桿系結(jié)構(gòu)有限元法解析課件

1、3 桿系結(jié)構(gòu)有限元法 桿系結(jié)構(gòu)定義：當(dāng)結(jié)構(gòu)長度尺寸比兩個截面方向的尺寸大得多時，這類結(jié)構(gòu)稱為桿件。工程中常見得軸、支柱、螺栓、加強肋以及各類型鋼等都屬于桿件。 是在節(jié)點處通過鉚接、焊接或用其他方法把若干個桿件連接起來組成一個能共同承擔(dān)外部載荷的結(jié)構(gòu)。石油工程中的井架、管匯結(jié)構(gòu)等。桿件結(jié)構(gòu)可分為桁架和剛架兩種有限元法對桿系結(jié)構(gòu)離散，通常采用自然離散的形式，也就是把等截面的桿件作為單元。當(dāng)單元的兩端為鉸接，桿件內(nèi)力只有軸力存在，“桿單元”“桁架”和其他結(jié)構(gòu)采用鉸連接的桿稱為桁桿。桁桿的連接處可以自由轉(zhuǎn)動，因此這類結(jié)構(gòu)只承受拉壓作用，內(nèi)部應(yīng)力為拉壓應(yīng)力。影響應(yīng)力的幾何因素主要是截面面積，與截面形狀無

2、關(guān)。當(dāng)單元兩端可以承受彎矩和剪力作用時稱為 “梁單元”“剛架”和其他結(jié)構(gòu)采用固定連接的桿稱為梁。鏈的連接處不能自由轉(zhuǎn)動，因此梁不僅能夠承受拉壓，而且能承受彎曲和扭轉(zhuǎn)作用。這類桿件的內(nèi)部應(yīng)力狀態(tài)比較復(fù)雜，應(yīng)力大小和分布不僅與截面大小有關(guān)，而且與截面形狀和方位有很大關(guān)系。建立有限元模型時，這兩類桿件結(jié)構(gòu)可用相應(yīng)的桿單元和梁單元離散。挖掘機橋梁鳥巢空間立體網(wǎng)架奧運鳥巢的有限元模型工程中最簡單的結(jié)構(gòu)可以認(rèn)為是鉸支的桿件。它的性質(zhì)完全類似于彈簧。彈簧系統(tǒng)力F與彈簧伸長量 （位移）之間關(guān)系由胡克定律有式中k為彈簧的剛度，是彈簧的固有參數(shù)。它對應(yīng)于力位移圖中F- 關(guān)系直線的斜率。當(dāng)k和力F已知時，可由下式求

3、出彈簧伸長量彈簧力位移間關(guān)系(41)3-1 引 言 當(dāng)處理比較復(fù)雜的鉸支桿系統(tǒng)時，要確定系統(tǒng)在力F的作用下，節(jié)點B、C、D和E處的變形。以便計算各桿件的內(nèi)應(yīng)力及各桿所受的軸向力，可假設(shè)整個桿件系統(tǒng)也具有像式(4-1)中k值一樣的剛度，這樣在力F的作用下各點的位移就可以用類似式(4-1)的公式計算了，不過這時的系統(tǒng)剛度應(yīng)采用一個矩陣來表示，即 ，同理，各點的位移也應(yīng)采用一個矩陣來表示，即 ，再加上矩陣 ，就構(gòu)成了稱為對應(yīng)于施加在系統(tǒng)上各節(jié)點力的剛度矩陣。F 問題： 1、復(fù)雜結(jié)構(gòu)其剛度矩陣是多少階的？ 2、如何求出？ 3、為什么著重討論系統(tǒng)的剛度矩陣？ 系統(tǒng)的整體剛度矩陣求出所受外力作用下各桿件節(jié)

4、點處的位移計算各桿件的受力和應(yīng)力ku1,F1u2,F2彈簧的作用力向量為位移向量為從而這個彈簧的剛度矩陣是2x 2階的。為求出它們，將圖2-4所示彈簧系統(tǒng)看作兩個簡單的系統(tǒng)，然后合成。一、單個彈簧的剛度矩陣3-2 彈簧系統(tǒng)的剛度矩陣由力的平衡有ku1F1aF2aA A(a)u2=0ku1=0F1bF2bu2B B(b)ku1F1u2F2A AB B1)只有節(jié)點1可以變形,點2固定2)只有節(jié)點2可以變形,點1固定3)根據(jù)線彈性系統(tǒng)的疊加原理，疊加1) 2)兩種情況，就得到與原始問題一樣的結(jié)構(gòu)，如圖（c），疊加結(jié)果為：(c)作用于節(jié)點1上的合力作用于節(jié)點2上的合力剛度矩陣對成、奇異矩陣（25）（2

