自動控制原理教案-自控學(xué)習(xí)與解題指導(dǎo)

1、最新整理課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)與解題指導(dǎo)理工學(xué)院自動化系二零零三年七月最新整理第一章自控理論基本概念本章作為緒論，已較全面地展示了控制理論課程的全貌，敘述了今后 在課程的學(xué)習(xí)中要進行研究的各個環(huán)節(jié)內(nèi)容和要點，為了今后的深入學(xué)習(xí) 和理解，要特別注意本章給出的一些專業(yè)術(shù)語及定義。1、基本要求(1)明確什么叫自動控制，正確理解被控對象、被控量、控制裝置和 自控系統(tǒng)等概念。(2)正確理解三種控制方式，特別是閉環(huán)控制。(3)初步掌握由系統(tǒng)工作原理圖畫方框圖的方法，并能正確判別系統(tǒng) 的控制方式。(4)明確系統(tǒng)常用的分類方式，掌握各類別的含義和信息特征，特別 是按數(shù)學(xué)模型分類的方式。(5)明確對自控系統(tǒng)的基本要求，正

2、確理解三大性能指標的含義。2.內(nèi)容提要及小結(jié)幾個重要概念自動控制 在沒有人直接參與的情況下，利用控制器使被控對象的被 控量自動地按預(yù)先給定的規(guī)律去運行。自動控制系統(tǒng)指被控對象和控制裝置的總體。這里控制裝置是一個廣 義的名詞，主要是指以控制器為核心的一系列附加裝置的總和。共同構(gòu)成 控制系統(tǒng)，對被控對象的狀態(tài)實行自動控制，有時又泛稱為控制器或調(diào)節(jié) 器。被控對象給定元件測量元件自動控制系統(tǒng)檸制裝置卡制器)比較元件于仝市U茨:直(于仝制福9 、一 一八放大兀件執(zhí)行元件校正元件負反饋原理 把被控量反送到系統(tǒng)的輸入端與給定量進行比較，利用 偏差引起控制器產(chǎn)生控制量，以減小或消除偏差。三種基本控制方式實現(xiàn)自

3、動控制的基本途徑有二：開環(huán)和閉環(huán)。實現(xiàn)自動控制的主要原則有三：主反饋原則一一按被控量偏差實行控制。補償原則一一按給定或擾動實行硬調(diào)或補償控制。復(fù)合控制原則一一閉環(huán)為主開環(huán)為輔的組合控制。(3)系統(tǒng)分類的重點重點掌握線性與非線性系統(tǒng)的分類，特別對線性系統(tǒng)的定義、性質(zhì)、最新整理判別方法要準確理解。線性系統(tǒng)描述常系數(shù)微分方程傳遞函數(shù)頻率特性狀態(tài)方程時域法分析法 根軌跡法頻率法狀態(tài)方程時變變系數(shù)微分方程狀態(tài)方程分析法時域法狀態(tài)空間法非本質(zhì)分析法線性化法非線性系統(tǒng) 描述 非線性微分方程 分類描述函數(shù)法 狀態(tài)方程本質(zhì)分析法 相平面法狀態(tài)空間法(4)正確繪制系統(tǒng)方框圖繪制系統(tǒng)方框圖一般遵循以下步驟：搞清系統(tǒng)

4、的工作原理，正確判別系統(tǒng)的控制方式。正確找出系統(tǒng)的被控對象及控制裝置所包含的各功能元件。確定外部變量(即給定值、被控量和干擾量)，然后按典型系統(tǒng)方框圖的連接模式將各部分連接起來。(5)對自控系統(tǒng)的要求對自控系統(tǒng)的要求用語言敘述就是兩句話：要求輸出等于給定輸入所要求的期望輸出值；要求輸出盡量不受擾動的影響。包量一個系統(tǒng)是否完成上述任務(wù)，把要求轉(zhuǎn)化成三大性能指標來評價：穩(wěn)定一一系統(tǒng)的工作基礎(chǔ)；快速、平穩(wěn)一一動態(tài)過程時間要短，振蕩要輕。準確一一穩(wěn)定精度要高，誤差要小。最新整理解題示范例1-1 圖11為液位自動控制系統(tǒng)示意圖。 在任何情況下，希望液面 高度C維持不變。試說明系統(tǒng)工作原理，并畫出系統(tǒng)原理

5、方框圖。解：1、工作原理：閉環(huán)控制方式。當(dāng)電位器電刷位于中點位置時，電動機不動，控制閥門有一定的開度， 使水箱中流入水量和流出水量相等，從而液面保持在希望高度上。當(dāng)進水 或出水量發(fā)生變化，例如液面下降，通過浮子和杠桿檢測出來，使電位器 電刷從中點位置上移，從而給電動機提供一定的控制電壓，驅(qū)動電動機通 過減速器開大閥門開度，使液位上升，回到希望高度。電位器電刷回到中 點，電動機停止。2、被控對象是水箱，被控量是水箱液位，給定量是電位器設(shè)定位置 (代 表液位的希望值)。主擾動是流出水量。系統(tǒng)的方框圖如圖12所示。控制器注入(II)控制系統(tǒng)方塊圖圖1 2液位自動控制系統(tǒng)方框圖。最新整理例1 2圖13

6、為自動調(diào)壓系統(tǒng)。試分析系統(tǒng)在負載電流變化時的穩(wěn) 壓過程，并繪出系統(tǒng)方框圖。圖13自動調(diào)壓系統(tǒng)解：1、工作原理：順饋控制。當(dāng)負載電流If變化時，發(fā)電機 G的電樞繞組壓降也隨之改變，造成端 電壓不能保持恒定，因此，負載電流變化對穩(wěn)壓控制來說是一種擾動。采 用補償措施，將電流If在電阻R上的壓降檢測出來，通過放大，來改變發(fā) 電機的勵磁電流If,以補償電樞電壓的改變，使其維持恒定。2、被控對象是發(fā)電機 G,被量是電樞端電壓 IF,給定值是勵磁電壓 IF, 擾動量是負載電流If。系統(tǒng)方框圖為1 4所示。圖1 4自動調(diào)壓系統(tǒng)方框圖例1 3直流穩(wěn)壓電源原理圖為圖 1 5所示，試畫出方框圖，分析工 作原理。圖

