全國(guó)高中物理競(jìng)賽第16-22屆動(dòng)力學(xué)試題集錦(含答案)

1、全國(guó)中學(xué)生高中物理競(jìng)賽第16屆22屆預(yù)賽動(dòng)力學(xué)試題集錦（含答案）一、第16屆預(yù)賽題. （15分）一質(zhì)量為的平頂小車，以速度沿水平的光滑軌道作勻速直線運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)將一質(zhì)量為的小物塊無(wú)初速地放置在車頂前緣。已知物塊和車頂之間的動(dòng)摩擦系數(shù)為。若要求物塊不會(huì)從車頂后緣掉下，則該車頂最少要多長(zhǎng)？若車頂長(zhǎng)度符合1問(wèn)中的要求，整個(gè)過(guò)程中摩擦力共做了多少功？參考解答1. 物塊放到小車上以后，由于摩擦力的作用，當(dāng)以地面為參考系時(shí)，物塊將從靜止開始加速運(yùn)動(dòng)，而小車將做減速運(yùn)動(dòng)，若物塊到達(dá)小車頂后緣時(shí)的速度恰好等于小車此時(shí)的速度，則物塊就剛好不脫落。令表示此時(shí)的速度，在這個(gè)過(guò)程中，若以物塊和小車為系統(tǒng)，因?yàn)樗椒较蛭词?/p>

2、外力，所以此方向上動(dòng)量守恒，即 （1）從能量來(lái)看，在上述過(guò)程中，物塊動(dòng)能的增量等于摩擦力對(duì)物塊所做的功，即 （2） 其中為物塊移動(dòng)的距離。小車動(dòng)能的增量等于摩擦力對(duì)小車所做的功，即 （3）其中為小車移動(dòng)的距離。用表示車頂?shù)淖钚￠L(zhǎng)度，則 （4）由以上四式，可解得 （5）即車頂?shù)拈L(zhǎng)度至少應(yīng)為。2由功能關(guān)系可知，摩擦力所做的功等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量，即 （6）由（1）、（6）式可得 （7）二、第16屆預(yù)賽題.（20分）一個(gè)大容器中裝有互不相溶的兩種液體，它們的密度分別為和（）?，F(xiàn)讓一長(zhǎng)為、密度為的均勻木棍，豎直地放在上面的液體內(nèi)，其下端離兩液體分界面的距離為，由靜止開始下落。試計(jì)算木棍到達(dá)最低處所需的時(shí)

3、間。假定由于木棍運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的液體阻力可以忽略不計(jì)，且兩液體都足夠深，保證木棍始終都在液體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，未露出液面，也未與容器相碰。參考解答1用表示木棍的橫截面積，從靜止開始到其下端到達(dá)兩液體交界面為止，在這過(guò)程中，木棍受向下的重力和向上的浮力。由牛頓第二定律可知，其下落的加速度 （1）用表示所需的時(shí)間，則 （2）由此解得 （3）2木棍下端開始進(jìn)入下面液體后，用表示木棍在上面液體中的長(zhǎng)度，這時(shí)木棍所受重力不變，仍為，但浮力變?yōu)楫?dāng)時(shí)，浮力小于重力；當(dāng)時(shí)，浮力大于重力，可見有一個(gè)合力為零的平衡位置用表示在此平衡位置時(shí)，木棍在上面液體中的長(zhǎng)度，則此時(shí)有 （4）由此可得 （5）即木棍的中點(diǎn)處于兩液體交界處時(shí)

4、，木棍處于平衡狀態(tài)，取一坐標(biāo)系，其原點(diǎn)位于交界面上，豎直方向?yàn)檩S，向上為正，則當(dāng)木棍中點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，木棍所受合力為零當(dāng)中點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，所受合力為 式中 （6）這時(shí)木棍的運(yùn)動(dòng)方程為 為沿方向加速度 （7）由此可知為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期 （8）為了求同時(shí)在兩種液體中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，先求振動(dòng)的振幅木棍下端剛進(jìn)入下面液體時(shí)，其速度 （9）由機(jī)械能守恒可知 （10）式中為此時(shí)木棍中心距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，由（1）、（3）、（9）式可求得，再將和（6）式中的代人（10）式得 （11）由此可知，從木棍下端開始進(jìn)入下面液體到棍中心到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)所走的距離是振幅的一半，從參考圓（如圖預(yù)解16-9）上可知，對(duì)應(yīng)的為30，對(duì)應(yīng)的時(shí)間

