數(shù)的整除特征

1、數(shù)的整除特征學(xué)問概要數(shù)的整除特征具有較強(qiáng)的實(shí)際意義，常用的數(shù)的整除特征如下：1、能被2整除數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0、2、4、6、8的數(shù)能被2整除。2、能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0和5的數(shù)能被5整除。3、能被3 （或9）整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字和能被3 （或9）整除。這個(gè)數(shù)能被3 （或9） 整除。4、能被4 （或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4 （或25）整除。5、能被8 （或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8 （或125）整除。6、能被7 （或11或13）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（大 減?。┠鼙? （或11或13）整除八7、能被11整除的數(shù)的特征：奇

2、數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差（大減?。┠鼙?1整除。例題解評例1、假如六位數(shù)12x40y能被72整除，試求此六位數(shù)。思路點(diǎn)撥：由于六位數(shù)12x40y是72的倍數(shù)，且72=9x8 ,所以12x40y既是8的倍數(shù)又是 9的倍數(shù)。據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，知40y是8的倍數(shù)。（1）當(dāng)y=O 口寸，依據(jù)1+2 + x+4是9的倍數(shù)，且gxg9可得x=2（2）當(dāng)y=8時(shí)，依據(jù)l+2 + x+4+8是9的倍數(shù)，且gxS9可得x=3 所以所求的六位數(shù)是122400或123408。例2、一個(gè)四位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和，其差還是一個(gè)四位數(shù)603A，試求出A。思路點(diǎn)撥：設(shè)這個(gè)四位數(shù)為abed ,那么abcd=10

3、00 xa+100 xb+10 xc + d,它的各位數(shù)字之和為 a+b+c+d。于是有：abed- （a+b+c+d）= 1000 xa+ 100 xb+ lOxcxd （a+b+c+d）=999xa+99xb + 9xc=9x （lllxa+llxb+c）.這說明“一個(gè)自然數(shù)減去它的各位數(shù)字之和后，所得之差肯定是9的倍數(shù)，”由這個(gè)差等 于603A ,由此就可求出A來。即：一個(gè)自然數(shù)減去它的各位數(shù)字之和后，所得之差肯定是9的倍數(shù)，所以是9的倍數(shù)。依據(jù)能 被9整除的數(shù)的特征，6+0+3 + A=9 + A應(yīng)是9的倍數(shù)，可見。可取?；?。例3、假如六位數(shù)（）5993（）能被33整除，這個(gè)六位數(shù)是

4、和。思路點(diǎn)撥：由于33=3x11,所以這個(gè)六位數(shù)能被3整除，有能被11整除。一個(gè)數(shù)各位各位數(shù)字之和能被3整除，這個(gè)數(shù)能被3整除；一個(gè)數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字之和與 偶數(shù)位上數(shù)字之和的差能被II整除，這個(gè)數(shù)就能被11整除。綜合考慮上面兩條，可知這個(gè) 六位數(shù)是：154935, 454938答：這個(gè)六位數(shù)是154935、454938 o例4、 假如六位數(shù)1992能被105整除，那么，它的最終兩位數(shù)是幾？思路點(diǎn)撥：我們可以換一個(gè)思維方式，由于該數(shù)介于99200199299之間。設(shè)該數(shù)位199299, 而199299X05=18989,所以199299-9=199290能被1。5整除，可見最終兩位數(shù)是90。例5、

5、在口內(nèi)填上合適的數(shù)，使六位數(shù)口1998能被56整除。思路點(diǎn)撥：由于56可以分解成7與8的成果，所以，要使能被56整除，就應(yīng)讓它能分別被 7和8整除。先考慮它怎樣才能被8整除：一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8整除。這個(gè)數(shù)就能被8因此，四位數(shù)ACD是986或4689。. 一個(gè)六位數(shù)的各位數(shù)字都不相同，最左邊一個(gè)數(shù)字是3,且此六位數(shù)能被11整除。這 樣的六位數(shù)中的最小的數(shù)是多少？解答：依題意，設(shè)所求的六位數(shù)為30124a,由于六位數(shù)30124a能被11整除，所以(a+2) - (4+1+3)=a-6應(yīng)是11的倍數(shù)。故a=6。因此，所求的最小六位數(shù)是301246。.五位數(shù)abcde能被6整除，那么2x(a+b+

