高等數(shù)學(xué)的跨學(xué)科應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)的跨學(xué)科應(yīng)用高等數(shù)學(xué)，作為理工科專業(yè)的基礎(chǔ)必修課，在經(jīng)過一年半左右的學(xué)習(xí)后，迎來了尾聲，利用這三個(gè)學(xué)期的時(shí)間(分別對應(yīng)高等數(shù)學(xué)AI、高等數(shù)學(xué) An、高等數(shù)學(xué) Am),我們?nèi)?，也較為具體的學(xué)習(xí)了其內(nèi)容，主要包括極限，一元函數(shù)微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用，多元函數(shù)微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用，級數(shù)，常微分方程。其中很大一部分都是接下來 深入學(xué)習(xí)電子學(xué)院專業(yè)課程的必要知識儲(chǔ)備，接下來，將舉出已學(xué)過的專業(yè)課程中使用了 高等數(shù)學(xué)知識及例題。一、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及積分定義：設(shè)函數(shù)y f (x)在Xo點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自自變量 X在Xo處有增量？?時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的增量為x) f (X0).如果極限x) f (

2、Xo)存在，則稱函數(shù) y f (X)在X0點(diǎn)處可導(dǎo)，上述極限值為函數(shù)y f (X)在X0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。例1:已知u(t)如圖所示，求i(t)及波形。i(t)dqdtd(Cu)dt生Cdt解：按時(shí)間分段計(jì)算:0-1 :i(t)d(t)dt1A1-3 : i(t)d( t 2)1Adtd(t 4)3-4 ： i(t)1Adti(t)1t(s)定義：設(shè)在區(qū)間I內(nèi)有定義，如果在I內(nèi)有可導(dǎo)函數(shù)F (x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),即對x 有 F(x) f(x)，或 dF(x) f (x)dx ,那么函數(shù)F (x)稱為f (x)在區(qū)間I內(nèi)的原函數(shù)。例 2 已知:u(0)=0 和 i(t),C=1F,求u(t)并畫

3、波形。解：分段求積分:u(t)u(0)0-1 :工Ctd0ti( )d1t221-3 :u(t)u(2)1u(1) 2Vt u(1) 1(L2 2t 22)d11V u(3) -Vu(t)3-4 :tu(3) 3 (4)d31t2 4t 82u(4) 0二、常微分方程定義：含有自變量、未知函數(shù)及其某些導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為微分方程。未知函 數(shù)是一元函數(shù)的是常微分方程。如果一個(gè)微分方程關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是線性的，則 稱此方程為線性微分方程；否則稱此方程為非線性微分方程。一個(gè)微分方程中出現(xiàn)未知函 數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為此微分方程的階。設(shè)y y(x)在區(qū)間I內(nèi)有定義，且存在 n階導(dǎo)數(shù)，如果將 y

4、 y(x)及其各階導(dǎo)數(shù)代入 原方程后能使其成為區(qū)間I上的恒等式Fx,y(x),y(x)，,y(x) 0 或y(x)Fx, y(x), y(x),，-1)(x)則稱y y(x)為原方程區(qū)間i上的一個(gè)解。若n階微分方程的解y(xq。,g)中含有n個(gè)互相獨(dú)立的任意常數(shù) G,C2,Cn,則稱其為原方程的通解，通解中的任意常數(shù) 確定后，所得到的確定的解稱為微分方程的特解。例3: 一階電路(1)只含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件(C L)的電路。(2)用一階微分方程描述其變量的電路。 TOC o 1-5 h z Us(t) UR(t) Uc(t)(1)由元件VCR導(dǎo)：UR(t) Ri(t)i(t) Cddt將(2)式代入(

5、1)式，得 HYPERLINK l bookmark51 o Current Document Rcdyn uc(t)= us(t)dt一階微分方程的求解：常系數(shù)非齊次一階微分方程dXF AX(t) BW(t)完全解為：X(t) Xh(t) Xp(t)dX -(1)齊次方程通解：d AX 0 dtXh(t) Kest S A 0 Xh(t) KeAt(2)非齊次方程特解：W Q常數(shù)At(3) K確定：X(t) Ke Q由初始條件解出 K以RC電路為例duCRC uC=uSdtduC1Us ucRCd(u uc)RCus uc兩端積分可得:ln(us uc)1t RC常數(shù)k可由初始條件確定。uc

