一、正反演問題的概述資料

1、地球物理反演(fn yn)概論 I講授提綱(tgng)一、正反演問題的概述二、不適定問題及其穩(wěn)定性 三、 Backus-Gilbert線性反演理論 四、解線性反問題的基本數(shù)值方法 五、直接非線性反演方法六、地球物理中的正反演應(yīng)用實(shí)例共四十三頁課程(kchng)特點(diǎn)是地球物理學(xué)專業(yè)的必修課程；是學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算數(shù)學(xué)、高等物理等基礎(chǔ)(jch)課程之后的專業(yè)基礎(chǔ)(jch)課；理論性和實(shí)踐性均較強(qiáng)。共四十三頁了解并認(rèn)識(shí)地球物理反演理論和方法；了解地球物理問題和數(shù)學(xué)物理問題的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系；把地球物理問題變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，反過來又學(xué)會(huì)把解數(shù)學(xué)問題與地球物理實(shí)際問題有機(jī)(yuj)聯(lián)系在一起。課程(kchng)重點(diǎn)

2、共四十三頁（1）地球物理反演問題的一般理論，模型空間，數(shù)據(jù)空間，零空間，解的存在性、惟一性、穩(wěn)定性，適定與不適定問題。（2）線性反演理論及方法(fngf)，長度的概念，模型構(gòu)制，解的非惟一性，穩(wěn)定性和結(jié)果評(píng)價(jià)，參數(shù)化模型的最小長度解。 （3）廣義線性反演，廣義逆矩陣，廣義逆的求解方法。課程主要(zhyo)內(nèi)容：共四十三頁（4）Backus-Gilbert反演理論(lln)，連續(xù)介質(zhì)反演理論，BG線性評(píng)價(jià)。（5）非線性反演方法，非線性問題的線性化，最優(yōu)化法，阻尼最小二乘法，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，遺傳算法，多尺度反演。 （6）典型地球物理反演實(shí)例。 課程主要(zhyo)內(nèi)容：共四十三頁主要參考文獻(xiàn)1地球

3、物理反演基本理論與應(yīng)用方法，中國地質(zhì)大學(xué)“211”工程建設(shè)重點(diǎn)資助系列教材，姚姚主編，中國地質(zhì)大學(xué)出版社，2002。2地球物理反演問題，傅淑芳等編著，地震出版社，1998。3數(shù)字信號(hào)分析與處理(chl)，朱光明，李慶春等編著，陜西人民教育出版社，2003。4地球物理反演理論，王家映編著，高等教育出版社，2002。5反演理論及其應(yīng)用，徐果明編著，地震出版社，2003。6地球物理反演的理論和方法，楊文采編著，地質(zhì)出版社，1997。7地球物理數(shù)據(jù)分析離散反演理論，王光明等譯，地質(zhì)出版社，1988。8Inverse Problem Theorymethods for data fitting and

4、model parameter estimation, A.Tarantola(中譯本,張先康譯)。9 Geophysical Data Analysis : Discrete Inverse Theory,Willian Menke,College of Oceanography,Oregon State University,ACADEMIC PRESS, INC.,1984共四十三頁本節(jié)課主要(zhyo)講授:一、正反演問題的概述（緒論）主要內(nèi)容:正反演問題一般原理及實(shí)例；地球物理反演的陳述方式和主要觀點(diǎn)；對反問題的描述（數(shù)學(xué)(shxu)形式、適定性、解及其評(píng)價(jià)、反演問題的局限性）。 共

