集合知識(shí)點(diǎn)及題型歸納總結(jié)含答案

1、集合知識(shí)點(diǎn)及題型歸納總結(jié)知識(shí)點(diǎn)精講一、集合的有關(guān)概念.集合的含義與表示某些指定對(duì)象的部分或全體構(gòu)成一個(gè)集合.構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象外，還可以是其他對(duì)象.集合元素的特征(1)確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個(gè)對(duì)象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素.(2)互異性：集合中任何兩個(gè)元素都是互不相同的，即相同元素在同一個(gè)集合中不能重復(fù)出現(xiàn).(3)無(wú)序性：集合與其組成元素的順序無(wú)關(guān).如 a,b,c a,c,b .集合的常用表示法集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法(韋恩圖、數(shù)軸)和區(qū)間法.常用數(shù)集的表示R 實(shí)數(shù)集 Q有理數(shù)集 Z 整數(shù)集 N自然數(shù)集 N或N 一正整數(shù)集 C

2、一復(fù)數(shù)集二、集合間的關(guān)系.元素與集合之間的關(guān)系元素與集合之間的關(guān)系包括屬于 (記作a A)和不屬于(記作a A)兩種.空集：不含有任何元素的集合，記作.集合與集合之間的關(guān)系 (1)包含關(guān)系.子集：如果對(duì)任意a A AB,則集合 A是集合B的子集，記為 A B或B A ,顯然A A 定： A.2)相等關(guān)系.對(duì)于兩個(gè)集合 A與B ,如果A B ,同時(shí)B A,那么集合 A與B相等，記作 A B .3)真子集關(guān)系.對(duì)于兩個(gè)集合 A與B ,若A B ,且存在b B ,但b A,則集合A是集合B的真子集，記作 A uBY A.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.三、集合的基本運(yùn)算集合的基本運(yùn)算包

3、括集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算，如表1 1所示.eI Ae|Ax | x I 且 xA由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，叫做A與B的交集，記作A B,即A B x|x AMx B .并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，叫做A與B的并集，記作A B,即A B x|x A或 x B.補(bǔ)集已知全集I ,集合A I ,由I中所有不屬于 A的元素組成的集合，叫做集合 A相對(duì)于全集I的補(bǔ)集，記作 e A ,即 0 A x | x I 且 x A四、集合運(yùn)算中常用的結(jié)論1.集合中的邏輯關(guān)系 (1)交集的運(yùn)算性質(zhì).ABB A, A B A, A (2)并集的運(yùn)算性質(zhì).ABBA, A A

4、B, B (3)補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì).煙 I A) A , eII , e I補(bǔ)充性質(zhì)：A B A A B(4)結(jié)合律與分配律.結(jié)合律：A(BC)(AB)分配律：A(BC)(AB)(5)反演律(德摩根定律).加(A B) ( I A) (?iB)即“交的補(bǔ)補(bǔ)的并”，“并的補(bǔ)彳* 2.由n(n N )個(gè)元素組成的集合B BA IA BA I(eiA)B A B 泗CA (B(A C) A (B潁A B)卜的交”.A的子集個(gè)數(shù)A, A A A, AI , A A A, A A.A , A (eA)I . A A ? B .C) (A B) C .C) (A B) (A C).(iA) (?B).1個(gè)，非

5、空真子集有 2n 2個(gè).A的子集有2n個(gè)，非空子集有2n 1個(gè)，真子集有2n.容斥原理Card (A B) Card (A) Card (B) Card (A B).題型歸納及思路提示題型1集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：確定性、無(wú)序性、互異性.b 一.例 1.1 設(shè) a, b R ,集合 1,a b, a 0, ，b ,則 b a ()aA. 1 B .1 C. 2 D,2b .解析：由題息知01,a b,a ,又a 0,故a b 0,得1,則集合1,0, a 0, 1,b ,可得aa 1,b 1,b a 2 ,故選 C。變式1 (2012新課標(biāo)理1)已知集合 A 1,2,3,4