7、15 直流穩(wěn)壓電源原理圖解：1、工作原理：反饋控制實際輸出電壓12由R和R組成分壓器檢測出來，與給定值5進行比較,最新整理產(chǎn)生的偏差電壓 BG進/行放大，作用于BG。由BG對輸出電壓進行調(diào)整, 這里的偏差電壓僅隨 吐變化。由BG反相放大后產(chǎn)生UC,這是系統(tǒng)的控制量c 通過BG進行輸出電壓自動調(diào)節(jié)，維持 U恒定。假如 U2/, U/, Ibi/, Uc/, 5/, UEd/, U/。若 U/一 UL/一 I bi/一 UC/一 Ib2/一 UEd/一 U2/圖1 6穩(wěn)壓電源方框圖Ui是系統(tǒng)的供電輸入電壓，若電網(wǎng)波動，也會使 U變化。因此，對系 統(tǒng)來說，Ui的變化是造成 U2電壓波動的干擾因素，屬

8、于擾動信號，也可以 通過反饋回路加以抑制。2、控對象不是一個具體的設(shè)備，而是一個穩(wěn)壓過程，被控量是輸出電 壓L2,給定值是 5,擾動量是U。當(dāng)然，當(dāng)系統(tǒng)輸出接負載后，負載的變 化，將對輸出電壓產(chǎn)生直接的影響，是主擾動。例1-4角位置隨動系統(tǒng)原理圖如圖 17所示。系統(tǒng)的任務(wù)是控制工作機械角位置Q,隨時跟蹤手柄轉(zhuǎn)角 Q。試分析其工作原理，并畫出系統(tǒng)方框圖。圖1 7角位置隨動系統(tǒng)原理圖解：1、工作原理：閉環(huán)控制。只要工作機械轉(zhuǎn)角8 c與手柄轉(zhuǎn)角8一致，兩環(huán)形電位器組成的橋式電 路處于平衡狀態(tài)，無電壓輸出。此時表示跟蹤無偏差。電動機不動，系統(tǒng) 靜止。如果手柄轉(zhuǎn)角8 變化了，則電橋輸出偏差電壓，經(jīng)放大器

9、驅(qū)動電動機轉(zhuǎn) 動。通過減速器拖動工作機械向0 r要求的方向偏轉(zhuǎn)。當(dāng)8 c= 8 r時，系統(tǒng)達 到新的平衡狀態(tài)，電動機停轉(zhuǎn)，從而實現(xiàn)角位置跟蹤目的。2、系統(tǒng)的被控對象是工作機械，被控量是工作機械的角位移。給定量最新整理是手柄的角位移?？刂蒲b置的各部分功能元件分別是：手柄完成給定，電 橋完成檢測與比較，電動機和減速器完成執(zhí)行功能。系統(tǒng)方框圖見圖1 8。圖1-8位置隨動系統(tǒng)方框圖。第二章自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章講述的內(nèi)容很多，牽扯到數(shù)學(xué)和物理系統(tǒng)的一些理論知識，有些需要進一步回顧，有些需要加深理解，特別是對時間域和復(fù)頻率域的多種數(shù)學(xué)描 述方法，各種模型之間的對應(yīng)轉(zhuǎn)換關(guān)系，都比較復(fù)雜。學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)好這些基

10、礎(chǔ)理論，對下一步深入討論自控理論具體方法至關(guān)重要。1、基本要求(1)確理解數(shù)字模型的特點，對系統(tǒng)的相似性、簡化性、動態(tài)模型、靜 態(tài)模型、輸入變量、輸出變量、中間變量等概念，要準確掌握。(2) 了解動態(tài)微分方程建立的一般方法及小偏差線性化的方法。(3)掌握運用拉氏變換解微分方程的方法，并對解的結(jié)構(gòu)，運動模態(tài)與特征根的關(guān)系，零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)等概念，有清楚的理解。(4)會用MATLAB方法進行部分方式展開。對低階的微分方程，能用 部分分式展開法或留數(shù)法公式進行簡單計算。(5)正確理傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)和意義，特別對傳遞函數(shù)微觀結(jié)構(gòu)的 分析要準確掌握。(6)正確理解由傳遞函數(shù)派生出來的系統(tǒng)的開環(huán)

11、傳遞函數(shù)，閉環(huán)傳遞函數(shù)，前向傳遞函數(shù)的定義，并對重要傳遞函數(shù)如：控制輸入下閉環(huán)傳遞函數(shù)， 擾動輸入下閉環(huán)傳遞數(shù)函數(shù)， 誤差傳遞函數(shù)，典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)，能夠熟練 掌握。(7)掌握系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖和信號流圖兩種數(shù)學(xué)圖形的定義和組成方法，熟練地掌握等效變換代數(shù)法則，簡化圖形結(jié)構(gòu)，并能用梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。(8)正確理解兩種數(shù)學(xué)模型之間的對應(yīng)關(guān)系， 兩種數(shù)學(xué)圖型之間對應(yīng)關(guān) 系，以及模型和圖形之間的對應(yīng)關(guān)系， 利用以上知識，熟練地將它們進行相 互轉(zhuǎn)換。2、內(nèi)容提要及小結(jié)最新整理本章主要介紹數(shù)學(xué)模型的建立方法，作為線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的形式，介紹了兩種解析式和兩種圖解法， 對于每一種型式的基本概念， 基本建立方