6、c+d)e也能被6整除。請說明道理。解答：由于abcde能被6整除，所以它能分別被2和3整除，故e為2的倍數(shù),a+b+c+d+e 是 3 的倍數(shù)。由于 2x (a+b+c+d) e=2x (a+b+c+d+e) 3e,而 2x (a+b+c+d+e)、3e 者B 能被6整除，所以2x (a+b+c+d) e能被6整除。.某數(shù)乘以7后，乘積的最終三位數(shù)是173,那么這樣的整數(shù)中最小的是多少？解答：設(shè)這個(gè)數(shù)為N,乘積為A173,依據(jù)題意Nx7=A173,現(xiàn)要求N最小，即使A173 為最小，A應(yīng)是多少呢？可以從最小的數(shù)試起。假設(shè)A=l, 1173不能被7整除，舍去；同理當(dāng)A=2, 3, 4時(shí)，A17

7、3都不能被7整除，舍去。當(dāng)A=5時(shí)，5173被7整除,所以N最小數(shù)為5173:7=739。設(shè)這個(gè)數(shù)為N,由題設(shè)7xN=A173,即7 I A173,由(6)可知所求最小的A滿意7 I 173-A,或7I5-A,明顯當(dāng)A=5時(shí)即7xN=5173時(shí)N最小,最小值為739。答：這樣的整數(shù)中最小者為739。.從1到9這九個(gè)數(shù)字中排出8個(gè)數(shù)字，組成能被12整除的八位數(shù)，這樣的八位數(shù)中， 最大和最小的各是多少？解答：能被12整除的數(shù)必能被3和4整除，能被3整除的數(shù)，其數(shù)字之和必能被3整 除，由于1+2+3+.+8+9=45能被3整除，因此去掉3、6、9中的任一個(gè)所剩下的8個(gè)數(shù)組 成的八位數(shù)肯定是3的倍數(shù)，

8、要使八位數(shù)最大，應(yīng)去掉數(shù)字3,并使高位的數(shù)盡可能大，兼 顧末兩位數(shù)被4整除的條件。最大八位數(shù)為98765412；不難知道最小的八位數(shù)為12345768。答：所求的最大數(shù)為98765412,最小數(shù)為12345768。.下面這二百零一位數(shù)111口222 (其中1和2各有100個(gè))能被13整除，那么中間 方格內(nèi)應(yīng)填什么數(shù)？解答被13整除，而100=6x16+4,故原來被13整除的算式即變?yōu)?3 I 1111d2222； 再依據(jù)(6)還可變?yōu)?3 I 333-1口2,經(jīng)試算即可知方格應(yīng)填1。答：方格內(nèi)應(yīng)填上1。.試求出全部滿意下述條件的兩位數(shù)，當(dāng)它們分別乘以數(shù)字2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9、 9時(shí) 其積的數(shù)字之和均不變。解答：由于所求的兩位數(shù)乘以9后數(shù)字之和不變，可知其數(shù)字之和是9的倍數(shù)，這樣的 數(shù)字只有10個(gè)：18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99；對每一個(gè)數(shù)字進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié) 果只有18, 45, 90和99滿意題目要求。答：數(shù)字18, 45, 90, 99滿意題設(shè)要求。.傳奇從前有個(gè)巧匠叫布克，該國的國王久聞其名。有一次，國王想考一考布克，看看他 是否真的很聰明。于是他把布克叫到宮中，出了這樣一道難題考他：“你給我鋸一根長方體 木料，這根木料的相鄰兩個(gè)面的面積是108平方分米和32平方分米，長、寬、高都是整分 米數(shù)且長度均不為1分米，假如把

10、它鋸成假設(shè)干個(gè)小木塊，那么鋸得的小方塊必需能拚成一個(gè) 大正方體。請你回答我要你鋸的這根木料的長、寬、高各是多少？這根木料最少能鋸成幾個(gè) 大小相同的小方塊？要鋸幾次？這些小木塊拼成的大正方體棱長是多少？ ”布克不愧為一個(gè) 巧匠，面對國王連珠炮般的提問，他鎮(zhèn)靜鎮(zhèn)靜地作了正確的回答，國王興猶未盡，連續(xù)問到: “假如我現(xiàn)在有一批這樣的長方體木料，要堆成一個(gè)正方體的實(shí)心木垛，這樣的木料至少有 兒根？有多高？”布克又圓滿地回答了國王的提問，這位賢明的國王對布克大為贊揚(yáng)，重重 地獎賞了他。小讀者，如你是布克，你能正確回答嗎？解答：由于相鄰兩個(gè)面有一條公共邊，所以這條公共邊的長是108、32的公約數(shù)，這個(gè) 公