6、,5 ,B (x, y)|x A, y A ,則B中所含元素的個(gè)數(shù)為().A. 3 B. 6 C. 8 D. 10變式2 (2013山東理2)已知集合 A 0,1,2 ,B x y|x A, y A中元素的個(gè)數(shù)為().A. 1 B. 3 C. 5 D. 9變式 3 若集合 x,xy,lg(xy) 0,|x|,y ,貝U x , y .題型2集合間的基本關(guān)系思路提示(1)判斷兩集合的關(guān)系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再?gòu)谋磉_(dá)式中尋找兩集合的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系，這體現(xiàn)了合情推理的思維方法.(2)已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素的

7、關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問題常利用數(shù)軸和韋恩圖輔助分析.一、集合關(guān)系中的判斷問題例 1.2 若 A x|x 4n 1,n Z ,B x|x 4n 3,n Z ,C x|x 8n 1,n Z，則 A, B , C之間的關(guān)系為().A. C 茴B A B. A u B CC. CuA B D. A B C解析：解法一：集合B中元素x 4n 3 4(n 1) 1,n Z,故集合A B,而集合C中元素x 4 2n 1,n Z ,故 C u A .解法二：列舉 A L , 7, 3,1,5,9,L , B L , 7, 3,1,5,9,L , C L , 7,1,9, .因此 C u A

8、 B,故選C.評(píng)注：解法一是數(shù)學(xué)中“求同比異”的思想，值得學(xué)習(xí)；解法二是列舉法，易于入手，也是做選擇題的常用方法.k 1k 1一變式 1 設(shè)集合 M x | x 一 一，k Z , M x|x 一 一，k Z ，則2 44 2M NM u NM Y NM N例 1.3 設(shè) A x|x2 8x 15 0 ,B x|ax 1 01（1）若a ,試判斷集合 A與集合B的關(guān)系；5（2）若B A,求實(shí)數(shù)a組成的集合C.1分析：（1）先求集合 A,再由a -求集合B,確定A與B的關(guān)系.5（2）解方程ax 1 0,建立a的關(guān)系式求a,從而確定集合 C .解析：（1）由x2 8x 15 0得x 3或x 5,所

9、以A 3,5 . TOC o 1-5 h z 411若a ,得一x 1 0,即x 5,所以B 5,故BuA. 55因?yàn)锳 3,5 ,又B A.當(dāng)B 時(shí)，則方程ax 1 0無(wú)解，則a 0；11111當(dāng)B 時(shí)，則a 0,由ax 1 0,倚x ,所以一3或一5,即a 或a a a a35故集合C0,1, 1 .3 5評(píng)注：（1）研究集合的子集問題時(shí)應(yīng)首先想到空集，因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?）含參數(shù)的一元一次方程 ax b解的確定：當(dāng)a 0時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解 x -；a當(dāng)a b 0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解，可為為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)a 0且b 0時(shí)，方程無(wú)解.變式1已知集合A x|x2 3x 10 0 ,集合

10、B x | p 1 x2p1,若B A,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.二、已知集合間的關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍例1.4 （2012大綱全國(guó)理2）已知集合A 1,3, .m,B 1,m , A B解析:A,變式1已知集合變式2已知集合變式3已知集合,1 B0或31或石1或 33或m 而且m0或3.故選B.x| 3x 6 ,Bx | x a, a若A B ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 1,1 ,B1 ,M，若P M1,1 DR ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是P ,則a的取值范圍是（. (, 1 1,)、集合關(guān)系中的子集個(gè)數(shù)問題例1.5已知集合A.2x|x 3x 10 0, x Z ,則集合A的子集個(gè)數(shù)為解析：集合 A x

