利用拋物線的定義解題

1、利用拋物線的定義解題平面內(nèi)與一個定點和一條定直線距離相等的點的軌跡叫做拋物線。這個定點 就叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。還有一個大前提條件就是這個 定點必須在定直線外。如果定點在定直線上，那么，平面內(nèi)與這個定點和定直線 距離相等的點的軌跡是過這個定點與定直線垂直的直線。在拋物線的標準方程 y2=2px中,要牢記p0的幾何意義是焦點到準線的距離。定義的重要在于它是解決問題的根本基礎(chǔ)，第一塊基石。在批改作業(yè)的時候 發(fā)現(xiàn)，有的學生不清楚定義，在解題中，前言不接后語，不知所云，讓老師一頭 霧水。只有解決基本問題，定義了然于胸才能談上靈活應(yīng)用。1、利用拋物線定義解決的第一類問題：求拋物線的標

2、準方程。已知焦點，準線，頂點，以及拋物線上一點的坐標這四個條件中的任意兩個， 就可以畫出草圖設(shè)出拋物線的標準方程，并解出來。為什么強調(diào)作圖呢？作圖有 利于根據(jù)拋物線的開口方向設(shè)出標準方程的形式。尤其對初學者，很重要。直到 通過一段時間的學習，腦中有了圖形，就不用畫圖了。2、利用拋物線定義解決的第二類問題：已知拋物線的標準方程求焦點坐標 和準線方程。看似簡單的問題，但往往容易掉進出題人設(shè)計的圈套。例如：求拋物線x=4y2 的焦點坐標和準線方程.看下面的解題過程錯在了哪里：2p=4,p=2,p/2=1所以得 到焦點坐標（0，1）。我們一起來分析一下，首先x=4y2不是拋物線的標準方程， 所以把它化

3、成標準方程是：y2=1/4x，所以2p=1/4,p=1/8,p/2=1/16,根據(jù)圖像知 道焦點在x軸的正半軸上，所以焦點坐標（1/16,0），準線方程:x=-1/16. 通過分析對比不難發(fā)現(xiàn)，錯解的最根本原因是沒有把原方程化為標準方程，才導 致2p=4，和焦點位置的錯誤。我在教學中經(jīng)常讓學生自己找錯誤的原因，或者 解題過程中容易出錯的地方，作出標注提醒自己在以后做題中注意。這樣就能減 少簡單題出錯的可能性。此題做錯的學生寫過“平方項在左邊，一次項在右邊。” “標準方程要牢記”。又如，下面的問題涉及到充分把握定義中p的幾何意義。求拋物線x2=2ay（a 0）的焦點坐標和準線方程。方程中的字母a

4、有兩種情 況：a0時，拋物線開口向上，2p=2a,p=a,p/2=a/2,焦點(0,a/2)在y軸正半 軸上，準線方程：x=-a/2.a0)，過焦點的直線AB交拋物線于A,B兩點，人(七七)，B(x2,y2),線段AB叫做拋物線的焦點弦。由上面焦半徑公式可知，AB = AF + BF二 AB =x + +x + 1 1 22 2于是得到焦點弦公式：AB| = x1+x2+p。這個公式對于開口方向不同的拋物 線要靈活應(yīng)用，在理解的基礎(chǔ)上進行記憶。應(yīng)用這個公式作下面一題：斜率為1的直線過拋物線y2=4x的焦點與拋物線 交于A、B兩點。求弦長AB。解：由拋物線的方程可知，焦點F(1，0)，所以直線方

5、程為y=x-1，代入 y2=4x 得：x2-6x+1=0，設(shè) A(x1,y1)，B(x2,y2)則 x1+x2=6AB = x1+x2+p=6+2=8探討拋物線y2=2px(p0)的焦點弦AB的中點M到準線的距離與|人8|的關(guān)系。如圖：A(x,y), B(x,y),準線為m,焦點F TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark15 o Current Document 11221 ,作AA 1 m于A BB 1 m于B , M到準線的距離為MM , MM二一(AA + BB )11, 111 ，1 211111 ,=-(AF + BF |) = - |AB|解決此題的關(guān)