11、約數(shù)是1、2或4； 1不合題意，不考慮，當(dāng)公共邊為2分米時(shí)，長方體的長、寬、高中另 兩條是54分米，16分米；當(dāng)公共邊長4分米時(shí)，另兩條是27分米，8分米。由于把這個(gè)長方體鋸開后要拼成一個(gè)大正方體，所以長方體體積等于正方體體積。嘗試 兩種狀況：54x16x2 = 2x3x3x3x2x2x2x2x2= （2x2x3） x （2x2x3） x （2x2x3） =12327x8x4 = 3x3x3x2x2x2x2x2=2x3x2x3x2x3x2x2由于正方體的體積是棱長的立方，所以把它的體積分解質(zhì)因數(shù)必可得到三組相同的質(zhì)因 數(shù)，第一種狀況滿意這一條件。其次種狀況無法滿意。所以長方體的長、寬、高分別是

12、54分米、16分米，2分米。拼得的正方體棱長為12 分米，鋸成的小正方體的棱長應(yīng)是54、16、2的公約數(shù)，要求塊數(shù)最少那么小正方體棱長最大, 最大公約數(shù)為2分米，那么長方體的長分27塊，寬8塊，高不必鋸，共鋸的次數(shù)為（271） + （8-1） =33 （次）。要堆成實(shí)心的正方體木垛，這個(gè)正方體的棱長應(yīng)是長、寬、高的公倍數(shù)，塊數(shù)最少那么正 方體棱長最小，最小公倍數(shù)為432分米，堆一垛至少要432x432x432： （54x16x2） =46656 （塊）,高為43.2米。這道題綜合了最大公約數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)，立方數(shù)的特征，最小公倍數(shù)的學(xué)問，在解題中 要正確選擇畢竟應(yīng)用何種學(xué)問解決問題。.父親給小明

13、出了這樣一道題：“在一間屋子里，有一百盞電燈排成一行，按從左到右的 挨次，編上號碼1, 2, 3, 4, 5,.，99, 100o每盞電燈上有一個(gè)拉線開關(guān)，開頭時(shí)，全 部的燈都關(guān)著，有100個(gè)同學(xué)在外排隊(duì)，第1個(gè)同學(xué)進(jìn)來，把是1倍數(shù)的燈都拉了一下（即 把全部的燈拉亮了）。第2個(gè)同學(xué)進(jìn)來，把編號是2倍數(shù)的燈又拉了一下（即把第2, 4, 6, 8,98, 100盞燈又拉滅了）。第3個(gè)同學(xué)進(jìn)來，把是3倍數(shù)的燈又拉了一下，,第100個(gè)人進(jìn)來，把第100號燈拉了一下，想一想，第100個(gè)人拉了以后，還有多少盞燈是亮 著的？ ”這下可把小明忙壞了，他在一張大大的紙上，畫出全部的電燈，又是打又是畫 好久沒能解

14、出來，莫非就沒有更好的方法了嗎？小明犯了難。小讀者，你有好方法教 小明嗎？解答：到最終一個(gè)為止，拉了奇數(shù)次的燈是亮著的，拉了偶數(shù)次的燈是熄滅的。拉了奇數(shù)次 的燈的號碼應(yīng)當(dāng)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，拉了偶數(shù)次的燈的號碼應(yīng)當(dāng)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)。哪些數(shù)有奇數(shù)個(gè) 約數(shù)呢？ 1的約數(shù)只有1, 4的約數(shù)有1, 2, 4, 4 = 2x2=22, 9的約數(shù)是1, 3, 9, 9=3x3 = 32, 16的約數(shù)有1, 2, 4, 8, 16, 16=2x2x2x2 = 24,我們看到完全平方數(shù)的約 數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)。由于完全平方數(shù)有一個(gè)約數(shù)為n, n2=N, n沒有與它配對的約數(shù)（大些或 小些的），其余的約數(shù)也成對消失，所以偶數(shù)

15、+1=奇數(shù)，完全平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，而非完 全平方數(shù)那么約數(shù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)。亮著的燈編號為：b 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100共盾盞。這道題綜合了奇偶分析和完全平方數(shù)特征方面的內(nèi)容。.在海族館工作的父親要出差了，你能依據(jù)他給小強(qiáng)留下的條子推斷出小強(qiáng)父親遠(yuǎn)行回來的日期和行程嗎？小強(qiáng)：海族館的章魚打架斷了一條腕足，只剩下十七條腕足了，我要和館里的叔叔們一起到大 海去捕一條大章魚來。假如你把章魚剩下的腕足條數(shù)分成兩個(gè)自然數(shù)的和，得到一些成對的 自然數(shù)，其中乘積最大的一對組成一個(gè)日期，這個(gè)日期是我回來的大致日期。假如把章魚剩 下的腕足條數(shù)分成假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的和，得到很多

