足兩種平衡，因此用兩種

5、思路均可解題。3、非共點力的合成大小和方向：遵從一條直線矢量合成法則。作用點：先假定一個等效作用點，然后讓所有的平行力對這個作用點的和力矩為零。 第三講 習(xí)題課1、如圖7所示，在固定的、傾角為斜面上，有一塊可以轉(zhuǎn)動的夾板（不定），夾板和斜面夾著一個質(zhì)量為m的光滑均質(zhì)球體，試求：取何值時，夾板對球的彈力最小。解說：法一，平行四邊形動態(tài)處理。對球體進(jìn)行受力分析，然后對平行四邊形中的矢量G和N1進(jìn)行平移，使它們構(gòu)成一個三角形，如圖8的左圖和中圖所示。由于G的大小和方向均不變，而N1的方向不可變，當(dāng)增大導(dǎo)致N2的方向改變時，N2的變化和N1的方向變化如圖8的右圖所示。顯然，隨著增大，N1單調(diào)減小，而N

6、2的大小先減小后增大，當(dāng)N2垂直N1時，N2取極小值，且N2min = Gsin。法二，函數(shù)法。看圖8的中間圖，對這個三角形用正弦定理，有： = ，即：N2 = ，在0到180之間取值，N2的極值討論是很容易的。答案：當(dāng)= 90時，甲板的彈力最小。2、把一個重為G的物體用一個水平推力F壓在豎直的足夠高的墻壁上，F(xiàn)隨時間t的變化規(guī)律如圖9所示，則在t = 0開始物體所受的摩擦力f的變化圖線是圖10中的哪一個？解說：靜力學(xué)旨在解決靜態(tài)問題和準(zhǔn)靜態(tài)過程的問題，但本題是一個例外。物體在豎直方向的運(yùn)動先加速后減速，平衡方程不再適用。如何避開牛頓第二定律，是本題授課時的難點。靜力學(xué)的知識，本題在于區(qū)分兩種

7、摩擦的不同判據(jù)。水平方向合力為零，得：支持力N持續(xù)增大。物體在運(yùn)動時，滑動摩擦力f = N ，必持續(xù)增大。但物體在靜止后靜摩擦力f G ，與N沒有關(guān)系。對運(yùn)動過程加以分析，物體必有加速和減速兩個過程。據(jù)物理常識，加速時，f G ，而在減速時f G 。答案：B 。3、如圖11所示，一個重量為G的小球套在豎直放置的、半徑為R的光滑大環(huán)上，另一輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為k ，自由長度為L（L2R），一端固定在大圓環(huán)的頂點A ，另一端與小球相連。環(huán)靜止平衡時位于大環(huán)上的B點。試求彈簧與豎直方向的夾角。解說：平行四邊形的三個矢量總是可以平移到一個三角形中去討論，解三角形的典型思路有三種：分割成直角三角形（或本

8、來就是直角三角形）；利用正、余弦定理；利用力學(xué)矢量三角形和某空間位置三角形相似。本題旨在貫徹第三種思路。分析小球受力矢量平移，如圖12所示，其中F表示彈簧彈力，N表示大環(huán)的支持力。（學(xué)生活動）思考：支持力N可不可以沿圖12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡不可以。）容易判斷，圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形AOB是相似的，所以： 由胡克定律：F = k（- R） 幾何關(guān)系：= 2Rcos 解以上三式即可。答案：arccos 。（學(xué)生活動）思考：若將彈簧換成勁度系數(shù)k較大的彈簧，其它條件不變，則彈簧彈力怎么變？環(huán)的支持力怎么變？答：變小；不變。（學(xué)生活動）反饋練習(xí)：光滑半球固定在水平面上，

9、球心O的正上方有一定滑輪，一根輕繩跨過滑輪將一小球從圖13所示的A位置開始緩慢拉至B位置。試判斷：在此過程中，繩子的拉力T和球面支持力N怎樣變化？解：和上題完全相同。答：T變小，N不變。4、如圖14所示，一個半徑為R的非均質(zhì)圓球，其重心不在球心O點，先將它置于水平地面上，平衡時球面上的A點和地面接觸；再將它置于傾角為30的粗糙斜面上，平衡時球面上的B點與斜面接觸，已知A到B的圓心角也為30。試求球體的重心C到球心O的距離。解說：練習(xí)三力共點的應(yīng)用。根據(jù)在平面上的平衡，可知重心C在OA連線上。根據(jù)在斜面上的平衡，支持力、重力和靜摩擦力共點，可以畫出重心的具體位置。幾何計算比較簡單。答案：R 。（

10、學(xué)生活動）反饋練習(xí)：靜摩擦足夠，將長為a 、厚為b的磚塊碼在傾角為的斜面上，最多能碼多少塊？解：三力共點知識應(yīng)用。答： 。4、兩根等長的細(xì)線，一端拴在同一懸點O上，另一端各系一個小球，兩球的質(zhì)量分別為m1和m2 ，已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線張開一定角度，分別為45和30，如圖15所示。則m1 : m2為多少？解說：本題考查正弦定理、或力矩平衡解靜力學(xué)問題。對兩球進(jìn)行受力分析，并進(jìn)行矢量平移，如圖16所示。首先注意，圖16中的灰色三角形是等腰三角形，兩底角相等，設(shè)為。而且，兩球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，設(shè)為F 。對左邊的矢量三角形用正弦定理，有： =

