子博弈精煉納什均衡 貝葉斯法則 信號(hào)博弈

1、 . . . . 9/9 一：子博弈精煉納什均衡 在給出子博弈精煉Nash均衡的正式定義之前，我們需要先介紹“子博弈這個(gè)概念。子博弈subgame：由一個(gè)單結(jié)信息集X開始的與所有該決策結(jié)的后續(xù)結(jié)包括終點(diǎn)結(jié)組成的，能夠自成一個(gè)博弈的原博弈的一局部。即給定“歷史，每一個(gè)行動(dòng)選擇開始至博弈完畢構(gòu)成了的一個(gè)博弈，稱為原動(dòng)態(tài)博弈的一個(gè)“子博弈。子博弈可以作為一個(gè)獨(dú)立的博弈進(jìn)展分析，并且與原博弈具有一樣的信息結(jié)構(gòu)。為了表達(dá)方便，一般用表示博弈樹中開始于決策結(jié)的子博弈。 譬如圖3.5，該博弈存在3個(gè)子博弈：除了原博弈自己以外，還存在兩個(gè)子博弈圖3.6a子博弈和圖3.6b子博弈。 在靜態(tài)博弈分析時(shí)，我們所說的

2、戰(zhàn)略是指參與人聲明他將做出何種選擇，而他們往往也是按照聲明做出實(shí)際選擇的；在動(dòng)態(tài)博弈中，戰(zhàn)略盡管仍然具有這種含義，但博弈在行動(dòng)選擇上參與人具有選擇行動(dòng)的先后順序情況下，參與人有了一種額外的選擇事后機(jī)會(huì)主義，后動(dòng)的局中人完全可以根據(jù)博弈進(jìn)展到此時(shí)對局中人最為有利的方式選擇行動(dòng)，而放棄事前所聲明的戰(zhàn)略所規(guī)定的行動(dòng)選擇選擇其行動(dòng)。這意味著，在動(dòng)態(tài)博弈中，即使參與人人按事前所聲明的戰(zhàn)略組合構(gòu)成一個(gè)納什均衡，而這些均衡戰(zhàn)略又規(guī)定了各個(gè)參與人在其所有信息集上的行動(dòng)選擇，這些行動(dòng)選擇也可能并非參與人在對應(yīng)信息集上的最優(yōu)行動(dòng)選擇。而當(dāng)博弈實(shí)際進(jìn)展到那些由納什均衡戰(zhàn)略規(guī)定的行動(dòng)并非最優(yōu)行動(dòng)選擇的信息集時(shí)，按照理

3、性人假設(shè)，可以想象參與人屆時(shí)并不會(huì)按納什均衡戰(zhàn)略所規(guī)定的方式去選擇行動(dòng)，而是機(jī)會(huì)主義地選擇最優(yōu)的行動(dòng)。這樣，具有這種特點(diǎn)的納什均衡就是不可信的，即不能作為模型的預(yù)測結(jié)果，按照“精煉納什均衡的思想，應(yīng)當(dāng)將其消掉。定義3.1：子博弈精煉納什均衡SPNE： 擴(kuò)展式博弈的策略組合S*=(S1*,Si*,Sn*)是一個(gè)子博弈精煉納什均衡當(dāng)且僅當(dāng)：如果它是原博弈的納什均衡；它在每一個(gè)子博弈上也都構(gòu)成納什均衡。如果一個(gè)完美信息的動(dòng)態(tài)博弈中，各博弈方的策略構(gòu)成的一個(gè)策略組合滿足：在整個(gè)動(dòng)態(tài)博弈與它的所有子博弈中都構(gòu)成納什均衡，那么這個(gè)策略組合稱為該動(dòng)態(tài)博弈的一個(gè)“子博弈完美納什均衡。這也意味著原博弈的Nash