5、為。因此木棍從下端開始進(jìn)入下面液體到上端進(jìn)入下面液體所用的時(shí)間，即棍中心從到所用的時(shí)間為 （12）3從木棍全部浸入下面液體開始，受力情況的分析和1中類似，只是浮力大于重力，所以做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度的數(shù)值與一樣，其過(guò)程和1中情況相反地對(duì)稱，所用時(shí)間 （13）4總時(shí)間為 （14）三、第17屆預(yù)賽題.（20分）如圖預(yù)17-8所示，在水平桌面上放有長(zhǎng)木板，上右端是固定擋板，在上左端和中點(diǎn)處各放有小物塊和，、的尺寸以及的厚度皆可忽略不計(jì)，、之間和、之間的距離皆為。設(shè)木板與桌面之間無(wú)摩擦，、之間和、之間的靜摩擦因數(shù)及滑動(dòng)摩擦因數(shù)均為；、（連同擋板）的質(zhì)量相同開始時(shí)，和靜止，以某一初速度向右運(yùn)動(dòng)試問(wèn)下列情況

6、是否能發(fā)生？要求定量求出能發(fā)生這些情況時(shí)物塊的初速度應(yīng)滿足的條件，或定量說(shuō)明不能發(fā)生的理由（1）物塊與發(fā)生碰撞；（2）物塊與發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊與擋板發(fā)生碰撞；（3）物塊與擋板發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊與在木板上再發(fā)生碰撞；（4）物塊從木板上掉下來(lái)；（5）物塊從木板上掉下來(lái)參考解答1. 以表示物塊、和木板的質(zhì)量，當(dāng)物塊以初速向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊受到木板施加的大小為的滑動(dòng)摩擦力而減速，木板則受到物塊施加的大小為的滑動(dòng)摩擦力和物塊施加的大小為的摩擦力而做加速運(yùn)動(dòng)，物塊則因受木板施加的摩擦力作用而加速，設(shè)、三者的加速度分別為、和，則由牛頓第二定律，有 事實(shí)上在此題中，即、之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)

7、，這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由上式可得 （1）它小于最大靜摩擦力可見靜摩擦力使物塊、木板之間不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。若物塊剛好與物塊不發(fā)生碰撞，則物塊運(yùn)動(dòng)到物塊所在處時(shí)，與的速度大小相等因?yàn)槲飰K與木板的速度相等，所以此時(shí)三者的速度均相同，設(shè)為，由動(dòng)量守恒定律得 （2）在此過(guò)程中，設(shè)木板運(yùn)動(dòng)的路程為，則物塊運(yùn)動(dòng)的路程為，如圖預(yù)解17-8所示由動(dòng)能定理有 （3） （4）或者說(shuō)，在此過(guò)程中整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變等于系統(tǒng)內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和（3）與（4）式等號(hào)兩邊相加），即 （5）式中就是物塊相對(duì)木板運(yùn)動(dòng)的路程解（2）、（5）式，得 （6）即物塊的初速度時(shí)，剛好不與發(fā)生碰撞，若，則將與發(fā)生碰撞，故與發(fā)生碰撞的條

8、件是 （7）2. 當(dāng)物塊的初速度滿足（7）式時(shí)，與將發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞的瞬間，、三者的速度分別為、和，則有 （8）在物塊、發(fā)生碰撞的極短時(shí)間內(nèi)，木板對(duì)它們的摩擦力的沖量非常小，可忽略不計(jì)。故在碰撞過(guò)程中，與構(gòu)成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，而木板的速度保持不變因?yàn)槲飰K、間的碰撞是彈性的，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，又因?yàn)橘|(zhì)量相等，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可以證明（證明從略），碰撞前后、交換速度，若碰撞剛結(jié)束時(shí)，、三者的速度分別為、和，則有 由（8）、（9）式可知，物塊與木板速度相等，保持相對(duì)靜止，而相對(duì)于、向右運(yùn)動(dòng)，以后發(fā)生的過(guò)程相當(dāng)于第1問(wèn)中所進(jìn)行的延續(xù)，由物塊替換繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)。若物塊剛好與擋板不發(fā)生碰撞，則物塊以速

9、度從板板的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到擋板所在處時(shí)，與的速度相等因與的速度大小是相等的，故、三者的速度相等，設(shè)此時(shí)三者的速度為根據(jù)動(dòng)量守恒定律有 （10）以初速度開始運(yùn)動(dòng)，接著與發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后物塊相對(duì)木板靜止，到達(dá)所在處這一整個(gè)過(guò)程中，先是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程為，接著是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程為，整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變，類似于上面第1問(wèn)解答中（5）式的說(shuō)法等于系統(tǒng)內(nèi)部相互問(wèn)的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即 （11）解（10）、（11）兩式得 （12）即物塊的初速度時(shí)，與碰撞，但與剛好不發(fā)生碰撞，若，就能使與發(fā)生碰撞，故與碰撞后，物塊與擋板發(fā)生碰撞的條件是 （13）3. 若物塊的初速度滿足條件（13）式，則在、發(fā)生碰撞后，將與

