高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)立體幾何的綜合問題知識精講

1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：立體幾何的綜合問題【本講主要內(nèi)容】立體幾何的綜合問題立體幾何知識的綜合應(yīng)用及立體幾何與其它知識點(diǎn)的綜合問題【知識掌握】【知識點(diǎn)精析】1,立體幾何的綜合問題融直線和平面的位置關(guān)系于平面與幾何體中，有計(jì)算也有論證。解決這類問題需要系統(tǒng)地掌握線線、線面、面面的位置關(guān)系，特別是平行與垂直的判定與性質(zhì).深刻理解異面直線所成的角、斜線與平面所成的角、二面角的平面角的概念，理解點(diǎn) 到面的距離、異面直線的距離的概念.2,立體幾何橫向可與向量、代數(shù)、三角、解析幾何等綜合.3,應(yīng)用性問題、探索性問題需綜合運(yùn)用所學(xué)知識去分析解決.【解題方法指導(dǎo)】例1.如圖所示，在正方體 ABCD-AiBCQ的側(cè)

2、面AB內(nèi)有一動點(diǎn) P到直線AiBi與直線BC 的距離相等，則動點(diǎn) P所在曲線的形狀為()解析：P到直線BC的距離等于P到B的距離，動點(diǎn)P的軌跡滿足拋物線定義.故選C.例2,如圖，四棱錐P ABC時底面是邊長為a的正方形，PB，平面ABCD(I )若面PAW面ABC所成的二面角為60。，求這個四棱錐的體積;(H)證明不論四棱錐的高怎樣變化，面PAW面PCD所成的二面角恒大于(I )解：PB1面 ABCD 1 BA是 PA在面 ABCD的射影, 又 DAL AB PAL DAPAB是面PADf面ABC所成的二面角的平面角f，/PAB= 60 , PB= AB- tan60 = J3a ,12. 3

3、 3V錐=-v3a a =a33AE PD(n)證明：不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD因?yàn)榈妊切?，作垂足?E,連結(jié) CE,則AD9ACDE 因?yàn)?AE= CE / CED= 90,故/ CEA是面PAD面PC所成的二面角的平面角.設(shè)Ad BD交于點(diǎn)O,連結(jié)EO,則EOL AC,所以 2L2a =OA AE AD =a , AE2 a2 , 2AE2：二0AE2 EC2 - AC2 2AE2 -2a2cos / CEA = =22AE *EC2AE所以面PAD與面PCD所成的二面角恒大于 90?！究键c(diǎn)突破】【考點(diǎn)指要】.高考試卷中，立體幾何的考查的立足點(diǎn)放在空間形體和空間圖形上

4、，突出對空間概念 和空間想象能力的考查.空間圖形中的有關(guān)計(jì)算離不開角與距離、面積與體積等基本量，空間圖形中的有關(guān)證明離不開平行與垂直這兩種基本性質(zhì)，這些不僅是立體幾何的重要內(nèi) 容，也是每年高考的必考內(nèi)容.另外在高考命題上也常對一些有關(guān)概念和常用方法進(jìn)行遷延性考查，設(shè)計(jì)出一些頗有新意的考題。對于空間想象能力，高考試題中，側(cè)重于直線與直 線、直線與平面、平面與平面的各種位置關(guān)系的考查，著重考查圖形辨識、幾何元素的位置 關(guān)系和幾何量的計(jì)算，將邏輯推理及計(jì)算能力聯(lián)系起來，進(jìn)行綜合考查。.高考立體幾何題目設(shè)計(jì)的立意是：堅(jiān)持考查邏輯推理能力和空間想象能力。近幾年題目的證明強(qiáng)度有所減弱，證明的起點(diǎn)增高，并常

5、常借助多面體或球體作為依托，把論證與計(jì)算的幾何問題寓于其間，帶有一定的綜合性。.在知識的交匯點(diǎn)出命題，是高考命題的趨勢，近幾年的考試題中，出現(xiàn)了將立體幾何 與向量、三角、代數(shù)、解析幾何聯(lián)系在一起的題目，令人耳目一新，也更突出了對學(xué)生綜合 運(yùn)用知識的能力及創(chuàng)新能力的考查.分值約占510分.【典型例題分析】例1.如圖，在四棱錐 P-ABCD,底面ABC皿正方形，側(cè)棱 PD1底面ABCD PD= DC E是PC的中點(diǎn)，作 EFL PB交PB于點(diǎn)F.(I )證明 PA/平面EDB (II)證明 PB1平面EFD(出)求二面角 C- PB- D的大小.pc解法1:(I )證明：連結(jié) AC, AC交BD于