5、6）二、組合彈簧的剛度矩陣kakbu1,F1u2,F2u3,F31233u1,F1akaF2aF3akbu20u30F1bkakbu2,F2bF3bu10u30F1ckakbF2cu3,F3cu10u20(a)(b)(c)1) 只允許節(jié)點1有位移u1，力F1a與位移u1之間的關(guān)系由于u1 u20，沒有力作用于節(jié)點3，因此，考慮彈簧1-2，由靜力平衡條件有2) 只允許節(jié)點2有位移u2，這時由于位移的連續(xù)性，每個彈簧在節(jié)點2要求有相同的位移，即，彈簧1-2的伸長量與彈簧2-3的縮短量相等。對彈簧1-2 有拉力kau2，對彈簧2-3 有壓力kbu2分別對兩彈簧求靜力平衡，有3) 只允許節(jié)點3有位移u

6、3，類似于情況1），有由于節(jié)點1、2無位移，有組合彈簧的剛度矩陣4) 合成。對整個系統(tǒng)來說有3個節(jié)點，每個節(jié)點只有一個方向的位移。因此方程式應(yīng)用如下形式：利用線彈性系統(tǒng)的疊加原理，找出33階剛度矩陣各元素的表達(dá)式節(jié)點1處的合力節(jié)點2處的合力節(jié)點3處的合力對成、奇異矩陣（28） 用同樣的方法可以求解具有更多個彈簧的串連系統(tǒng)，推導(dǎo)過程乏味。 知道單個彈簧的剛度矩陣直接疊加出多個串聯(lián)系統(tǒng)的總剛度矩陣。知道單個彈簧單元的剛度矩陣，直接疊加出總剛度矩陣對整個系統(tǒng)來說有3個節(jié)點，將上述方程擴大成3階方程：整個系統(tǒng)有3個節(jié)點（位移），將上述方程擴大成3階方程，按矩陣相加原理將兩式疊加，（29）矩陣擴大辦法單

7、元數(shù)量增多時，相應(yīng)擴大后的矩陣就相當(dāng)大，擴大后的非零元素在矩陣的什么位置，概念上就不很清楚了。按節(jié)點號將相應(yīng)單元的剛度矩陣中元素kij寫到總剛度矩陣中的辦法來疊加。以上面兩個彈簧系統(tǒng)為例，系統(tǒng)共三個節(jié)點，每個節(jié)點有一個自由度，因此，該系統(tǒng)總剛度矩陣應(yīng)該是33階的矩陣。第1個單元的節(jié)點號為1和2，則單元剛度矩陣中的元素在總剛度矩陣中應(yīng)在位置第1行、第2行的第1列，第2列第2個單元的節(jié)點號為2和3，則單元剛度矩陣疊加到總剛度矩陣的第2行、第3行的第2列、第3列元素上三、方程求解（約束條件的引入）由式（26）和式（28）可知，剛度矩陣是一個奇異陣，即它的行列式的值為零，矩陣的逆不存在。對應(yīng)線性代數(shù)方

8、程組式（27）和式（29）無定解。物理概念解釋：對整個系統(tǒng)的位移u1、 u2和 u3，沒有加以限制，從而在任何外力的作用下系統(tǒng)會發(fā)生剛體運動。u1u2 u3u,且u沒有定值，所以方程無定解。為使方程組有定解，只需給系統(tǒng)加上一定的約束（稱為約束條件或邊界條件）例如：兩彈簧系統(tǒng)，節(jié)點1固定不動，有u10，則式（29）成為從而可得到定解。通過解上述方程可得到各個節(jié)點的位移，利用已求得的位移就可計算出每個彈簧所受力的大小。彈簧1-2受力 paka（彈簧12長度的變化量） paka（u2-u1） 有限元方法求解彈簧系統(tǒng)受力問題的基本步驟：形成每個單元的剛度矩陣各個單元的剛度矩陣按節(jié)點號疊加成整體系統(tǒng)的剛

