第四屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩大賽教案及說明：甘肅?。弘p曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（一）（白銀市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 高波）

1、人教版高中數(shù)學(xué)第二冊上8.3 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一甘肅省白銀市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 高波教學(xué)目標(biāo)：1知識與技能：與橢圓定義類比，深刻理解雙曲線的定義并能獨(dú)立推導(dǎo)出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；2過程與方法：通過定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的深刻挖掘與探究 ，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)類比發(fā)現(xiàn)及數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用，提高學(xué)生的觀察與探究能力；3情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過教師指導(dǎo)下的學(xué)生交流探索活動(dòng)，發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識問題。教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線定義中關(guān)于絕對值，2a0。師： 在橢圓里到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和這個(gè)常數(shù)是正數(shù)，那么，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的差這個(gè)常數(shù)還一定是正數(shù)嗎生：不一定。師：可能

2、是什么數(shù)呢？學(xué)生甲答復(fù)：是正數(shù)，負(fù)數(shù)或零 師：當(dāng)常數(shù)是零時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？生：是線段F1F2的中垂線。老師做出的中垂線。師：當(dāng)常數(shù)是正數(shù)時(shí)的點(diǎn)的位置在什么地方？生：在線段F1F2的中垂線的右側(cè)。師：當(dāng)常數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)的點(diǎn)的位置在什么地方？生：在線段F1F2的中垂線的左側(cè)。 師：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡到底是是什么呢？我們一起做一個(gè)實(shí)驗(yàn)來探索。2、實(shí)驗(yàn)：師生共同完成道具：一根拉鏈具體做法：老師在拉開的拉鏈兩側(cè)各取一點(diǎn)打結(jié)實(shí)驗(yàn)前已經(jīng)測量好，使兩結(jié)之間的距離小于兩定點(diǎn)間的距離，請兩位同學(xué)協(xié)助將兩點(diǎn)分別固定在定點(diǎn)F1，F(xiàn)2處，使拉鏈頭在的上方。將拉鏈頭看作動(dòng)點(diǎn)M,使M到F1的距離

3、比M到F2的距離遠(yuǎn)。 師：|MF1|比|MF2|長多少？ 請同學(xué)觀察，將其中一側(cè)拉鏈拉過來比擬，學(xué)生可以很清楚的看到長出的局部。在|MF1|比|MF2|長出的地方用顏色鮮艷的小夾子做記號，在三次演示可以清楚的看到，在拉鏈的拉合中拉鏈頭M到F1的距離與到F2的距離差始終是夾子到F1的距離，距離差記為2a2a0，當(dāng)拉鏈頭在的下方時(shí)，兩次演示在拉鏈的拉合中，動(dòng)點(diǎn)拉鏈頭M到F1的距離與到F2的距離差始終是夾子到F1的距離，即M到兩定點(diǎn)的差始終是夾子到F1的距離2a。同學(xué)們通過演示觀察得出,拉鏈頭M到F1的距離與它到F2的距離的差始終是正常數(shù).將粉筆放在拉鏈頭處,隨著拉鏈的開合做出一條曲線(在作圖過程中

4、要保持將拉鏈拉直),老師在圖的下方板書：|MF1|-|MF2|=2a(a0);調(diào)換兩拉鏈的固定點(diǎn)，仍然請兩位同學(xué)協(xié)助將兩點(diǎn)分別固定在定點(diǎn)F1，F(xiàn)2處，這時(shí)拉鏈頭M到F1的距離比M到F2的距離短，使拉鏈頭在的上方。同樣在兩次演示過程中提問：|MF1|比|MF2|短多少？讓同學(xué)們觀察，在拉鏈的拉合中,|MF1|始終比|MF2|短夾子到F2的距離，記為2a2a0，當(dāng)拉鏈頭在的下方時(shí)結(jié)果相同.同學(xué)們很容易觀察到在拉鏈的拉合過程中，拉鏈頭到F1的距離與它到F2的距離的差始終是負(fù)常數(shù),這個(gè)常數(shù)是2a的相反數(shù)，記為-2a。將粉筆放在拉鏈頭處,隨著拉鏈的合開做出一條曲線(在作圖過程中要保持將拉鏈拉直),畫出中

5、垂線的左側(cè)的一條曲線。在圖的下方板書：|MF1|-|MF2|=-2a(a0)。 師：我們將這兩條曲線叫雙曲線,其中的一條叫雙曲線的一支. 在黑板上板書課題： 8.3雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。師：比擬每條曲線滿足的條件，這兩支曲線，即雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)M 滿足的條件是什么？ 生：。老師板書 2a0。3、研究2a和2c的關(guān)系.師:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定是雙曲線嗎?(原以為雙曲線定義已經(jīng)得到的同學(xué)們又開始思考)師:與橢圓類比,在橢圓里,到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2a,只有這個(gè)常數(shù)2a大于兩定點(diǎn)的距離時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡才是橢圓,當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于兩定點(diǎn)的距離時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌

6、跡是之間的線段。在雙曲線里,到兩個(gè)定點(diǎn)的距離差2a與兩定點(diǎn)的距離2c之間是否也有大小關(guān)系呢? (同學(xué)們的視線又回到剛剛作出的雙曲線圖形上)師:在剛剛所做的雙曲線上任取一點(diǎn)M,它與構(gòu)成了三角形, |MF1|與|MF2|的差也就是三角形兩邊的差,同學(xué)們欣喜的喊到:三角形兩邊的差小于第三邊，2a2c.(假設(shè)點(diǎn)剛好是雙曲線與所在直線的焦點(diǎn),沒有構(gòu)成三角形，同學(xué)們?nèi)匀缓苋菀椎玫?a2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)有軌跡嗎？(假設(shè)動(dòng)點(diǎn)在之間,到F1與F2的距離的差在變化,不是定值,并且的總長為2c,動(dòng)點(diǎn)到F1與F2的距離的差的絕對值2a不可能大于2c.生:當(dāng)2a2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)沒有軌跡.師:現(xiàn)在請同學(xué)們給出雙曲線的準(zhǔn)確定義.生(

7、自信地):平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值為常數(shù)小于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線 用投影儀展示雙曲線圖形及其定義,焦點(diǎn),焦距概念。三、新課講解1、雙曲線定義： 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值為常數(shù)小于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線即，2a2c叫雙曲線的焦點(diǎn)，=2c(2c0)叫做焦距。強(qiáng)調(diào)：“平面內(nèi)、“距離的差的絕對值、“常數(shù)2a小于 2、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：師：與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程類似，我們根據(jù)雙曲線的定義推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。求曲線方程的根本步驟是什么？生：1建系；2設(shè)點(diǎn)；3列式;4化簡老師在投影儀上演示求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，同學(xué)們在練習(xí)本上書寫求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的過程。提醒同學(xué)們需要注意1牢牢抓住雙曲線定義

8、列式；2在化簡到 ，結(jié)合雙曲線定義中2a 0 )(2a0) 2a 2c教 案 說 明一、授課內(nèi)容數(shù)學(xué)本質(zhì)和教學(xué)目標(biāo)定位通過老師創(chuàng)設(shè)情景、啟發(fā)誘導(dǎo)，師生共同動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生經(jīng)歷直觀感知，觀察發(fā)現(xiàn)，歸納類比，抽象概括，符號表示，運(yùn)算求解數(shù)據(jù)處理，反思建構(gòu)等思維過程，進(jìn)一步體驗(yàn)類比發(fā)現(xiàn)法及數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用，提高學(xué)生的實(shí)踐，觀察，思考，探究能力,特別是提高類比發(fā)現(xiàn)能力；通過教師指導(dǎo)下的師生交流探索活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識問題，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值，體會數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、嚴(yán)密性，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神。對本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)從以下幾個(gè)方面進(jìn)行定位：1知識與技能：與

9、橢圓定義類比，深刻理解雙曲線的定義并能獨(dú)立推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程；2過程與方法：通過定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的深刻挖掘與探究 ，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)類比及數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用，提高學(xué)生的觀察與探究能力；3情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過教師指導(dǎo)下的學(xué)生交流探索活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識問題，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，開展學(xué)生的創(chuàng)造力，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的習(xí)慣和能力，培養(yǎng)獨(dú)立思考，積極探索的習(xí)慣。依據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，把理解和掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程確定為本節(jié)課的重點(diǎn)，把對雙曲線的定義的理解和掌握確定為本節(jié)課的難點(diǎn)。二、學(xué)習(xí)本內(nèi)容的根底及今后作用本節(jié)教材所處的地位作用 雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

10、內(nèi)容可分為二個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)內(nèi)容主要是雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及課本中的例1；第二課時(shí)主要是課本中的例2、例3及幾個(gè)變式例題。雙曲線在社會生產(chǎn)、日常生活和科學(xué)技術(shù)上有著廣泛的應(yīng)用，大綱明確要求學(xué)生必須熟練掌握 學(xué)生初步認(rèn)識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學(xué)習(xí)是對圓錐曲線研究內(nèi)容的進(jìn)一步深化和提高。通過對橢圓的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對“由條件求曲線的方程，再從所得方程來研究曲線的幾何性質(zhì)的解析法有了進(jìn)一步的認(rèn)識，為雙曲線的學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)思想、方法等方面打好了根底，做好了鋪墊。而在雙曲線的學(xué)習(xí)中，如果把雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程研究透徹、清楚了，不僅很容易解決雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程2中的例2、例3及幾個(gè)變式