4、均衡并不一定是子博弈精煉Nash均衡，除非它還對所有子博弈構(gòu)成Nash均衡。例如前文的煤電博弈，提價(jià)，承受和不提價(jià)，承受均為納什均衡，但后者并未滿足在整個(gè)動(dòng)態(tài)博弈與它的所有子博弈中都構(gòu)成納什均衡這一要件，因而理性的煤炭企業(yè)一定會(huì)選擇提價(jià)。博弈:一個(gè)擴(kuò)展式表示博弈的子博弈G是由一個(gè)單結(jié)信息集x開始的與所有該決策結(jié)的后續(xù)結(jié)(包括終點(diǎn)結(jié))組成的能自成一個(gè)博弈的原博弈的一局部。對于擴(kuò)展式博弈的策略組合S*=(S1*,Si*,Sn*) ,如果它是原博弈的納什均衡;它在每一個(gè)子博弈上也都構(gòu)成納什均衡,那么它是一個(gè)子博弈精煉納什均衡。 HYPERLINK :/baike.baidu /view/18930.

5、htm t :/baike.baidu /_blank 博弈論專家常常使用“序貫理性(Sequential rationality)：指不論過去發(fā)生了什么，參與人應(yīng)該在博弈的每個(gè)時(shí)點(diǎn)上最優(yōu)化自己的策略。子博弈精煉納什均衡所要求的正是參與人應(yīng)該是序慣理性的。對于有限完美信息博弈， HYPERLINK :/baike.baidu /view/1370329.htm t :/baike.baidu /_blank 逆向歸納法是求解子博弈精煉納什均衡的最簡便的方法。因?yàn)橛邢尥昝佬畔⒉┺牡拿恳粋€(gè)決策結(jié)都開始一個(gè)子博弈。求解方法：最后一個(gè)結(jié)點(diǎn)上的子博弈納什均衡倒數(shù)第二個(gè)納什均衡 初始結(jié)點(diǎn)上的子博弈納什均衡

6、。上圖摘自維迎的博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)P 7在此圖中，我們可以看出博弈論大概分為四類，每種類別都有固定的納什均衡。這道題中所問的“如何分辨子博弈，是求解子博弈精煉納什均衡的根底。而“貝葉斯法那么是求解精煉貝葉斯均衡的根底。所以，如果擴(kuò)展一下是屬于如何求解完全信息動(dòng)態(tài)博弈的子博弈精煉納什均衡，以與如何求解不完全信息動(dòng)態(tài)博弈的精煉貝葉斯納什均衡。在下面分開討論。一、完全信息動(dòng)態(tài)的子博弈精煉納什均衡完全信息動(dòng)態(tài)一般用擴(kuò)展式表述。子博弈精煉納什均衡要求1它在原博弈上是納什均衡2它在每一個(gè)子博弈上都是納什均衡。所以，如何分辨一個(gè)擴(kuò)展式有幾個(gè)子博弈，關(guān)鍵在于看一個(gè)擴(kuò)展式表述的博弈中有幾個(gè)單節(jié)信息集。同時(shí)，子博

7、弈不能切割原博弈的信息集。通過下面幾個(gè)圖來解釋：圖 1在此博弈中，有三個(gè)參與者，分別是A、N自然、B。共有七個(gè)決策點(diǎn)，A有一個(gè)。N有兩個(gè)，B有四個(gè)。這七個(gè)決策點(diǎn)分割成七個(gè)信息集，每個(gè)信息集都只包括一個(gè)決策點(diǎn)。表示，所有參與者在參與時(shí)準(zhǔn)確知道自己處于哪個(gè)決策結(jié)。子博弈由每個(gè)決策結(jié)與其后續(xù)結(jié)構(gòu)成，所以在圖一中，共有七個(gè)子博弈。注意：任何博弈本身成為其自身的一個(gè)子博弈。圖 2圖2與圖1一樣，也有三個(gè)參與者，A、N自然、B。不同的是，B在選擇時(shí)并不知道N的選擇，也就是說B知道A選擇了開發(fā)或者不開發(fā)，但是不知道N選擇了大還是小。因?yàn)锽不知道自己處在N選擇了大還是小的決策結(jié)上，用虛線表示。此時(shí)，B有兩個(gè)信