6、O,連結(jié)EQ底面ABC皿正方形，點(diǎn) O是AC的中點(diǎn)在APAC中，EO是中位線，PA / EO ;而EO U平面EDB且PA工平面EDB所以，PA / 平面EDBPAB(n)證明：PD，底面 ABCD1 DC 仁底面 ABCD PD _L DC PD= DC可知APDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，DE _L PC . 同樣由PD，底面ABCD彳導(dǎo)PDBC.底面ABC皿正方形,有 DC! BCBC!平面PDC而 DE u 平面 PDC BC _L DE .由和推得 DE _L平面PBC.而PBU平面PBC . DE _L PB 又EF _L PB且DE仆EF = E ,所以PB1平面

7、EFD.P（出）由（n）PB,平面EFD,. PB _L DF , PB _L EF ,故 / EFD 是二面角 C- PB- D 的平面角.由D吐平面 PBC且EFU平面PBCDEL EF.又 PDL底面 ABCDS. BD=底面 ABCD - PD DB設(shè)正方形ABCM邊長為a,則PD = DC =a, BD = 2a,PB = PD2 +BD2 = V3a,_9Z_9PC - PD2 DC21 -DE = PC =2,2 a.2在 Rt PDB中,DFPD BDPB在 Rt EFD中,sin EFD = DEDF、3a、2 a2、63所以，二面角 C- PB- D的大小為71O 、-.B

8、3PDCa a、依題意得 A(a, 0, 0), P(0, 0, a), E(Q -,-)2 2底面ABC皿正方形，G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(a, a, 2 20）且aa一PA=（a, 0, -a）, EG二 （一,0,）.PA=2EG,22這表明PA/EG.而EG U平面EDB且PA遼平面EDB，PA平面EDB.(n)證明：依題意得 B(a, a, 0), PB=(a, a, a)。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 22 a a aa又 DE =(0, a,),故 PB DE =0 += 0. PB _

9、L DE .2 222由已知EF _L PB ,且EF Cl DE = E，所以PB _L平面EFD故DE ,由G(32GC分別為平面PBG平面PBD的一個法向量.(m)易證 DEL平面 PBC GCX平面PBD_ a a、 _E(0, r 2 C(0, a,0)得DE=(0,a、2），一 aGC -(2a2,0)又|DEGC,2 a2cos 二 DE,GCDE GC2所以，二面角 C PB- D的大小為-.3評述：本題借助棱錐作為依托，把論證與計(jì)算的幾何問題寓于其間，帶有一定的綜合 性.這里空間向量的恰當(dāng)運(yùn)用可使證明計(jì)算簡潔明快.例2.平面汽的斜線AB交a于點(diǎn)B ,過定點(diǎn)A的直線l與AB垂直

10、，且交支于點(diǎn)C , 則動點(diǎn)C的軌跡是（）A. 一條直線B. 一個圓 C. 一個橢圓D.雙曲線的一支解析：動直線l的軌跡是與AB垂直的平面，由公理2可知動點(diǎn)C的軌跡是一條直線. 故 選A.本題實(shí)際是對考生的空間想象能力及靈活運(yùn)用知識能力的考查.例3.請您設(shè)計(jì)一個帳篷，它下部的形狀是高為 1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為 3m 的正六棱錐（如圖所示）.試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心Q的距離為多少時，帳篷的體積 最大？m)為。32x T f =、8 + 2x-x2 .解：設(shè)OQ為xm,則1 xM16+12x-X3)求導(dǎo)數(shù)，得V1x戶等(12 -3x2 ).令V(x)=0,解得x = _2 (不合題

11、意，舍去)，x = 2.當(dāng) 1x0, V(x)為增函數(shù)；當(dāng) 2cx4 時，V(x)0, V(x)為 減函數(shù).所以當(dāng)x = 2時，V(x )最大.評述：本題把幾何體的性質(zhì)與函數(shù)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用融為一體，設(shè)計(jì)可謂是獨(dú)具匠心， 充分體現(xiàn)了在知識的交匯點(diǎn)命題的趨勢，很好地考查了考生綜合運(yùn)用知識的能力.【綜合測試】一、選擇題： TOC o 1-5 h z .在下列關(guān)于直線I、m與平面“、3的命題中，真命題是()A. 若 1仁3 且 a，3,則 l，a.B.若 1,3 且 a/3,則 l,a.C.若 I，3 且 a，3 ,則 I / a .D.若 a n 3 = m且 I / m,則 I / a .如圖，在棱長

12、為2的正方體ABCD A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分別是CC1、AD的中點(diǎn)，那么異面直線 OEW FD1所成的角的余弦值等于()A. 21B. _!5.如圖，定點(diǎn) A和B都在平面a內(nèi)，定點(diǎn)P正ct , PB _L豆，C是口內(nèi)異于A和B的動 點(diǎn)，且PC _L AC。那么，動點(diǎn) C在平面a內(nèi)的軌跡是()A. 一條線段，但要去掉兩個點(diǎn)B. 一個圓，但要去掉兩個點(diǎn)C. 一個橢圓，但要去掉兩個點(diǎn)D.半圓，但要去掉兩個點(diǎn).已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱高為 4,體積為16,則這個球的表面積是()A. 16 二B. 20 二C. 24 二D. 32二.直線m與平面a的距離為d,則到