10、擋板發(fā)生碰撞，設(shè)在碰撞前瞬間，、三者的速度分別為、和，則有 （14）與碰撞后的瞬間，、三者的速度分別為、和，則仍類似于第2問(wèn)解答中（9）的道理，有 （15）由（14）、（15）式可知與剛碰撞后，物塊與的速度相等，都小于木板的速度，即 （16）在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，木板以較大的加速度向右做減速運(yùn)動(dòng)，而物塊和以相同的較小的加速度向右做加速運(yùn)動(dòng)，加速度的大小分別為 （17）加速過(guò)程將持續(xù)到或者和與的速度相同，三者以相同速度向右做勻速運(yùn)動(dòng)，或者木塊從木板上掉了下來(lái)。因此物塊與在木板上不可能再發(fā)生碰撞。4. 若恰好沒從木板上掉下來(lái)，即到達(dá)的左端時(shí)的速度變?yōu)榕c相同，這時(shí)三者的速度皆相同，以表示，由動(dòng)量守恒有

11、 （18）從以初速度在木板的左端開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)與相碰，直到剛沒從木板的左端掉下來(lái)，這一整個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)內(nèi)部先是相對(duì)的路程為；接著相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程也是；與碰后直到剛沒從木板上掉下來(lái)，與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程也皆為整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變應(yīng)等于內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即 （19）由（18）、（19）兩式，得 （20）即當(dāng)物塊的初速度時(shí)，剛好不會(huì)從木板上掉下若，則將從木板上掉下，故從上掉下的條件是 （21）5. 若物塊的初速度滿足條件（21）式，則將從木板上掉下來(lái)，設(shè)剛要從木板上掉下來(lái)時(shí)，、三者的速度分別為、和，則有 （22）這時(shí)（18）式應(yīng)改寫為 （23）（19）式應(yīng)改寫為 （24）當(dāng)物塊從木板上掉下

12、來(lái)后，若物塊剛好不會(huì)從木板上掉下，即當(dāng)?shù)淖蠖粟s上時(shí)，與的速度相等設(shè)此速度為，則對(duì)、這一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，由動(dòng)量守恒定律，有 （25）在此過(guò)程中，對(duì)這一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和為，由動(dòng)能定理可得 （26）由（23）、（24）、（25）、（26）式可得 （27）即當(dāng)時(shí)，物塊剛好不能從木板上掉下。若，則將從木板上掉下，故物塊從木板上掉下來(lái)的條件是 （28）四、第18屆預(yù)賽題. （25分）如圖預(yù)185所示，一質(zhì)量為、長(zhǎng)為帶薄擋板的木板，靜止在水平的地面上，設(shè)木板與地面間的靜摩擦系數(shù)與滑動(dòng)摩擦系數(shù)相等，皆為質(zhì)量為的人從木板的一端由靜止開始相對(duì)于地面勻加速地向前走向另一端，到達(dá)另一端時(shí)便驟然抓住擋板而停在

13、木板上已知人與木板間的靜摩擦系數(shù)足夠大，人在木板上不滑動(dòng)問(wèn)：在什么條件下，最后可使木板向前方移動(dòng)的距離達(dá)到最大？其值等于多少？參考解答在人從木板的一端向另一端運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，先討論木板發(fā)生向后運(yùn)動(dòng)的情形，以表示人開始運(yùn)動(dòng)到剛抵達(dá)另一端尚未停下這段過(guò)程中所用的時(shí)間，設(shè)以表示木板向后移動(dòng)的距離，如圖預(yù)解18-5所示以表示人與木板間的靜摩擦力，以表示地面作用于木板的摩擦力，以和分別表示人和木板的加速度，則 （1） （2） （3） （4）解以上四式，得 （5）對(duì)人和木板組成的系統(tǒng)，人在木板另一端驟然停下后，兩者的總動(dòng)量等于從開始到此時(shí)地面的摩擦力的沖量，忽略人驟然停下那段極短的時(shí)間，則有 （6）為人在木

14、板另一端剛停下時(shí)兩者一起運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)人在木板另一端停下后兩者一起向前移動(dòng)的距離為，地面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，則有 （7）木板向前移動(dòng)的凈距離為 （8）由以上各式得 由此式可知，欲使木板向前移動(dòng)的距離為最大，應(yīng)有 （9）即 （10）即木板向前移動(dòng)的距離為最大的條件是：人作用于木板的靜摩擦力等于地面作用于木板的滑動(dòng)摩擦力移動(dòng)的最大距離 （11） 由上可見，在設(shè)木板發(fā)生向后運(yùn)動(dòng)，即的情況下，時(shí)，有極大值，也就是說(shuō)，在時(shí)間0內(nèi)，木板剛剛不動(dòng)的條件下有極大值再來(lái)討論木板不動(dòng)即的情況，那時(shí)，因?yàn)?，所以人積累的動(dòng)能和碰后的總動(dòng)能都將變小，從而前進(jìn)的距離也變小，即小于上述的。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分（1）、（2）、（

