高中物理競賽解題方法十類比法

1、十二、類比法方法簡介類比法是根據(jù)兩個研究對象或兩個系統(tǒng)在某些屬性上類似而推出其他屬性也類似的思 維方法，是一種由個別到個別的推理形式.其結(jié)論必須由實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)，類比對象間共有的屬性越多，則類比結(jié)論的可靠性越大 .在研究物理問題時，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)某些不同問題在一定范圍內(nèi)具有形式上的相似性，其中 包括數(shù)學(xué)表達(dá)式上的相似性和物理圖像上的相似性.類比法就是在于發(fā)現(xiàn)和探索這一相似性，從而利用已知系統(tǒng)的物理規(guī)律去尋找未知系統(tǒng)的物理規(guī)律賽題精講例1圖121中AO呢一內(nèi)表面光滑的楔形槽，固定 在水平桌面(圖中紙面)上，夾角 a =1 (為了能看清楚， 圖中畫的是夸大了的).現(xiàn)將一質(zhì)點(diǎn)在 BOA面內(nèi)從A處以 速度v=

2、5m/s射出，其方向與 AO間的夾角日=60?OA=10m. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)與桌面間的摩擦可忽略不計，質(zhì)點(diǎn)與OB面及OA面的碰撞都是彈性碰撞，且每次碰撞時間極短，可忽略不計，試求：(1)經(jīng)過幾次碰撞質(zhì)點(diǎn)又回到 A處與OM目碰？(計算次數(shù)時包括在 A處的碰撞)(2)共用多少時間？(3)在這過程中，質(zhì)點(diǎn)離 O點(diǎn)的最短距離是多少？解析由于此質(zhì)點(diǎn)彈性碰撞時的運(yùn)動軌跡所滿足的規(guī)律 和光的反射定律相同，所以可用類比法通過幾何光學(xué)的規(guī)律 進(jìn)行求解.即可用光在平面鏡上反射時，物像關(guān)于鏡面對稱 的規(guī)律和光路是可逆的規(guī)律求解 .(1)第一次，第二次碰撞如圖121一甲所示，由三角形的外角等于不相鄰的一兩個內(nèi)角和可知/MBA

3、 = 600+1*=61*,故第一次碰撞的入射角為 90-61=29第二次碰撞，/BCA = 61* + 10=62：故第二次碰撞的入射角為 90* 62* = 28失因此每碰一次，入射角要減少 1。，即入射角為29。、28。、0。，當(dāng)入射角為0 時，質(zhì)點(diǎn)碰后沿原路返回.包括最后在A處的碰撞在內(nèi)，往返總共 60次碰撞.(2)如圖121乙所示，從 O依次作出與OB邊成1、2、3、的射線，從對稱規(guī)律可推知，在 AB 的延長線上，BC、C D、D E、分別和 BC CD DE相等，它們和各射線的交角即為各次碰撞的 入射角與直角之和.碰撞入射角為0時，即交角為90時 開始返回.故質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的總路程為一銳

4、角為60。的Rt AMO的較小直角邊AM的二倍.即 s=2AM =2AO cos60 =10m所用總時間t = s10=2s(3)碰撞過程中離 O的最近距離為另一直角邊長 OM = AO，sin60=5)3m此題也可以用遞推法求解，讀者可自己試解.例2有一個很大的湖，岸邊(可視湖岸為直線)停放著一艘小船，纜繩突然斷開，小 船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15。角，速度為2.5km/h.同時岸上一人從停放點(diǎn)起追趕小船， 已知他在岸上跑的速度為 4.0km/h ,在水中游的速度為 2.0km/h ,問此人能否追及小船？解析 費(fèi)馬原理指出：光總是沿著光程為極小值的路徑傳播.據(jù)此可以證明，光在平面分界面上的