16、組和為17的自然數(shù)，其中乘積最大的一組 數(shù)的積是我這次遠(yuǎn)出的行程。父親1992年8月18日解答：先把17分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，拆得自然數(shù)的積有八種：1x16=16, 2x15=30, 3x14=42, 4x13=52, 5x12=60, 6x11=66, 7x10=70, 8x9=72?？梢?8x9 的積最大，這個(gè)日 期有8, 9兩個(gè)數(shù)字組成，或是8月9日，或是9月8日，由于父親在寫條子的日期已是8 月18日，所以回來日期應(yīng)是9月8日。認(rèn)真觀看一下可以覺察，把自然數(shù)拆成兩個(gè)小自然數(shù)的和，要使其積最大，必需兩個(gè)小 自然數(shù)相差最小。 把17分成假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的和，使這些自然數(shù)的積最大，畢竟是分得多

17、好還是分得少 好呢？看來分的個(gè)數(shù)多一點(diǎn)好，由于多一個(gè)數(shù)，可以多乘一次，乘積就大些，當(dāng)然這些數(shù)中 不應(yīng)有1(想一想，為什么？)，個(gè)數(shù)多的拆法是：17=2 + 2+2+2 + 2+2 + 2+3,但2x2x2=8, 把3個(gè)2改成2個(gè)3,積為3x3=9,所以要盡可能少消失2,多消失3, 17=3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2,小的自然數(shù)積為3x3x3x3x3x2=486 (千米)，假設(shè)再削減自然數(shù)的個(gè)數(shù)有3x3x3x3x5 = 405, 3x3x6x5 = 270, 9x8=72,這些分析中以五個(gè)3和一個(gè)2的分拆積最大?？偨Y(jié)此題的把一個(gè)數(shù)分成假設(shè)干個(gè)自然數(shù)和，使這些自然數(shù)積最大的閱歷有：拆

18、分中不 應(yīng)有1,只應(yīng)有3或2；拆分中盡量增加3的個(gè)數(shù)，削減2的個(gè)數(shù)。解答：一個(gè)自然數(shù)除以9的余數(shù)，等于這個(gè)自然數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和除以9的余數(shù)。這 一來上面求多位數(shù)除以9的余數(shù)問題,便轉(zhuǎn)化為求1至1997這1997個(gè)自然數(shù)中全部數(shù)字之 和是多少的問題。這個(gè)問題的求法有很多，下面分別加以介紹。由于1至9這9個(gè)數(shù)字之和為45,所以10至19, 20至29, 30至39,，80至89, 90至99這些十個(gè)數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和分別為:45+10, 45+20, 45+30, 45+40,45+80,45+90.這一來，1至99這99個(gè)自然數(shù)各數(shù)位數(shù)字和為：45+55+65+.+125+135=900。由于1

19、至99這99個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和為900,所以100至199, 200至299, ， 800至899,900至999這些100個(gè)數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和分別為900+100,900+200,., 900+800, 900+900 o這一來，1至999這999個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和為： 900+1000+.+1700+1800= 13 500 。由于1至999這999個(gè)自然數(shù)各數(shù)上數(shù)字和為13500,所以1000至1999這1000個(gè)自 然數(shù)各數(shù)位數(shù)字和為：13500+1000=14500,這一來1至1999這1999個(gè)自然數(shù)各數(shù)位數(shù)字 和為：13500+14500=28000。1998、1999這兩

20、個(gè)數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和為：27、28。28000-27-28=27945, 9能整除27945,故多位數(shù)除以9余0。此外還有一個(gè)較為省事的求和方法,將0至1999這2000個(gè)自然數(shù)一頭一尾搭配分成如 下的1000組：(0, 1999), (1, 1998), (2, 1997), (3, 1996)(4, 1995), (5, 1994), (6, 1993), (7, 1992) (996, 1003), (997, 1002), (998, 1001), (999, 1000)以上每一組兩數(shù)之和都是1999,并且每一組兩數(shù)相加時(shí)都不進(jìn)位，這樣1至1999這1999 個(gè)自然數(shù)的全部數(shù)字之和等于：

21、(1+9+9+9) x 1000=28000其余的與上面提到的相同，故從略。此題還有此外一種解法.由于依次寫出的任意連續(xù)9個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù)，肯定能 被 9 整除。而從 1 至 1997 一共有 1997 個(gè)數(shù)，1997-9=2218,1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997 這 8 個(gè)數(shù)全部數(shù)位上數(shù)字和為 19+20+21+22+23+24+25+26=360, 360能被9整除，所以多位數(shù)除以9余0,與前面的結(jié)果相同。為什么依次寫出的任意連續(xù)9個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù)肯定能被9整除呢？這是由于任 意連續(xù)的9個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和除以9的余數(shù)，必定是

