數(shù)學(xué)建模(方紅)教學(xué)課件19.層次分析法

1、 層次分析法（AHP） 首先將所要分析的問題層次化，根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，將問題分解成不同的組成因素，按照因素間的相互關(guān)系及隸屬關(guān)系，將因素按不同層次聚類組合，形成一個多層分析結(jié)構(gòu)模型，最終歸結(jié)為最低層（方案、措施、指標(biāo)等）相對于最高層（總目標(biāo)）相對重要程度的權(quán)值或相對優(yōu)劣次序的問題。1 基本原理 假定我們已知n只西瓜的重量和為1，每只西瓜的重量分別為W1，W2，Wn。把這些西瓜兩兩比較，很容易得到表示n只西瓜相對重量關(guān)系的比較矩陣：A= =(aij)nn 顯然aii= 1，aij =1/aji，aij =aik/ajk， i、j、k= 1，2，n AW=nW那么就有： 即n是A的一

2、個特征根，每只西瓜的重量是A 對應(yīng)于特征根n的特征向量的各個分量。 很自然，我們會提出一個相反的問題，如果事先不知道每只西瓜的重量，也沒有衡器去稱量，我們?nèi)缒茉O(shè)法得到判斷矩陣（比較每兩只西瓜的重量是最容易的），能否導(dǎo)出西瓜的重量呢？顯然是可以的，在判斷矩陣具有完全一致的條件下，我們可以通過解特征值問題 AW= maxW求出正規(guī)化特征向量（即假設(shè)西瓜總重量為1），從而得到n只西瓜的重量。所謂判斷矩陣的一致性，即判斷矩陣是否滿足如下關(guān)系:aij =aik/ajk, i、j、k= 1，2，n上式完全成立，稱判斷矩陣具有完全一致性。此時矩陣的最大特征值max=n，其余特征值均為零。在一般情況下可以證明

3、判斷矩陣的最大特征根為單根，且maxn。當(dāng)判斷矩陣具有滿意一致性時，max稍大于矩陣階數(shù)n，其余特征值接近于零。這時AHP得出的結(jié)論才基本合理。2 基本步驟 2.1 建立層次結(jié)構(gòu)模型 一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面 為方案層，中間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。 買鋼筆 質(zhì)量 顏色 價格 外形 實用 可供選擇的筆 方案層 準(zhǔn)則層 目標(biāo)層若上層的每個因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。還可以建立 子層次。 目標(biāo)層：準(zhǔn)則層：方案層：目標(biāo)層合理選擇科研課題A成果貢獻(xiàn)B1人才培養(yǎng)B2課題可行性B3課題D1課題D2課題D3應(yīng)用價值 c1科學(xué)意義 c2難

4、易程度 c3研究周期 c4財政支持 c5方案層準(zhǔn)則層1準(zhǔn)則層22.2 構(gòu)造成對比較矩陣 判斷矩陣表示針對上一層次某因素而言，本層次與之有關(guān)的各因素之間的相當(dāng)重要性。假定A層中因素Ak與下一層次中因素B1，B2，Bn有聯(lián)系，則我們構(gòu)造的判斷矩陣如下表所示： bij是對于Ak而言，Bi對Bj的相對重要性的數(shù)值表示。Ak B1 B 2 BnB1 b11 b12 b1nB2 b21 b22 b2n Bn bn1 bn2 bnn Bij通常取1、3、5、7、9及他們的倒數(shù) 尺度 第i個因素與第j個因素的影響相同 第i個因素比第j個因素的影響稍強(qiáng) 第i個因素比第j個因素的影響強(qiáng) 第i個因素比第j個因素的影

5、響明顯強(qiáng)第i個因素比第j個因素的影響絕對強(qiáng) 含 義135792,4,6,8表示第i個因素相對于第j個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。顯然，任何判斷矩陣都應(yīng)滿足： bij0 , bii = 1， bij = 1/bji，因此，對于這樣的判斷矩陣來說，作 n(n-1)/2次兩兩判斷就可以了。i，j = 1，2，n2.3 層次單排序和一致性檢驗 層次單排序就是指根據(jù)判斷矩陣計算對于上一層某因素而言本層次與之有聯(lián)系的因素的重要性次序的權(quán)值?？梢詺w結(jié)為，求解矩陣的最大特征值和對應(yīng)的特征向量。即對判斷矩陣B，計算滿足: BW= maxW的特征根與特征向量。式中，max為B的最大特征根；W為對應(yīng)于max

6、的正規(guī)化特征量；W的分量Wi即是相應(yīng)因素單排序的權(quán)值。 計算一致性指標(biāo)(Consisteney Index):CI 顯然當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時，CI=0，max-n越大，CI越大，矩陣的一致性就越差。為了檢驗判斷矩陣是否具有滿意的一致性，需要將CI與平均一致性指標(biāo)RI進(jìn)行比較。查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)：RI對n=1、2、39，Saaty給出了下表所示值： n1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 計算一致性比例：CR 當(dāng)CR0.10時，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對判斷矩陣作適當(dāng)修正。2.4 層次

7、總排序和一致性檢驗 確定某層所有因素對于總目標(biāo)相對重要性的排序權(quán)值過程，稱為層次總排序。這一過程是最高層次到最低層次逐層進(jìn)行的。對于最高層下面的第二層，若上一層次A包含m個因素,A1，A2， Am ，其層次總排序權(quán)值分別為a1，a2， am，下一層次B包含n個元素B1，B2， Bn，它們對于因素Aj的層次單排序權(quán)值分別為bj1，bj2， bjn（當(dāng)Bi與Aj無聯(lián)系時，bji0），此時B層次總排序權(quán)值由下表給出。(1)式中，CI為層次總排序的一致性指標(biāo)，CIj為與aj對應(yīng)的層次中判斷矩陣的一致性指標(biāo)；(2)式中，RI為層次總排序的隨機(jī)一致性指標(biāo),RIj為 與aj對應(yīng)的層次中判斷矩陣的隨機(jī)一致性指

8、標(biāo)；(3)式中，CR為層次總排序的隨機(jī)一致性比例。當(dāng)CR0.10時，我們認(rèn)為層次總排序的計算結(jié)果具有滿意的一致性。(1)(2)(3)2.5 判斷矩陣的計算方法 在層次分析方法中，最根本的計算任務(wù)是求解 判斷矩陣的最大特征根及其所對應(yīng)的特征向量。在層次分析法中，判斷矩陣的最大特征根及其對應(yīng)的特征向量的計算，并不需要追求太高的精度。這是因為判斷矩陣本身就是將定性問題定量化的結(jié)果，允許存在一定的誤差范圍。常用近似算法求解判斷矩陣的最大特征根及其所對應(yīng)的特征向量：和法和根法。和法計算步驟 (1)將判斷矩陣每一列歸一化: 所求特征向量:(2)對按列歸一化后的判斷矩陣再按行求和: (3)將求和后的向量歸一化: (4)計算最大特征根: 列向量歸一化求和歸一化精確計算，得應(yīng)用一：資金分配決策 某個工廠可以使用一筆企業(yè)留成利潤，由廠領(lǐng)導(dǎo)和職工代表大會決定如何使用，可以選擇的方案有：發(fā)獎金、擴(kuò)建福利設(shè)施和引進(jìn)新的設(shè)備，為了進(jìn)一步促進(jìn)企業(yè)的發(fā)展，如何合理的使用這筆利潤？應(yīng)用二：城市主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)決策分析 目標(biāo)層(A) 準(zhǔn)則層(C)對象層(P)市場C1 效益C2 資源C3能源工業(yè)P1