12、法 及運算，用以下提要方式表示出來。(1)微分方程式物理、化學(xué)及專業(yè)上的基本定律甘小皿人中間變量的作用基本概念,簡化性與準確性要求小偏差線性化理論原始方程組線性化直接列寫法、日 消中間變量化標準形基本方法由傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換法由結(jié)構(gòu)圖由信號流圖C (s) M (s)- M (s)-C(s) R(s) N(s)C(s) M(s)R(s)R(s)N(s)N(s)d-ip -N ( p)c(t) M (p)r (t) dt微分方程傳遞函數(shù) 微分方程傳遞函數(shù)微分方程,.、一零狀態(tài)解方程求解掌握拉氏變換法求解微分方程;二： 零輸入解應(yīng)用電樞控制直流電動機 常用重要例題建模磁場控制直流電動機 直流電機調(diào)速系統(tǒng)(

13、2)傳遞函數(shù)最新整理線性定常系統(tǒng)定義：比值迫零初始條件 R（s） 一對確定的輸入輸出零點基本概念 微觀結(jié)構(gòu) 極點（零極點分布圖與運動 模態(tài)對應(yīng)）傳遞函數(shù)標準解析式方程式傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)零極點分布圖單位階躍響應(yīng)特性ds 一基本方法圖解法定義法由微分方程dt傳遞函數(shù)由結(jié)構(gòu)圖化簡傳遞函數(shù)由信號流圖梅遜公式 傳遞函數(shù)常用重要公式及傳遞函數(shù)G公式G(s)_G1 GkG前1La（適用于單回路）（適用于回路兩兩交叉）控制輸入下:重要傳遞函數(shù)擾動輸入下:Gr (s)器,Gr（S）需Gd（s）器,GE(s)D(s)（3）結(jié)構(gòu)圖數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)的圖形表示基本概念可用代數(shù)法則進行等效變換構(gòu)圖基本元素4種（方框、相加點、

14、分 支點、支路）由原始方程組畫結(jié)構(gòu)圖串聯(lián)相乘并聯(lián)相加基本方法用代數(shù)法則簡化結(jié)構(gòu)圖二,申一，、 前向反饋連接=1+開環(huán)相加點和分支點移位由梅遜公式直接求傳遞 函數(shù)。最新整理注意幾點:1、相加點與分支點相鄰，一般不能隨便交換2、等效原則兩條前向通路的傳遞函數(shù)乘 積保持不變 各回路中傳遞函數(shù)乘積 保持不變3、直接應(yīng)用梅遜公式時，負反饋符號要記入反饋通路中的方框中去。另外對于互不接觸回路的區(qū)分，特別要注意相加點與分支點相鄰處的情況。4、結(jié)構(gòu)圖可同時表示多個輸入與輸出的關(guān)系，這比其它幾種解析式模 型方便的多，并可由圖直接寫出任意個輸入下總響應(yīng)。如：運用疊加原理， 當(dāng)給定輸入和擾動輸入同時作用時，則有C(

15、s) =G(s) Rs) + G(s)D(s)(4)信號流圖同結(jié)構(gòu)圖一致基本概念一構(gòu)圖元素2種改進一占八、有統(tǒng)一的公式求傳遞函數(shù)由原始方程組畫信號流圖基本方法 結(jié)構(gòu)圖翻譯成信號流圖代數(shù)法則同結(jié)構(gòu)圖一致nGk k重要公式一梅遜公式梅遜公式G 口注意兩點：1、搞清公式中各部分含義；2、公式只能用于等輸入節(jié)點與較出節(jié)點之間的傳播，不能等不含輸入節(jié)點情況下，任意兩混合節(jié)點之間的傳較。四種模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可用圖 2 81表小圖281模型轉(zhuǎn)換最新整理方程，各處任何時刻，均滿足F 0,則對圖2-1機械位移系統(tǒng)解題示范例2-1 彈簧，阻尼器串并聯(lián)系統(tǒng)如圖 2-1示, 系統(tǒng)為無質(zhì)量模型，試建立系統(tǒng)的運動方程。

16、解：(1)設(shè)輸入為Yr,輸出為 Y0O彈簧與阻尼器并 聯(lián)平行移動。(2)列寫原始方程式，由于無質(zhì)量按受力平衡于A點有Ff Fk1 Fk2 0其中，F(xiàn)f為阻尼摩擦力,FK1, FK2為彈性恢復(fù)力。(3)寫中間變量關(guān)系式Ffd（Yr Yo）dtFk1 K1（Yr Y0）FK2 K 2y0(4)消中間變量得,dyr .dy0.f f KYrK1 Y0K 2 Y0dt dt(5)化標準形T也dtY0 T 臂 KYr5其中：T 為時間常數(shù)，單位秒。K1 K2Ki一,K 1一為傳遞函數(shù)，無量綱。Ki K2例2-2 已知單擺系統(tǒng)的運動如圖2-2示。(1)寫出運動方程式(2)求取線性化方程解：(1)設(shè)輸入外作

17、用力為零，輸出為擺角，擺球質(zhì)量為 m。(2)由牛頓定律寫原始方程。最新整理m(lmg sin h其中, 力。l為擺長，l為運動弧長，h為空氣阻(3)寫中間變量關(guān)系式式中，a為空氣阻力系數(shù)l 為運動線速度。dt(4)消中間變量得運動方程式mld2dal mgsin dt2dt(2-1)/圖2-2單擺運動此方程為二階非線性齊次方程。(5)線性化 由前可知，在 程為=0的附近,非線性函數(shù)sin,故代入式(2-1 )可得線性化方ml di dt2al 土出mg 0例2-3已知機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖2-3所示，試列出系統(tǒng)運動方程。圖2-3 機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)解：(1)設(shè)輸入量作用力矩Mf,輸出為旋轉(zhuǎn)角速度(2)列寫