6、(0)0故kIn usAt RC1. ,u u、因此 ln(us uC) In ust ,故 ln(-)RCus兩遍區(qū)反對數(shù)，得：us uce RCtus_Lt即 uc(t)us(1 e RC )三、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)x在點(diǎn)Po的某鄰域J(Po)內(nèi)有定義，令y yo ,自變量x自Xo取得增量 x ,相 應(yīng)地函數(shù)的增量為xZ f (Xox, yo) f (Xo, yo)稱為偏增量如果極限lirfx ox,y) f(x0,yo) x存在，則稱此極限值為函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)po處關(guān)于自變量x的偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)z f(x,y)在點(diǎn)po處關(guān)于x和y的偏導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，就稱它在po處可偏導(dǎo)。若在某區(qū)

7、域D內(nèi)每一點(diǎn)都可偏導(dǎo)，則稱它們?yōu)閒 (x, y)的偏導(dǎo)函數(shù)，也簡稱偏導(dǎo)數(shù)。例4: BJT的H參數(shù)的引出(?)?(?)a所示的雙口BJT的三個(gè)電極在電路中可連接成一個(gè)雙口網(wǎng)絡(luò)。以共射極連接為例，在圖網(wǎng)絡(luò)中，分別用Vbe、iB、Vce、iC表示輸入端口和輸出端口的電壓及電流。若以1b、Vce作自變量，Vbe、L作因變量，由BJT的輸入、輸出特性曲線可寫出以下兩個(gè)方程vBEiCf1(iB ,vCE) f2 (i B , vCE )式中1b、ic Vbe、VCe均為總瞬時(shí)值,而小信號模型是指BJT在交流低頻小信號工作狀態(tài)下的模型，這時(shí)要考慮的是電壓、電流間的微變關(guān)系。為此，要對上兩式取全微分，即dVB

8、E卡VCEQdiB金VCEdvCEI BQiCdiC 一iBdiBVCEQicvCEdVCEIBQ式中，dvBE表示Vbe中的變化量，如輸入為正弦波信號，則dvBE即可用vbe表示。同理,dvCE、diB、diC 可分別用 Vce、ib、ic表示。這樣，可將式(3)及式(4)寫成下列形vbehiehrevceichfeibhoeVce(6)式中hie、h- hfe、he稱為BJT共射極連接時(shí)的H參數(shù)。其中hie-vBE是BJT輸出端交流短路（vce 0,vCE VCEQ）時(shí)的輸入電阻，即小信號作用BB VCEQ下b-e極間的動(dòng)態(tài)電阻，單位為歐，也常用rbe表示。hfeC是BJT輸出端交流短路時(shí)

9、的正向電流傳輸比，或電流放大系數(shù)（無量綱） ，B B VCEQhre * 是BJT輸入端交流開路（即ib 0/b Ibq）時(shí)的反向電壓傳輸比（無量VcE Ibq綱）。hoe 是BJT輸入端交流開路時(shí)的輸出電導(dǎo)，單位為西（S）,也可用 工表示。VCE Ibqrce（2） BJT的H參數(shù)小信號模型式（5）表明，在BJT的輸入回路中，輸入電壓vbe等于兩個(gè)電壓相加，其中一個(gè)是hieib,表示輸入電流ib在hie上的電壓降；另一個(gè)是 hrevce ,表示輸出電壓ve對輸入回路的反作用，用一個(gè)受控源表示。式（6）表明，在輸出回路中，輸出電流ic由兩個(gè)并聯(lián)支路的電流相加組成，一個(gè)是受基級電流ib控制的hf

10、e,用受控電流源；另一個(gè)是由于輸出電壓vce,加在輸出電阻 上引起的電流hoevce。根據(jù)式（5）和式（6）,可以回出BJT在共射極連 hoe接時(shí)的H參數(shù)小信號模型，如圖 b所示。（3）小信號模型的簡化BJT在共射極連接時(shí)，其 H參數(shù)的數(shù)量級一般為,he Z10310 3 10 4ehfe hoe10210 5S其中hre和hoe很小，所以在BJT的小信號模型中常把 hre和hoe忽略掉。（4） H參數(shù)值得確定H參數(shù)值可以從特性曲線上求得，也可用H參數(shù)測試儀或晶體管特性曲線圖示儀測得。此外，rbe （即hie）可由下面的表達(dá)式求得：其中re很小可忽略。常溫下be bb (1)(Q re)26( mV) mA)相應(yīng)模型的例題：設(shè)如圖所示電路中 BJT的 40, rbb 200 ,Vbeq 0.7V ,其他元件參數(shù)如圖所示。試求該電路的 Av、Ri、Ro。若Rl開路，則從如何變化T0 陶？?兒名 12V? ?300?U4?24?(1)畫出小信號等效