5、四十三頁目的及要求：對地球物理正反演問題有概括的了解，建立一般概念；明確(mngqu)其一般數(shù)學(xué)表達(dá)形式；解的存在性、惟一性和穩(wěn)定性評(píng)價(jià)等。 共四十三頁 在科學(xué)實(shí)踐中，反演是一種相當(dāng)普遍的手段。地球物理反演則是通過對地面、地下、空間，甚至海洋上的觀測（地震儀、重力儀、地電及地磁儀）資料進(jìn)行分析計(jì)算，來推斷(tudun)地球內(nèi)部介質(zhì)的地震波速度、密度、電導(dǎo)率等參數(shù)的分布，從而得到地球內(nèi)部介質(zhì)分布的二維或三維結(jié)構(gòu)圖像。 共四十三頁 在掌握了事物的發(fā)展規(guī)律和事物之間相互作用規(guī)律的基礎(chǔ)上，便有可能由已知參數(shù)（源參數(shù)及介質(zhì)參數(shù)），根據(jù)物理規(guī)律來推測和計(jì)算觀測（主要是儀器觀測）得到的資料和數(shù)據(jù)，這一過程稱

6、為正（演）問題。例如由地震的震源參數(shù)，根據(jù)彈性(tnxng)動(dòng)力學(xué)規(guī)律，計(jì)算各地震臺(tái)（檢測點(diǎn)）應(yīng)該記錄到的地震動(dòng)（到時(shí)，動(dòng)力學(xué)特征），是既有空間尺度又有時(shí)間尺度的正演。因此，正問題是由原因推測結(jié)果。共四十三頁 反（演）問題是相對正問題而言的，是由結(jié)果推測原因。這里的結(jié)果應(yīng)該是可以觀測到的，稱為觀測資料。地球物理學(xué)中的反演就是研究把地球物理學(xué)中觀測數(shù)據(jù)映射到相應(yīng)的地球物理模型的理論(lln)和方法。即：觀測數(shù)據(jù)反演數(shù)學(xué)物理模型場源模型參數(shù)。共四十三頁1一般原理及實(shí)例（1）正演問題：根據(jù)某些一般原理或模型，以及一系列與所處理的問題有關(guān)的已知條件（初始(ch sh)、邊界條件）來預(yù)測觀測結(jié)果（預(yù)測數(shù)

7、據(jù)）的方法。即：模型參數(shù)模型數(shù)據(jù)的預(yù)測。（2）反演問題：從數(shù)據(jù)及某些一般原理或模型出發(fā)來確定模型參數(shù)的估計(jì)值。是相對于正演問題而存在的。即：數(shù)據(jù)模型模型參數(shù)的估計(jì)值。共四十三頁模型(mxng)空間m逆算子(sun z)g算子g數(shù)據(jù)空間d共四十三頁(3）反演(fn yn)的過程：地面觀測(gunc)條件及地下情況的復(fù)雜多變,使反演受到許多限制，一般過程：1）根據(jù)物理原理作某些簡化之后再作數(shù)學(xué)抽象，提出初始模型，建立理論公式；2）通過正演，明確規(guī)律及法則，提出地球物理泛函，根據(jù)初始模型給出計(jì)算值；3）給出穩(wěn)定可行的反演算法；4）在一定約束下調(diào)整模型參數(shù)，使之符合規(guī)則數(shù)據(jù)的最佳地球物理模型。共四十三

8、頁(4）重要(zhngyo)進(jìn)展：近二十年來，隨著觀測和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展而得到大大推動(dòng)： Backus&Gilbert：系統(tǒng)研究了反問題解的存在性、穩(wěn)定性、惟一性、分辨率、方差和求解方法及約束求解； William Menke：離散(lsn)反演理論用于地球物理數(shù)據(jù)分析。共四十三頁（5）反演理論可以幫助回答的問題：（a）反問題之間的根本相似性是什么？（b）如何得到模型參數(shù)(cnsh)的估計(jì)值？（c）模型參數(shù)估計(jì)值中的誤差有多少來自測量值的誤差？（d）給定一個(gè)特定的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)就能真正確定某一組模型參數(shù)嗎？共四十三頁反問題存在多種答案和用來評(píng)價(jià)這些答案“優(yōu)度”的準(zhǔn)則，反演理論的研究課題都涉及到識(shí)別何時(shí)