5、折射是以時間為極小值的路程傳播.本題求最短時間問題，可類比類在平面分界面上的折射情況，這樣就把一個運(yùn)動問題通過類比可轉(zhuǎn)化為光的折射問題求解如圖122所示，船沿OP方向被刮跑，設(shè)人從 O點(diǎn)出發(fā)先沿湖岸跑，在 A點(diǎn)入水游到 OP的B點(diǎn)，如果符合光的折射定律，則所用時間最短 根據(jù)折射定律：sin904.0sin2.0解得=30:=180 -15 -(90) =45在這最短時間內(nèi)，若船還未到達(dá)B點(diǎn)，則人能追上小船，若船已經(jīng)通過了B點(diǎn)，則人不 TOC o 1-5 h z 能追上小船，所以船剛好能到達(dá)B點(diǎn)所對應(yīng)的船速就是小船能被追及的最大船速vm.根據(jù)正弦定理vmt= t1= v2t2sin120 sin

6、45 sin15又 t =t1t2由以上兩式可解得V1V2 sin 120%=v1sin15V2sin45 交加的此即小船能被人追上的最大速度，而小船實(shí)際速度只有2.5km/h，小于2、；2km/h ,所以人能追上小船.例3 只螞蟻洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距螞蟻洞中心的距離 L成反比,當(dāng)螞蟻爬到距螞蟻洞中心距離L1=1m的A點(diǎn)時，速度大小為 v1 =20cm/s,問當(dāng)螞蟻爬到距螞蟻洞中心L2=2m的B點(diǎn)時，其速度大小v2 =?螞蟻從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所用的時間t= ?解析雖然螞蟻的運(yùn)動我們不能直接用已學(xué)過的運(yùn)動學(xué)公式求解，但只要能找到描述螞蟻運(yùn)動的公式和學(xué)過的公式的形式相同，便可借助學(xué)過

7、的公式形式使問題得以解決1由已知得：螞蟻在距離果中心處的速度為v = k,代入已知得：k =vL =0.2 x1 =0.2m2/s,所以當(dāng) L2 =2m時,其速度 v2k _ .0.1m/ sL2由速度的定義得螞蟻從L到L+A L所需時間為 t TOC o 1-5 h z L 1所以.寸=L = 1 L v k 八 As = vAt類比初速v0 =0的勻加速直線運(yùn)動的兩個基本公式，v = at在t到 t時刻所經(jīng)位移 As為 As = a At t 比較、兩式可以看出兩式的表述形式相同據(jù)此，可得螞蟻問題中的參量 t和L分別類比為初速為零的勻加速直線運(yùn)動中的s和t. HYPERLINK l boo

8、kmark61 o Current Document 11 12而1相當(dāng)于加速度a,于是可得：在此螞蟻問題中t =L2令t1對應(yīng)L1, t2對應(yīng)L2,則所求時間為t2k2 k代入已知可得從 A到B所用的時間為t =t2 -t112k2217.5s2 0.2 2 0.2此題也可以用圖像法、等效法求解，讀者可試試?yán)?如圖123所示為一很大的接地導(dǎo)體板，在與導(dǎo)體板相距為 為一q的點(diǎn)電荷.(3)試求板上感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)P點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度；試求感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外 P點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，P 與P 對導(dǎo)體板右表面是對稱的；在本題情形中根據(jù)場強(qiáng)分析證明導(dǎo)體表面附近的電場強(qiáng)度的方向與導(dǎo)體表面垂直；(4)試求導(dǎo)體上的

9、感應(yīng)電荷對點(diǎn)電荷一q的作用力；(5)若在切斷導(dǎo)體板與地的連線后，再將+Q電荷置于導(dǎo)體板上，試說明這部分電荷在導(dǎo)體板上如何分布可達(dá)到靜電平 衡.(略去邊緣效應(yīng))解析 面電荷問題有時可用點(diǎn)電荷場來類比，使問題大大簡化(1)因?qū)w處于靜電平衡狀態(tài)，內(nèi)部場強(qiáng)為零，因此感應(yīng)電 荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)可用點(diǎn)電荷場類比，若在A點(diǎn)放+q在導(dǎo)體中圖123一甲P點(diǎn)產(chǎn)生的場和感應(yīng)電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場相同，因此有 EP=k?,方向如圖123甲所r示.(r為AP間距離)(2)同理，感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外 P點(diǎn)產(chǎn)生的電場跟把+q放在與 A點(diǎn)產(chǎn)生的電場相同，即 EP=單，方向如圖123甲所示.r(3)取導(dǎo)體外極靠近導(dǎo)體表面的一點(diǎn)Pi,