13、m與到平面a的距離都為2d的點(diǎn)的集合是()A. 一個平面 B. 一條直線 C.兩條直線D. 空集.在地球北緯60圈上有兩點(diǎn) A、B,它們的經(jīng)度之差為180 ,則A、B兩點(diǎn)沿緯度圈的弧長與 A B兩點(diǎn)間的球面距離之比為()A. 3: 2B. 2 : 3C. 1:3D. 3 : 1VP aB C 二、填空題:Spab PA PB.由圖(1)有面積關(guān)系：Sab，PAPB則由圖(2)有體積關(guān)系：.正方體 ABCD- ABGD中，E、P、Q分別為棱 DD、BC A1B1的中點(diǎn)，則異面直線 AE與 PQ所成的角為.給出下列四個命題：如果直線a/平面a , aU平面3 ,且a / 3 ,則a與平面a的距離等

14、于平面a與3 的距離；兩條平行直線分別在兩個平行平面內(nèi)，則這兩條平行直線的距離等于這兩個平面間的距離；異面直線a、b分別在兩個平行平面內(nèi)，則 a、b的距離等于這兩個平面的距離；若點(diǎn)A在平面“內(nèi)，平面a和3平行，則A到平面3的距離等于平面“與平面3的距 離.其中正確的命題的序號是 .四棱錐PABCM底面ABC虛正方形，PA1底面ABCD且PA= AB= a,則A到平面 PCD的距離為.三、解答題：.在棱長為4的正方體ABCD- A1BCD1中，O是正方形 A1B1C1D的中心，點(diǎn) P在CC上, 且 CC= 4CP.(I)求直線 AP與平面BCCBi所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)(n)設(shè)

15、 O點(diǎn)在平面 DAP上的射影是 H,求證：DHAP(出)求點(diǎn) P到平面ABD的距離.如圖，已知長方體 ABCD- A1BGD, AB= 2, AA=1,直線 BD與平面 AABiB所成的角為30, AE垂直BD于E, F為AiBi的中點(diǎn).(I )求異面直線AE與BF所成的角；(II )求平面BDF與平面AAB所成的二面角;(III )求點(diǎn)A到平面BDF的距離.綜合測試答案一、選擇題：BB 提示：將D1F中的點(diǎn)F平移至點(diǎn)O,則點(diǎn)D1移至C1D1的中點(diǎn)，記為點(diǎn)G ,由正方體棱長為 2,可求得D1F =OG = J5 , oe = J3, eg=J2,則315cos 日=55B 提示：由三垂線定理的

16、逆定理可知AC _L BC ,故C在以AB為直徑的圓上，但除去A、B兩點(diǎn)）C 提示：正四棱柱的底面邊長為 2,體積對角線長即為球的直徑2，6,球半徑為J6.C 提示：根據(jù)公理 2兩個平面相交于同一條直線A 提示：求A、B兩點(diǎn)所在小圓的圓心角與所在大圓的圓心角、填空題：PA PB PC 提示：類比即得PA PB PC90 提示：可以用向量法求解正確.2a 提木：過 A做PB的垂線，即為 A到平面PCD勺距離2三、解答題：解：（1）連接BP, AB_L平面BCCiBi,二AP與平面BCCiBi所成的角就是/APB。DiA1B1C1PCTCC1 =4 = 4CP,CPAB=1, . BP = ：；1

17、7 ,-r 4. tan APB 17 , 17即AP與平面BCC1 B1所成的角為arctan巴布；17(2)連接AiCiBDi,交于點(diǎn)O,正方形 A1B1C1D1 中有 A1cl _L B1D1 ,又 CC1 _L 平面 A1B1cl D1 ,:.CCi _L BiDi, BiDi _L 平面 APCiA，: BQ _L AP ,即 DQ _L AP , 而DiO在平面D1Ap內(nèi)的射影為DiH，,D1H _L AP ;(3)連接 BC1 ,過點(diǎn) P 作 PEL BC1 于 E,由 ABJ_ 平面 BC1 ,AB .L PE ,PE _L平面ABD1 ,則PE長為點(diǎn)P到平面ABD1的距離，2

18、3 -在正萬形BC1中，可求得PE= PC1 =72 ,2即點(diǎn)P到平面ABD1的距離為一J2。212. 解：在長方體 ABCID- A BCD中以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，以 AA所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖。由已知 AB= 2, AA= 1 ,可得 A (0, 0, 0), B (2, 0, 0) , F (1, 0, 1) 又AD_L平面AABB,從而BD與平面 AABB所成的角即為 N DBA= 30,又 AB= 2, AE_ BD, AE= 1, AD=”,從而易得 E(1,0), D(0,- ,0)32 2313 _(1) AE =(, ,0),BF -(-1,0,1). cs AE,BF2 2AE BFAE BF_ 1_ 2:2,2