22、0, 1, 2,7, 8這九個(gè)數(shù),而這九個(gè)數(shù)的和為36, 36能被9整除，所以任意依次寫出的9個(gè)連續(xù)自然數(shù)組成的多位數(shù) 也肯定能被9整除。.將1, 2, 3,，30從左到右依次排列成一個(gè)51位數(shù)1234562930,試求這個(gè)51位 數(shù)除以11的余數(shù)。解答：被11整除的特征是：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差能被11整除 從這個(gè)特征的導(dǎo)出過程中我們還可以看出：一個(gè)數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差除 以11的余數(shù)，與原數(shù)除以11的余數(shù)是相等的。采用這一性質(zhì)便可求出問題的結(jié)果來。由于51位數(shù)123456282930的奇數(shù)位上的數(shù)字分別是0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2,

23、 1, 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 9, 7, 5, 3, 1,這些數(shù)字之和為：1+3+5+7+9+ (1+2+3+4+5+6+7+8+9) x2=115這個(gè)數(shù)的偶數(shù)位上的數(shù)字分別是3, 2, 2, 2, 2,2, 1, 1,1, 8, 6, 4, 2,這些數(shù)字之和為：2x10+1x10+3+8+6+4+2=53115-53=62, 62+11=57所以這個(gè)51位數(shù)除以11的余數(shù)是7。上述18位數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字和為(9+8+7+6+5+4+3+2+1=) 45,偶數(shù)位上的數(shù)字和為 (9x9=) 81 .現(xiàn)在是偶數(shù)位上的數(shù)字和大于奇數(shù)位上的數(shù)字和,81-45

24、=36, 36+11=33。應(yīng) 當(dāng)怎么計(jì)算呢？請同學(xué)們動腦筋想一想，告知你們答案為8,即上述那個(gè)18位數(shù)除以11余 8o.將1至9這九個(gè)數(shù)字，按圖1所示的次序排成一個(gè)圓圈。請你在某兩個(gè)數(shù)字之間剪開, 分別按順時(shí)針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)(例如，在1和7之間剪開，得到兩個(gè)九位數(shù)是 193426857和758624391)。假如要求剪開后所得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被396整除，那么剪 開處左右兩個(gè)數(shù)字的乘積是幾？解答：396=4x9x11,而4、9、11兩兩互質(zhì)，依據(jù)前面提到的有關(guān)整除的性質(zhì)，考慮被 396整除，只要分別考慮被4、9、11整除就行了。7 1 96 2前面提到假如一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的

25、數(shù)字和是9的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)肯定能被9整除。 現(xiàn)在無論從哪兩個(gè)數(shù)字之間剪開，按順時(shí)針或逆時(shí)針次序所得到的兩個(gè)九位數(shù)，其各個(gè)數(shù)位 上的數(shù)字和，都是1至9九個(gè)數(shù)字之和45, 45能被9整除，因此兩個(gè)九位數(shù)肯定能被9整除，那么這兩個(gè)九位數(shù)之差當(dāng)然也能被9整除。再考慮除以11的狀況.考慮一個(gè)數(shù)能否被11整除，只要考慮這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字和與 偶數(shù)位上數(shù)字和之差除以11的余數(shù)?，F(xiàn)在無論從哪兩個(gè)數(shù)字之間剪開后所得到的兩個(gè)九位 數(shù)，它們數(shù)字的挨次恰好是相互顛倒的，因此這兩個(gè)九位數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字 和之差是完全一樣的，換句話說，這兩個(gè)九位數(shù)除以11的余數(shù)相同，從而它倆的差肯定能 被11整除。最終考慮

26、所得兩個(gè)九位數(shù)之差能否被4整除。從一個(gè)數(shù)能被4整除的特征可以知道，只 要這兩個(gè)九位數(shù)的末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)之差能被4整除，那么這兩個(gè)九位數(shù)的差肯定能 被4整除。因此只需考慮：剪開處左面兩個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)與右面兩個(gè)數(shù)字顛倒挨次后組 成的兩位數(shù)之差能否被4整除。只要這個(gè)差能被4整除，所得兩個(gè)九位數(shù)之差就能被396整除，否那么就不能被396整除。在1與9之間剪開: 在9與3之間剪開: 在3與4之間剪開: 在4與2之間剪開: 在2與6之間剪開: 在6與8之間剪開:71-39=32, 43-19=24, 93-24=69, 62-34=28, 86-42=44, 58-26=32,32能被4整除。2