10、此處電場由感應(yīng)電荷和一q共同產(chǎn)生，可類比等量異號點(diǎn)電荷形成的電場，導(dǎo)體表面 可類比為等勢面，場強(qiáng)和等勢面是垂直的，因此Pi點(diǎn)的場強(qiáng)方向跟導(dǎo)體表面垂直.如圖123乙所示.(4)感應(yīng)電荷對一q的作用力也可類比在 A點(diǎn)放的+q對它的 庫侖力來求.如圖123乙所示.A關(guān)于導(dǎo)體右表面對稱的圖123一乙F - kq (2d)2kqOX(5)切斷接地線后，感應(yīng)電荷分布不變，感應(yīng)電荷和一q在導(dǎo)體中產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為零(相當(dāng)于不帶電情況)，將+Q置于導(dǎo)體板上時，類比孤立無限大帶電平板，電荷將均勻分 布例5如圖124所示為一無限多電容器連成的網(wǎng)絡(luò)， 若其中每個電容器的電容均為 C,求此網(wǎng)絡(luò)A、B間的等 效電容CAb

11、.解析 量為Q時,在C電容器兩極板間所加電壓為U,正極板上的電圖124電容為：C=Q/U.電阻器兩端所加電壓為 UI,通過的電流為I時，電阻為R=U/I.R表達(dá)式中U相同，Q與I類比，但兩個式子顯然有顛倒的關(guān)系，若為電容器引入二 二 U_ C _ QC*便可與R類比，通過對 R的求解，求出 C*,再求出它的倒數(shù)即為 C.當(dāng)將阻值為R的電阻替換電容 C時，可以求得：AB間的總電阻為 Rab=(J3+1)RRF為圖12 5現(xiàn)在用C*取代R,可解得CAb =(3 +1)C*也即 1-( 3 1) 1CabC所以AB間的等效電容為Cab =蟲二1c2例6電容器網(wǎng)絡(luò)如圖125所示，各電容器以 單位的電容

12、量數(shù)值已在圖中標(biāo)出 .求A、B兩點(diǎn)之間的等效電容CAb.1*解析同樣用類比法為電容器引入輔助參量C = 1 ,則C的串并聯(lián)公式與電阻R的串c并聯(lián)公式完全一樣，而且如圖12 5一甲中兩個電容網(wǎng)絡(luò)元之間有完全類似于電阻網(wǎng)絡(luò)元的Y一變換.變換公式為：CaC CABCCAAB . CBC . CCACbCcn * n *Cbc Ccacc圖125乙圖125丙圖 126通過變換公式對題中的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行交換，從而求解設(shè) C . = 1C1將中間同為C=2NF的電容變?yōu)镃* nIlNF），再將三個C組成的網(wǎng)絡(luò)元變換為 21 1X =C*= 2 2 = 1（NF），的三個Y網(wǎng)絡(luò)元,于是將原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖125乙網(wǎng)

13、絡(luò)，圖1116 I r 2 2 2 、 一一, 一* . . . . .、.125一乙中所標(biāo)數(shù)值均為 C值，為此網(wǎng)絡(luò)可等效如圖1* .C值.因?yàn)榇司W(wǎng)絡(luò)中沒有電流圖125一丙可當(dāng)作平衡的5橋式電路，中間的5-電容可拆去，此網(wǎng)絡(luò)又可等效為12圖12-5-T,再類比電阻串并聯(lián)公式可得Cab =： 6故原網(wǎng)絡(luò)A B間的等效電容為 Cab=CA；=6NF AB AB例7如圖126所示，一個由絕緣細(xì)線構(gòu)成的剛性圓形 軌道，其半徑為 R.此軌道水平放置，圓心在 O點(diǎn)，一個仝 小珠P穿在此軌道上，可沿軌道無摩擦地滑動，小珠 P帶 荷Q.已知在軌道平面內(nèi) A點(diǎn)（OA =r R）放有一電荷若在OA連線上某一點(diǎn) A

