計算物理學復習題整理(共19頁)

1、第一章緒論(xln)1.1 計算物理的性質(zhì)(xngzh)是什么？試舉例說明計算物理在哪些學科中有重要應用？計算(j sun)物理是指以計算機及計算機技術為工具和手段，運用計算數(shù)學的方法解決復雜物理問題的一門應用科學。（1）計算物理是用計算機作為實現(xiàn)手段的實驗物理或“計算機實驗”。（2）計算物理是一門新型的邊緣學科，物理學、數(shù)學、計算機科學三者結合的產(chǎn)物。計算物理在物理學中有很多應用，概括起來主要有四個方面： （1）計算機數(shù)值分析：通常在物理研究中，我們從已知的物理規(guī)律出發(fā)得到描寫物理過程的抽象數(shù)學公式后，最后或許要作數(shù)值求解以便與實驗結果對照或作為實驗的參考數(shù)據(jù)。例如：中子輸運問題（2）計算機

2、符號處理：利用計算機的符號處理系統(tǒng)進行解析計算、公式的推導和高精度的數(shù)值計算。例如：多重不定和定積分；（4）計算機實時控制：使物理實驗可以在沒有人在場的情況下自己監(jiān)測設備的正常運行，自動采集和分析實驗數(shù)據(jù)。（4）計算機模擬，利用計算機進行的物理實驗或“計算機模擬實驗”，例如：第一性原理、分子動力學模擬、蒙特卡羅模擬。1.2 試闡述計算機模擬方法與理論、實驗方法相比有什么特殊的優(yōu)點和局限性。： 優(yōu)點：1.省時省錢 2. 具有更大的自由度和靈活性 3. 能夠模擬極端條件下的試驗。缺點 ：1.不能獲得物理定律和理論公式 2. 計算結果缺乏嚴格的論證，其結果仍需要試驗驗證。1.3 試闡述計算物理學和實

3、驗物理及理論物理的關系？計算物理方法是除理論方法和實驗方法之外的第三種研究手段，計算物理現(xiàn)已成為物理學研究的三大支柱之一，它與實驗物理和理論物理的關系如下圖：1.5并行計算有什么(shn me)優(yōu)點？.并行計算可以大大加快運行(ynxng)速度，即在短的時間內(nèi)完成相同的計算量，或解決原來不能計算的非常復雜的問題，.提高傳統(tǒng)的計算機的速度一方面受到物理上光速極限和量子效應的限制，另一方面計算機器件的產(chǎn)品和材料的生產(chǎn)受到加工工藝的限制，其尺寸不可能做得無限小，因此我們只能轉向并行算法。.并行計算對設備的投入比較低，既可以(ky)節(jié)省開支又能完成任務。1.6 計算物理基本方法，基建原理第一原理方法是

4、基于量子力學基本原理建立起來的；分子動力學方法是基于經(jīng)典力學基本原理建立起來的；蒙特卡羅方法是基于統(tǒng)計力學基本原理建立來的。第二章 隨機數(shù)和蒙特卡洛(mn t k lu)方法2.1 簡要敘述蒙特卡洛方法(fngf)的基本思想。對求解問題本身就具有概率和統(tǒng)計性的情況，蒙特卡洛方法是按照實際問題所遵循的概率統(tǒng)計規(guī)律，用計算機 進行直接的抽樣(chu yn)試驗，然后計算其統(tǒng)計參數(shù)。當問題本身就不具有概率和統(tǒng)計性時，或者可以抽象為某個確定的 數(shù)學問題時，蒙特卡洛方法則首先建立一個恰當?shù)母怕誓Ｐ停创_定某個隨機事件A或隨機變量X，使得待求解的解等于隨機事件出現(xiàn)的概率或隨機變量的數(shù)學期望值。然后進行模擬

5、實驗，即重復多次地模擬隨機 事件或隨機變量，最后對隨機實驗結果進行統(tǒng)計平均，求出A出現(xiàn)的頻數(shù)或X的平均值作為問題的近似解。針對待求問題，根據(jù)物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計規(guī)律，或人為構造一合適的依賴隨機變量的概率模型，使某些隨機變量的統(tǒng)計量為待求問題的解，進行大統(tǒng)計量趨于無窮的統(tǒng)計實驗方法或計算機隨機模擬方法。2.2 蒙特卡洛方法對隨機數(shù)有較高的要求，然而實際應用的隨機數(shù)通常都是通過某些數(shù)學公式計算而產(chǎn)生的偽隨機數(shù)，但是，只要偽隨機數(shù)能夠通過隨機數(shù)的一系列的統(tǒng)計檢驗，我們就可以把它當作真隨機數(shù)放心使用。在產(chǎn)生偽隨機數(shù)的方法中，有比較經(jīng)典的馮諾曼平方取中法和線性同余法，請分別寫出它們的遞推關系式？對于偽隨機