27、4能被4整除。69不能被4整除。28能被4整除。44能被4整除。32能被4整除。在8與5之間剪開：75-68=7, 7不能被4整除。在5與7之間剪開：85-17=68, 68能被4整除。在7與1之間剪開：91-57=34, 34不能被4整除。因此此題共有下面六個(gè)答案:1x9=9, 9x3=27, 4x2=8,2x6=12, 6x8=48, 5x7=35。26.下面是某校購買72張課桌和77把課椅的發(fā)票。由于不留神浸水，烘干后發(fā)票上的一些 數(shù)字都模糊不清了，每一個(gè)模糊不清的數(shù)字用表示，請恢復(fù)發(fā)票中注有的數(shù)字。品名數(shù)量單位單價(jià)（元）總價(jià)（元）課更72張 7.7 課椅77把3OD.DD合計(jì)金額（元）

28、 3 D.55解答：為便利起見，以分為單位，設(shè)課桌的單位與總價(jià)分別為兩瓦分和劭分, 課椅的單價(jià)和總價(jià)分別為由為了1分和刎科2/2g分，合計(jì)金額為對3z55分。由于72=8x9,8,9互質(zhì)，所以三位數(shù)77M能被8整除，由止匕可知c2=6。又由于以血 776 + 3d*j2g = xy3z55 ,所以 g=% ff x=2,a2”又由于9能整除的所以6+7+7+b? + a2應(yīng)是9的倍數(shù)，即a?+b2 +2是9的倍數(shù)。那么有 a2+b2 =7, a2+b2 =l6o 又因由 a27,所以當(dāng) a2+b2 =7 時(shí)，有 a2=7, b2 =0；當(dāng) a2 +ba =16 時(shí)，有 V =7、8、9, ba

29、 =9、8、7。這一來課桌的總價(jià)可以是70776分，79776分，88776分，97776分。由于g=9, f2=7,所以77把課椅的總價(jià)為刎分。由于7x7=49,所以fl=7。由于 77x7=539, 3d2，a79-539= 3d40。這個(gè)等式告知我們：去掉課椅單價(jià)由的7中最終的那個(gè)7,會有當(dāng)。京77=亞，所以e 1=2。這一來，課椅單價(jià)為由27分。由于327x77=25179d + 6. 9xa+6=13K+ll,即9乂口一5應(yīng)是13的倍數(shù)，故口只能是2。即六位數(shù)為219934。 (4)當(dāng)原數(shù)個(gè)位數(shù)為6時(shí)，936 = 72x13,所以口19也應(yīng)被13整除。由于口19= (7乂口+1) x

30、l3 + 9xn + 6A9xn+6=13K, 9xn-7+13 = 13K,故9乂口一7應(yīng)是13的倍數(shù)，只能是8。即六位 數(shù)為 819936c(5)當(dāng)原數(shù)個(gè)位數(shù)為8時(shí)、 938 = 72x13 + 2,故口19也應(yīng)被13除余2。由于口19= (7、口+1) xl3 + 9xn + 6A9xn+6=13K+2,即9義口+4應(yīng)是13的倍數(shù)，只能是1。即六位數(shù)為119938。 綜合以上狀況，滿意條件的六位數(shù)有：319930, 919932, 219934, 819936, 119938,共五個(gè)。 下面是一些關(guān)于數(shù)的整除的一些技巧學(xué)問，依據(jù)這些技巧，我們能很快推斷一個(gè)數(shù)能不能被以下數(shù)整除。 關(guān)于2：

31、 一個(gè)整數(shù)的末位是偶數(shù)，那么這個(gè)數(shù)能被2整除。關(guān)于3： 一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，那么這個(gè)整數(shù)能被3整除。關(guān)于4： 一個(gè)整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，那么這個(gè)數(shù)能被4整除。關(guān)于5： 一個(gè)整數(shù)的末位是0或5,那么這個(gè)數(shù)能被5整除。關(guān)于6： 一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，那么這個(gè)數(shù)能被6整除。關(guān)于7： 一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，假如差是7的倍數(shù)，那么原數(shù)能被7整除。由于一個(gè)兩位數(shù)N可以表示成N=10 x+y=10 x (x-2y) +21y,假如x-2y能被7整除，那么數(shù)N能被7整除。多于兩位數(shù)的連續(xù)此操作。關(guān)于8： 一個(gè)整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，這個(gè)數(shù)能被8整除。關(guān)于