14、i放電荷qi,則給P一個初速度，它就沿軌道做勻速圓周運(yùn)動.求Ai點(diǎn)位置及電荷qi之值.解析 因?yàn)镻可沿圓軌道做勻速圓周運(yùn)動，說明此圓軌道是一等勢線，將此等勢線看成一個球面鏡的一部分.已知半徑為R,所以此球面鏡的焦距為 -.2 TOC o 1-5 h z ,111由成像公式=P Pfq,所以有若q為物點(diǎn)，q1為像點(diǎn)不成立，只能是 q1為物點(diǎn)成虛像于1 - 12=p =咿-）2r - RR -r R解得qq1| P | (R-r)(R-2r)R-2r|P IR(R -r)R q1qR -2r將焦距為10cm的一塊雙凸透鏡沿其表面的垂直方向切割成相同的兩部分，把這兩部分沿垂直于主軸的方向移開一段距離

15、0 =0.1cm,并用不透明的材料將其擋住.若在原透鏡左側(cè)主軸上，距透鏡光心 20cm處放一點(diǎn)光源 M如圖127所示，點(diǎn)光源能射出波長為 0.5Nm的單色光，那么在透鏡另一側(cè)距透鏡50cm的屏幕（垂直于透鏡主軸放置）上，將出現(xiàn)多少亮條紋？解析 由透鏡成像規(guī)律可知，單色點(diǎn)光源M,經(jīng)切割成的兩個半透鏡分別成兩個像M,M （此時每個半透鏡相當(dāng)于一個透鏡）.這兩個像距相等，關(guān)于主光軸對稱，形成相干光源，從而在屏幕上可看到干涉條紋，屏幕中央是零級亮條紋，兩側(cè)依次分布著各級干涉條紋.根據(jù)透鏡成像公式：1 1 = 1P P f得p=-PLp f設(shè)兩個像之間的距離 M1M 2 = d由圖127一甲中的幾何關(guān)系

16、可知Pf由、兩式得d = (P )P P - f由圖127一甲知L = H PPf-HP - fH(P - f) -PfP 一 f類比光的雙縫干涉作圖127一乙.設(shè)屏幕上Q為P團(tuán)1 27田QS0圖12-7-乙級亮條紋，則光程差為 46 =M2QM1Q dsina =九 S因?yàn)槎辊苄?，所以?sin atana & L TOC o 1-5 h z 將其代入式得：S =d將、代入式得：S H (P-f)-fP P、由于干涉條紋是等間距的，所以屏幕上出現(xiàn)的亮條紋數(shù)目為NS，一 ，一 r 、.P由圖12 7一甲中幾何關(guān)系彳導(dǎo):P=i-D P H解得d=g(h+P) P、(H P)P；： 2(H P)將代入式得 N = 一P-=一UHP一P H(P - f) -P f H(P- f)-Pf圖 128將已知代入得 N=46.6所以亮條紋的條數(shù)為 46條.例9 如圖128所示，半徑R=10cm的光滑凹球面容器固定 在地面上，有一小物塊在與容器最低點(diǎn)P相距5mm勺C點(diǎn)由靜止無摩擦滑下，則物塊自靜止下滑到第二次通過P點(diǎn)時所經(jīng)歷的時間是多少？若此裝置放在以加速度a向上運(yùn)動的實(shí)驗(yàn)艙中，上述所求的時間又是多少？解析 本題中的小物塊是在重力、彈力作用下做變速曲線運(yùn)動，我們?nèi)糇プ?/p>