18、運動方程式ddt式中，f為阻尼力矩，其大小與轉(zhuǎn)速成正比。(3)整理成標準形為J f M fdtf此為一階線性微分方程，若輸出變量改為，則由于ddt代入方程得二階線性微分方程式J與 dt2工df M fdt最新整理例2-4設(shè)有一個倒立擺安裝在馬達傳動車上。如圖 2-4所示。圖2-4倒立擺系統(tǒng)倒立擺是不穩(wěn)定的，如果沒有適當(dāng)?shù)目刂屏ψ饔迷谒厦?，它將隨時可能向任何方向傾倒，這里只考慮二維問題，即認為倒立擺只在圖2-65所示平面內(nèi)運動?？刂屏作用于小車上。假設(shè)擺桿的重心位于其幾何中心Ao試求該系統(tǒng)的運動方程式。解：(1)設(shè)輸入為作用力 u,輸出為擺角 。(2)寫原始方程式，設(shè)擺桿重心A的坐標為(Xa

19、, yA)于是Xa = X+ lsin Xy = 1COS 畫出系統(tǒng)隔離體受力圖如圖25所示。圖2-5隔離體受力圖最新整理擺桿圍繞重心A點轉(zhuǎn)動方程為:Vl sin Hl cosA的轉(zhuǎn)動慣量。d2J 2dt式中，J為擺桿圍繞重心， 擺桿重心A沿X軸方向運動方程為:d m dtd，Adt22t(xl sin ) H(2 3)擺桿重心A沿y軸方向運動方程為:d 2yAd m dtV mg2 (l cos ) Vmg小車沿x軸方向運動方程為:M金dt2因為含有sin 和cos 項,方程(2 2),方程(23)為車載倒立擺系統(tǒng)運動方程組。 所以為非線性微分方程組。中間變量不易相消。(3)當(dāng) 很小時，可對

20、方程組線性化，由 (22)式(2 3)可用線性化方程表示為：J工 dt2 d2x,同理可得到cos- 1則方程式dt2 V d2x dt2VIHImlmgdrHdt2用s2 d的算子符號將以上方程組寫成代數(shù)形式，消掉中間變量 dt2V、 H、 X得將微分算子還原后得(MlM m 2J)s (M mlm)g u(MlMJ J d2(M dt2、dm)g udt此為二階線性化偏量微分方程。2-6所示，試采用復(fù)數(shù)阻抗法畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,例2-5 RC無源網(wǎng)絡(luò)電路圖如圖 并求傳遞函數(shù) U c(s)/U r(s)。最新整理用的1時，系統(tǒng)的響應(yīng)是過阻尼的；0 0)已知初始條件為零，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(s)o

21、解因為R(s)1_1一 2 s sC(s) Lc(t) 之 ” s s故系統(tǒng)傳遞函數(shù)為0.9s 1010(s 1)-2s (s 10)C(s)R(s)10.1s 1解畢。例3-3設(shè)控制系統(tǒng)如圖 3-2所示。試分析參數(shù)b的取值對系統(tǒng)階躍響應(yīng)動態(tài)性能的影響。解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)K(T bK)s 1最新整理td tr ts系統(tǒng)是一階的。動態(tài)性能指標為0.69(T bK)2.2(T bK) 3(T bK)因此，b的取值大將會使階躍響應(yīng)的延遲時間、上升時間和調(diào)節(jié)時間都加長。解畢。例 函數(shù)。3-12設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-34所示。試確定系統(tǒng)的傳遞圖3-34二階控制系統(tǒng)的單位階躍響

22、應(yīng)3,故此系統(tǒng)的增益不是首先明顯看出，在單位階躍作用下響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為 1,而是3。系統(tǒng)模型為3 2n2-2s 2 ns n然后由響應(yīng)的 Mp%、 ptp及相應(yīng)公式，即可換算出KM p%pc(tp)c(Ts)c(bs0.1 (s)p%由公式得33%0.1最新整理15% ,峰值時間等和Kt數(shù)值下系統(tǒng)的R(s)s( sC(s)換算求解得：0.33、0 33.2解畢。例3-13 設(shè)系統(tǒng)如圖 3-35所示。如果要求系統(tǒng)的超調(diào)量等于于0.8s,試確定增益 Ki和速度反饋系數(shù)Kt。同時，確定在此Ki延遲時間、上升時間和調(diào)節(jié)時間。1 + Kts圖 3-35解由圖示得閉環(huán)特征方程為s2(1K1Kt)s K1K1

23、1 Ktt 2 n由已知條件p%t/ 12,0.15tpnJt20.8解得0.517, n4.588s 1K121.05Kt2 . t n 0.178K1trtd1 0.6 t0.2 t2tL 0.297sarccos t t 0.538sn .1最新整理3 5ts T- 1.476 st n解畢。例3-14設(shè)控制系統(tǒng)如圖 3-36所示。試設(shè)計反饋通道傳遞函數(shù)H(s),使系統(tǒng)阻尼比提高到希望的 E 1值，但保才I增益K及自然頻率con不變。R(s)解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)H(s)(s)圖3-36例 44 2控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖222s2 2 ns: K :H(s)在題意要求下，應(yīng)取H(s) Kts此時，

24、閉環(huán)特征方程為：s2(2 KKt n) ns 202 KKt n 2 1 ,解出，Kt2( 1)/K n故反饋通道傳遞函數(shù)為:H(s)2( 1)s解畢。例3-15系統(tǒng)特征方程為s6 30s5 20s4 10s3 5s2 20 0試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 特征式各項系數(shù)均大于零，是保證系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。上述方程中s 一次項的系數(shù)為零，故系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。解畢。例3-16已知系統(tǒng)特征方程式為s4 8 s3 18s2 16s 5 0試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定情況。解勞斯表為最新整理181681618 1 16816 16 8 51613.513.5 5 16 0 513.5由于特征方程式中所有系數(shù)均為