32、9： 一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，那么這個(gè)整數(shù)能被9整除。關(guān)于11 ： 一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)能被11整除。由于一個(gè)兩位數(shù)N可以表示成N=10 x+y=10 x (x-y) +11y,假如x-y能被11整除，那么數(shù)N能被11整除。關(guān)于13： 一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍，假如差是13的倍數(shù)，那么原數(shù)能被13整除。由于一個(gè)兩位數(shù)N可以表示成N=10 x+y=10 x (x+4y) -39y,假如x+4y能被13整除，那么數(shù)N能被13整除。關(guān)于17： 一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍，假如差是17的倍數(shù)，

33、那么原數(shù)能被17整除。由于一個(gè)兩位數(shù)N可以表示成N=10 x+y=10 x (x-5y) +51y,假如x-5y能被17整除，那么數(shù)N能被7整除。關(guān)于19： 一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍，假如差是19的倍數(shù)，那么原數(shù)能被19整除。由于一個(gè)兩位數(shù)N可以表示成N=10 x+y=10 x (x+2y) -19y,假如x+2y能被19整除，那么數(shù)N能被19整除。(3)關(guān)于除數(shù)為7、11、13的1001法推斷較大一個(gè)的6位數(shù)能否被7、11、13整除，還有一個(gè)快捷的“1001”法。由于1001=7x11x13, 1001能被7、11、13整除。一個(gè)數(shù)能被7、11、13整除的數(shù)減

34、去1001及其倍數(shù) 也能被7、11、13整除。aba的1001倍等于把a(bǔ)bc再寫一遍放在后邊，abcx1001=abcabc例如，897654能否被7整除，可以先計(jì)算897654-896896,看得數(shù)能否被7整除。習(xí)題：1.45 1 xl993y。求全部滿意條件的六位數(shù)xl993y。解答：745=5x9,.5 xl993y ,9 | xl993y y可取0或。當(dāng)尸0時(shí)，依據(jù)9 1 x”93y及數(shù)的整除特征可知46,當(dāng)y=5時(shí)，依據(jù)9 1 x”93y及數(shù)的整除特征可知x=9。滿意條件的六位數(shù)是519930或919935o2.李老師為學(xué)校一共買了 28支價(jià)格相同的鋼筆，共付人民幣9口.2元.處數(shù)字

35、相同， 請問每支鋼筆多少元？解答：.9口.2口元=9口2口分28=4x7,，4和7均能整除9口2口。4 I 2可知處能填0或4或8。779020, 7*9424,所以處不能填。和4；V7 I 9828,所叫處應(yīng)當(dāng)填8。又 9828 分=98.28 元98.2828 = 3.51 (元)答：每支鋼筆3.51元。.整數(shù)1軟2軟%4a5a能被n整除求全部滿意這個(gè)條件的整數(shù)。解答：VH | la2a3a4a5a，依據(jù)能被H整除的數(shù)的特征可知：1+2+3+4+5的和與5a之差應(yīng)是11的倍數(shù)，即 11 I (155a),或 11 I (5a15)。但是 155a=5 (3a), 5a15=5 (a3),又

36、(5, 11) =1,因此 11 I (3a)或 11 I(a3) o又Ta是數(shù)位上的數(shù)字。只能取09。所以只有a=3才能滿意11 I (3a)或111 (a3),即當(dāng)a=3時(shí)，11 I 155ao 符合題意的整數(shù)只有1323334353。3ab3ab3ab .把三位數(shù)接連重復(fù)地寫下去，共寫1993個(gè)3ab,所得的數(shù)1993個(gè)3ab 恰是91的倍數(shù),試求3冊二？解答：791=7X13,且(7, 13) =lo3ab3ab3ab3ab3ab3abV1V1：7 |1993個(gè)3ab ,13 I1993個(gè)3ab依據(jù)一個(gè)數(shù)能被7或13整除的特征可知：3ab 3abV1原數(shù)1993組 能被7以及13整除，

37、3ab3ak - 3ab當(dāng)且僅當(dāng)1992組能被7以及13整除，3ab3abOOO7也就是 1991組 能被7以及13整除。gb 3ab00?Iab 3ab00?，797P由于(7, 10) =1, (13, 10) =1,所以 71991 組 ，131991 組也就是|3ab|3ab71991組，躇 1991組，因此，用一次性質(zhì)(特征)，就去掉了兩組3ab；反復(fù)使用性質(zhì)996次，最終轉(zhuǎn)化成：原數(shù)能被7以及13整除，當(dāng)且僅當(dāng)3ab能被7以及13整除。XV91的倍數(shù)中小于1000的只有91x4=364的百位數(shù)字是3,.3ab =364.在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使七位數(shù)口1992口口能同時(shí)被9、25、