11、 | x2 3x 10 0,x Z分析：本題應(yīng)首先確定集合 A中元素的個(gè)數(shù)，再求其子集的個(gè)數(shù)2, 1,0,1,2,3,4,5 ,共8個(gè)元素，則集合 A的子集的個(gè)數(shù)為28 256.2例 1.6 已知集合 A x|x 3x 2 0,x R ,BC的個(gè)數(shù)為（）A. 1 B . 2 C . 3 D . 4x|0 x 5,x N，滿足條件A C B的集合解析：由 A 1,2 ,B 1,2,3,4 且 A CB ,得集合C是集合1,2與集合3,4的任一子集的并集,即求集合3,4的子集的個(gè)數(shù)為22 4 ,故選D.變式1已知集合M滿足1,2 uM x|x 10,x N ,求集合M的個(gè)數(shù).題型3集合的運(yùn)算思路分

12、析凡是遇到集合的運(yùn)算(并、交、補(bǔ))問題，應(yīng)注意對(duì)集合元素屬性的理解，數(shù)軸和韋恩圖是集合交、并、 TOC o 1-5 h z 補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合運(yùn)算問題的常用思想一、集合元素屬性的理解例 1.7 已知集合 My| y x2 1,xR , Nx|yJ9x2，則 MN()A. x|1 x 3B . x|1 x 3 C .x|1x 3 D . x|1x4分析：在進(jìn)行集合運(yùn)算之前，首先要識(shí)別集合，即認(rèn)清集合中元素的屬性，判斷 M、N是數(shù)集還是點(diǎn)集， 是數(shù)集要化簡(jiǎn)集合，是點(diǎn)集要解方程組.在本題中，集合 M代表元素是因變量，故是函數(shù)的值域(數(shù)集)；集合N的代表元素是自變量，故是函數(shù)的定義域(

13、數(shù)集) 解析：M y| y x2 1,x R y|y 1 , N x|y49 x2x|9 x2 0 ，即N x| 3 x 3 ,所以 M N x|1 x 3 ,故選 C.評(píng)注：幾量遇到集合的運(yùn)算(交、并、補(bǔ))問題，應(yīng)注意對(duì)集合元素屬性的識(shí)別，如集合 y| y f(x),x A是函數(shù)的值域，是數(shù)集，求出值域可以使之簡(jiǎn)化； 集合(x, y)|y f (x),x A是點(diǎn)集，表示函數(shù)y f(x)22圖像上所有點(diǎn)的集合.再如集合M x|x y 1,x, y R ,可以理解為單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值集合y| 1 y 1 ,表示的是數(shù)集1,1; N (x, y) | x2 y 0,x,y R表示的是曲線x2

14、 y 0,即2拋的線y x 上所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，它表木的是點(diǎn)集，故有 M N .另如M (x, y) |x2 y2 4 ,N y | y x , 則 有 M N , 而易 錯(cuò) 為M N ( .2, 、.2),(亞、2)變式1集合P x Z |0 x 3 ,M2x R| x 9 ,則 P MA.1,2 B . 0,1,2 Cx|0 x 3 D . x|0 x 31變式 2 已 知集合 A x R|x 3| |x 4| 9 ,B y R| y 4x - 6,x 0,則集合xA B變式 3 設(shè)全集 I (x, y)|x, y R ,集合 M(x,y)|-3 1 , N (x,y)| y x ，那么x

15、 2(加)(I N)()A.B . (2,3) C . (2,3) D . (x,y)|y x 12變式 4 已知集合 A (x,y) |x mx y 2 0,x R , B (x, y)|x y 1 0,0 x ，若A B ,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.二、數(shù)軸在集合運(yùn)算中的應(yīng)用 TOC o 1-5 h z 例1.8設(shè)集合S x|x 2| 3 ,T x|a x a 8 ,S T R,則a的取值范圍是()A. ( 3, 1) B . 3, 1 C . ( 1,) D . ( 1,)分析：借助數(shù)軸表示集合 S和集合T ,根據(jù)集合的關(guān)系，求解參數(shù)的取值范圍.解析：因?yàn)镾 x1或x 5 ,T x|a x a

