現(xiàn)代控制理論第5章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1、第5章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 5.1 外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性 5.2 李亞普諾夫定義下的穩(wěn)定性 5.3 李亞普諾夫判穩(wěn)第一法 5.4 李亞普諾夫判穩(wěn)第二法 5.5 李亞普諾夫法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用 5.6 李亞普諾夫第二法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用 5.7 基于李亞普諾夫第二法的參數(shù)最優(yōu)問(wèn)題 5.8 基于李亞普諾夫第二法的模型參考控制系統(tǒng)外部穩(wěn)定性：系統(tǒng)在零初始條件下通過(guò)其外部狀態(tài)，即系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系所定義的（零狀態(tài)響應(yīng)）。適用于線性系統(tǒng)。內(nèi)部穩(wěn)定性：系統(tǒng)在零輸入條件下，由內(nèi)部狀態(tài)變化所定義。適用于線性、非線性系統(tǒng)。（零輸入響應(yīng)） 對(duì)于同一線性系統(tǒng)。只有在一定條件下，兩種定義才具有等價(jià)性。 李雅普諾夫方

2、法：適用于線性、非線性、時(shí)變系統(tǒng)。 包括零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)和經(jīng)典理論中穩(wěn)定性問(wèn)題一樣，考慮外部穩(wěn)定性問(wèn)題。而零輸入響應(yīng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，即研究齊次方程由任意非零初態(tài)引起的響應(yīng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，這是一種內(nèi)部穩(wěn)定性問(wèn)題。 1892年，俄國(guó)人李雅普諾夫發(fā)表了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題的博士論文，提出了分析穩(wěn)定性的兩種有效方法。第一種方法，通過(guò)對(duì)線性化系統(tǒng)特征方程的根的分析來(lái)判斷穩(wěn)定性，稱為間接法。此時(shí)，非線性系統(tǒng)必須先線性近似，而且只適用于平衡狀態(tài)附近。第二種方法，從能量的觀點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行研究，稱為直接法。顯然，第二種方法對(duì)線性、非線性系統(tǒng)都適用。 在狀態(tài)空間中，5.1 外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定

3、性5.1.1外部穩(wěn)定性 有界輸入有界輸出穩(wěn)定性；線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；零初始條件。定義：初始條件為零的系統(tǒng)，任何一個(gè)有界輸入作用下系統(tǒng)的輸出也是有界的，則系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。BIBO穩(wěn)定：Bounded input Bounded output 1.單輸入單輸出系統(tǒng)（模的有界性）2.多輸入多輸出系統(tǒng)（模的有界性）可用每個(gè)分量的模的有界性表征。5.1.2內(nèi)部穩(wěn)定性零輸入條件下的系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)，其自治狀態(tài)方程為 內(nèi)部穩(wěn)定性完全由內(nèi)部狀態(tài)變化所定義，考慮的是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，適用于線性、非線性、定常、時(shí)變等系統(tǒng)。其定義為：系統(tǒng)由任意非零初態(tài)x(t0)引起的響應(yīng)xu(t)有界，并滿足漸近屬性 對(duì)于一般情況，內(nèi)

4、部穩(wěn)定性指自治系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，實(shí)質(zhì)上，內(nèi)部穩(wěn)定性等同于下一節(jié)將介紹的李亞普諾夫漸近穩(wěn)定性。 例5.1單輸入單輸出系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0，分析系統(tǒng)的外部與內(nèi)部穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)在輸入u的作用下系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為 y1為零輸入響應(yīng)， y2為零狀態(tài)響應(yīng)。1）根據(jù)外部穩(wěn)定性的定義，有x0 =0，若系統(tǒng)對(duì)任何有界輸入 則該系統(tǒng)具有外部穩(wěn)定性。即零狀態(tài)響應(yīng)為等幅振蕩或衰減響應(yīng)。（系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部具有負(fù)實(shí)部。）系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定，即漸近穩(wěn)定的充分必要條件是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足下式 2）根據(jù)內(nèi)部穩(wěn)定性的定義，有u =0，系統(tǒng)由任意非零初態(tài)x0引起的響應(yīng)xu(t)為 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，滿足上式的條件是系統(tǒng)矩陣A的