25、正值，且勞斯行列表左端第一列的所有項均具有 正號，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解畢。例3-17已知系統(tǒng)特征方程為5432s s 2s 2s 3s 5 0試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解本例是應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種特殊情況。如果在勞斯行列表中 某一行的第一列項等于零，但其余各項不等于零或沒有，這時可用一個很小的正數(shù) 來代替為零的一項，從而可使勞斯行列表繼續(xù)算下去。勞斯行列式為5s4s3s11022由勞斯行列表可見，第三行第一列系數(shù)為零，可用一個很小的正數(shù)四行第一列系數(shù)為（2 +2/0當(dāng)e趨于零時為正數(shù)；第五行第一列系數(shù)為/（2計2）,當(dāng)e趨于零時為2。由于第一列變號兩次，故有兩

26、個根在右半以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。e來代替；第(-4 s- 4 5 2)s平面，所解畢。例3-18已知系統(tǒng)特征方程為s6 2 s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0試求：（1）在s右半平面的根的個數(shù)；（2）虛根。解如果勞斯行列表中某一行所有系數(shù)都等于零，則表明在根平面內(nèi)存在對原點 對稱的實根，共軻虛根或（和）共軻復(fù)數(shù)根。此時，可利用上一行的系數(shù)構(gòu)成輔助多 項式，并對輔助多項式求導(dǎo)，將導(dǎo)數(shù)的系數(shù)構(gòu)成新行，以代替全部為零的一行，繼續(xù)最新整理計算勞斯行列表。對原點對稱的根可由輔助方程(令輔助多項式等于零)求得。勞斯行列表為6s18205s212164s212163s0016由于s3行中各項系數(shù)

27、全為零，于是可利用s4行中的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式，即_ 4P(s) 2s一 2 一12s16求輔助多項式對s的導(dǎo)數(shù)，得原勞斯行列表中 行列表變?yōu)閟3行各項,啦 8s3 24s s用上述方程式的系數(shù)，即8和24代替。此時，勞斯得到s18205s212164s212163 s8242 s6161 s2.670s166新勞斯行列表中第一列沒有變號，所以沒有根在右半平面。對原點對稱的根可解輔助方程求得。令_ 4_ 2-2s 12s16 0sj*2 和 s j2解畢。例 3-19試求:單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為KG(s)2s(as 1)(bs cs 1)(1)位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)和加速度誤差系

28、數(shù);(2)當(dāng)參考輸入為 r1(t), rt 1(t)和rt2 1(t)時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解根據(jù)誤差系數(shù)公式,位置誤差系數(shù)為Kplim G(s)s 0lims 0 s(as 1)( bs cs 1)最新整理速度誤差系數(shù)為Kvlim sG(s)s 0lim ss 0s(asK21)(bs csK1)加速度誤差系數(shù)為Ka2 _hm0 s G(s)ym)sK12s(as 1)( bs cs 1)對應(yīng)于不同的參考輸入信號，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有所不同。參考輸入為r 1(t),即階躍函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為參考輸入為rt 1(t),即斜坡函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為rress -KvK參考輸入為rt2 1(t)

29、,即拋物線函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2r 2ressKa 0解畢。例3-20單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)10s(1Tis)(1T2S)輸入信號為r (t) =A+cot, A為常量，3=0.5弧度/秒。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解 實際系統(tǒng)的輸入信號，往往是階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)等典型信號 的組合。此時，輸入信號的一般形式可表示為,、12r(t) r nt -r2t系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可應(yīng)用疊加原理求出，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是各部分輸入所引起 的誤差的總和。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按下式計算：Kp KvKa對于本例，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為essA _1 Kp Kv1型系統(tǒng)，所以本題給定的開環(huán)傳遞

30、函數(shù)中只含一個積分環(huán)節(jié)，即系統(tǒng)為最新整理KpKv lim sG(s)s 0lim ss 010s(1 T1s)(1 T2s)10系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為A ess1 KpKvA _ _0.511010100.05解畢。3-37所示。假設(shè)輸入信號為r(t)=at ( a為任意常例3-21 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 數(shù))。證明：通過適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié) Ki的值,該系統(tǒng)對斜坡輸入的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差能達到零。R(s)Kis+1C(s)s(Ts 1)圖3-37 例3-21控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為C(s) K(s 1)R(s) s(Ts 1) KC(s)K(Kis 1)Ts2R(s)因此R(s) C(s)Ts2s

31、 KKisTs2 s KR(s)lim% 1 ) s 0 Ts s Ksim0aTs (1 KK i)a(1Ts2 s KKKi)K要使系統(tǒng)對斜坡輸入的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，即ess=0 ,必須滿足當(dāng)輸入信號為r(t)=at時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為_ 2Ts s KKisesslim s2s 0Ts2 s K1 KKi 0最新整理所以Ki 1/K解畢。例3-22設(shè)單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)置穩(wěn)態(tài)誤差 ess=0 ,單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量 應(yīng)保持什么關(guān)系？Mp%=4.3% ,Kg 、K 0如果要求系統(tǒng)的位pTs 1試問Kp、Kg、T,各參數(shù)之間解開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)KpKgKpKg/T顯然解得

32、:由于要求s(Ts1)s(ss(s 2 n)KpKgTKpKgT1/4M0p100%4.3%故應(yīng)有 七 0.707。于是，各參數(shù)之間應(yīng)有如下關(guān)系KpKgT 0.5p g本例為I型系統(tǒng)，位置穩(wěn)態(tài)誤差ess=0的要求自然滿足。解畢。例3-23設(shè)復(fù)合控制系統(tǒng)如圖 3-38所示。其中Ki 2K2 1 , T20.25s , K2K3 1試求r(t) (1 t t2/2)1(t)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。最新整理復(fù)合控制系統(tǒng)圖 3-38解閉環(huán)傳遞函數(shù)(s)K3 sKiK1K2K1K24(s 0.5)s2 4s 2等效單位反饋開環(huán)傳遞函數(shù)(s)1(s)2(2s2s1)表明系統(tǒng)為II型系統(tǒng)，且Ka Ka當(dāng)r(t)