6、數(shù)一般需要做哪些統(tǒng)計檢驗（至少寫出四個）？ 線性同余法2.3 蒙特卡洛(mn t k lu)方法計算中減少方差的技術有哪些？2.4 若用蒙特卡羅算法(sun f)計算定積分 ，請給 出其求解原理(yunl)與計算步驟。取 ，由于 定積分 的幾何 意義是被積函數(shù)在積分區(qū)間上的圖形構成的曲邊梯形面積，而曲邊梯形是正方形 的一 部分。顯然，D的面積為1。用隨機投點的方 法在區(qū)域D內(nèi)產(chǎn)生充分多的均勻分布的點（至少2000個 點）。設隨機點總數(shù)為N，這些點隨機地落入D中 任何一處。于是，落入曲邊梯形內(nèi)點的數(shù)目m與N之 比反映了曲邊梯形面積與正方形D的面積 之比如圖1所 示。由此可計算曲邊梯形面積。 蒙特

7、卡羅算法求定積分算法 第一步：產(chǎn)生正方形D中的N個均勻隨機數(shù) ； 第二步：根據(jù)(gnj) 的坐標(zubio) 判斷，如果 則認為(rnwi) 落入曲 邊梯形區(qū)域內(nèi)。統(tǒng)計落入曲邊梯形區(qū)域內(nèi)的隨機點數(shù)目m； 第三步：輸出 作為定 積分 的近似 值，結束。2.5 簡要敘述變分蒙特卡洛方法求解基態(tài)本征能量E0和 基態(tài)本征態(tài)波函數(shù) 基本原 理，并以一維情況為例說明蒙特卡洛計算步驟。4.7乘同余數(shù)(ysh)法產(chǎn)生隨機數(shù)的Matlab上機實驗(shyn)在計算機上可以用物理方法來產(chǎn)生隨機數(shù)，但價格昂貴，不能重復，使用(shyng)不便。另一種方法是用數(shù)學遞推公式產(chǎn)生，這樣產(chǎn)生的序列與真正的隨機數(shù)序列不同，

8、所以稱為偽隨機數(shù)或偽隨機序列，只要方法和參數(shù)選擇合適，所產(chǎn)生的偽隨機數(shù)就能滿足均勻性和獨立性，與真正的隨機數(shù)具有相近的性質(zhì)。產(chǎn)生隨機數(shù)的方法是先用一定的方法產(chǎn)生0,1均勻分布的隨機數(shù)，然后通過一個適當?shù)淖儞Q就可以得到符合某一概率模型的隨機數(shù)。常用的產(chǎn)生0,1均勻分布的隨機數(shù)的方法有乘同余法和混合同余法。用乘同余法產(chǎn)生0,1均勻分布的隨機數(shù)遞推公式為： (Mod M) 式中a為乘子，M為模，當i=1時，xi=xi-1為初始參數(shù)，x0可取1或任意奇數(shù)。用乘同余法產(chǎn)生隨機數(shù) 編程如下：x0=1; N=100; %初始化；s=input(計算機中二進制最大有可能的有效數(shù)字s=)b=input(b=)M

9、=2s ; A=5(2*b+1)for k=1:N %乘同余法遞推100次； x2=A*x0; %x2和x0分別(fnbi)表示xi和xi-1； x1=mod (x2,M); %將x2存儲器的數(shù)除以M，取余數(shù)(ysh)放x1（xi）中； v1=x1/M; %將x1存儲器的數(shù)除以M得到(d do)小于1的隨機數(shù)放v1中； v(:,k)=v1; % 將v1中的數(shù)（ ）存放在矩陣存儲器v的第k列中，v(:,k)%表示行不變、列隨遞推循環(huán)次數(shù)變化； x0=x1; %xi-1= xi； v0=v1;end %遞推100次結束；v2=v %該語句末無；，實現(xiàn)矩陣存儲器v中隨機數(shù)放在v2中，%且可直接顯示在

10、MATLAB的window中；k1=k;k=1:k1;plot(k,v,k,v,r);xlabel(k), ylabel(v);title(0-1)均勻分布的隨機序列) 程序運行結果N=100 S=32 K=6 a=513 N=100 S=48 K=7 A=515N=200 S=32 k=6 A=513 N=200 S=48 K=7 A=513第三章 經(jīng)典分子動力學方法3.1 分子動力學模擬的時間步長如何選擇？分子動力學計算的基本思想是賦予分子體系初始運動狀態(tài)之后利用分子的自然運動在相空間中抽取樣本進行統(tǒng) 計計算，時間步長就是抽樣的間隔，因而時間步長的選取對動力學模擬非常重要。太長的時間步長會