5、所有特征值全部具有負(fù)實(shí)部。 可見(jiàn)，對(duì)于同一系統(tǒng)，只有在一定條件下，外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性兩種定義才具有等價(jià)性。注： 對(duì)單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)具有外部穩(wěn)定性的充要條件是其傳遞函數(shù)所有極點(diǎn)都位于s平面的左半面。（包含臨界穩(wěn)定）（未考慮零極點(diǎn)對(duì)消，只考慮了能控且能觀的狀態(tài)）5.2李亞普諾夫定義下的穩(wěn)定性李雅普諾夫定義：針對(duì)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，適用于單變量、線性、定常系統(tǒng)、多變量、非線性、時(shí)變系統(tǒng)。衰減與否5.2.1系統(tǒng)的平衡狀態(tài)自制系統(tǒng)：不受外部作用若對(duì)任意時(shí)間t則稱xe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，也稱系統(tǒng)的零解1. 線性定常系統(tǒng)的平衡狀態(tài)n維狀態(tài)空間的坐標(biāo)原點(diǎn)是一個(gè)平衡狀態(tài)（1）A為非奇異陣，原點(diǎn)是唯一平衡狀

6、態(tài)（2）A為奇異陣，還有其他平衡狀態(tài)例：注意：在t0時(shí)刻的平衡狀態(tài)，指t t0時(shí)，所有滿足A(t)x=0的狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，若無(wú)輸入作用，則系統(tǒng)一直處于該狀態(tài)。 由Ax=0，可知平衡狀態(tài)為x1R,x2=0原點(diǎn)必為一個(gè)平衡狀態(tài)。2.非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)非線性系統(tǒng)可能有不同的平衡狀態(tài)，其穩(wěn)定性可能不同。 例：由平衡狀態(tài)定義，令f(x1,x2)=0，可求得平衡狀態(tài)注： 1、線性系統(tǒng)的任意平衡狀態(tài)均可通過(guò)坐標(biāo)變換將其移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，其穩(wěn)定性是一致的。 不失一般性的，我們認(rèn)為線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)確定為xe=0。 2、對(duì)線性定常系統(tǒng)，可以認(rèn)為是研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性；而對(duì)其他系統(tǒng)，只能認(rèn)為是研究某一平

7、衡態(tài)下的穩(wěn)定性。5.2.2狀態(tài)矢量范數(shù)范數(shù)表示狀態(tài)矢量x與平衡狀態(tài)xe之間的距離。 如圖所示三個(gè)系統(tǒng)，均處于平衡狀態(tài)，考察其受擾動(dòng)作用，自平衡狀態(tài)偏離后的系統(tǒng)響應(yīng)。（a）自由響應(yīng)有界；（b）自由響應(yīng)有界，且最終返回原來(lái)初態(tài)；（c）自用響應(yīng)無(wú)界。(a)(b)(c)李雅普諾夫把以上三種情況分別定義為穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、不穩(wěn)定。5.2.3李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義1.穩(wěn)定（1）定義：設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0 處在狀態(tài)空間中，位于以平衡狀態(tài) xe 為球心，半徑為的閉球域s ()內(nèi)，即 |x0-xe|，t= t0 若系統(tǒng)由初態(tài)x0出發(fā)的系統(tǒng)響應(yīng)x (t ；x0， t0 )在t 的過(guò)程中都位于以平衡狀態(tài)xe為球

8、心，半徑為的閉球域s()內(nèi)，即 |x (t ；x0，t0 ) - xe|，t t0 則稱動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，或稱系統(tǒng)具有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。 式中，|表示向量的范數(shù)（模）。 如果的大小與t0無(wú)關(guān)，則稱x是李雅普諾夫意義下的一致穩(wěn)定；否則為局部穩(wěn)定。（2）李雅普諾夫穩(wěn)定性定義的幾何解釋（考慮x0 =0）： 在狀態(tài)空間中，任給一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的球域 s()，無(wú)論多小，都能找到一個(gè)以原點(diǎn)為中心的球域 s()，使任何從 s()出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡，都不超出 s()?？紤]二維空間，s()、s()均為一個(gè)圓。 不穩(wěn)定不穩(wěn)定x1x2s()s()x0穩(wěn)定2、漸近穩(wěn)定(重要)（

