高等數(shù)學(xué)上版第三章第一節(jié)

1、第三章中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三節(jié))推廣微分中值定理 與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、羅爾( Rolle )定理第一節(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章 費(fèi)馬(fermat)引理一、羅爾( Rolle )定理且 存在證: 設(shè)則費(fèi)馬 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證畢羅爾（ Rolle ）定理滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b )使證:故在 a , b 上取得最大值 M 和

2、最小值 m .若 M = m , 則因此在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè) 則至少存在一點(diǎn)使注意:1) 定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,則由費(fèi)馬引理得 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 使2) 定理?xiàng)l件只是充分的.本定理可推廣為在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)證明提示: 設(shè)證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1. 證明方程有且僅有一個小于1 的正實(shí)根 .證: 1) 存在性 .則在 0

3、, 1 連續(xù) ,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使思路: 利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,在 a , b 上連續(xù) ,在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立 .拉氏 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證畢拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論:若函數(shù)在區(qū)間 I 上滿足則在 I

4、上必為常數(shù).證: 在 I 上任取兩點(diǎn)日中值公式 , 得由 的任意性知, 在 I 上為常數(shù) .令則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 證明等式證: 設(shè)由推論可知 (常數(shù)) 令 x = 0 , 得又故所證等式在定義域 上成立.自證:經(jīng)驗(yàn):欲證時只需證在 I 上機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 證明不等式證: 設(shè)中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)使?jié)M足 :要證柯西 目錄 上頁 下頁

5、返回 結(jié)束 證: 作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知, 至少存在一點(diǎn)思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?兩個 不一定相同錯!機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上面兩式相比即得結(jié)論. 柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4. 設(shè)至少存在一點(diǎn)使證: 結(jié)論可變形為設(shè)則在 0, 1 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使即證明機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例5. 試證至少存在一點(diǎn)使證: 法1 用柯西中值定理 .則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 令因此 即分析:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返

6、回 結(jié)束 例5. 試證至少存在一點(diǎn)使法2 令則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,使因此存在機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2. 微分中值定理的應(yīng)用(1) 證明恒等式(2) 證明不等式(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵: 利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費(fèi)馬引理機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)1. 填空題1) 函數(shù)在區(qū)間 1, 2 上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件, 則中值2) 設(shè)有個根 , 它們分別在區(qū)間機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上.方程2. 設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn)使提示:由結(jié)

7、論可知, 只需證即驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 若可導(dǎo), 試證在其兩個零點(diǎn)間一定有的零點(diǎn). 提示:設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 思考: 在即當(dāng)時問是否可由此得出 不能 !因?yàn)槭且蕾囉?x 的一個特殊的函數(shù).因此由上式得表示 x 從右側(cè)以任意方式趨于 0 .應(yīng)用拉格朗日中值定理得上對函數(shù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)P134 7, 8 , 提示:題15.題14. 考慮第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 費(fèi)馬(1601 1665)法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.

8、他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn). 他特別愛好數(shù)論, 他提出的費(fèi)馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來的.拉格朗日 (1736 1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來, 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學(xué) 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.柯西(1789 1857)法國數(shù)學(xué)家, 他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫的分析教程, 無窮小分析概論, 微積分在幾何上的應(yīng)用 等,有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠(yuǎn) .對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析奠基人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方