11、造成分子間的激烈碰撞，體系數(shù)據(jù)溢出；太短的時間步長會降低 模擬過程搜索相空間的能力，一般來說，時間步長應該設為分子運動的最小振動周期的1/10 左右為宜。3.2 Verlet 算法中分子(fnz)動力學計算的簡單步驟是 什么？Verlet 算法，速度項相消，計算(j sun)坐標時無需 速度出現(xiàn)。簡單(jindn)步驟：設定粒子的初始位置和速度；根據(jù)粒子的位置計算每個粒子的受力；根據(jù)粒子的位置、速度和受力，計算粒子的新位置和新速度；更新粒子的位置和速度，然后回到2步驟。3.3 簡述分子動力學模擬步驟。第一步 模型的設定。也就是勢函數(shù)的選取。勢函數(shù)的研究和物理系統(tǒng)上對物質(zhì)的描述研究息息相關。最早

12、是硬球勢，即小于臨界值 時無窮大，大于等于臨界值時為零。常用的是LJ勢函數(shù)，還有EAM勢 函數(shù)，不同的物質(zhì)狀態(tài)描述用不同的勢函數(shù)。模型勢函數(shù)一旦確定，就可以根據(jù)物理學規(guī)律求得模擬中的守恒量。第二步 給定初始條件。運動方程的求解需要知道粒子的初始位置和速度，不同的算法要求不同的初始條件。如：verlet算法需要兩組坐標來啟動計算，一組零時 刻的坐標，一組是前進一個時間步的坐標或者一組零時刻的速度值。第三步 趨于平衡(pnghng)計算。在邊界條件和初始條件給定后就可以解運動方程，進行分子動力學模擬。但這樣計算出的系統(tǒng)是不會具有所要 求的系統(tǒng)的能量，并且這個狀態(tài)本身(bnshn)也還不是一個平衡態(tài)

13、。為使得系統(tǒng)平衡，模擬中設計一個趨衡過程，即在這個過程中，我們增加或者從系統(tǒng)中移出能量，直到(zhdo)持續(xù)給 出確定的能量值。我們稱這時的系統(tǒng)已經(jīng)達到平衡。這段達到平衡的時間成為馳豫時間。第四步 宏觀物理量的計算。實際計算宏觀的物理量往往是在模擬的最后階段進行的。它是沿相空間軌跡求平均來計算得到的。3.4 采用分子動力學方法時，需給給定的粒子系統(tǒng)設定恰當?shù)倪吔鐥l件，這些邊界條件大致分幾類？采用分子動力學方法，必需對被計算的粒子系統(tǒng)給定適當?shù)倪吔鐥l件。這些邊界條件大致可分成四種。 自由表面邊界(free-surface boundary)這種邊界條件常用于大型的自由分子的模擬。固定邊界(rig

14、id boundary)在所有要計算到粒子晶胞之外還要包上幾層結構相同的位置不變的粒子，包層的厚度必須大于粒子間相互作用的力程范圍。包層部分代表了與運動粒子起作用的宏觀晶體的那一部分。 柔性邊界 (flexible boundary)這種邊界比固定邊界更接近實際。它允許邊界上的粒子有微小的移動以反映內(nèi)層粒子的作用力施加到它們身上時的情況。周期性邊界(periodic boundary)在模擬較大的系統(tǒng)時，為了消除表面效應或邊界效應，常采用周期性邊界條件。就是讓原胞上下、左右、前后對邊上的粒子間有相互作用。第四章 第一原理方法和能帶理論4.1 簡述絕熱近似(jn s)的基本內(nèi)容。這是將晶體中電子

15、的運動與晶格粒子的運動分開的另一種方法。這一方法依然考慮到電子的質(zhì)量比晶格粒子的 質(zhì)量小得多，但它與靜近似不同的是，在研究電子的運動時，它認為電子能夠緊緊地跟隨運動著的晶格粒子，因此電子的運動與晶格粒子的瞬時位置有關。這樣，在 電子的運動方程中，晶格粒子的位置是以參數(shù)的形式出現(xiàn)的。反過來，在晶格粒子的運動方程中，電子系統(tǒng)的本征能量也以參數(shù)的形式出現(xiàn)。這種互相聯(lián)立的方程系 統(tǒng)一般通過平均場方法結合(jih)變分方法求解，或者通過自恰的方法數(shù)值求解4.2 簡述局域密度近似(jn s)的基本內(nèi)容。密度泛函理論最普遍的應用是通過Kohn-Sham方 法實現(xiàn)的。在Kohn-Sham DFT的框架中，最難