9、1）定義： 如果平衡狀態(tài)x0不僅是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，且從球域S ()出發(fā)的任意解x，時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，不僅不會(huì)超出球域S ()，而且最終收斂于平衡狀態(tài)xe或其鄰域，即 則稱平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。（2）幾何含義 注意，漸近穩(wěn)定首先應(yīng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。x1x2s()s()x0漸近穩(wěn)定 工程上往往喜歡漸近穩(wěn)定，因?yàn)橄Ｍ蓴_除去后，系統(tǒng)又會(huì)回到原來(lái)的工作狀態(tài)，這個(gè)狀態(tài)正是我們?cè)O(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)所期望的，也就是前面所說(shuō)的平衡狀態(tài)。 無(wú)論是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定、漸進(jìn)穩(wěn)定，都屬于系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近一小范圍內(nèi)的局部性質(zhì)。因?yàn)橄到y(tǒng)只要在包圍 xe 的小范圍內(nèi)，能找到和滿足定義中條件即可。至于從s()

10、外的狀態(tài)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)，卻完全可以超出s()。因此，上面涉及的是小范圍穩(wěn)定或小范圍漸近穩(wěn)定。 而從實(shí)用觀點(diǎn)出發(fā)，僅僅判知系統(tǒng)是小范圍漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)不一定能正常工作，一旦實(shí)際存在的干擾，使系統(tǒng)的初始狀態(tài)偏離而超出s()的范圍，就會(huì)導(dǎo)致x有可能不返回xe。解決辦法是確定漸近穩(wěn)定的最大范圍。然后把實(shí)際干擾的大小限制在此范圍內(nèi)。實(shí)際上，此范圍的確定非常困難，且限制干擾的大小，也不一定能做到。因此，工程上對(duì)大范圍漸近穩(wěn)定更感興趣。3.大范圍漸近穩(wěn)定 (重要) 如果系統(tǒng)在任意初始條件下的解x ，當(dāng)t的過(guò)程中，收斂于平衡狀態(tài)xe或其鄰域，則平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的，且其范圍包含整個(gè)狀態(tài)空間，則稱xe是大范圍漸

11、近穩(wěn)定，或稱全局漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。 大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是：狀態(tài)空間中系統(tǒng)中只有一個(gè)平衡狀態(tài)。（經(jīng)典控制理論當(dāng)中，只有漸近穩(wěn)定才是穩(wěn)定）例： 可知零狀態(tài)必然是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，而若零狀態(tài)漸近穩(wěn)定，因?yàn)樗窍到y(tǒng)唯一的孤立平衡狀態(tài)，則必然是大范圍漸近穩(wěn)定的。 可見(jiàn)，線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件無(wú)關(guān)。4.不穩(wěn)定 如果無(wú)論 的值有多么小，即初始狀態(tài)x0與平衡狀態(tài)xe非常接近，而由球域s()內(nèi)出發(fā)的任意解，只要有一條軌跡離開(kāi)球域s()，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。 由于上述定義不能詳細(xì)地說(shuō)明可容許初始條件的精確吸引域，因而除非S()對(duì)應(yīng)于整個(gè)狀態(tài)平面，否則這些定義只能應(yīng)用于平衡狀態(tài)的鄰域，是局部性能

12、。局部漸近穩(wěn)定局部不穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定局部穩(wěn)定1.線性定常系統(tǒng)：任一孤立平衡狀態(tài)，都可通過(guò)坐標(biāo)變換移到狀態(tài)空間的原點(diǎn)，分析原點(diǎn)的穩(wěn)定性具有代表性。2.非線性系統(tǒng)：各個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性不同，應(yīng)該分別分析各平衡狀態(tài)xe的穩(wěn)定性。3.穩(wěn)定只要求狀態(tài)軌跡在球域s()中，而漸近穩(wěn)定要求x最終收斂于或無(wú)限接近于平衡狀態(tài)xe。4.實(shí)際中希望xe為大范圍漸近穩(wěn)定。5.對(duì)于線性系統(tǒng)：若平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則一定是大范圍漸近穩(wěn)定。6.在經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性概念與Lyapunov意義下的穩(wěn)定性概念是有一定的區(qū)別的，例如，在經(jīng)典控制理論中只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱為穩(wěn)定的系統(tǒng)；在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的