38、8整除。解答：要求七位數(shù)口1992能同時(shí)被9、25、8整除，先考慮能被25整除這個(gè)條件。當(dāng)七位 數(shù)口1992能被25整除時(shí)，它的十位和個(gè)位數(shù)字組成的數(shù)只能是00, 25, 50, 75。再考慮 其次個(gè)條件，口1992能被8整除，當(dāng)口1992口能被8整除時(shí)，它的末三位上數(shù)字組成的數(shù) 必需是8的倍數(shù)，但200, 225, 250, 275這四個(gè)數(shù)中，只有200這個(gè)數(shù)是8的倍數(shù)，所以 七位數(shù)的十位與個(gè)位口內(nèi)只能填0。最終考慮第三個(gè)條件，被9整除.口1992回吻要被9整除, 其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和必需是9的倍數(shù)，而1+9+9+2+0+0=21,所以七位數(shù)百萬位口內(nèi)只能 填6,這樣便找到了問題的解答。首先

39、由于200既是25的倍數(shù)，又是8的倍數(shù)，所以口1992口口的十位與個(gè)位內(nèi)只能填0。 由于1+9+9+2+0+0=21,而21+6=27, 27是9的倍數(shù)，所以口1992口口的百萬位口內(nèi)只能 填6。E11992回回能同時(shí)被9、25、8整除。.求能被26整除的六位數(shù)x”91y。解答：726=2x13, xl 99 8能分別被2和被整除。V2 I xl991y, ，y 可能取 0、2、4、5、6、8。又13 |幻99.13能整除xl9與91y的差。當(dāng)y=0時(shí)，由于131910,而13又要整除幻9與91y的差，.13 | xl9。又 xl 9 = 100 x+l 9=(7x 13+9)x+ 19=7x

40、13x+9x+13 + 6,J依據(jù)整除“性質(zhì)1”,有13 I 9x+6,經(jīng)試驗(yàn)可知只有當(dāng)x=8時(shí)，13 I 9x + 6,.當(dāng)y=0時(shí)，符合題意的六位數(shù)是819910。當(dāng)y=2時(shí)，由于13 I幻9912,所以13整除玄19與910 + 2之差，也即13整除幻9與 2的差；與前相仿,xl9=7xl3x+13+9x+6,所以13整除9x + 62,即13 I 9x+4。經(jīng)試驗(yàn)可 知只有當(dāng)x=l時(shí)，13 I 9x+4o，當(dāng)y = 2時(shí)，符合題意的六位數(shù)是119912。同理，當(dāng)y=4時(shí)，13 I 9x+6-4,即13 I 9x+2,經(jīng)試驗(yàn)可知當(dāng)x = 7時(shí)，13 I 9x+20.當(dāng)y=4時(shí)，符合題意的

41、六位數(shù)是719914。同理，當(dāng)y = 6時(shí)丁 13 I 9x+66。即13 I 9x.經(jīng)試驗(yàn)可知x無解(由于、”如丫是的最 高位數(shù)碼,x#0)o當(dāng)y=6時(shí)，找不到符合題意的六位數(shù)。同理，當(dāng)y = 8時(shí)，13 I 9x+6-8,即13 I 9x-2。經(jīng)試驗(yàn)只有當(dāng)x = 6時(shí)，13 I 9x-2。:.當(dāng)y=8時(shí),符合題意的六位數(shù)是619918c答：滿意此題條件的六位數(shù)共有819910、119912、719914和619918四個(gè)。7. 一個(gè)首位數(shù)字為5的最小六位數(shù)，使這個(gè)數(shù)能被9整除，且各位數(shù)字均不相同。解答：一個(gè)以5為首位的六位數(shù)5xxxxx,要想使它最小，只可能是501234 （各位數(shù)字 均不

42、相同）。但是501234的數(shù)字和為5 + 0+1+2 + 3+4=15,并不是9的倍數(shù)，故只能將末位數(shù)字 改為7。這時(shí)，5+0+1+2 + 3+7=18是9的倍數(shù)，故501237是9的倍數(shù)。即501237是以 5為首位，且是9的倍數(shù)的最小的六位數(shù)。解答：由于要求恰好第一次能被72整除，因此，應(yīng)以從前往后的挨次去查找。假如先考慮被8整除，那么末位應(yīng)為偶數(shù)，且末三位數(shù)字組成的三位數(shù)應(yīng)是8的倍數(shù)。因而依次看三位數(shù)：234, 456, 678, 810, 112, 314, 516, 718, 192, 920, 202, 212, 122, 222, 232, 324, 242, 252, 526, 262, 272, 728, 282, 930, 132, 334, 536, 738, 394中哪些是8的倍數(shù)。像這