11、 同理，對右邊的矢量三角形，有： = 解兩式即可。答案：1 ： 。（學(xué)生活動）思考：解本題是否還有其它的方法？答：有將模型看成用輕桿連成的兩小球，而將O點看成轉(zhuǎn)軸，兩球的重力對O的力矩必然是平衡的。這種方法更直接、簡便。應(yīng)用：若原題中繩長不等，而是l1 ：l2 = 3 ：2 ，其它條件不變，m1與m2的比值又將是多少？解：此時用共點力平衡更加復(fù)雜（多一個正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。答：2 ：3 。5、如圖17所示，一個半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長為L的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細(xì)桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和

12、木板之間有摩擦（已知摩擦因素為），所以要將木板從球下面向右抽出時，至少需要大小為F的水平拉力。試問：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些，至少需要多大的水平推力？解說：這是一個典型的力矩平衡的例題。以球和桿為對象，研究其對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動平衡，設(shè)木板拉出時給球體的摩擦力為f ，支持力為N ，重力為G ，力矩平衡方程為：f R + N（R + L）= G（R + L） 球和板已相對滑動，故：f = N 解可得：f = 再看木板的平衡，F(xiàn) = f 。同理，木板插進(jìn)去時，球體和木板之間的摩擦f= = F。答案： 。第四講 摩擦角及其它一、摩擦角1、全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用R表示，

13、亦稱接觸反力。2、摩擦角：全反力與支持力的最大夾角稱摩擦角，一般用m表示。此時，要么物體已經(jīng)滑動，必有：m = arctg（為動摩擦因素），稱動摩擦力角；要么物體達(dá)到最大運(yùn)動趨勢，必有：ms = arctgs（s為靜摩擦因素），稱靜摩擦角。通常處理為m = ms 。3、引入全反力和摩擦角的意義：使分析處理物體受力時更方便、更簡捷。二、隔離法與整體法1、隔離法：當(dāng)物體對象有兩個或兩個以上時，有必要各個擊破，逐個講每個個體隔離開來分析處理，稱隔離法。在處理各隔離方程之間的聯(lián)系時，應(yīng)注意相互作用力的大小和方向關(guān)系。2、整體法：當(dāng)各個體均處于平衡狀態(tài)時，我們可以不顧個體的差異而講多個對象看成一個整體進(jìn)

14、行分析處理，稱整體法。應(yīng)用整體法時應(yīng)注意“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”的涵義。三、應(yīng)用1、物體放在水平面上，用與水平方向成30的力拉物體時，物體勻速前進(jìn)。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進(jìn)，求物體與水平面之間的動摩擦因素。解說：這是一個能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目?？梢酝ㄟ^不同解法的比較讓學(xué)生留下深刻印象。法一，正交分解。（學(xué)生分析受力列方程得結(jié)果。）法二，用摩擦角解題。引進(jìn)全反力R ，對物體兩個平衡狀態(tài)進(jìn)行受力分析，再進(jìn)行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的，而全反力R的方向不變、F的大小不變），m指摩擦角。再將兩圖重疊成圖18的右圖。由于灰色的三角形

15、是一個頂角為30的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊故有：m = 15。最后，= tgm 。答案：0.268 。（學(xué)生活動）思考：如果F的大小是可以選擇的，那么能維持物體勻速前進(jìn)的最小F值是多少？解：見圖18，右圖中虛線的長度即Fmin ，所以，F(xiàn)min = Gsinm 。答：Gsin15（其中G為物體的重量）。2、如圖19所示，質(zhì)量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體，使物體能夠沿斜面向上勻速運(yùn)動，而斜面體始終靜止。已知斜面的質(zhì)量M = 10kg ，傾角為30，重力加速度g = 10m/s2 ，求地面對斜面體的摩擦力大小。解說：本題旨在顯

16、示整體法的解題的優(yōu)越性。法一，隔離法。簡要介紹法二，整體法。注意，滑塊和斜面隨有相對運(yùn)動，但從平衡的角度看，它們是完全等價的，可以看成一個整體。做整體的受力分析時，內(nèi)力不加考慮。受力分析比較簡單，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。答案：26.0N 。（學(xué)生活動）地面給斜面體的支持力是多少？解：略。答：135N 。應(yīng)用：如圖20所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為。另一質(zhì)量為m的滑塊恰好能沿斜面勻速下滑。若用一推力F作用在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且要求斜面體靜止不動，就必須施加一個大小為P = 4mgsincos的水平推力作用于斜面體。使?jié)M足題意的這個F的大小

17、和方向。解說：這是一道難度較大的靜力學(xué)題，可以動用一切可能的工具解題。法一：隔離法。由第一個物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素= tg對第二個物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ，滑塊與斜面之間的兩對相互作用力只用兩個字母表示（N表示正壓力和彈力，f表示摩擦力），如圖21所示。對滑塊，我們可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡Fx = f + mgsinFy + mgcos= N且 f = N = Ntg綜合以上三式得到：Fx = Fytg+ 2mgsin 對斜面體，只看水平方向平衡就行了P = fcos+ Nsin即：4mgsincos=Ncos+ Nsin代入值，化簡得：Fy = mgcos 代入可得