16、 8，集合S, T在數(shù)軸上的表示如圖1-1所示.因?yàn)閍 1S T R,所以，可得 3 a 1.故選A.a 8 54*a 15 a 8圖11變式 1 已知集合 A x R|x 2| 3 ,集合 B x R|(x m)(x 2) 0 ,且 A B ( 1,n),則 m , n 變式2已知全集U R ,集合A x| 2 x3 ,Bx|x1或x 4，那么集合A (aB)().A. x| 2 x 4B. x |x3或x 4C.x| 2x 1D. x| 1 x 3變式3已知集合Mx|- xx|x 3 ,則集合x|x 1A M N B . M N C . 6r(MN) D . 6r(MN)三、韋恩圖在集合運(yùn)

17、算中的應(yīng)用例1.9設(shè)U為全集，M, P是兩個(gè)非空集合，定義 M與P的差集M P x|x M且x P，則M (M P)()A P B.MP C.MP D . M分析：本題可利用題中所給定義 M P表示從集合 M中去掉屬于集合 P的元素解題.解析：當(dāng)M P時(shí)，根據(jù)題意利用韋恩圖解題，如圖1-2所示，M (M P) M P.當(dāng)M P時(shí)，M (M綜上，M (M P) MP .故選B.評(píng)注：凡是遇到抽象的集合運(yùn)算題嘗試?yán)庙f恩圖求解.本題也可用舉例法求解，比如M 2,4 ,P 1,3,5 ,根據(jù)定義得出所求集合為空集.故選B.變式 1 設(shè)全集 U M N 1,2,3,4,5 , M aN 2,4 ,則

18、NA.1,2,3 B1,3,5 C . 1,4,5 D . 2,3,4變式2某班級(jí)共有 喜愛足球的有30人，其中15人喜愛籃球, 人.8人喜愛足球，兩項(xiàng)都不喜愛的有8人，則喜愛籃球但不例1.10如圖1-3所示，I是全集，A, B,C是它的子集，則陰影部分所表示的集合是()|圖17A (A B) C B . (A eiB) C C . (A B) eiCD . (eiB A) C分析：本題考查對(duì)利用韋恩圖表述集合關(guān)系的理解.解析：圖1-3中的陰影部分為 A與C的公共部分，即 A C中去掉屬于B的那部分元素后剩余元素組成的集合，即(A C)(腕)(A iB) C,故選B.對(duì)于韋恩圖表述的集合應(yīng)做如

19、下理解：陰影部分涉及到誰(shuí)就交誰(shuí)，涉及不到誰(shuí)就交其補(bǔ)集.如圖 1-4所示分別表示：(a)A B C ;(b)A BeiC； (c)(W)( iB) C 或ei(A B) C .(a)(b)(c)變式1已知M , N為集合i的非空子集，且 M ,N不相等，若N(eiM )，則M N ()A. M B . N C . i D . 四、以集合為載體的創(chuàng)新題 例1.11設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于k A,如果k 1 A且k 1 A,那么稱k是A的一個(gè)孤立元，給定S 1,2,3,4,5,6,7,8 ,由S的3個(gè)元素組成的所有集合中，不含孤立元的集合共有 個(gè).解析：由孤立元的定義，若t不是A的孤立元，t

20、應(yīng)滿足t 1 A或t 1 A,即集合中元素連續(xù)，故滿足S的3個(gè)元素構(gòu)成的不含孤立元的集合分別為1,2,3、2,3,4、3,4,5、4,5,6、5,6,7和6,7,8 ,共6個(gè).評(píng)注：由S的3元素組成的集合中，含有一個(gè)孤立元的集合有30個(gè)，含有3個(gè)孤立元的集合有 20個(gè).變式1設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果 a,b S ,有ab S ,則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，若T,V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集，T V Z,且 a,b,c T,有abc T, x, y, z V ,有xyz V ,則下列結(jié)論恒成立的是(A.T,V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉B. T,V中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉C.T,V中有且只