15、3）、（4）式各1分；（6）式5分；（7）式2分；（8）式3分；（9）式2分；（10）式3分；（11）式5分；說(shuō)明時(shí)木板向前移動(dòng)的距離小于時(shí)的給1分。五、第18屆預(yù)賽題. （1 8分）在用鈾 235作燃料的核反應(yīng)堆中，鈾 235核吸收一個(gè)動(dòng)能約為0.025的熱中子（慢中子）后，可發(fā)生裂變反應(yīng)，放出能量和23個(gè)快中子，而快中子不利于鈾235的裂變?yōu)榱四苁沽炎兎磻?yīng)繼續(xù)下去，需要將反應(yīng)中放出的快中子減速。有一種減速的方法是使用石墨（碳12）作減速劑設(shè)中子與碳原子的碰撞是對(duì)心彈性碰撞，問(wèn)一個(gè)動(dòng)能為的快中子需要與靜止的碳原子碰撞多少次，才能減速成為0.025的熱中子？參考解答設(shè)中子和碳核的質(zhì)量分別為和，

16、碰撞前中子的速度為，碰撞后中子和碳核的速度分別為和，因?yàn)榕鲎彩菑椥耘鲎?，所以在碰撞前后，?dòng)量和機(jī)械能均守恒，又因、和沿同一直線，故有 （1） （2）解上兩式得 （3）因代入（3）式得 （4）負(fù)號(hào)表示的方向與方向相反，即與碳核碰撞后中子被反彈因此，經(jīng)過(guò)一次碰撞后中子的能量為 于是 （5）經(jīng)過(guò)2，3，次碰撞后，中子的能量依次為，有 （6）因此 （7）已知 代入（7）式即得 （8）故初能量的快中子經(jīng)過(guò)近54次碰撞后，才成為能量為0.025 的熱中子。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題18分（1）、（2）、（4）、（6）式各3分；（5）、（7）、（8）式各2分。六、第19屆預(yù)賽，（15分）今年3月我國(guó)北方地區(qū)遭遇了近10

17、年來(lái)最嚴(yán)重的沙塵暴天氣現(xiàn)把沙塵上揚(yáng)后的情況簡(jiǎn)化為如下情景：為豎直向上的風(fēng)速，沙塵顆粒被揚(yáng)起后懸浮在空中（不動(dòng)）這時(shí)風(fēng)對(duì)沙塵的作用力相當(dāng)于空氣不動(dòng)而沙塵以速度豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的阻力此阻力可用下式表達(dá)其中為一系數(shù)，為沙塵顆粒的截面積，為空氣密度（1）若沙粒的密度 ，沙塵顆粒為球形，半徑，地球表面處空氣密度，試估算在地面附近，上述的最小值（2）假定空氣密度隨高度的變化關(guān)系為，其中為處的空氣密度，為一常量，試估算當(dāng)時(shí)揚(yáng)沙的最大高度（不考慮重力加速度隨高度的變化）參考解答（1）在地面附近，沙塵揚(yáng)起要能懸浮在空中，則空氣阻力至少應(yīng)與重力平衡，即 式中為沙塵顆粒的質(zhì)量，而 得 代入數(shù)據(jù)得 （2）用、分別表

18、示時(shí)揚(yáng)沙到達(dá)的最高處的空氣密度和高度，則有 此時(shí)式應(yīng)為 由、可解得 代入數(shù)據(jù)得 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分。1. 第一小題8分。其中式3分，式1分，式1分，式2分，式1分。2. 第二小題7分。其中式1分，式1分，式3分，式2分。七、第19屆預(yù)賽（25分）如圖預(yù)19-7所示，在長(zhǎng)為m、質(zhì)量為的車廂B內(nèi)的右壁處，放一質(zhì)量的小物塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)），向右的水平拉力作用于車廂，使之從靜止開始運(yùn)動(dòng)，測(cè)得車廂B在最初2.0 s內(nèi)移動(dòng)的距離，且在這段時(shí)間內(nèi)小物塊未與車廂壁發(fā)生過(guò)碰撞假定車廂與地面間的摩擦忽略不計(jì)，小物塊與車廂壁之間的碰撞是彈性的求車廂開始運(yùn)動(dòng)后4.0 s時(shí)，車廂與小物塊的速度參考解答解法一：1. 討