16、處理的多體問題（由于處在一個外部 HYPERLINK /wiki/%E9%9D%99%E7%94%B5 o 靜電 t _blank 靜電勢中的電子相互作用而產(chǎn)生的）被簡化成了一個沒有相互作用的電子在 有效勢場中運動的問題。這個有效勢場包括了外部勢場以及電子間庫侖相互作用的影響，例如，交換和相關作用。處理交換相關作用是KS DFT中的難點。目前并沒有精確求解交換相關能 EXC 的 方法。最簡單的近似求解方法為局域密度近似(LDA)。LDA近 似使用均勻電子氣來計算體系的交換能（均勻電子氣的交換能是可以精確求解的），而相關能部分則采用對自由電子氣進行擬合的方法來處理。4.3 晶體硅的晶胞結構中，有

17、幾個不等價的原子，分別處于哪些位置？4.4 什么是單電子近似？4.5 什么(shn me)是贗勢？4.6 簡述能帶理論(lln)中的基本處理方法4.7 簡述Kohn-Sham方法(fngf)的特點。a. 通過引 入N個單電子波函數(shù)，嚴格計算出了動能的主要部分，代價是需要求解N個方程。b. 除了更 一般的local勢外，KS 方程與 Hartree方程具有相似的形式，求解KS方程的計算量也相差不大，但比求解具有non-local勢 的HF方程要簡單。c. 盡管(jn gun)Hartree、Hartree-Fock 和Kohn-Sham方程都提供了一個多電子體系的單 電子方法，但三者有本質(zhì)的差別

18、，前兩者一開始就引入了近似，而Kohn-Sham原則上是嚴格的。4.8 密度泛函理論(lln)的基本思想及基本定理。基本 思想是：原子、分子和固體的基態(tài)(j ti)物理性質(zhì)可以用粒子密度函數(shù)來描述?；径ɡ恚憾ɡ硪唬阂粋€多電子系統(tǒng)的基態(tài)電子密度（r） 唯一地對應外勢Vext ，而此系統(tǒng)的任何觀察量，其基態(tài)的期望值僅是基態(tài) 密度函數(shù)的唯一泛函。定理二：若為Hamiltonian H ，則系統(tǒng)基態(tài)的總能泛函為HEVext.第五章 有限差分和有限元數(shù)值求解5.1 方程求根有哪些基本的方法？5.2 簡述龍貝格(Romberg)積分方法的基本思 想和基本步驟。5.3 試簡述(jin sh)Runge-K

19、utta 法方法的基本步驟。5.4 試簡述(jin sh)有限元方法的一般步驟(bzhu)，比較有限差分(ch fn)和有限元方法。這兩種方法在處理問題的求解時，在處理問題的數(shù)學方法(sh xu fn f)上有較大區(qū)別。在對區(qū)域的離散(lsn)化方法上也有明顯區(qū)別，有限差分法通常采用的是矩形網(wǎng)絡區(qū)域劃分。而有限元素法采用的是三角形劃分的方法。計算精度不同(b tn)。有限差分法在采用直交網(wǎng)絡時其計算精度與矩形最大邊長h有關，此時列出的計算格式比有限元法簡單方便。用有限元法求解物理問題時，它是用統(tǒng)一的觀點對區(qū)域內(nèi)的節(jié)點和邊界節(jié)點列出計算格式。這使得各節(jié)點的計算精度總體上比較協(xié)調(diào)。而有限差分法則是

20、孤立的對微分方程及定解條件分別列差分方程，因而各節(jié)點精度總體上不夠一致。有限元法要求的計算機內(nèi)存比較大有限差分法的適用范圍要比有限元法廣泛的多。5.5 設有初值問題寫出顯式和隱式Euler求解公式。顯式 un+1=un+hcosnh 隱式 un+1=un+hcosn+1h tn=nh （其中h=t為步長）5.6 設有初值問題寫出預估-矯正(jiozhng)Euler法的求解公式。先用顯式歐拉公式(gngsh)作預估ui+1=(1-h)ui （i=1.2.3,）再將ui+1帶入隱式公式(gngsh)作校正ui+1=ui-hui+1 （i=1.2.3,）u1=15.7二階顯式Runge-Kutta法有幾種常用的格式？它們和其他方法有什么聯(lián)系？它們是由預報(ybo)-校正法轉變過來的，與歐拉折線法、梯形法以及諾伊曼諾夫法都是求解微分方程的近似(jn s)方法；在解足夠光滑(gung hu)的情況下，由它們計算出的結果的精度比歐拉法要高一些；對于同一問題，用其求Sturm-Liouville方程，精度要高于諾伊曼諾夫法。牛