21、有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉D. T,V中每一個(gè)關(guān)于乘法是封閉變式2已知集合Aa1,a2,L ,ak (k2),其中aiZ(i 1,2,3,L ,k),由A中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合 S (a,b) |a A,b A,a b A , T (a,b) |a A,b A,a b A ,其中(a,b)是有序數(shù)對(duì),集合S和T中的元素個(gè)數(shù)分別為m和n.若對(duì)于任意的a A，總有a A,則稱集合 A具有性質(zhì)P.(1)檢驗(yàn)集合 0,1,2,3與 1,2,3是否具有性質(zhì)P,并對(duì)具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合 S和T ;(2)對(duì)任何具有性質(zhì) P的集合A,證明:變式3 (2012江蘇23)變式3設(shè)集合Pn 的個(gè)數(shù).A P

22、n ； 若x A,則2x A；求f(4);(2)求f (n)的解析式(用n表示).k(k 1) n .2,- _ . . . * _ 1,2,3,L ,n ,n N ,記f(n)為同時(shí)滿足下列條件的集合若 x ePnA ,則 2x en A.最有效訓(xùn)練題:.設(shè)集合Mx|x2 x 6 0 ,N x|1 x 3 ,則 M N 等于(A 2,3 B . 1,2 C . 2,3) D . 1,2).若 A x| y x2 ,B y |y x2 1,則 A BA. (1,) B . 1,2 C . 0,) D(0,)3.設(shè)全集U1,2,3,4,5,6,7,8 .集合 A 2,4,5,7 , B1,4,7

23、,8 ,那么如圖1-5所示的陰影部分表示的集合是()A.3,6 B2,4,6 C . 2,6 D . 3,4,6.已知全集I R,集合M( )A 2 B . a|a 2x|x| 2,x R ,P x|x a ,并且M ueiP ,那么a的取值范圍是a|a 2 D . a|a 2.設(shè)集合 A x|x a| 1,x R , Bx|1 x 5,x R .若 A BA. a|0 a 6 B . a |a 2或a 4 Ca |a 0或 a 6 D,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|2 a 4.設(shè)全集U(x,y)|x R,y R , A(x,y)|2x y m 0 ,B(x,y)| x y n 0，那么P(2,3)

24、 A (ejB)的充要條件是()m 1且 n5 D . m 1且 n53 ,則實(shí)數(shù)a _一A. m1且 n5 B.m 1 且 n5 C.設(shè)集合 A 1,3 ,B a 2,a2 2 ,A B1.已知集合 A滿足條件：當(dāng)p A時(shí)，總有 A ( p 0且p 1).已知2 A,則集合 A中所P 1 TOC o 1-5 h z 有元素的積等于.已知集合 A, B 滿足 A x| 2 x 7 , B x|n 1 x 2m 1 ,且 B.若(a A) B ,則m的取值范圍是.已知集合Ax|x2 4mx2m 60,x R.若A (,0) ，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是已知集合 Mm| m x2y2,x, yZ ,若對(duì)

25、任意的 m1, m2M ,求證：m1m2 M .已知集合1,2,3, L ,2n (n N ),對(duì)于A中的一個(gè)子集S ,若有他不大于n的正整數(shù)數(shù)m ,使得對(duì)S 中的任典一對(duì)元素g,s2,都有| Si S21 m ,則稱S具有性質(zhì)P .(1)當(dāng)n 10時(shí)，試判斷集合 B x A|x 9和C x A|x 3k 1,k N 是否具有性質(zhì)P ?請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若集合S具有性質(zhì)P,那么集合T 2n 1 x|x S是否一定具有性質(zhì) P ?請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)例1.1變式1解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。BeAje-ye AitA = LZ3A5),x = 2y =