19、論自B開始運(yùn)動(dòng)到時(shí)間內(nèi)B與A的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)題意，在2 s內(nèi)，A未與B發(fā)生過(guò)碰撞，因此不論A與B之間是否有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，不論A與B之間是否有摩擦，B總是作初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)B的加速度為，有 得 （1）如果A、B之間無(wú)摩擦，則在B向右移動(dòng)1米距離的過(guò)程中，A應(yīng)保持靜止?fàn)顟B(tài)，接著B的車廂左壁必與A發(fā)生碰撞，這不合題意。如果A、B之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)（即兩者之間的摩擦力足以使A與B有一樣的加速度），則B的加速度這與（1）式矛盾。由此可見，A、B之間既有相對(duì)運(yùn)動(dòng)又存在摩擦力作用。以表示A、B間的滑動(dòng)摩擦力的大小，作用于B的摩擦力向左，作用于A的摩擦力向右，則有 （2） （3）由（1）、（2）、（3）式得

20、（4） （5）2. 討論B的左壁與A發(fā)生第一次碰撞前的運(yùn)動(dòng)。由于，B向右的速度將大于A的速度，故A與B的左壁間的距離將減小。設(shè)自靜止開始，經(jīng)過(guò)時(shí)間，B的左壁剛要與A發(fā)生碰撞，這時(shí)，B向右運(yùn)動(dòng)的路程與A向右運(yùn)動(dòng)的路程之差正好等于，即有 解得 （6）代入數(shù)據(jù)，得 A與B發(fā)生第一次碰撞時(shí)，碰前的速度分別為 （7） （8）3. 討論B與A間的彈性碰撞以和分別表示第一次碰撞后A和B的速度。當(dāng)、為正時(shí)，分別表示它們向右運(yùn)動(dòng)。在碰撞的極短時(shí)間內(nèi)，外力的沖量可忽略不計(jì)，因此有 解以上兩式得 （9）（9）式表示，在彈性碰撞中，碰撞前后兩者的相對(duì)速度的大小不變，但方向反轉(zhuǎn)。4. 討論從第一次碰撞到車廂與小物塊速度

21、變至相同過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)。由（9）式可以看出，經(jīng)第一次碰撞，A和B都向右運(yùn)動(dòng)，但A的速度大于B的速度，這時(shí)作用于A的摩擦力向左，作用于B的摩擦力向右，大小仍都為。設(shè)此過(guò)程中A向左的加速度和B向右的加速度分別為和，則由牛頓第二定律有 解得 （10） （11）由此可知，碰撞后，A作減速運(yùn)動(dòng)，B作加速運(yùn)動(dòng)。設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間，兩者速度相等，第一次達(dá)到相對(duì)靜止，則有 由上式和（9）式解得 （12）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 （13）設(shè)在時(shí)間內(nèi)，A與B的左壁之間的距離增大至，則有 結(jié)合（9）、（12）兩式得 （14）式中 （15）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 由（14）可知，A不會(huì)與B的右壁發(fā)生碰撞。5. 討論A與B的左壁的第二次碰撞。以表

22、示B與A第一次相等的速度，由于B始終受作用而加速，它將拖著A向右加速，其情況與第一次碰撞前相似。這時(shí)作用于A的摩擦力向右，A的加速度為，方向向右。作用于B的摩擦力向左，B的加速度為，方向也向右。但是原來(lái)A與B左端的距離為，現(xiàn)改為，因，B的左壁與小A之間的距離將減小。設(shè)兩者間的距離從減小至零即減小至開始發(fā)生第二次碰撞所經(jīng)歷的時(shí)間為，以代入式，結(jié)合（14）式，即可求得 （16）代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得 第二次碰撞前瞬間A和B的速度分別為 （17）故第二次碰撞前A、B速度之差小于第一次碰撞前A、B的速度差。設(shè)第二次碰撞完畢的瞬間A、B的速度分別為和，則有 （18）第二次碰撞后，A以加速度作減速運(yùn)動(dòng)，B以加速

23、度作加速運(yùn)動(dòng)。設(shè)經(jīng)歷時(shí)間，兩者速度相等，即第二次相對(duì)靜止，則有 解得 （19）在時(shí)間內(nèi)，A與B的左壁的距離變?yōu)?，?結(jié)合（8）、（9）得 （20）自B開始運(yùn)動(dòng)到A與B達(dá)到第二次相對(duì)靜止共經(jīng)歷時(shí)間 6. 討論A與B的左壁的第三次碰撞。當(dāng)A與B的左壁之間的距離為時(shí)，A、B相對(duì)靜止。由于B受外力作用而繼續(xù)加速，它將拖著A向右加速。這時(shí)，A的加速度為，B的加速度為，方向都向右，但因，A將與B的左壁發(fā)生第三次碰撞。設(shè)此過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間為，則以代入（6）式結(jié)合（16）式得 （21）設(shè)第三次碰撞前瞬間A和B的速度分別為和，碰撞后的速度分別為和 碰撞后，A以加速度作減速運(yùn)動(dòng)，B以加速度作加速運(yùn)動(dòng)。設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間兩者