8、息集，但是每個(gè)信息集有兩個(gè)決策點(diǎn)?？偨Y(jié)來說，在圖2中，A有一個(gè)信息集，只包含一個(gè)決策結(jié)；N有兩個(gè)信息集，各包含一個(gè)決策結(jié)；B有兩個(gè)信息集，各包含兩個(gè)決策結(jié)。所以，圖2共有三個(gè)單節(jié)信息集，那么也就可以判斷圖2有三個(gè)子博弈。圖 3在同樣三個(gè)參與者的圖中，圖3代表A決策時(shí)不知道N決策的結(jié)果；B知道自然的選擇，但是不知道A的選擇。在圖3中，根據(jù)“子博弈不能切割原博弈信息集的規(guī)那么，圖3只有一個(gè)子博弈就是原博弈本身。圖3的博弈還可以用另外的方式來表達(dá)，可能更容易理解。圖 4圖4和圖3代表的完全是同一個(gè)博弈。A決策時(shí)不知道N決策的結(jié)果；B知道自然的選擇，但是不知道A的選擇。在這個(gè)圖中，根據(jù)之前的“有幾個(gè)單

9、節(jié)信息集就有幾個(gè)子博弈的判斷方法，可以知道只有一個(gè)子博弈就是原博弈本身?；蛘哒f，只有一個(gè)子博弈，即N有一個(gè)信息集只包含一個(gè)決策點(diǎn)。二、貝葉斯法那么的理解如何理解貝葉斯法那么在博弈論中的應(yīng)用，我覺得維迎博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)中舉的一個(gè)例子很好，我先把這局部截圖放在下面。摘自維迎博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué) P182P183三：信號(hào)博弈與貝葉斯法那么的運(yùn)用信號(hào)博弈Signaling game，是一種由一個(gè)發(fā)送者S和另一個(gè)接收者R所組成的 HYPERLINK ://wiki/%E5%8A%A8%E6%80%81%E5%8D%9A%E5%BC%88 o 動(dòng)態(tài)博弈 動(dòng)態(tài)博弈。一開始這個(gè)

10、發(fā)送者有一個(gè)給定的類型t，接著發(fā)送者會(huì)觀察這個(gè)沒有其他人好比說接收者知道的類型，去從訊息堆 M = m1, m2, m3,., mj 中選擇送出一個(gè)訊息m，接著接收者會(huì)觀察這個(gè)訊息后從他可行的動(dòng)作中 A = a1, a2, a3, ak 選一個(gè)作為反響動(dòng)作a，這里要注意的是接收者除了訊息之外其他都無法得知如發(fā)送者的類型t，接著根據(jù)t, m, a的組合來決定雙方會(huì)獲得的報(bào)酬或回報(bào)。用貝葉斯法那么求解精煉貝葉斯納什均衡最典型的例子應(yīng)該是用在信號(hào)博弈上?？梢詤⒖剂_云峰主編的博弈論教程，第十三章1、2小節(jié)。我覺得這本書相對講的清楚些。這是之前上課用到的一個(gè)例子，把它放在下面。首先，在這個(gè)博弈中，有三個(gè)

11、參與者，分別是N、S、R。Sender有兩種類型，他是哪種類型是其私有信息。也就是說，receiver不知道sender是哪種類型，知道的是1/2的可能性是t1,另外1/2的可能性是t2，同時(shí)Receiver可以根據(jù)Sender的行動(dòng)來修正自己的判斷。Sender有兩個(gè)行動(dòng)的可能性，L或者R；Receiver有兩個(gè)行動(dòng)的可能性，u或者d。1.假設(shè)無論是Sender t1，還是Sender t2，都會(huì)選擇L。這一假設(shè)條件可以表示為 pL t1= pLt2= 1。又知Sender 1/2的可能性是t1,另外1/2的可能性是t2，即p t1= pt2= 0.5 那么這個(gè)時(shí)候，根據(jù)貝葉斯法那么。他選擇