11、例題，而且對雙曲線的簡單性質(zhì)的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)根底。通過對雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，對已經(jīng)學(xué)過的橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程會有更深的理解，對拋物線的學(xué)習(xí)就會順理成章,對圓錐曲線局部的解題的有很大幫助，所以這節(jié)課在本章中起著承前啟后的作用。雙曲線的定義與橢圓的定義相比難度增大，所以這節(jié)課在本章中的地位非常重要。三、教學(xué)診斷分析 學(xué)生在學(xué)習(xí)了橢圓后，利用類比發(fā)現(xiàn)法，學(xué)習(xí)本節(jié)教材中的以下知識點(diǎn)是比擬容易的： 1、用求曲線方程的一般方法確定求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的根本步驟；2、應(yīng)用雙曲線定義求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；3、雙曲線方程的化簡。在本節(jié)教材中，較難理解的地方主要集中在雙曲線的定義局部：1、為什么在拉鏈的拉合過

12、程中拉鏈頭到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值為定值。2、為什么在定義中對差這個(gè)常數(shù)要加絕對值 ；3、為什么2a2c呢?四、教學(xué)特點(diǎn)和預(yù)期效果分析 1、通過實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生主動(dòng)參與、積極體驗(yàn) 。教材中雖然有拉鏈，有雙曲線的圖像, 但那是靜態(tài)的，為什么在拉鏈的拉合過程中拉鏈頭到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值為定值,學(xué)生對本質(zhì)并沒有一個(gè)直觀的理解; 本人用幾何畫板或動(dòng)畫去做雙曲線，不如直接實(shí)驗(yàn)得心應(yīng)手，經(jīng)過屢次考慮決定用拉鏈畫出雙曲線的圖像，變抽象為直觀。1通過實(shí)驗(yàn)中的屢次演示，以小夾子作為參照物，讓學(xué)生清楚的看到在拉鏈的拉合中拉鏈頭M到F1的距離與到F2的距離差始終是定值，并且這個(gè)定值隨著拉鏈固定點(diǎn)的調(diào)換，可正

13、可負(fù)，互為相反數(shù)。2把拉鏈頭看作動(dòng)點(diǎn)M,先使M到F1的距離比M到F2的距離遠(yuǎn)，即|MF1|-|MF2|=2a(a0);將粉筆放在拉鏈頭處,隨著拉鏈的開合做出中垂線右側(cè)一條曲線。調(diào)換兩拉鏈的固定點(diǎn)，這時(shí)拉鏈頭M到F1的距離比M到F2的距離短，即|MF1|-|MF2|=-2a(a0)，將粉筆放在拉鏈頭處,隨著拉鏈的合開畫出中垂線的左側(cè)的一條曲線。這兩條曲線叫雙曲線,其中的一條叫雙曲線的一支. 這兩支曲線，即雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)M 滿足的條件是 2a0。對定義中絕對值的理解就非常直觀了。3研究2a和2c的關(guān)系.在實(shí)驗(yàn)的過程中，能用拉鏈畫出雙曲線，實(shí)際上是需要條件的。在畫圖之前，我已經(jīng)將兩定點(diǎn)的距離以及差的

14、絕對值的大小關(guān)系定好了，即2a2c，以保證不僅能畫出雙曲線，而且使畫出的雙曲線比擬美觀。結(jié)合圖形，與橢圓類比設(shè)問：在橢圓里，在雙曲線里,到兩個(gè)定點(diǎn)的距離差2a與兩定點(diǎn)的距離之間是否也有大小關(guān)系呢? 在雙曲線上任取一點(diǎn)M,它與構(gòu)成了三角形, |MF1|與|MF2|的差也就是三角形兩邊的差,三角形兩邊的差小于第三邊，2a2c.(假設(shè)點(diǎn)剛好是雙曲線與所在直線的焦點(diǎn),同學(xué)們?nèi)匀缓苋菀椎玫?a2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)沒有軌跡.2、以類比發(fā)現(xiàn)思維作為教學(xué)的主線 (1) 雙曲線的定義與橢圓定義類比, (2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程類比(3)雙曲線和橢圓中,2a與2c的意義及大小關(guān)系的類比(4)焦點(diǎn)在x軸上的方程與焦點(diǎn)在y軸上的方程類比。3、 結(jié)合投影儀等形式，加大一堂課的信息容量，提高教學(xué)的直觀性和趣味性，提高課堂效益。4、教師創(chuàng)設(shè)和諧、愉悅的環(huán)境進(jìn)行引導(dǎo)，用激發(fā)興趣、自主探究的講解討論相結(jié)合，使學(xué)生始終處于問題探索研究狀態(tài)之中，促進(jìn)學(xué)生說、想、做，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，大膽分析問題和解決問題.進(jìn)行主動(dòng)探究學(xué)習(xí)，形成師生互動(dòng)的教學(xué)氣氛。 老師捕捉住學(xué)生發(fā)言中的閃光點(diǎn)和思維的火花，對學(xué)生的積極表現(xiàn)給予鼓勵(lì)和肯定。預(yù)期教學(xué)實(shí)效：1、學(xué)生對雙曲線的定義中的關(guān)鍵詞：差，絕對值，2a2c有非常清晰的理解，對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其標(biāo)準(zhǔn)方程中a