9、度矩陣引入約束條件以節(jié)點位移為未知量求解線性代數(shù)方程組用每個單元的力位移關(guān)系求得單元力。33 桿件系統(tǒng)的有限元法 一、桿單元分析1、局部坐標(biāo)系下桿單元剛度矩陣上面求解彈簧系統(tǒng)的有限元方法可以直接用力求解受軸向力的桿件系統(tǒng)。均質(zhì)等截面鉸支桿，剛度值可由材料力學(xué)中力與變形的關(guān)系中獲得均質(zhì)等截面鉸支桿的力位移方程可寫為2、坐標(biāo)變換、整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣為建立整個結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，需要在一個共同的統(tǒng)一坐標(biāo)系（即總體坐標(biāo)系）中建立平衡方程。由于剛架各單元的空間位置不同，各個單元的局部坐標(biāo)系一般也不相同。實際桿件系統(tǒng)都是互相成一定角度排列的桿件連接在一起的每個桿件的單元坐標(biāo)系統(tǒng)所有桿件的都適用的整體坐

10、標(biāo)系統(tǒng) 12對應(yīng)局部坐標(biāo)，x，y對應(yīng)整體坐標(biāo)系統(tǒng)對應(yīng)局部坐標(biāo)系的位移和作用力，對應(yīng)整體坐標(biāo)系的位移和作用力。注意：(1)圖中 角是從整體坐標(biāo)系x 軸正向起算逆時針轉(zhuǎn)到桿件方向。（2）鉸支連接的桿中能承受軸向力 和產(chǎn)生軸向位移 ,因此局部坐標(biāo)系下 ， 。方便矩陣運算，將力和位移的矩陣用四階方程表示：將上式從局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系，表示為：類似地可寫出節(jié)點2處的表達(dá)式。令 ， ，則節(jié)點力的變換關(guān)系為（213）或稱為變換矩陣。與力的坐標(biāo)變換式類似，斜桿在兩節(jié)點的位移有同樣的坐標(biāo)變換式（214）利用式（213）和式（214）可以把局部坐標(biāo)系下方程（212）表示成整體坐標(biāo)系下的方程。整體坐標(biāo)系下單元

11、的剛度矩陣。用 左乘上式兩邊（215）再將式（214）代入式（215），有單元剛度矩陣 在整體坐標(biāo)系下的表達(dá)式可以用局部坐標(biāo)系下的表達(dá)式求出， （216）將式（213）代入式（212）有有（214）二、整體（平面桁架）分析求解整體坐標(biāo)系下結(jié)構(gòu)受力與位移方程組可得到各節(jié)點的位移。從而可求出每根桿的受力。i，j整體坐標(biāo)系中任一桿單元的兩個節(jié)點號。（217）（218）有限元方法求解平面桁架系統(tǒng)受力問題的基本步驟：形成局部坐標(biāo)系下每個單元的剛度矩陣由坐標(biāo)變化矩陣，獲得整體坐標(biāo)系下單元剛度矩陣各個單元的剛度矩陣按節(jié)點號疊加成整體系統(tǒng)的剛度矩陣引入約束條件以節(jié)點位移為未知量求解線性代數(shù)方程組用每個單元的力

12、位移關(guān)系求得單元力。例題例3-1：平面三桿桁架如下圖所示，節(jié)點1、節(jié)點3處固定，節(jié)點2處受 力Fx2 、Fy2，所有桿件材料相同，彈性模量為E，截面積均為A，求各桿受力。（單元3和1之間夾角為45）yxFx21231Fy2單元 011單元 9001單元 135將它們代人（217），得到單元 單元 單元 這里e1表示 單元 （具有節(jié)點1，2）. ，將實際值代人，總剛度矩陣為整個系統(tǒng)有6個自由度，整體剛度矩陣是66階的。將上述單元剛陣按節(jié)點號疊加到 66階矩陣中，就得到整體剛度矩陣。將u2，v2代人原方程，則其它力可表示為只有u2，v2需要求解，因此上述方程可簡化為最后各桿所受到的力，由式（2-1

13、8）可求出例題（ANSYS 3-1）例3-1：平面三桿桁架如下圖所示，節(jié)點1、節(jié)點3處固定，節(jié)點2處受 力Fx2 、Fy2，所有桿件材料相同，彈性模量為E，截面積均為A，求各桿受力。（單元3和1之間夾角為45）yxFx21231Fy2單元類型；Link8單元實常數(shù)：A1材料屬性：EX=3.5E10 PRXY=0.1667ANSYS 算例3-2臨時墩拼裝場地臨時墩Beam188單元圖5 平面模型頂推140m軸力分布圖3-4 平面剛架有限元法各桿間是剛性固結(jié)的，當(dāng)剛架結(jié)構(gòu)受外力作用時，桿件內(nèi)不僅有軸力，還有剪力和彎矩，稱這類桿件為梁。1 、直接剛度法推導(dǎo)梁單元有限元格式L12平面剛架結(jié)構(gòu)梁單元材料