13、，但卻不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，則叫做不穩(wěn)定系統(tǒng)。 結(jié)論（重要）例5.2解 令u=0，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 xe1=任意值輸入信號(hào)為0時(shí)，狀態(tài)方程的解為 在t的過(guò)程中，由于系統(tǒng)的解x不是收斂于平衡狀態(tài) xe，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。實(shí)際上，只要每個(gè)特征值均具有負(fù)實(shí)部，則每個(gè)狀態(tài)分量的零輸入解將衰減為0，即收斂于0平衡狀態(tài)，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 實(shí)際上，由于是線性系統(tǒng)，分析原點(diǎn)的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性即可。例5.3直接用定義判斷系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性和輸入輸出穩(wěn)定性。解：令u=0，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)0輸入的狀態(tài)解為系統(tǒng)漸近穩(wěn)定系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定，系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)的總輸出=輸入激勵(lì)的響應(yīng)。系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定。A陣特征值1=

14、-2，2=-3，可知漸近穩(wěn)定，外部穩(wěn)定。 實(shí)際上可以直接判斷：5.2.4外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性之間的關(guān)系 單輸入單輸出系統(tǒng)1.若傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消1. 不存在公因子相消，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與系統(tǒng)特征值相同。極點(diǎn) 外部穩(wěn)定性；特征值 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 狀態(tài)軌跡 內(nèi)部穩(wěn)定性；內(nèi)部穩(wěn)定性 外部穩(wěn)定性2.若系統(tǒng)存在公因子相消-零極點(diǎn)對(duì)消 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)少于系統(tǒng)特征值，由于可能消去的是正實(shí)部的極點(diǎn)，則系統(tǒng)具有外部穩(wěn)定性，但不一定具有內(nèi)部穩(wěn)定性。G(s)的極點(diǎn)只是矩陣A的特征值的子集。內(nèi)部穩(wěn)定 外部穩(wěn)定外部穩(wěn)定 內(nèi)部穩(wěn)定結(jié)論（線性定常系統(tǒng)）： 4.若系統(tǒng)狀態(tài)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)輸出是穩(wěn)定的。1.內(nèi)部穩(wěn)定 外部穩(wěn)定

15、2.外部穩(wěn)定 內(nèi)部穩(wěn)定3.若系統(tǒng)能控能觀，則內(nèi)部穩(wěn)定 外部穩(wěn)定 只用傳遞函數(shù)的極點(diǎn)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性不一定真正反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)部可能有一些狀態(tài)越界，導(dǎo)致系統(tǒng)飽和或出現(xiàn)危險(xiǎn)。 5.3 李雅普諾夫判穩(wěn)第一法1.是間接的方法；2.由A求i，根據(jù)系統(tǒng)的特征值判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性3.對(duì)于非線性系統(tǒng)，首先需要進(jìn)行線性化。5.3.1線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的特征值判據(jù)定理：線性定常系統(tǒng) 的零平衡狀態(tài)xe是漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是：A陣的所有特征值具有負(fù)實(shí)部。定理：若所有的有界輸入引起的零狀態(tài)響應(yīng)的輸出有界，則稱系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定。充要條件是W(s)的所有極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部。 零輸入響應(yīng)屬

16、于內(nèi)部穩(wěn)定性（狀態(tài)穩(wěn)定性）。 零狀態(tài)響應(yīng)屬于系統(tǒng)外部穩(wěn)定性，又稱之為輸入輸出穩(wěn)定性（BIBO穩(wěn)定性）。例5.4 判斷系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性和輸入輸出穩(wěn)定性。解：直接判斷系統(tǒng)狀態(tài)x1不穩(wěn)定。系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定。例5.5判斷系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性和輸入輸出穩(wěn)定性。極點(diǎn)-3具有負(fù)實(shí)部，是輸入輸出穩(wěn)定的。 解：1）外部穩(wěn)定性（輸入輸出穩(wěn)定性）2）內(nèi)部穩(wěn)定性分析由 系統(tǒng)非漸近穩(wěn)定，但是輸入輸出穩(wěn)定。因?yàn)榇嬖诹銟O點(diǎn)對(duì)消，消掉了具有正實(shí)部的特征值=2。2 線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析定理 線性定常離散系統(tǒng) 的零平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣G陣的所有特征值的模全部位于根平面的單位圓內(nèi)，即 例5.8 試確定系統(tǒng)在原點(diǎn)的穩(wěn)