26、 l：x = 3(y =鴛= 5.產(chǎn)=LZJ.B =短2工值）.。,2工（4工）,電2工14月）5/）2：）53%（5惠Q,b中所含元素的個(gè)數(shù)為10.故選D例1.1變式2解析： 逐 個(gè)列舉 可得，jr = 0,y = 02 時(shí)，五一丫 = 口 一L-29=Ly =。,1之 時(shí)，工一產(chǎn)=L0 -力工=2/ =也12時(shí)，工一y二21。根據(jù)集合中元素的互異性可知集合B中元素為-2,-1,0,1,2,共5個(gè)，故選C例1.1變式3解析：依題意到 0得獷手。，故1式到）=口即xy = i ,因此qL。=他.團(tuán)加若某=I磯則r苴口又土于故芳 O.y = 1因此x=y=1與題意不符；若審=制則I ；或8二二,

27、顯然工=1且V = 1與題意不符，故工= = 1 ,此時(shí)滿足題意。例1.2變式1解析集合M中的元素g=三+：=三之,2,分子為奇數(shù)；集合 N中的元素工=牛承己/，分子為整 244-1數(shù)，則M N,故選B.例1.3變式1解析 由兒=制爐3 3萬(wàn) 1。空0,得力=也| - 2軍工三5,若日口則（1）當(dāng)B=0,即P+ 2P-i時(shí)，解得P 2（2）當(dāng)BH時(shí)，如圖1-9所示，由后口幺，得-2工P +1 2P-1 5,得2 MpM 3綜上所述，實(shí)數(shù)P的取值范圍是（一步,3-2p+12p-15圖1-9評(píng)注：由E=且，勿忘B=0 （空集是任何集合的子集）例1.4變式1解析 由AgE,如圖1-10所不得u1之6

28、,故實(shí)數(shù)o的取值范圍是6+qpJ圖1-10評(píng)注端點(diǎn)值的判斷通常是初學(xué)者的難題，我們可用假設(shè)法幫助判斷，即假設(shè)參數(shù)取端點(diǎn)后，與已知吻合，假設(shè)成立；若與已知不吻合，則假設(shè)不成立。例1.4變式2解析 如圖1-11所示，A為（一鼻1, B為+如），要使立=立，只需優(yōu)生t ,故實(shí)數(shù)區(qū)的取值范圍是一吟A b * a1圖1-11例1.4變式3解析由PuM=P,得M = P,則國(guó)巨-14,故選C.例1.6變式1解析由三沏*41逐知，集合M是集合口段567上g,10G的任一非空子集與集合1L2的并集，所以集合 M的個(gè)數(shù)為28-1=255 評(píng)注求有限集的子集個(gè)數(shù)問題，有以下結(jié)論：結(jié)論1 :含有n個(gè)元素的集合A =

29、總?cè)绲牡淖蛹瘋€(gè)數(shù)為Z71,真子集個(gè)數(shù)為2n-1,非空子集個(gè)數(shù)為2n-1,非空真子集個(gè)數(shù)為2n-2。2）：畤結(jié)論2設(shè)叫nw ,mTi rB =則有，滿足1A工%也門一品的集合A的個(gè)數(shù)是產(chǎn)一世滿足血立，石口口匚展4的集合A的個(gè)數(shù)是2-m-1滿足血立,口小n江.尺匚的集合A的個(gè)數(shù)是 尸-7TM滿足值型的.義,加口型/J的集合A的個(gè)數(shù)是產(chǎn)F-2 例1.7變式1分析 本題考查集合的概念與運(yùn)算。解析 先化簡(jiǎn)再求交集，由已知得？二8工口三M二江|-3=工工3）, 故PnM = dL2nH|-：3vH3 = OLZ,故選 B評(píng)注：本題若忽視集合 P中元素的屬性，易誤將集合P等同于集合可口x3例1.7變式2解析