24、速度相等，即第三次相對(duì)靜止，A與B左壁之間的距離為。則有 （22） 自B開始運(yùn)動(dòng)至第三次A與B相對(duì)靜止共經(jīng)歷的時(shí)間仍小于4 s。7. 討論車廂左壁與小物塊的第次碰撞。在第次碰撞完畢的瞬間，A和B的速度分別為和，A以加速度作減速運(yùn)動(dòng)，B以加速度作加速運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)時(shí)間，兩者速度相等，即第次相對(duì)靜止。A與B左壁之間的距離為。根據(jù)前面的討論有 （23） 再經(jīng)過(guò)時(shí)間將發(fā)生B的左壁與A的第次碰撞。碰撞前兩者的速度分別為和。根據(jù)前面的討論，有 （24） 可以看出，碰撞次數(shù)越多，下一次碰撞前，A、B速度之差越小。當(dāng)碰撞次數(shù)非常大時(shí)，下次碰撞前兩者的速度趨于相等，即A實(shí)際上將貼在B的左壁上不再分開。8. 討論第4

25、秒B與A的運(yùn)動(dòng)速度。第4秒末B與A的速度取決于在第4秒末B與A經(jīng)歷了多少次碰撞。B自靜止開始運(yùn)動(dòng)到第次相對(duì)靜止經(jīng)歷的總時(shí)間為 （25）以，代入，注意到當(dāng)很大時(shí)，得 （26）這表明早在第4秒之前，A與B的左壁貼在一起時(shí)二者速度已相同，不再發(fā)生碰撞，此后二者即以相同的速度運(yùn)動(dòng)了、現(xiàn)以A和B都靜止時(shí)作為初態(tài)，設(shè)時(shí)刻A和B的速度為，對(duì)A、B開始運(yùn)動(dòng)至的過(guò)程應(yīng)用動(dòng)量定理，得 （27）或 代入數(shù)值，得 （28）解法二：如果A與B之間沒有摩擦力，B前進(jìn)1m就會(huì)與A發(fā)生碰撞。已知開始2s為A與B未發(fā)生碰撞，而B已走了5m，可見二者之間有摩擦力存在，且在此期間二者均作勻加速運(yùn)動(dòng)。由可求出B對(duì)地面的加速度： ，

26、設(shè)A與B底部之間的滑動(dòng)摩擦力為，則由小車的運(yùn)動(dòng)方程 代入數(shù)值得 又由A的運(yùn)動(dòng)方程得A的相對(duì)地面的加速度為 于是，A對(duì)B的相對(duì)加速度為 第一次碰撞由開始運(yùn)動(dòng)到A碰撞B的左壁的時(shí)間滿足，。于是 A與B的左壁碰撞前瞬間，A相對(duì)B的速度 由于作彈性碰撞的兩個(gè)物體在碰撞前后其相對(duì)速度等值反向，所以碰后A從B的左壁開始，以相對(duì)速度 向右運(yùn)動(dòng)，所受摩擦力反向向左，為。對(duì)地面的加速度為 此時(shí)B所受的摩擦力方向向右，由其運(yùn)動(dòng)方程得B對(duì)地面的加速度為 由、二式知，碰后A對(duì)B的相對(duì)加速度為 A相當(dāng)于B作向右的勻減速運(yùn)動(dòng)。設(shè)A由碰后開始達(dá)到相對(duì)靜止的時(shí)間為，相當(dāng)于B走過(guò)的距離為，由式得 可見A停止在B當(dāng)中，不與B的右

27、壁相碰。第二次碰撞A在B內(nèi)相對(duì)靜止后，將相當(dāng)于B向左滑動(dòng)，所受的摩擦力改為向右，而B所受的摩擦力改為向左。這時(shí)A對(duì)B的相對(duì)加速度重新成為，即式。A由相對(duì)靜止到與B的左壁第二次碰撞所需的時(shí)間可用算出： 自B開始運(yùn)動(dòng)至B的左壁與A發(fā)生第二次碰撞經(jīng)歷的時(shí)間 A達(dá)到B的左壁前相當(dāng)于B的速度的大小為 這也就是第二次碰后A由B的左壁出發(fā)的相對(duì)速度大小。第二次碰后，A相對(duì)B向右運(yùn)動(dòng)，此時(shí)A相對(duì)于B的相對(duì)加速度又成為，即式。A由碰撞到相對(duì)靜止所需要的時(shí)間和相當(dāng)于B走過(guò)的距離分別為 以后的碰撞根據(jù)、二式，如令 則有 由此可以推知，在第三次碰撞中必有 在第次碰撞中有 即每一次所需時(shí)間要比上次少得多（A在B中所走的