17、定性。 G陣的所有特征值的模都小于1，加上系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)，因此此離散系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。解 求離散系統(tǒng)的特征值5.3.2線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)為xe=0在時(shí)刻t0是漸近穩(wěn)定的。 設(shè)線性系統(tǒng)為 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為xe=0，狀態(tài)方程的解為tt00 若有則 5.3.3非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 當(dāng)n維狀態(tài)向量函數(shù)f（x）對(duì)x有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，可將非線性向量函數(shù)f（x）在平衡狀態(tài)xe附近展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)非線性系統(tǒng)為 忽略二次以上的高次項(xiàng)，得出非線性系統(tǒng)一次近似的線性化數(shù)學(xué)模型為判斷方法：1.若矩陣A所有特征根具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)在xe處漸近穩(wěn)定，與忽略掉的（x）無(wú)關(guān)；2.只

18、要A有一個(gè)特征根具有正實(shí)部，系統(tǒng)在xe處不穩(wěn)定，與（x）無(wú)關(guān)；3.只要A有一個(gè)特征根實(shí)部為0（純虛根，0根），系統(tǒng)在xe處穩(wěn)定性與（x）有關(guān)；不能直接判斷穩(wěn)定性，只能用李雅普諾夫第二法判斷。例5.9分析系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性。 2.線性化3.求線性化后的特征根4.由勞斯判據(jù)可知，系統(tǒng)的特征根全部具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處漸近穩(wěn)定。解：1.求系統(tǒng)的平衡狀態(tài)5.4 李亞普諾夫判穩(wěn)第二法一、李雅普諾夫第二法的基本思想 二、標(biāo)量函數(shù)V（x）的符號(hào)性質(zhì)三、二次型標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)四、李雅普諾夫第二法的穩(wěn)定性判據(jù) 5.4.1李雅普諾夫第二法的基本思想iLRuCy例：選取i(t)和y(t)作為狀態(tài)變量， x1

19、(t)=i(t)，x2(t)=y(t)，u=0。電容能量電感能量電路總能量能量變化率平衡狀態(tài)xe=0系統(tǒng)總能量不變，響應(yīng)為等幅振蕩，是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。系統(tǒng)總能量衰減，是李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定。儲(chǔ)能元件電容C電感L質(zhì)量M轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J彈簧K能量方程Cu2/2Li2/2Mv2/2J2/2Kx2/2物理變量電壓u電流i速度v轉(zhuǎn)速長(zhǎng)度變化x說(shuō)明： 能量及能量的變化率表明，一旦系統(tǒng)因干擾偏離xe (x10，x20)，若系統(tǒng)具有正能量，將產(chǎn)生自由運(yùn)動(dòng)。若沿著狀態(tài)矢量的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，系統(tǒng)能量又具有負(fù)的變化速度。這意味著，隨時(shí)間增長(zhǎng)，能量將不斷耗散，從而趨于能量最小的平衡狀態(tài)xe ，直至能量消耗殆盡，最

20、后回到能量等于0的平衡狀態(tài)xe ，因此系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。反之，如果在運(yùn)動(dòng)中，系統(tǒng)能量具有正的變化速度，系統(tǒng)將不斷從外界吸收能量，能量越來(lái)越大，肯定不穩(wěn)定。 李雅普諾夫第二法又稱直接法，從能量的觀點(diǎn)來(lái)研究物理系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。其基本思想是：系統(tǒng)所具有能量是狀態(tài)矢量x的標(biāo)量函數(shù)。平衡狀態(tài)具有的能量最小。 對(duì)于一般系統(tǒng)，引入一個(gè)虛構(gòu)的能量函數(shù)，稱為李雅普諾夫函數(shù)，一般與狀態(tài)變量和時(shí)間有關(guān)V（x，t）；若不顯含t ，記為V（x） 。 李氏第二法利用系統(tǒng)的能量函數(shù)V（x）和 的正負(fù)去判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 二者均是x的標(biāo)量函數(shù)。5.4.2標(biāo)量函數(shù)V（x）的符號(hào)性質(zhì) 設(shè)V（x）是在域中的n維狀態(tài)x所定義的一個(gè)標(biāo)量