30、|x + 3| + |x-4| 4時(shí)嘉+ 3 +第一44歟艮1 4X：玄5, 綜上所述，：-_ _ _又因?yàn)槎? 2 氏* E（0.+x）,由基本不等式得 y之2必二 呂=2,當(dāng)工二:時(shí)取=所以3 =加加三一2,故4。8 =也|一2工工三5例1.7變式3解析 解法一：M表示直線y=x+1上除去點(diǎn)（2,3）的部分，&財(cái)表示點(diǎn)（2,3）和除去直線y=x+1的部分， 0芬表示直線y=x+1上的點(diǎn)集，所以右敵）門，正）表示的點(diǎn)集中僅有點(diǎn)（2,3）,即（2,3）。解法二：y1）nfGMI=GaJuN） = （2j 3）,故選 b例1.7變式4分析本題的幾何背景是：拋物線 =爐+ 皿+2與線段y =

31、x + L0 x2）有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 面的取值 范圍。解析解法一：?jiǎn)栴}等價(jià)于方程組P:爐工* *工在0,2上有解，即r+071-1%+ 1 =。在0,2上有 一胃十l解，令汽出=式。-（幃-l）x + 1,則由1（0）=知，拋物線V = f（#）過(guò)點(diǎn)（0,1）,所以拋物線T=f(#)在0,2上與x軸有交點(diǎn)等價(jià)于 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark14 o Current Document f(2) = 2J + 2(m- 1)+1 0r i丁產(chǎn) 與 o或 0 0由得 , 由得 32所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(一則一 1解法二：同解法一，問題等價(jià)于方程上 +- i

32、= 0在0,2上有解，故可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題。工”斗(加一 l)j + 1二。等價(jià)轉(zhuǎn)化為(1 一 二爐+ i,當(dāng)工=0時(shí)，方程不成立；當(dāng)工工。時(shí)，方程轉(zhuǎn)化為(1-E)=；當(dāng)工巨(0.Z時(shí)，函數(shù)八封士子二二4: W 2+8),即當(dāng)(1 -劉)w2, + m)時(shí)原方程有解，由l-mNZnm生一1,即所求實(shí)數(shù)的取值范圍為 (-8,-11例1.8變式1解析 先求出集合A,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解。因?yàn)?A n W-S x UH = x|(x - rn)(x- 2) 0 ,當(dāng)m m 2 時(shí)，4 口舊=。不符合題意，所以 m 2 ,即方=工甘1常 2,又A n B =也-1 H ，所以m = -Ln =

33、 :l.例1.8變式2解析 CUS = r|-1 x 41 An B) = 工| -1 土北式 31,故選 D例1.8變式3解析 解法一：聞=支|-：3cH1邯=戈|北=一3,所以河口加二口|受1,得國(guó)恒 -3,(CfliiCnW0 =xlx 1才魏反演律得VO E/m=c式Mu奔).故選D例1.9變式1解析 由豺1fletjN = 2d可得集合N中不含元素2,4,由排除法可知選項(xiàng)B正確，故選B.例1.9變式2分析本題中的集合關(guān)系比較抽象，可以考慮使用韋恩圖求解。解析作出韋恩圖，如圖1-12所示，設(shè)所求為萬(wàn)人，則喜愛籃球又喜愛足球的有15工人，喜愛足球不喜愛籃球的有Q5 一力=x -人,故有工

34、+ (15 -H)+ (k - 7) + W=0,即jt=14.例1.10變式1解析如圖1-13所示，因?yàn)闆r所以田匚M,所以MuN=M,故選A例1.11變式1解析 由于TuV = E,故整數(shù)1 一定在T,V兩個(gè)集合中的一個(gè)中，不妨設(shè)I三尸，貝忖為S wT ,由于L0,5巨T , 則好人LeT,即她三T,從而T對(duì)乘法封閉；另一方面，當(dāng)T = 非負(fù)整婁, U=（負(fù)整數(shù)）時(shí)，T關(guān)于乘 法封閉，V關(guān)于乘法不封閉，故D不對(duì)，當(dāng)丁 = 奇數(shù),V二f偶數(shù)時(shí)，T,V顯然關(guān)于乘法都是封閉的，故 B,C不對(duì)，故選A例1.11變式2解析（1）因?yàn)?后5123-0出,12,3,故集合促,123不具有性質(zhì)P,集合-L用

