偏微分課程課件12_有限元離散方法(一維問(wèn)題)

1、第八章 有限元離散方法 （一維問(wèn)題）微分方程解和有限元方法下的數(shù)值解 Poisson方程變分問(wèn)題離散變分問(wèn)題Ritz-Galerkin過(guò)程分部積分線性代數(shù)問(wèn)題有限維基上表示方程求解快速算法泛函問(wèn)題微分方程 有限元離散代數(shù)方程迭代求解5個(gè)部分8.1 一維問(wèn)題的有限元法（線性元）1）討論對(duì)象：常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題 2）轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題 考慮空間： 任取vV, 乘方程兩邊兩邊積分綜上推理，有原微分方程轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題：即找一個(gè)函數(shù) 滿(mǎn)足找一個(gè)函數(shù)uV, 滿(mǎn)足3）有限元離散 自變量：函數(shù)因變量：實(shí)數(shù)泛函函數(shù)空間補(bǔ)充：空間的維數(shù)和基1維，基：1，2維，基：n維，基：子空間 子空間 有限維 基：最大線性無(wú)關(guān)

2、組 補(bǔ)充：空間的維數(shù)和基a,b所有連續(xù)函數(shù)基無(wú)窮維線性空間基為：n維線性空間子空間 n次多項(xiàng)式函數(shù)空間找一個(gè)函數(shù)uV, 滿(mǎn)足有限元離散無(wú)窮維線性空間找一個(gè)函數(shù) Vh, 滿(mǎn)足的有限維子空間找子空間的一個(gè)途徑：找基函數(shù)，從而張成子空間區(qū)域剖分剖分單元ei定義離散區(qū)間u在單元上的取值當(dāng)h-0時(shí)，插值函數(shù)收斂到函數(shù)u線性插值基函數(shù)線性無(wú)關(guān)定義空間：找一個(gè)函數(shù)uV, 滿(mǎn)足找一個(gè)函數(shù) Vh, 滿(mǎn)足有限元化試探函數(shù)空間n+1維4）化為代數(shù)方程組-(4.1)單元分析(4.2)總體合成找一個(gè)函數(shù)( 4.1)單元分析任取一個(gè)單元同理：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囘@樣，由單元荷載( 4.2)總體分析，邊界處理則令單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)?/p>

3、度矩陣總剛度矩陣同理單元荷載矩陣總荷載向量 兩點(diǎn)邊值問(wèn)題有限元方法總結(jié)1. 區(qū)域剖分1）單元編號(hào)，節(jié)點(diǎn)編號(hào)，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 3）邊界點(diǎn)相關(guān)信息2）節(jié)點(diǎn)的局部和整體編碼對(duì)應(yīng)關(guān)系準(zhǔn)備必要的原始信息2 計(jì)算“單元?jiǎng)偠染仃嚒焙汀皢卧奢d向量” 計(jì)算“總剛度矩陣”和“總荷載向量”, 形成代數(shù)方程組4 邊界條件處理根據(jù)邊界調(diào)整K和F，即掐頭去尾5 解代數(shù)方程組, 相關(guān)結(jié)果輸出例題：1）單元剖分2）計(jì)算“單元?jiǎng)偠染仃嚒焙汀皢卧奢d向量”解：4等分，即hi=h=1/4, i=1,2,3,4xi=ih, i=1,2,3,4; x0=03）計(jì)算“總剛度矩陣”和“總荷載向量”i=1,2,3,43）計(jì)算“總剛度矩陣”和“總荷載向量”4）根據(jù)邊界調(diào)整K和F，得5）求解代數(shù)方程組有限元法內(nèi)容總結(jié)1 明確微分方程2 轉(zhuǎn)化為變分形式；3 有限元離散區(qū)域單元剖分；確定單元基函數(shù)；4 轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程單元分析；總體合成；邊界條件的處理；5