幾何定值與極值問題的例題與練習(xí)

1、 幾何定值和極值 1. 幾何定值問題 (1)定量問題：解決定量問題的關(guān)鍵在探求定值，一旦定值被找出，就轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何證明題了。探求定值的方法一般有運(yùn)動(dòng)法、特殊值法及計(jì)算法。 (2)定形問題：定形問題是指定直線、定角、定向等問題。在直角坐標(biāo)平面上，定點(diǎn)可對(duì)應(yīng)于有序數(shù)對(duì)，定向直線可以看作斜率一定的直線，實(shí)質(zhì)上這些問題是軌跡問題。 2. 幾何極值問題：最常見的幾何極值問題大體包括：有關(guān)線段的最大最小問題；三角形面積的最大最小問題；角的最大最小問題等?！纠}分析】 例1. 已知的兩邊的中點(diǎn)分別為M、N，P為MN上的任一點(diǎn)，BP、CP的延長線分別交AC、AB于D、E，求證：為定值。 分析：用運(yùn)動(dòng)法探求

2、定值，先考慮特殊情況，令P在MN上向M運(yùn)動(dòng)，此時(shí)D點(diǎn)向A運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M時(shí)，D點(diǎn)將與A點(diǎn)重合，而AMMB，于是，于是轉(zhuǎn)入一般證明。 證明：連結(jié)AP 例2. 兩圓相交于P、Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P任作兩直線與交一圓于A、B，交另一圓于、，AB與交于點(diǎn)C，求證：為定值。 分析：設(shè)兩圓為O、，現(xiàn)從運(yùn)動(dòng)極端分析，因?yàn)橹本€與都是以P為固定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的。當(dāng)與重合時(shí)，便成了左圖的情況，而AC和分別成了兩圓的切線。且，QA、分別為直徑。 容易求得 這就是所求的定值。 證明：如右圖，連結(jié)PQ、BQ、則有 例3. 在定角XOY的角平分線上，任取一點(diǎn)P，以P為圓心，任作一圓與OX相交，靠近O點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與OY相交，遠(yuǎn)離O點(diǎn)的

3、交點(diǎn)為B，則為定角。 分析：先探求定值，根據(jù)特殊化求定值，一般證明的原則，先看圖(2)，如果以角平分線上任意一點(diǎn)P為圓心，以O(shè)P為半徑作圓，此時(shí)，A點(diǎn)與O點(diǎn)重合， 證明：如圖(1)，作 例4. 已知E、F分別是四邊形ABCD的AB、CD邊上的中點(diǎn) 求證： 分析：本題即證EF的最大值為，因此可先考慮特殊情況，以找出等號(hào)成立的條件，再證一般情況。 證明：(1)當(dāng)四邊形中AD/BC時(shí)，如左圖 EF是梯形ABCD的中位線 (2)當(dāng)AD不平行BC時(shí)，如右圖 連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)G，再連結(jié)EG、FG 在中， 在中， 又中， 綜合(1) (2)，得【考點(diǎn)解析】 例1. 如圖，AD是O的直徑，B是AD延長線

4、上一點(diǎn)，BE切O于點(diǎn)E，交BE延長線于點(diǎn)C，若，弦EG交AD于點(diǎn)F。求證：。 證明：連結(jié)AE、ED 點(diǎn)評(píng)：本題用到了垂徑定理的推論，圓周角、弦切角、直徑所對(duì)的圓周角、直角三角形兩銳角互余，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)。 例2. 如圖，在中，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的半圓與AC切于點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E，若AD2，AE1，求的值和四邊形BCDE的面積。 分析：求的值，需要用轉(zhuǎn)化的思想，因?yàn)椴皇侵苯侨切?，所以要轉(zhuǎn)化到直角三角形中解決問題。因?yàn)?，所以可以把問題轉(zhuǎn)化到中解決問題。求四邊形可以用割補(bǔ)的方法，把四邊形分割成和等腰兩個(gè)三角形分別求解。 解：連結(jié)BD，過D點(diǎn)作于點(diǎn)F 點(diǎn)評(píng)：本題主要運(yùn)用了