12、U，受益是1/2*3+1/2*4=3.5。如果他選擇d，收益是1/2*0+1/2*1=0.5。所以，在Sender選L的情況下，Receiver會(huì)選u。在Receiver選U的情況下，Sender t1 選L的收益是1，Sender t2選L的收益是2.以上結(jié)論，建立在“無論是Sender t1，還是Sender t2，都會(huì)選擇L，這一假設(shè)上，那么要使上述結(jié)論成立，首先這個(gè)假設(shè)要成立。如何讓這個(gè)假設(shè)成立呢？就需要保證，如果Receiver選擇u，那么無論對哪種類型的Sender來說，選L一定比選R好。因此，當(dāng)Sender選擇R時(shí)，Receiver做出的反響使得任何類型Sender得到的收益，都

13、小于其選擇L得到的收益。當(dāng)Sender選擇R時(shí)，只有Receiver選擇d 才能保證任何類型的Sender收益都小于其選擇L的收益。所以，必須保證當(dāng)Sender選擇R時(shí)，Receiver一定選擇d。要想保證Receiver一定選擇d呢，那么一定要使Sender選R時(shí)，Receiver選u的預(yù)期收益小于其選d的預(yù)期收益。即q+1-q*0 0*q + 2(1- q), 即q 2/3.所以，這種情況下的精煉貝葉斯均衡是 無論是Sender t1，還是Sender t2，都會(huì)選擇L；當(dāng)Sender選擇L時(shí)，Receiver 選u，當(dāng)Sender選R時(shí)，Receiver選d；p=0.5；q 2/32.

14、假設(shè)無論是Sender t1，還是Sender t2，都會(huì)選擇R這一假設(shè)條件可以表示為 pR t1= pRt2= 1。又知Sender 1/2的可能性是 t1,另外1/2的可能性是t2，即p t1= pt2= 0.5 那么這個(gè)時(shí)候，根據(jù)貝葉斯法那么。他選擇u，受益是1/2*1+1/2*0=0.5。如果他選擇d，收益是1/2*0+1/2*2=1。所以，在sender選L的情況下，Receiver會(huì)選d。在Receiver選d 的情況下，sender t1 選R的收益是0，sender t2選R的收益是1。如果Sender選擇L，那么Receiver選擇u總是優(yōu)于其選擇d，所以Receiver一定

15、會(huì)選擇u。而當(dāng)Receiver選擇u是，sender t1 收益是1，sender t2的收益是2。所以這種情況，Sender選L總是優(yōu)于其選R。與假設(shè)相悖，不存在均衡。3.如果是Sender t1，會(huì)選擇L：如果是Sender t2，會(huì)選擇R。在這種情況下，根據(jù)貝葉斯法那么，p=1 q=0如果Receiver發(fā)現(xiàn)Sender的選擇是L，就會(huì)知道是Sender t1，如果發(fā)現(xiàn)選擇的是R就能判斷出是R在Sender t1選擇L時(shí)，Receiver會(huì)選擇u，Sender獲得收益1；當(dāng)Sender t2選擇R時(shí)，Receiver會(huì)選擇d，Sender獲得收益1。需要檢驗(yàn)，當(dāng)確定Receiver選擇u