35、具有f質(zhì)P,其相應(yīng)的集合 S 和 T 是5 =（-1.31（31）17 = （2 -1X（133.（2）首先，由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì) 破，叫共有H個(gè)，因?yàn)?任金，所以（如妣）史T U = L2-冷又 因?yàn)閞w金時(shí)，-n巨A ,所以當(dāng)（片,與）皂T時(shí)，（叼,嗎）三丁&7= 1.Z由/工力，從而集合T中元素的個(gè) 數(shù)最多為 =%三,即隹二型三.例1.11變式3解析（1）當(dāng)n=4時(shí)，匕=11230，滿足條件的集合A有14i1息41崔（工,北。所以汽4） = 4 .（2 ）解法一：任取偶數(shù)工后片，則必有奇數(shù)p巨/，使得 = p 2m用w W。若產(chǎn)WR ,則2P隹&和皂4,8/ W 4 .，即上正月o

36、q為偶數(shù)，x A o值為奇數(shù)；若？底盤，則2掃e乩知成寓8P巨乩， 即1巨A o可為奇數(shù)，立底Auq為偶數(shù)。所以，任意偶數(shù) 工w P=%21)丸是否屬于集合 A,完全由奇數(shù)P& E %)確定。設(shè)集合。忱是由集合耳中所有奇數(shù)組成的集合， 則f等于集合。干的子集個(gè)數(shù)，即汽?0: 2： ,硒奇數(shù) c (陶衽為偶顫解法二：易得/11= 2J(2) = 2 ,當(dāng)然2Z且甚為奇數(shù)時(shí)，集合5-中滿足條件的集合 A有f5 1)個(gè),對(duì)于集合耳，考慮元素n,因?yàn)閚為奇數(shù)，所以虔w4或除虎乂均可，故=2f(n- 1). TOC o 1-5 h z 肛VL鼻*1!即尸 = 2八1工5) = 2汽3代堵=2f(n -

37、1),疊乘得f(n) = 2H*1)=.當(dāng)作生2且n為偶數(shù)時(shí)，集合 與蟲中滿足條件的集合 A有/Xn - 1)個(gè)。對(duì)于集合 均，考慮元素n,因?yàn)閚為偶數(shù)，所以7l A; EAnEA即n是否屬于集合 A,完全由;確定。而集合 Et中，對(duì)于每一個(gè)滿足條件的集合A,元素言是否屬于集合 A均是確定的，故W+La汽靠)=f8 i為奇數(shù)，所以rw二汽靠-i)= 2=/ n-H-1綜上，汽n)=12-,力評(píng)注：數(shù)列的核心是遞推，先從特殊的幾個(gè)數(shù)(n=1,2,3,.)入手，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn) 代可 詞01-1)的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，再給予證明。遞推法是處理數(shù)列問題(乃至大學(xué)學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)等方面)的殺手銅”，請(qǐng)讀者深思體會(huì)，并能靈活運(yùn)用。最有效訓(xùn)練題11.D 解析 因?yàn)楹?(工|/+工-60=值|-3工；外網(wǎng)=閔1二丁二笄，所以AJnJV = (x|lz 2,故選 D.2.B解析 因?yàn)? = kb =網(wǎng)=詞=團(tuán)一2三或胃2田=頊9二爐十 二包21,所以AcB = 112,故選 b3.A解析陰影部分所表示的集合為 QQ1U丑)，而乩=2, 4,5, 7等，故ub) = 口,舒,故選A.4.C解析 因?yàn)镸 =刈刑-2H2XF=#|第4i：ihM&C/,如圖1-14所示，利用數(shù)軸可得:三，故選