5、轉(zhuǎn)化的思想，把求轉(zhuǎn)化到了中來解決?？疾榱讼嗨迫切?、弦切角、圓周角、勾股定理等知識(shí)?！灸M試題】一. 幾何定值問題 1. 求證：正三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離之和為定值。 2. 在正方形ABCD的外接圓的AD上任取一點(diǎn)P，則(PCPA)：PB為定值。 3. 在正方形ABCD內(nèi)，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)作且，設(shè)這個(gè)角的兩邊分別交正方形的邊BC、CD于、F，自E、F分別作正方形對(duì)角線AC的垂線，垂足為P、Q。求證：過B、P、Q所作圓的圓心在BC上。 4. 已知CD是半徑為R的O的直徑，AB是動(dòng)弦，AB與CD相交于E，且成角，求證：為定值。二. 幾何極值問題 5. 在中，D是AB的中點(diǎn)，E、F分別是AC、BC上的點(diǎn)，

6、試證明的面積不超過的面積之和。 6. 如圖，中，D、E分別是BC、AB上的點(diǎn)，且，如果的周長依次是m、，證明：。 7. 已知P為平行四邊形ABCD的AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DP的延長線與CB的延長線相交于Q，問P點(diǎn)在什么位置時(shí)，使得的值最?。?8. 設(shè)AB是O的動(dòng)切線，與通過圓心O而互相垂直的兩直線相交于A 、B，O的半徑為r，求OAOB的最小值?！疽呻y解答】 A.教師自己設(shè)計(jì)問題： 1 . 本周的模擬試題為什么沒有選擇題和填空題？ 2 . 解答題的8個(gè)題各屬于幾何定值和極值的哪種類型？它們的解題思路是什么？ B. 對(duì)問題的解答： 1. 本周的幾何定值和極值問題綜合性較強(qiáng)，而且一般都在解答題中出現(xiàn)

7、，選擇題和填空題出現(xiàn)極少，因此本周的模擬試題都是解答題。 2. 答：解答題的第1題、第2題和第4題是幾何定值中的定量問題；第3題是幾何定值中的定形問題；第5到第8題是幾何極值問題。下面就這8個(gè)題的解題思路分別作以下的說明。 第1題：已知P為正內(nèi)任意一點(diǎn)，它到BC、CA、AB的距離分別為PE、PF、PD，求證：PDPEPF為定值。 分析：點(diǎn)P可以在三角形內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，顯然就是正三角形的高，因此，PDPEPF必取定值，這個(gè)定值，就是的高h(yuǎn)。 證明：連結(jié)PA、PB、PC顯然有： 第2題：分析：用運(yùn)動(dòng)法令P與D重合，則(PCPA)： PB變?yōu)?DA DC)：DB，顯然其

8、定值為。 由于圖中直角比較多，所以可做垂線構(gòu)造相似形證明。 證明：由A引 第3題：本題屬于定形問題，要證B、P、Q三點(diǎn)所確定的圓的圓心在BC上，若命題正確，則B點(diǎn)就是半徑的端點(diǎn)，且，AB就是圓的切線， APQ是割線，那么必有，證明即可。 證明：如圖， 得 AB是過B、P、Q三點(diǎn)所作圓的切線，BC過切點(diǎn)B垂直于AB，它必通過圓心，也就是過B、P、Q所作圓的圓心在BC邊上。 第4題：這是定值問題，既然AB是O的動(dòng)弦，而且與O的定直徑CD保持夾角為，則可把這些動(dòng)弦視為一組平行移動(dòng)的弦，顯然，做一條過圓心且平行于AB的弦，則E點(diǎn)與O點(diǎn)重合，這時(shí)，于是探求到定值為，這里的是特殊位置，一般情況就比較好證了

9、。 第5題： 分析：因?yàn)镈ADB，所以就可以拼合成一個(gè)四邊形，然后再去與比較面積的大小。 證明：(1)如圖(1)，以D為對(duì)稱中心，把旋轉(zhuǎn)，易知四邊形是凸四邊形，連結(jié)，而且 (2)當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到與A重合時(shí)，如圖(2) (3)當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到與B重合時(shí)，如圖(3) 綜合(1)、(2)、(3) 總能成立。 第6題：分析：初看本題不好下手，但仔細(xì)想來有兩條路可走，一是把分別用同一個(gè)三角形的邊長的代數(shù)式表示，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求極值；另一是將的和，分別求其代數(shù)式再求極值。 證明：設(shè)BCa，ACb，ABc，則mabc 第7題：分析：P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q點(diǎn)隨P的運(yùn)動(dòng)而動(dòng)，題中涉及兩個(gè)未知量的和。BQ隨AP的變化而變化，所以可用AP的代數(shù)式來表示。這樣，我們?cè)O(shè)所求兩線段之和為線段AP的函數(shù)，即可用代數(shù)法求解。 解：設(shè)APx，ABm，ADn