6、鍵是拋物線的定義，把到準線的距離轉(zhuǎn)化成到焦點的距離。而 前面求焦半徑是把到焦點的距離轉(zhuǎn)化成到準線的距離。所以，利用拋物線的定義 把拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離進行轉(zhuǎn)化解決問題是非常重要的 解題方法。4、利用拋物線定義解決的第四類問題：軌跡問題。例如：動點M到A(3, 0)的距離比到直線m： x=-2的距離大1，求動點M 的軌跡。如果用一般求軌跡的方法，解法如下：設(shè)M(x, y)，點M到準線m距離為d貝U， MA =d+1艮Lx.;(x - 30)2 + y 2 = X + 2| + 1根據(jù)圖形可知，點M在直線的右側(cè)，于是去絕對值得C（x - 30）2 + y 2 = X + 2 +

7、1兩邊平方化簡得：y2=12x這樣求出來才發(fā)現(xiàn)點M的軌跡是拋物線。我們也可以換一種思路：先判斷出軌跡再求方程。如圖，作m的垂線交m于沖交直線x=-3于M1則 ma=mn +1而 mn+1= MM J所以 |MA =|MM這樣，用語言表述上面的等式是：點M到點A (3, 0)的距離等于它到直 線x=-3的距離，根據(jù)拋物線的定義可知，點M的軌跡是拋物線，點A是焦點，x=-3是準線。所以p=6,拋物線的標準方程是：y2=12x。對比以上兩種解題方法，第一種方法是先求出軌跡方程后知道軌跡，第二種 方法先判斷出軌跡再求解軌跡方程。我傾向于第二種方法，簡化了計算，比較簡 單。當然了，只有在熟練了定義情況下

8、才能做到得心應(yīng)于。再如下面一求軌跡的問題：求與圓M（x+1）2+y2=1外切且與y軸相切的動圓圓心N的軌跡方程。解：方法（一）：設(shè)動圓圓心N（x，y），動圓半徑為R情況（1）動圓在y軸左側(cè)，MN=1+R，r= IM =-x所以mn =1-x I（x + 1）2 + y 2 =x情況（2）動圓在y軸右側(cè)，此時圓心在x軸上，方程為y=0（x0）軌跡為一條射線.所以，綜上可知，動圓圓心N的軌跡方程為兩邊平方化簡得，y2=-4x（x更0）y2=-4x（x 豐 0） ,y=0（x0）.對于情況（1）,由圖形可以看出動圓圓心N到點M的距離和到直線x=1的距離 相等.所以點N的軌跡是以點M（-1,0）為焦點

9、，x=1為準線的拋物線，設(shè)拋物線 y2=-2px（p0）. P=2，所以 y2=-4x（x。0）.兩種方法對比，第二種方法在計算上更節(jié)省時間。再例如：動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動 圓恒與直線x+2=0相切。問動圓必過哪個定點？ 如圖，作MM1垂直于準線于M1 動圓恒與直線x+2=0相切，可知 MF = MMJ，圓心在拋物線上運動的過程中，動圓M始終經(jīng)過點F（2, 0）。5、利用拋物線定義解決的第五類問題：距離最小值問題：利用拋物線的定 義，把拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離進行轉(zhuǎn)化。已知：點M(3, 2)，F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點，點P在拋物線上，若P + PM取最小值，求點P的坐標。首先確定點M的位置，如圖，設(shè)準線為m，作PQ1 m于Q，MN 1 m于N。|PF| + PM| = PQ + PM 習MN|等號成立時點P與點M的的縱坐標相同是 2,代入拋物線方程求出橫坐標為2。所以P (2, 2)。|PF| + PM| 最小值為 MN = P +3=-。22本題的解題關(guān)鍵是把|PF|轉(zhuǎn)化成P點到準 線的距離PQ，找到解決問題的入口，再根據(jù) 垂線段最短解決了問題。與上面的題相反，解決下面問題要把到準線的距離轉(zhuǎn)化成到焦點的距離。已知：拋物線x2=4y，點P是拋物線上的動點。點A (12，6)。求點P到點A 的距離與點P到準線的距離之和的最小值。如圖，