21、函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)， V（x）=0。如果對(duì)域中的非零狀態(tài)，即當(dāng)x0時(shí)， 有1.V（x）0，稱V（x）為正定的。 V（x）=x12+ x222.V（x）0，稱V（x）為半正定的。 V（x）=(x1+ x2)23.V（x）0,正定；2） ,負(fù)定；則系統(tǒng)在xe處漸近穩(wěn)定。x1x2xe例5.12 a為正實(shí)數(shù)，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解：若應(yīng)用李氏第一法： 1.求系統(tǒng)的平衡狀態(tài)2.線性化3.求線性化后的特征根4.由于系統(tǒng)的特征根實(shí)部為0，系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處穩(wěn)定性無(wú)法判斷，只能用李氏第二法。解二：用李氏第二法1）求平衡狀態(tài)2)選取V(x)為正定的二次型 由判據(jù)一可知,系統(tǒng)在0平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；由于|x|，有V

22、(x,t)，系統(tǒng)也是大范圍漸近穩(wěn)定。例5.13 給定線性時(shí)變系統(tǒng)，判定其原點(diǎn)xe=0是否是大范圍漸近穩(wěn)定。系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。 t0 解 取正定矩陣則系統(tǒng)李亞普諾夫函數(shù)，及其對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)分別為例5.14 試確定離散系統(tǒng)在原點(diǎn)的穩(wěn)定性。由于離散系統(tǒng)不存在能量函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，而是代之以能量函數(shù)的增量解 取正定實(shí)對(duì)稱矩陣P為則系統(tǒng)能量函數(shù)為系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的 2、判據(jù)二1）V(x,t)0，正定；2） ，半負(fù)定；則系統(tǒng)在 xe 處穩(wěn)定。3）此外，對(duì)于任意初始時(shí)刻t 0時(shí)的任意狀態(tài)x00，在tt0時(shí)除在x=xe時(shí)有 外， 不恒等于0。則系統(tǒng)在 xe 處是漸近穩(wěn)定的。 x

23、1x2軌跡相切于能量等值線xex1x2xe例5.15 分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 1)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為xe=02)選擇能量函數(shù)由判據(jù)二可知，系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。3)考察 在系統(tǒng)方程的非零狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡上是否恒為零。假設(shè)意味只有零平衡狀態(tài)才滿足。 與假設(shè)條件矛盾，故假設(shè)情況不會(huì)發(fā)生在方程的解運(yùn)動(dòng)軌跡上。因此，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。3、判據(jù)三則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe處是不穩(wěn)定的。 1）V(x,t)0，正定；2） ,正定；例5.16分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解1）求平衡狀態(tài)2）選擇能量函數(shù)由判據(jù)3，系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。例5.18 分析此系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解1）求平衡狀態(tài)2）選擇能量函數(shù)由判據(jù)2

24、，系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。無(wú)法判斷。負(fù)定，|x|，有V(x,t) ，由判據(jù)1，系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。說(shuō)明： 1）應(yīng)用李氏第二法分析穩(wěn)定性的關(guān)鍵在于如何找到李氏函數(shù)V(x)。李氏穩(wěn)定性定理本身沒(méi)有提供構(gòu)造李氏函數(shù)的一般方法。對(duì)于線性系統(tǒng)，李氏函數(shù)一定可以用二次型函數(shù)V(x)= xTPx構(gòu)造；2）定理給出的僅為穩(wěn)定性的充分條件，即所構(gòu)造的李氏函數(shù)不符合要求，不能說(shuō)明系統(tǒng)不穩(wěn)定，也許沒(méi)有找到恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)而已。3）對(duì)于給定系統(tǒng)，李氏函數(shù)不是唯一的。4）滿足負(fù)定的條件并不容易，可用半負(fù)定來(lái)代替，常用判據(jù)2。5）李氏函數(shù)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)；6）對(duì)于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，總是存在李氏函數(shù)；7）對(duì)于線

25、性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，必是大范圍漸近穩(wěn)定的。5.5 李亞普諾夫法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用李亞普諾夫矩陣方程 李亞普諾夫矩陣方程的應(yīng)用5.5.1李亞普諾夫矩陣方程 對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，A為非奇異陣，故xe=0是系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)。其穩(wěn)定性可由其特征值是否全有負(fù)實(shí)部來(lái)判定。 初選一李氏函數(shù)，取為二次型，即令V(x)=xTPx 0，P為n維實(shí)對(duì)稱正定陣。則 其中，-Q=ATP+PA，此為李亞普諾夫矩陣方程。于是，穩(wěn)定性判斷的問(wèn)題簡(jiǎn)化為只要找到一對(duì)矩陣P、Q，滿足李氏矩陣方程，且均為正定矩陣，則V(x)正定， 負(fù)定，系統(tǒng)零平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定。 P 、Q求解 先選定Q，由方程- Q =AT P +