14、力學(xué)或結(jié)構(gòu)力學(xué)：梁所受彎矩與變形之間的關(guān)系，列方程由靜力平衡，列方程以上兩式寫成矩陣形式即為局部坐標(biāo)系下梁單元剛度矩陣擴展后的局部坐標(biāo)系下的梁單元66剛度矩陣局部坐標(biāo)到整體坐標(biāo)的變換矩陣其中，單元剛度矩陣在整體坐標(biāo)系下的形式為1、力學(xué)條件建立單元受力和位移之間的關(guān)系式2、局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣3、整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣4、單元剛度疊加，構(gòu)成總體剛度矩陣5、引入邊界條件，求線性方程6、得到系統(tǒng)各節(jié)點處的位移7、進(jìn)而得到每根梁所受力和力矩2 、 位移函數(shù) 虛功原理推導(dǎo)梁單元有限元計算格式第一步： 寫出單元的位移、節(jié)點力向量局部坐標(biāo)系下，節(jié)點1的位移向量和力向量對節(jié)點2也類似，從而梁1-2的

15、節(jié)點位移和節(jié)點力向量為這些向量每個包含4項，因此單元剛度矩陣 應(yīng)該是44階的。第二步： 選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)選擇一個簡單函數(shù)，用節(jié)點上的位移來表示單元上各點的位移。這一位移函數(shù) 一般情況下可選擇多項式。多項式的系數(shù)個數(shù)應(yīng)與單元自由度數(shù)目相同，使各點的位移可以用節(jié)點處的位移所唯一確定。整個單元具有四個自由度，而且只與x坐標(biāo)有關(guān)，由于(3-7)(3-8)對于梁單元，設(shè)位移函數(shù)寫成寫成矩陣形式，有x=L處對梁單元，x=0處，第三步：求單元中任一點的位移與節(jié)點位移的關(guān)系將梁單元兩個節(jié)點處，對應(yīng)的位移代入到(3-7)、 (3-8)式中，(3-10)求解方程式（310）得從而單元上任一點的位移 可用節(jié)點位移

16、 表示：第四步： 求單元應(yīng)變-單元位移-節(jié)點位移間的關(guān)系單元內(nèi)任一點的應(yīng)變可以通過對該點處的位移微分得到。將 代入，寫成矩陣形式幾何矩陣第五步： 求應(yīng)力-應(yīng)變-節(jié)點位移間的關(guān)系(彈性力學(xué)物理方程)彈性矩陣對于梁的彎曲問題，由材料力學(xué)知識可知，應(yīng)力-應(yīng)變相當(dāng)于內(nèi)力矩與曲率關(guān)系，近似表達(dá)式為：虛位移原理虛位移原理是能量原理在力學(xué)特性分析中的一種具體形式。本章將利用這種原理建立單元特性方程。1.虛功與虛應(yīng)變能：虛位移原理虛位移原理是能量原理在力學(xué)特性分析中的一種具體形式。本章將利用這種原理建立單元特性方程。虛位移是指在約束條件允許的范圍內(nèi)彈性體可能發(fā)生的任意微小位移。外力要做的虛功，大小為：同時，彈

17、性體內(nèi)將產(chǎn)生虛應(yīng)變=，應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功是儲存在彈性體內(nèi)的虛應(yīng)變能，若用 表示單位體積虛應(yīng)變能，W =f TR = T 如果在虛位移發(fā)生之前彈性體是平衡的，那么虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上所做的虛功就等于彈性體的虛應(yīng)變能，即 WU 對于虛位移原理，在虛位移發(fā)生過程中，原有的外力、應(yīng)力、溫度及速度應(yīng)保持不變。外力的形式有集中力、體力和表明力。第六步： 求節(jié)點力與節(jié)點位移關(guān)系虛功原理：系統(tǒng)保持平衡的充要條件是外力在虛位移上所做的功等于內(nèi)力在相應(yīng)虛位移上所做的功。系統(tǒng)各節(jié)點虛位移向量節(jié)點外力在虛位移上所做的虛功任一點處虛位移引起的虛應(yīng)變?yōu)?，該處?yīng)力為內(nèi)應(yīng)力所做的功（單位體積上的應(yīng)變能）為：虛位移引起的虛應(yīng)變同樣成立，虛功原理，整個體積上功的平衡有：其中，節(jié)點虛位移和節(jié)點位移都與積分無關(guān)其中，單元剛度矩陣的表達(dá)式：具體到梁單元，積分區(qū)域是一維的，且從x0L單元剛度矩陣的