33、 (1 t t2/2)1(t)時，穩(wěn)態(tài)誤差為ess1/Ka0.5解畢。G(s) K / s(Ts 1)。 試選擇參數(shù)例3-24 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)K及T的值以滿足下列指標:(1)當(dāng)r(t)= t時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess0.02;(2)當(dāng)r(t)=1(t)時，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標Mp%50 o現(xiàn)取K=60G(s)K/Ts(s1/T)s(s 2 n)故有1/2:K/T2K 取Mp%0.2%，計算得最新整理圖中：G1(s) K1G2(s)K2s(1TiS)Gr (s)as2 bs1 T2sKi、K2、Ti、T2均為已知正值。當(dāng)輸入量 試確定參數(shù)a和b。解系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為r(t)= t2/

34、2時，要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零,C(S)G1G2GrIR(s) 1 G1G2G1G2(Gi GJ1 G1G2C(s)G2(Gi Gr)1 G1G2R(s)2(ln M p%)2220.4562 (lnMp%)254.72此時ts 3.5/ n 0.14 0.3 (S)滿足指標要求。最后得所選參數(shù)為：K=60T=0.02 解畢。例3-25 一復(fù)合控制系統(tǒng)如圖3-39所示。誤差為八1 G2GE(s) R(s) C(s)1 R(s)代入 R(s) 1/s3 及 G1、G2、Gr,得最新整理2C(s)Kas (b KiT2)s K1R(s) T1T2 s3 (T1 T2)s2 (1 K1K2T2)s K

35、1K 2閉環(huán)特征方程為3_2TT2 s(T1 T2)s(1 K1K2T2)s K1K2 0易知，在題設(shè)條件下，不等式K1K2T1T2a、b無關(guān)。此時，討論穩(wěn)態(tài)(T1 T2)(1 K1K2T2)成立。由勞斯穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且與待求參數(shù) 誤差是有意義的。而E(s)T2s3 (T1 T2 K2a)s2 (1 K2b)s 2T1T2s3(T1 T2)s2 (1 K1K2T2)s K1K2 s3T1 T2K2a 01 K2b 0則有E(s)T1T23 ZZ ZZ 2ZZT1T2s(T1T2)s(1K1K2T2)sK1K2系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為ess lim sE(s) 01K2因此可求出待定參數(shù)為T1

36、T2K2解畢。例3-26控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-40所示。誤差 E(s)在輸入端定義。擾動輸入是幅值為2的階躍函數(shù)。N(s)R(s) E(s)圖K-40控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖kC(s)0.05s 1s 52.5(1)試求K=40時，系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差。最新整理(2)若K=20,其結(jié)果如何？(3)在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/s,對結(jié)果有何影響？在擾動作用點之后的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/s,結(jié)果又如何？解在圖中，令Gi0.05s 1，G22.5C(s) G2N(s) G1G2E(s)代入 E(s) R(s) HC(s),得C(s)G2G1G2HN(s)G1G21 G1G2

37、HR(s)令R(s) 0 ,得擾動作用下的輸出表達式Cn(s)G21 G1G2 HN(s)此時，誤差表達式為En(s) R(s) HCn(s)G2 H1 G1G2HN(s)essn1sm0sEn g2hlimsN(s)s 0 1 G1G2H而擾動作用下的穩(wěn)態(tài)輸出為Cn( ) limnsCn(s)s 0lim - s 0 1G2G1G2HsN(s)代入N(s)、Gi、G2和H的表達式，可得Cn()21 2.5K51 2.5K5/1015/51(1)當(dāng) K 40 時，Cn( )2/101, essn當(dāng) K 20時，Cn( )2/51, essn可見，開環(huán)增益的減小將導(dǎo)致擾動作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的增大

38、，且穩(wěn)態(tài)誤差的絕 對值也增大。最新整理若1/s加在擾動作用點之前，則 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark103 o Current Document K1G1, G2 ，H 2.5 HYPERLINK l bookmark222 o Current Document s(0.05s 1)s 5不難算得Cn()0, essn 0若1/s加在擾動作用點之后，則 HYPERLINK l bookmark123 o Current Document K1G1 , G2 , H 2.50.05s 1 s(s 5)容易求出Cn()221k2/100, K 40時2/50,

39、 K 20寸essn52.5K5/100, K 40時5/50, K 20寸可見，在擾動作用點之前的前向通道中加入積分環(huán)節(jié)，才可消除階躍擾動產(chǎn)生的 穩(wěn)態(tài)誤解畢。例3-27設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)2ns(s 2 n)已知系統(tǒng)的誤差響應(yīng)為 TOC o 1-5 h z 1.07t3.73t HYPERLINK l bookmark238 o Current Document e(t) 1.4e0.4e(t0)試求系統(tǒng)的阻尼比&自然振蕩頻率3n和穩(wěn)態(tài)誤差ess。解閉環(huán)特征方程為 HYPERLINK l bookmark240 o Current Document s2 2 ns 20由已

40、知誤差響應(yīng)表達式，易知，輸入必為單位階躍函1(t),且系統(tǒng)為過阻尼二階系統(tǒng)。故e(t) 1.4e t/T10.4e t/T21.4e1.07t3.73t0.4e即，系統(tǒng)時間常數(shù)為Ti0.93T20.27最新整理代入求出的時間常數(shù)，得穩(wěn)態(tài)誤差為2 ns1 T1 /T22 J1/T21.2,Ti1t1t2esslim e(t)實際上，I型系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，其穩(wěn)態(tài)誤差必為零。解畢。第四章自控系統(tǒng)的根軌跡分析1.基本要求通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)做到：(1)掌握開環(huán)根軌跡增益 Kg (或開環(huán)比例系數(shù) K)變化時系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的繪 制方法。理解和熟記根軌跡的繪制法則，尤其是實軸上根軌跡的確定、分離點及漸