28、距離也小得多）。把所有的時(shí)間加在一起，得 這就是說(shuō)，在B開始運(yùn)動(dòng)后3.56 s時(shí)，A將緊貼B的左壁，并與B具有相同速度，二者不再發(fā)生碰撞，一直處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)取A和B都靜止時(shí)作為初態(tài)，以時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為末態(tài)，設(shè)此時(shí)A和B的速度為，由動(dòng)量定理，有 代入數(shù)值，得 答：自車廂開始運(yùn)動(dòng)到4.0 s時(shí)車廂與物塊的速度相同，均為評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分。得出摩擦力得5分，得出第一次碰撞時(shí)間得5分，得出第二次碰撞時(shí)間得5分。得出無(wú)窮次碰撞時(shí)間得5分 ，得到最后結(jié)果再得5分。八、第20屆預(yù)賽，(20分)有一個(gè)擺長(zhǎng)為l的擺（擺球可視為質(zhì)點(diǎn)，擺線的質(zhì)量不計(jì)），在過(guò)懸掛點(diǎn)的豎直線上距懸掛點(diǎn)O的距離為x處（xl）的C

29、點(diǎn)有一固定的釘子，如圖所示，當(dāng)擺擺動(dòng)時(shí)，擺線會(huì)受到釘子的阻擋當(dāng)l一定而x取不同值時(shí)，阻擋后擺球的運(yùn)動(dòng)情況將不同現(xiàn)將擺拉到位于豎直線的左方（擺球的高度不超過(guò)O點(diǎn)），然后放手，令其自由擺動(dòng)，如果擺線被釘子阻擋后，擺球恰巧能夠擊中釘子，試求x的最小值參考解答擺線受阻后在一段時(shí)間內(nèi)擺球作圓周運(yùn)動(dòng)，若擺球的質(zhì)量為，則擺球受重力和擺線拉力的作用，設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)任一時(shí)刻的速度為，如圖預(yù)解20-5所示。用表示此時(shí)擺線與重力方向之間的夾角，則有方程式 （1）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，令表示擺線在起始位置時(shí)與豎直方向的夾角，取點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，則有關(guān)系 （2）擺受阻后，如果后來(lái)擺球能擊中釘子，則必定在某位置時(shí)擺線開始松弛

30、，此時(shí)0，此后擺球僅在重力作用下作斜拋運(yùn)動(dòng)。設(shè)在該位置時(shí)擺球速度，擺線與豎直線的夾角，由式（1）得 ， （3）代入（2）式，求出 （4）要求作斜拋運(yùn)動(dòng)的擺球擊中點(diǎn)，則應(yīng)滿足下列關(guān)系式：， （5） （6）利用式（5）和式（6）消去，得到 （7）由式（3）、（7）得到 （8）代入式（4），求出 （9）越大，越小，越小，最大值為，由此可求得的最小值：，所以 （10）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。式（1）1分，式（2）3分，式（3）2分，式（5）、（6）各3分，式（8）3分，式（9）1分，式（10）4分。m1m2九、第21屆預(yù)賽，（15分）質(zhì)量分別為m1和m2的兩個(gè)小物塊用輕繩連結(jié)，繩跨過(guò)位于傾角30的光滑斜

31、面頂端的輕滑輪，滑輪與轉(zhuǎn)軸之間的摩擦不計(jì)，斜面固定在水平桌面上，如圖所示第一次，m1懸空，m2放在斜面上，用t表示m2自斜面底端由靜止開始運(yùn)動(dòng)至斜面頂端所需的時(shí)間第二次，將m1和m2位置互換，使m2懸空，m1放在斜面上，發(fā)現(xiàn)m1自斜面底端由靜止開始運(yùn)動(dòng)至斜面頂端所需的時(shí)間為求m1與m2之比參考解答：第一次，小物塊受力情況如圖所示，設(shè)T1為繩中張力，a1為兩物塊加速度的大小， l為斜面長(zhǎng)，則有m1gm2gN1T1T1 (1) (2) (3)第二次，m1與m2交換位置設(shè)繩中張力為T2，兩物塊加速度的大小為a2，則有(4)(5)(6)由 (1)、(2) 式注意到 =30得(7)由 (4)、(5) 式

32、注意到 =30得(8)由 (3)、(6) 式得(9)由 (7)、(8)、(9) 式可解得 (10)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)本題15分，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）式各2分，求得（10）式再給3分ACROB十、第21屆預(yù)賽，（15分）如圖所示，B是質(zhì)量為mB、半徑為R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上A是質(zhì)量為mA的細(xì)長(zhǎng)直桿，被固定的光滑套管C約束在豎直方向，A可自由上下運(yùn)動(dòng)碗和桿的質(zhì)量關(guān)系為：mB 2mA初始時(shí)，A桿被握住，使其下端正好與碗的半球面的上邊緣接觸（如圖）然后從靜止開始釋放A，A、B便開始運(yùn)動(dòng)設(shè)A桿的位置用表示，為碗面的球心至A桿下端與球面接觸點(diǎn)的連線方向和豎直方向之間的夾角求