16、、d時(shí)， Sender做出與假設(shè)不一樣的選擇是否會(huì)得到更高的收益。當(dāng)Receiver會(huì)選擇u，Sender t1選擇R收益少于選L可以；當(dāng)Receiver會(huì)選擇d，Sender t2選擇L收益大于R。因此，Sender t2會(huì)選擇L，與假設(shè)相悖。所以，這種均衡不存在4.如果是Sender t1，會(huì)選擇R：如果是Sender t2，會(huì)選擇L。在這種情況下，根據(jù)貝葉斯法那么，p=0 q=1在Sender t1選擇R時(shí)，Receiver會(huì)選擇u，Sender獲得收益2；當(dāng)Sender t2選擇L時(shí)，Receiver會(huì)選擇u，Sender獲得收益2。再次檢驗(yàn)，當(dāng)確定Receiver選擇uL，uR時(shí)，

17、兩類型Sender做出與假設(shè)不一樣的選擇是否會(huì)得到更高的收益。當(dāng)Receiver會(huì)選擇u，Sender t1選擇L收益少于選R可以；當(dāng)Receiver會(huì)選擇u，Sender t2選擇R收益小于L可以。所以，這種均衡存在： Rt1, Lt2，uL, uR，p=0， q=1三：貼現(xiàn)因子與其在重復(fù)博弈中的運(yùn)用一般來說，當(dāng) HYPERLINK :/baike.baidu /view/142631.htm t :/baike.baidu /_blank 利率為r時(shí)，承諾T年之后支付R美元的現(xiàn)值是R美元/ (1+r)T。因此，即使沒有 HYPERLINK :/baike.baidu /view/4017.

18、htm t :/baike.baidu /_blank 通貨膨脹，將來1美元的價(jià)值也小于現(xiàn)在1美元的價(jià)值，必須按某一數(shù)額貼現(xiàn)，該數(shù)額取決于 HYPERLINK :/baike.baidu /view/142631.htm t :/baike.baidu /_blank 利率的上下和收到貨幣的時(shí)間長短。其中1/ (1+r)T被稱為未來T時(shí)期的貨幣的貼現(xiàn)因子(discount factor)。貼現(xiàn)因子(discount factor)，也稱 HYPERLINK :/baike.baidu /view/544078.htm t :/baike.baidu /_blank 折現(xiàn)系數(shù)、折現(xiàn)參數(shù)。所謂貼現(xiàn)

19、因子，就是將來的 HYPERLINK :/baike.baidu /view/9881.htm t :/baike.baidu /_blank 現(xiàn)金流量折算成現(xiàn)值的介于01之間的一個(gè)數(shù)。貼現(xiàn)因子在數(shù)值上可以理解為 HYPERLINK :/baike.baidu /view/93166.htm t :/baike.baidu /_blank 貼現(xiàn)率，就是1個(gè)份額經(jīng)過一段時(shí)間后所等同的現(xiàn)在份額。這個(gè)貼現(xiàn)因子不同于金融學(xué)或者財(cái)務(wù)學(xué)的 HYPERLINK :/baike.baidu /view/93166.htm t :/baike.baidu /_blank 貼現(xiàn)率之處在于，它是由參與人的“耐心程度

20、所決定的。“耐心實(shí)質(zhì)上是講參與人的心理和經(jīng)濟(jì)承受能力，不同的參與人在談判中的 HYPERLINK :/baike.baidu /view/4141513.htm t :/baike.baidu /_blank 心理承受能力可能各不一樣，心理承受能力強(qiáng)的可能最終會(huì)獲得更多的廉價(jià)；同樣，如果有比其他參與人更強(qiáng)的經(jīng)濟(jì)承受能力，也會(huì)占得更多的廉價(jià)。貼現(xiàn)因子=1/(1+r)T 01,r是利率。貼現(xiàn)值為1/(1+)T注：T表示T次方學(xué)者在 HYPERLINK :/baike.baidu /view/18930.htm t :/baike.baidu /_blank 博弈論對貼現(xiàn)因子的定義：貼現(xiàn)因子是討價(jià) HYPERLINK :/baike.baidu /view/2728374.htm t :/baike.baidu /_blank 還價(jià) HYPERLINK :/baike.baidu /view/150886.htm t :/baike.baidu /_blank 博弈