41、近 線的計算方法、根軌跡與虛軸的交點坐標及出射角和入射角的確定。會利用幅值方程 求特定的K值。(2) 了解閉環(huán)零、極點的分布和系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系及系統(tǒng)根軌跡分析的 基本思路。正確理解偶極子和主導(dǎo)極點等基本概念，會用主導(dǎo)極點的概念估算系統(tǒng)的 性能指標。(3)掌握0根軌跡、參變量根軌跡及非最小相位根軌跡繪制的基本思路和方法。2.內(nèi)容提要本章主要介紹了根軌跡的基本概念、控制系統(tǒng)根軌跡的繪制方法以及根軌跡法在 控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用。(1) 根軌跡的基本概念根軌跡是當(dāng)系統(tǒng)中某參數(shù)(如開環(huán)根軌跡增益Kg)由08變化時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點在s平面上移動的軌跡。求出不同Kg值時的閉環(huán)極點，在 s平面上逐點繪制

42、即可得到系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。但人工繪制即笨又繁，很不實用。根軌跡法的基本思路是： 在已知開環(huán)零、極點分布的基礎(chǔ)上，依據(jù)根軌跡法則，確定閉環(huán)零、極點的分布。再 利用主導(dǎo)極點的概念，對系統(tǒng)的階躍響應(yīng)進行定性分析和定量估算。(2)根軌跡方程根軌跡方程實質(zhì)上是系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的變形。負反饋系統(tǒng)根軌跡方程的一般形 式為最新整理mKg (S Zi)1(s Pj)j 1根軌跡方程的幅值平衡條件和幅角平衡條件分別稱之為根軌跡的幅值方程和幅角 方程。系統(tǒng)根軌跡方程的幅值方程和幅角方程由如下二式給出：SZi1 nS Pj j 1(S Zi)n(Sj 1Pj) (2k 1)幅角方程是決定根軌跡的充分必要條件。系統(tǒng)的根

43、軌跡可依據(jù)其幅角方程繪制， 幅值方程主要用來確定根軌跡上各點對應(yīng)的增益值。(3)繪制系統(tǒng)軌跡的基本法則根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡方程式，按照繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則，即可由系統(tǒng)開環(huán)零極點的分布直接繪制出閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。表4-2給出了當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益Kg由08變化時，繪制系統(tǒng)180根軌跡的基本法則。(4)控制系統(tǒng)的根軌跡分析控制系統(tǒng)的根軌跡分析即應(yīng)用閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、計算系 統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，或在根軌跡圖上可以進行反饋系統(tǒng)的綜合或校正。當(dāng)系統(tǒng)的根軌跡段位于左半 S平面時，系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，系統(tǒng)必然存在不穩(wěn)定的閉環(huán)根。當(dāng)系統(tǒng)為條件穩(wěn)定時，根軌跡與S平面的交點即其臨界穩(wěn)定條

44、件。利用根軌跡得到閉環(huán)零、極點在S平面的分布情況，可以寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，進行系統(tǒng)動態(tài)性能的分析。系統(tǒng)的閉環(huán)零點由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)直接給出，系 統(tǒng)的閉環(huán)極點需應(yīng)用根軌跡圖試探確定。如果系統(tǒng)滿足閉環(huán)主導(dǎo)極點的分布規(guī)律，可 以應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念把高階系統(tǒng)簡化為低階系統(tǒng)，對高階系統(tǒng)的性能近似估算。(5)附加開環(huán)零極點對根軌跡的影響根軌跡是根據(jù)開環(huán)零極點的分布繪制的，系統(tǒng)開環(huán)零極點的分布影響著根軌跡 的形狀。通過附加開環(huán)零極點，可以改造系統(tǒng)根軌跡的形狀，使系統(tǒng)具有滿意的性能 指標。增加一個開環(huán)實零點，將使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，并 有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。開環(huán)負實零點離虛

45、軸越近，這種作用越大。增加一個開 環(huán)實極點，將使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有損于系統(tǒng)的動態(tài)性 能，使得系統(tǒng)響應(yīng)的快速性變差。開環(huán)負實極點離虛軸越近，這種作用越大。開環(huán)零 點和極點重合或相近時，二者構(gòu)成開環(huán)偶極子。合理配置偶極子中的開環(huán)零極點，可 以在不影響動態(tài)性能的基礎(chǔ)上，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)形能。最新整理解題示范例4-1設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)2Ks(s 1)(s 2)試繪制系統(tǒng)的根軌跡。解 根據(jù)繪制根軌跡的法則，先確定根軌跡上的一些特殊點，然后繪制其根軌跡圖。(1)系統(tǒng)的開環(huán)極點為 0, 1,2是根軌跡各分支的起點。由于系統(tǒng)沒有有限開環(huán)零點，三條根軌跡分支均趨向于無

46、窮遠處。(2)系統(tǒng)的根軌跡有 n m 3條漸進線漸進線的傾斜角為(2K 1)(2K 1) 180 TOC o 1-5 h z a n m3 0取式中的K=0, 1 , 2,得6 a=n/3,汽，5n/3。漸進線與實軸的交點為(0 1 2)11 nmPjZin m j 1 i 1三條漸近線如圖4-13中的虛線所示。(3)實軸上的根軌跡位于原點與一 粗實線所示。1點之間以及一2點的左邊，如圖4-13中的(4)確定分離點系統(tǒng)的特征方程式為32s 3s 2s 2K 0即132K -(s3 3s2 2s)禾ij用dK/ds 0,則有dK1 (s3 6s2 2) 0ds 2解得Si0.423 和 s21.

