人教A版高中數(shù)學(xué)高三一輪第八章平面解析幾何8.8曲線與方程考向歸納

1、第八章平面解析幾何8.8曲線與方程考向歸納考向1直接法求軌跡方程.已知點(diǎn)F(0,1),直線l：y=1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q,且QpQf=fpfQ,則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程為()A.x2=4yB.y2=3xC.x2=2yD.y2=4x【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),則Q(x,1).QPQf=fPfQ,.(0,y+1)(-x,2)=(x,y1)(x,2),即2(y+1)=x22(y1),整理得x2=4y,，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2=4y.故選A.【答案】A2.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8.求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程.【解】如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為Oi(x,

2、y),由題意，得|0iA|=|0iM|.當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過Oi作OiHMN交MN于H,則H是MN的中點(diǎn)，|OiM|=.x2+42,又|OiA|=4x42+y2,7x-42+y2=、x2+42.化簡(jiǎn)得y2=8x(xW0)當(dāng)Oi在y軸上時(shí)，Oi與。重合，點(diǎn)Oi的坐標(biāo)為(0,0)也滿足方程y2=8x,，動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.廠|規(guī)律方法|利用直接法求軌跡方程的關(guān)鍵和注意點(diǎn).利用直接法求解軌跡方程的關(guān)鍵是根據(jù)條件準(zhǔn)確列出方程，然后進(jìn)行化簡(jiǎn).運(yùn)用直接法應(yīng)注意的問題(1)在用直接法求軌跡方程時(shí)，在化簡(jiǎn)的過程中，有時(shí)破壞了方程的同解性，此時(shí)就要補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)或刪除多余的點(diǎn)，這是不能忽視的.(

3、2)若方程的化簡(jiǎn)過程是恒等變形，則最后的驗(yàn)證可以省略.考向2定義法求軌跡方程(1)4ABC的頂點(diǎn)A(5,0),B(5,0),ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是.(2)已知圓C與兩圓x2+(y+4)2=1,x2+(y2)2=1外切，圓C的圓心軌跡為L(zhǎng),設(shè)L上的點(diǎn)與點(diǎn)M(x,y)的距離的最小值為m,點(diǎn)F(0,1)與點(diǎn)M(x,y)的距離為n.求圓C的圓心軌跡L的方程；求滿足條件m=n的點(diǎn)M的軌跡Q的方程.【解析】(1)由題意知|CA|CB|=63).【答案】9A=1(x3)916(2)設(shè)圓x2+(y+4)2=1的圓心O(0,4),圓x2+(y2)2=1的圓心O(02)圓C的半徑為

4、r,由題意知，|CO|=r+1,|COMr+1,從而|CO|=|CO,I所以l為線段。的垂直平分線，l的方程為y=-1.由m=n知，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F和定直線l的距離相等.由拋物線的定義知，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡Q是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)，以直線y=1為準(zhǔn)線的拋物線，且p=2,從而軌跡Q的方程為x2=4y.廠I規(guī)律方法|定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵.適用條件動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線之間的某些關(guān)系滿足直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義.關(guān)鍵定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是理解平面幾何圖形的定義.提醒：弄清各種常見曲線的定義是用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練1.如圖所示，已知C為圓(x+我)2+y2=4的圓心，點(diǎn)A單

5、,0),P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP所在的直線上，且MQAP=0,aP=2AM.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程.【解】圓(x+/)2+=4的圓心為C(-y2,0),半徑r=2,f-T一.T.MQAP=0,AP=2AM,.MQAP,點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，即QM垂直平分AP.連結(jié)AQ,則|AQ|=|QP|,|QC|-|QA|=|QC|-|QP|=|CP|=r=2.又|AC|=2位2,根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以C(-V2,0),A(V2,0)為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線，由c=出，a=1,得b2=1,因此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2-y2=1.考向3相關(guān)點(diǎn)(代入)法求軌跡方程(1)已知長(zhǎng)為1+山

6、的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A,B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，P是AB上一點(diǎn),且洋=岑前,則點(diǎn)P的軌跡方程為.(2)設(shè)直線xy=4a與拋物線y2=4ax交于兩點(diǎn)A,B(a為定值)，C為拋物線上任意一點(diǎn)，求ABC的重心的軌跡方程.【解析】(1)設(shè)A(a,0),B(0,b),P(x,y),則AP=(xa, y),PB=(-x,b- y),由AP=(x-a, y)等(x,x a =,22xb-y，_2+V2所以2Wy,)b=r(2又a2+b2=3+2/2,所以x2+y2=1.22【答案】尹y2=1(2)設(shè) ABC的重心為G(x, y),點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(xo, y), A(xi, yi), B(x2, y2).

7、由方程組x y = 4a, |y2= 4ax,消去y并整理得x212ax+16a2=0.x1 + x2= 12a,yi + y2= (x1 一 4a) 十 (x2 4a) = (x1 + x2) 8a = 4a. G(x, y)為 ABC 的重心，x=y=xo+ x1+ x23=yo+ y + y2 _3=xo+ 12a3，yo+ 4a 3xo=3x12a,yo=3y4a.又點(diǎn)C(xo,yo)在拋物線上，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的方程得2(3y-4a)=4a(3x-12a),即(一?)=9(x-4a1又點(diǎn)C與A,B不重合，.二xw(6班)a,.ABC的重心的軌跡方程為%4L2=43a(x4a)(xw(6班)a).T規(guī)律方法|相關(guān)點(diǎn)(代入)法的基本步驟1.設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1).2.求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式y(tǒng)1=g x, yx1=fx,3.代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.變式訓(xùn)練1.P是橢圓x2+y2=1(ab0)上的任意一點(diǎn)，abF1,F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)Q滿足OQ=P?i+P?2,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是.【解析】由題意知Fi(-c,0),F2(c,0),設(shè)P(xo,Yo),Q(x,v