9、某些準(zhǔn)則比其它的準(zhǔn)則更適用，以及盡量發(fā)現(xiàn)并避免(bmin)可能出現(xiàn)的失誤。共四十三頁（6）反問題的例子：（a）醫(yī)學(xué)層析成象；（b）圖象增強(qiáng)；（c）曲線擬合；（d）因子分析；（e）衛(wèi)星(wixng)導(dǎo)航；（f）利用干涉法測繪宇宙射電源；（g）利用x射線衍射分析分子結(jié)構(gòu)；共四十三頁（h）地球物理反演： 震源定位、層析反演、地震波衰減、地震波走時(shí)反演（Hergloz-Wiechert）、聲波層析成像、根據(jù)地球物理數(shù)據(jù)（重、磁、電磁波、彈性波）確定地球結(jié)構(gòu)（異常源）。地球物理反問題研究利用地球物理觀測(gunc)數(shù)據(jù)去反推描述地球物理模型特征的理論和方法。共四十三頁反問題(wnt)的非唯一性的一個(gè)例子

10、？共四十三頁2地球物理反演的陳述方式和主要觀點(diǎn) 反演問題在數(shù)學(xué)上常表現(xiàn)為不適定問題反問題的固有特性。（1）地球物理反演問題的陳述方式：（a）給定場方程解的部分信息，要求推算(tu sun)方程的右端或定解域的形狀；（b）給定場方程解的部分信息，要求重建方程的系數(shù)。共四十三頁（1）地球物理反演問題的陳述方式：這是因?yàn)椋厍蛭锢矸磫栴}實(shí)質(zhì)上可化為微分方程的反問題：微分方程的中心任務(wù)是尋求(xnqi)其定解問題的解，由微分方程解的某種泛函，來確定方程的系數(shù)、右端或解的定義域。 共四十三頁各種經(jīng)典場形式(xngsh)上都滿足下列偏微分方程（組）： 其中， g(x)是源函數(shù)，L是刻畫場函數(shù)在空間變化規(guī)律

11、的微分算子（通常為二階），例如，對于重力、磁力(cl)和電場，L 為Laplace算子共四十三頁 對于電磁場，在均勻各向同性( xin tn xn)介質(zhì)下，L為Helmholtz算子 其中， 分別為波數(shù)、介質(zhì)的導(dǎo)磁率、導(dǎo)電率、介電常數(shù)、場的角頻率、光在真空中的傳播速度。共四十三頁 對于彈性波場，在均勻、各向同性且完全彈性介質(zhì)下，L為波動(dòng)(bdng)算子共四十三頁（2）地球物理反演理論的觀點(diǎn)：（a）把數(shù)據(jù)和模型參數(shù)作為隨機(jī)變量來處理，強(qiáng)調(diào)的是確定(qudng)它們所服從的概率分布，導(dǎo)致對解的誤差分析及可信度檢驗(yàn)。共四十三頁觀點(diǎn)：（b）把問題看作由一些確定的參數(shù)(cnsh)來決定的模型，反演方法是

12、求取這些模型參數(shù)(cnsh)的估計(jì)值及其誤差，而不涉及概率分布本身。然而，一個(gè)估計(jì)值常常正是概率分布的期望值，其差別只不過是強(qiáng)調(diào)哪一個(gè)而已。共四十三頁觀點(diǎn)：（c）視模型本身為連續(xù)函數(shù)，直接(zhji)對連續(xù)函數(shù)進(jìn)行處理（如Backus-Gilbert反演方法）。共四十三頁3對反問題(wnt)的描述反演問題主要包括三方面的內(nèi)容：（a）解的適定問題，包括解的存在性、惟一性和穩(wěn)定性；（b）反演問題的求解方法；（c）反演問題的解的評(píng)價(jià)。共四十三頁解非惟一的根源共四十三頁（1）反演問題的數(shù)學(xué)(shxu)形式共四十三頁共四十三頁 對于連續(xù)模型，兩個(gè)連續(xù)函數(shù)d(x)和g(x)的關(guān)系(gun x)可用積分方程