26、PA求P ，通常選Q =I。 V(x)= xTPx 05.5.2李亞普諾夫矩陣方程在線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判別中的應(yīng)用判據(jù)四 對(duì)于線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)，其零平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件是，對(duì)于任意給定的一個(gè)正定對(duì)成的矩陣Q，都存在一個(gè)正定對(duì)稱的矩陣P滿足矩陣方程 -Q=ATP+PA 此時(shí)，標(biāo)量函數(shù)V(x)= xTPx就是系統(tǒng)的一個(gè)李氏函數(shù)。 注意1.是充要條件；2.對(duì)正定對(duì)稱矩陣Q ， 判決結(jié)果與型式選擇無(wú)關(guān)，可取Q = I，即4.求出P ，按照P的符號(hào)判決： P 正定，漸近穩(wěn)定；P半正定、穩(wěn)定， P負(fù)定，不穩(wěn)定。5.如果Q =I，而李氏方程沒(méi)有解，或具有多個(gè)解，或具有唯一解而解非正定方程，都表明系統(tǒng)

27、不是漸近穩(wěn)定。3.如 沿任意運(yùn)動(dòng)軌跡都不恒等于0，則Q取半正定也可。例題5.19判斷穩(wěn)定性。2）選取李氏函數(shù)為解1）xe=0即希望實(shí)對(duì)稱矩陣由塞爾維斯特判據(jù)各階主子式：所以， P正定，在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。李氏函數(shù)3）判斷P是否正定例5.20試確定如圖所示系統(tǒng)增益K的穩(wěn)定范圍。解：1.由題可知，xe=0是唯一平衡狀態(tài) 恒等于0只能出現(xiàn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，因此可用此半正定陣來(lái)判斷穩(wěn)定性，以簡(jiǎn)化計(jì)算 。2.設(shè)選取半正定矩陣Q沿任意運(yùn)動(dòng)軌跡都不恒等于0檢驗(yàn) 在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否恒等于0。 由塞爾維斯特判據(jù)，若P為正定陣，其充要條件為： 12-2k0，且k0， 即 0k0的取值，使得系統(tǒng)在單位階躍輸入r(t

28、)=1(t)作用下，性能指標(biāo)定義如下?tīng)顟B(tài)變量解 達(dá)到極小。式中的e為誤差信號(hào)，e =rc，為加權(quán)系數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)開(kāi)始時(shí)是靜止的。由于輸入r(t)是單位階躍函數(shù)，所以 Q是正定矩陣。由于A是穩(wěn)定矩陣， 式中的P由下式確定對(duì) 使J為極小，可令5.8 基于李亞普諾夫第二法的模型參考控制系統(tǒng)5.8.1 模型參考控制系統(tǒng) 由于所有的物理對(duì)象在某種程度上均是非線性的，所以設(shè)計(jì)出的系統(tǒng)僅在一個(gè)有限的工作范圍內(nèi)才能得到滿意的結(jié)果。在這種情況下，可以采用系統(tǒng)設(shè)計(jì)的模型參考方法。 使系統(tǒng)具有理想性能的一種有效的方法是利用一個(gè)參考模型，對(duì)給定的輸入產(chǎn)生所希望的輸出。參考模型也稱為模型參考系統(tǒng)，它不必是實(shí)際的硬件設(shè)備，可以是在計(jì)算機(jī)上模擬的數(shù)學(xué)模型。具有參考模型的控制系統(tǒng)，稱為模型參考控制系統(tǒng)。在模型參考控制系統(tǒng)中，將參考模型的輸出和受控對(duì)象的輸出進(jìn)行比較，差值用來(lái)產(chǎn)生控制信號(hào)。參考系統(tǒng)是根據(jù)被控系統(tǒng)期望的動(dòng)態(tài)性能選擇的，控制的目的是使受控系統(tǒng)的輸出漸近跟隨模型參考系統(tǒng)的輸出，從而使受控系統(tǒng)滿足期望的動(dòng)態(tài)性能，受控系統(tǒng)與模型參考系統(tǒng)的輸