33、A與B速度的大?。ū硎境傻暮瘮?shù)）參考答案：由題設(shè)條件知，若從地面參考系觀測(cè)，則任何時(shí)刻，A沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為vA，B沿水平方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為vB若以B為參考系，從B觀測(cè)，則A桿保持在豎直方向，它與碗的接觸點(diǎn)在碗面內(nèi)作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，速度的方向與圓周相切，設(shè)其速度為VA桿相對(duì)地面的速度是桿相對(duì)碗的速度與碗相對(duì)地面的速度的合速度，速度合成的矢量圖如圖中的平行四邊形所示由圖得ORvBvAVAAB (1)(2)因而 (3)由能量守恒 (4)由(3)、(4) 兩式及得 (5) (6)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題（15）分（1）、（2）式各3分，（4）式5分，（5）、（6）兩式各2分1B2DC3A十一、第

34、21屆預(yù)賽，（18分）如圖所示，定滑輪B、C與動(dòng)滑輪D組成一滑輪組，各滑輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦、滑輪的質(zhì)量均不計(jì)在動(dòng)滑輪D上，懸掛有砝碼托盤A，跨過(guò)滑輪組的不可伸長(zhǎng)的輕線的兩端各掛有砝碼2和3一根用輕線（圖中穿過(guò)彈簧的那條豎直線）拴住的壓縮輕彈簧豎直放置在托盤底上，彈簧的下端與托盤底固連，上端放有砝碼1（兩者未粘連）已知三個(gè)砝碼和砝碼托盤的質(zhì)量都是m，彈簧的勁度系數(shù)為k，壓縮量為l0，整個(gè)系統(tǒng)處在靜止?fàn)顟B(tài)現(xiàn)突然燒斷拴住彈簧的輕線，彈簧便伸長(zhǎng)，并推動(dòng)砝碼1向上運(yùn)動(dòng)，直到砝碼1與彈簧分離假設(shè)砝碼1在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)與托盤的頂部相碰求砝碼1從與彈簧分離至再次接觸經(jīng)歷的時(shí)間參考答案：設(shè)從燒斷線到砝碼1與

35、彈簧分離經(jīng)歷的時(shí)間為t，在這段時(shí)間內(nèi)，各砝碼和砝碼托盤的受力情況如圖1所示：圖中，F(xiàn)表示t時(shí)間內(nèi)任意時(shí)刻彈簧的彈力，T表示該時(shí)刻跨過(guò)滑輪組的輕繩中的張力，mg為重力，T0為懸掛托盤的繩的拉力因D的質(zhì)量忽略不計(jì)，有 (1)在時(shí)間t內(nèi)任一時(shí)刻，砝碼1向上運(yùn)動(dòng)，托盤向下運(yùn)動(dòng)，砝碼2、3則向上升起，但砝碼2、3與托盤速度的大小是相同的設(shè)在砝碼1與彈簧分離的時(shí)刻，砝碼1的速度大小為v1，砝碼2、3與托盤速度的大小都是v2，由動(dòng)量定理，有Tmg2Tmg3T0mg圖2 (2) (3) (4) (5)式中IF、Img、IT、分別代表力F、mg、T、T0在t時(shí)間內(nèi)沖量的大小。注意到式(1)，有 (6)由(2)、

36、(3)、(4)、(5)、(6)各式得(7)在彈簧伸長(zhǎng)過(guò)程中，彈簧的上端與砝碼1一起向上運(yùn)動(dòng)，下端與托盤一起向下運(yùn)動(dòng)以l1表示在t時(shí)間內(nèi)彈簧上端向上運(yùn)動(dòng)的距離，l2表示其下端向下運(yùn)動(dòng)的距離由于在彈簧伸長(zhǎng)過(guò)程中任意時(shí)刻，托盤的速度都為砝碼1的速度的1/3，故有 (8) 另有 (9)在彈簧伸長(zhǎng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，彈簧彈性勢(shì)能的減少等于系統(tǒng)動(dòng)能和重力勢(shì)能的增加，即有 (10)由(7)、(8)、(9)、(10) 式得 (11)砝碼1與彈簧分開后，砝碼作上拋運(yùn)動(dòng)，上升到最大高度經(jīng)歷時(shí)間為t1，有(12)砝碼2、3和托盤的受力情況如圖2所示，以表示加速度的大小，有Tmg2Tmg3T0mg圖2 (13) (14) (15) （16）由 (14)、(15) 和(16)式得 (17)托盤的加速度向上，初速度v2向下，設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t2，托盤速度變?yōu)榱悖?(18)由 (7)、(