第三講多維隨機變量及其分布

1、第三講多維隨機變量及其分布考試要求理解多維隨機變量的概念，理解多維隨機變屋的分布的槪念和性質(zhì)，理解二維離散 型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續(xù)型隨機變呈的概率密度、邊緣 密度和條件密度會求與二維隨機變量相關(guān)事件的概率.理解隨機變量的獨立性及不相關(guān)的概念，掌握隨機變量相互獨立的條件.掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義會求兩個隨機變量簡單函數(shù)的分布，會求多個相互獨立隨機變量簡單函數(shù)的分布.一、各種分布與隨機變量的獨立性各種分布(1)般二維隨機變量 F (x.y) =PXx9Yy, xe (-x,+x)(一卩+oc)的性質(zhì)F Uy)為聯(lián)合分布函數(shù)

2、 1)0F (x.y) 0.2 匚(兀 UM = 1 設(shè)(X、Y) V (x,y)則分布函數(shù)：F(x,y) =f /(a; y)dxdy ；J oo J w邊緣概率密度：AW= f f(x.y)dy , fY(x) = f f(x.ydx J -ocJ -oc條件槪率密度:fxwy) =/g)fv(y)fyx (y Ix)=P(x,r)Gr)= JJ/(xoWyD62廠(兒刃dxdy隨機變量的獨立性和相關(guān)性X 和 Y相互獨立 0 F (x,y)二 Fx (x) Fy (y);O Pij = P“X p.j(離散型)0 f (x,y) =fx (x) fy ()(連續(xù)型)【注】1X與丫獨立J (

3、x),g (x)為連續(xù)函數(shù)(X)與g (力 也獨立. 2若X1,x,”，厶,r相互獨立，/, g分別為加元與“元連續(xù)函數(shù)nf (X,.X,“)與& (, Y)也獨立.3常數(shù)與任何隨機變量獨立.常見的二維分布(1)二維均勻分布(D) , D為一平面區(qū)域聯(lián)合概率密度為1/(xv) = 5 5(D)(x9y)eD.其他.(2)二維正態(tài)分布(X.Y 八N(“I ,“2, CFi29(J22,p ),-00 呦，“2 o, 6 o, IQ11.聯(lián)合概率密度為卩(x,y) =a(x-“ !)2 2p(x-jni )(y-“ 2)“ 2)2；_+:性質(zhì)：(a ) XN (“i,卯)，Y N (如刃)(h)x

4、與y相互獨立o pxv=o，即x與丫不相關(guān).(c ) CjX+Cy (Ci “i+C?，Cd 5, + CgS，+2C1C2Q 5 6)(d)X關(guān)于Y=y的條件分布為正態(tài)分布：yv/j 4-p (y-/2),crf(l-p2)J6 【例I】設(shè)A, B為事件，且P冷，P(BL4)4, P()=lx=.二、二維(或兩個)隨機變量函數(shù)的分布分布的可加性若 XB (加,)Cn9p),且 X 與 Y 相互獨立，則 X+Y- B (m+n.p)若XP (xi) ,YP (加)，且X與丫相互獨立，貝lj X+Y-P S+加)若 XN (燦后),YP ( “2Q),且 X 與丫相互獨立，則 X+Y N ( “

5、 +/t2.a+a;).一般地，若X嚴N ( “耳),口，2,，“，且X】，X2,，X”相互獨立，則 r=C1Xi+C2X2+.+G.X,I+C仍服從正態(tài)分布，且此正態(tài)分布為nnN(工G“+C,工cpI),其中Ci,G為不全為零的常數(shù)./=!/=1兩個隨機變量函數(shù)的分布.【例5】 設(shè)X與丫相互獨立，且XP(1),YP(2), 則Pmax(X,y)工 0 =;P min(X, 丫)H 0 =廠，y 0,0,其他.【例6】設(shè)X與丫相互獨立，其密度函數(shù)分別為:1,0 x 1,辦門0,其他求Z=2X+Y的概率密度.例7】設(shè)二維隨機變量(X. D的槪率密度為2_x_y,0,0 xl,0y 2Y,(ID求

6、z= %+ /的概率密度A(Z)【詳解】(I) PX2Y=(2 x y)dx =.x2y$24(II)方法一：先求Z的分布函數(shù)：巧(z) = P(X + YMZ)= JJ/(x,yWv當 z0 時，) = 0;當 OKI 時，F(xiàn)z =Jj f(x, ydxdy = J(y)Jo (2-x-y)dx3當 1M Z V 2時，代=1 -y)dxdy = 1 -LC (2-x-y)dxD 2=1呂(2_Z)3：J當時，代(z) = l0zl,1 z 2,其他.故Z= X+ 丫的概率密度2z z ,fzGE(z) = (2-z)2,0,方法二 7z(Z)=*/(兀0 xl,0z-xl,其他.2 乙 0 x l,x z 1 + x,i 0,其他當zwO或zN2時，/z=0；當 0 v z v 1 時， (?) = ：(2 z)dx = z(2 一 z)：當 1Vg2時，心=(2-z)dx = (2-zF；故Z=X+片的概率密度f2z-z2,