13、表示 是積分函數(shù)（又稱Green函數(shù)）。實(shí)際模型的選擇應(yīng)考慮資料精度、分辨尺度、模型的物理意義、算法(sun f)的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)以及折衷原則等因素。 共四十三頁（2）反演問題的數(shù)學(xué)適定性問題（a）適定性，對于容許的數(shù)據(jù)d的每一集合，問題的解m存在且唯一，且連續(xù)依賴于d，則線性偏微分方程(wi fn fn chn)問題稱為適定問題，或稱其解是適定的。否則為不適定的。 不適定的原因：觀測數(shù)據(jù)存在誤差，計(jì)算機(jī)位數(shù)有限帶來的誤差等。因此應(yīng)引入附加條件，使其成為適定問題（條件適定Conditionally well posed），這時(shí)解變得不唯一。共四十三頁共四十三頁共四十三頁（c）穩(wěn)定性首先考察問題(wn

14、t)的性態(tài)，設(shè)數(shù)據(jù)在定義域D上的數(shù)值是x，需要計(jì)算的數(shù)學(xué)問題為f（x），實(shí)際上只能知道數(shù)據(jù)的近似值x*，既只能計(jì)算f（x*），當(dāng)x*接近x，且f（x*）也與f（x）相接近，那么問題是良態(tài)的即穩(wěn)定的。否則，問題對數(shù)據(jù)的攝動(dòng)很敏感，則問題是病態(tài)的、不穩(wěn)定的。這時(shí)不論用什么算法，其解總是不精確的。 共四十三頁（c）穩(wěn)定性 其次討論算法的數(shù)值穩(wěn)定性，反演算法相當(dāng)于定義一個(gè)(y )新的函數(shù)f*，使對已知的數(shù)據(jù)x產(chǎn)生一個(gè)近似解f*（x），當(dāng)x*接近x，該算法使得f（x*）接近于f*（x），那么對于良態(tài)問題表示該算法能使計(jì)算解接近精確解算法是數(shù)值穩(wěn)定的。共四十三頁（3）反演問題的解及其評(píng)價(jià)對于反演問題的解（

15、答），人們往往習(xí)慣于希望(xwng)象解正問題一樣得到解的確切數(shù)值。實(shí)際上得到的是：在下面兩類信息之間作出的各種折衷，一類是人們確實(shí)希望得到的信息，另一類是從已知資料（數(shù)據(jù)）實(shí)際能得到的信息。不同折衷方案給出反問題的不同解的形式。（a）模型參數(shù)的估計(jì)值（b）模型參數(shù)的約束值（c）模型參數(shù)的加權(quán)平均值共四十三頁模型參數(shù)的估計(jì)值最簡單類型的解是模型參數(shù)的估計(jì)值。估算( sun)值本身不能給出有關(guān)解的質(zhì)量信息，若給出解的適定性評(píng)價(jià)之后，此估算( sun)值是最有用的一類。模型參數(shù)的約束值 給出解的約束值，來確定估值的可靠性。約束可以是確定型的，也可能是概率型的。模型參數(shù)的加權(quán)平均值在許多情況下，有可

16、能辨認(rèn)模型參數(shù)的組合或平均值，在某種意義上，這樣比確定模型參數(shù)本身更好。共四十三頁解的質(zhì)量評(píng)價(jià)與求解是同等(tngdng)重要的問題。解估計(jì)值對資料的擬合程度、對真實(shí)解的逼近程以及對誤差的放大程度都是反演問題中解的質(zhì)量的定量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)值。共四十三頁（4）反演(fn yn)問題的局限性 反演問題(wnt)中，始終認(rèn)為正演問題(wnt)是已知的。 僅限于研究那些可以用數(shù)值來表示的觀測資料和問題。目前自然界中不是所有物理問題都已弄清它們的機(jī)理而能提出明確的數(shù)學(xué)模型（如地球起源、地震成因等），因此其反問題還無法研究。 共四十三頁內(nèi)容摘要地球物理反演概論 I。（5）非線性反演方法，非線性問題的線性化，最優(yōu)