47、577由于在一1到一2之間的實軸上沒有根軌跡，故S2=- 1.577顯然不是所要求的分離點。因此，兩個極點之間的分離點應(yīng)為Si= 0.423 。(5)確定根軌跡與虛軸的交點方法一利用勞斯判據(jù)確定勞斯行列表為S3122s232 K最新整理1 s0 s由勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定時6 2K 032 KK的極限值為3。相應(yīng)于K=3的頻率可由輔助方程一 2-2.3s 2K 3s 6 0解之得根軌跡與虛軸的交點為sj盤。根軌跡與虛軸交點處的頻率為確定。 TOC o 1-5 h z 21.41方法二令s j代入特征方程式，可得32(j )3( j )2( j ) 2K 0即(2K 3 2) j(22) 0令上述方

48、程中的實部和虛部分別等于零，即2K 3 20, 22 0所以2 K 3(6)確定根軌跡各分支上每一點的K值根據(jù)繪制根軌跡的基本法則，當(dāng)從開環(huán)極點0與一1出發(fā)的兩條根軌跡分支向右運動時，從另一極點一2出發(fā)的根軌跡分支一定向左移動。當(dāng)前兩條根軌跡分支和虛軸在K=3處相交時，可按式x (0 j1.41) (0 j1.41)3求出后一條根軌跡分支上K=3的點為。x= 3。0.423 J0O 因此，后由(4)知，前兩條根軌跡分支離開實軸時的相應(yīng)根值為一 一條根軌跡分支的相應(yīng)點為x ( 0.423) ( 0.423)3所以，ox=2.154。因本系統(tǒng)特征方程式的三個根之和為-2K,利用這一關(guān)系，可確定根軌

49、跡各分支上每一點的K值。現(xiàn)在已知根軌跡的分離點分別為一0.423 j0和一2.154,該點的K值為_2_2K ( 0.423) ( 2.154)即，K=0.195。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-1所示。最新整理圖4-1例4-1系統(tǒng)的根軌跡3K(s 2)s(s 3)(s2 2s 2)例4-2設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)試繪制系統(tǒng)的根軌跡。解(1)系統(tǒng)的開環(huán)極點為0, 3, ( 1 + j)和(1j),它們是根軌跡上各分支的起點。共有四條根軌跡分支。有一條根軌跡分支終止在有限開環(huán)零點-2,其它三條根軌跡分支將趨向于無窮遠處。(2)確定根軌跡的漸近線漸近線的傾斜角為(2K1)(2K1) 180n

50、 m3 0汽，5 n/3,或土 60 及一180。取式中的K=0, 1, 2,得人=n/3,三條漸近線如圖 4-14中的虛線所示。漸近線與實軸的交點為 TOC o 1-5 h z 1 nmaPjZin m j 1 i 1(3)實軸上的根軌跡位于原點與零點一(0 3 1 j 1 j) ( 2)14 12之間以及極點一3的左邊，如圖 4-14中的粗線所示。從復(fù)數(shù)極點(1 土 j)出發(fā)的兩條根軌跡分支沿土60。漸近線趨向無窮最新整理遠處。(4)在實軸上無根軌跡的分離點。(5)確定根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)的特征方程式為 TOC o 1-5 h z 一 2一一-一s(s 3)(s2s2)3K(s2)043

51、2s 5s 8s (6 3K)s 6K 0勞斯行列表4s3s2s1540 (6 3K)586 3K6K6K150K3 K34 3K若陣列中的s1行等于零，即(6+3K) - 150K/ (34-3K) =0 ,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。解之可得K=2.34。相應(yīng)于 K=2.34的頻率由輔助方程-2一 一一40 (6 3 2.34) s 30 2.34 0確定。解之得根軌跡與虛軸的交點為s=j1.614。根軌跡與虛軸交點處的頻率為3=1.614。(6)確定根軌跡的出射角根據(jù)繪制根軌跡的基本法則，自復(fù)數(shù)極點P1= ( 1 + j)出發(fā)的根軌跡的出射角為9 180(2k 1)(p1 2)p1(P1 3)(P1

52、1 j)k=0,則得到26.6將由圖4-14中測得的各向量相角的數(shù)值代入并取 系統(tǒng)的根軌跡如圖4-14所示。最新整理例4-3已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s) 2 K(S。25)s2(s 5)(s 20)(s 50)試繪制系統(tǒng)的根軌跡。解(1)系統(tǒng)的開環(huán)極點為0, 0, 5, 20和一50,它們是根軌跡各分支的起點。共有五條根軌跡分支。開環(huán)零點為0.125,有一條根軌跡分支終止于此，其它四條根軌跡分支將趨向于無窮遠處。(2)確定根軌跡的漸近線漸進線的傾斜角為(2K 1)(2K 1) 180an m5 1取式中的 K=0, 1, 2, 3 得(J)a=45。和 6a=135。漸近線與實

53、軸的交點為1 nmPjZin m j 1 i 1(0 0 5 20 50) ( 0.125)418.8(3)實軸上的根軌跡位于一0.125和一5之間以及一20,與一50之間。(4)確定根軌跡的分離點和會合點本例中，系統(tǒng)各零點、極點之間相差很大。例如，零點一 0.125與極點0之間僅相 距0.125，而零點0.125與極點50之間卻相差 49.875。因此，可作如下簡化：在繪 制原點附近的軌跡曲線時，略去遠離原點的極點的影響；在繪制遠離原點的軌跡曲線 時，略去零點和一個極點的影響。(A)求原點附近的根軌跡和會合點略去遠離原點的極點，傳遞的函數(shù)可簡化為K (s+0.125) /s2。零點0.125左邊最新整理實軸是根軌跡，并且一定有會合點