中考數(shù)學(xué)壓軸大題專題4一線三等角模型專項(xiàng)練習(xí)附答案

1、中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題4 一線三等角模型【例1】（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.如圖1,已知：在a ABC中， BAC 90 , AB AC ,直線l經(jīng)過點(diǎn)A, BD 直線l, CE 直線l, 垂足分別為點(diǎn)D, E.求證：DE BD CE .（2）組員小明想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖 2,將（1）中的條件 改為：在&ABC中，AB AC ,D,A,E三點(diǎn)都在直線l上，并且有 BDA AEC BAC , 其中 為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論 DE BD CE是否成立？若成立，請你給出證明；若 不成立，請說明理由.（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了

2、他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來解決問題：如圖3,過ABC的邊AB, AC向外作正方形 ABDE和正方形 ACFG , AH是BC邊上的高.延長HA交 EG 于點(diǎn) I ,若 SA AEG 7,則 SA AEI .【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3） 3.5 【分析】（1）由條件可證明 ZxABDA CAE,可得 DA=CE, AE=BD,可得 DE = BD+CE；（2）由條件可知/ BAD+/CAE=180-a,且 / DBA+ Z BAD =180 -a,可彳導(dǎo)/ DBA=/CAE, 結(jié)合條件可證明ZABDA CAE,同（1）可得出結(jié)論；（3）由條件可知 EM=

3、AH = GN,可得EM=GN,結(jié)合條件可證明 AEMIGNI ,可得出結(jié)論 I是EG的中點(diǎn).【解析】解：（1）證明：如圖1中，.BD,直線l, CE,直線l, ./ BDA = ZCEA=90 , / BAC=90 ,./ BAD + ZCAE=90 ,. / BAD + Z ABD=90 , ./ CAE = Z ABD, 在4ADB和ACEA中，ABD CAEBDA CEA , AB ACADBACEA (AAS),.AE=BD, AD=CE,.DE=AE+AD=BD+CE.(2)解：成立.理由：如圖2中，. / BDA = Z BAC= a,./ DBA + Z BAD=Z BAD+Z

4、 CAE=180-a,./ DBA = /CAE,在DB和ACEA中，BDA AECDBA CAE ,AB ACADBACEA (AAS), .AE=BD, AD=CE, .DE=AE+AD=BD+CE.(3)如圖3,過E作EMXHI于M, GNXHI的延長線于 N. ./ EMI=ZGNI=90由(1)和(2)的結(jié)論可知 EM=AH = GN.EM=GN在EMI和AGNI中，GIN EIMEM GN ,GNI EMIEMI GNI (AAS),.EI=GI ,.I是EG的中點(diǎn).-1 Saaei= Smeg=3.5 .故答案為：35【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方

5、形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【例2】如圖，在 AABC中，AB = AC=2, / B=Z C=40,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn) D不與點(diǎn)B、C重合)，連接AD,作/ ADE = 40, DE交線段AC于點(diǎn)E.(1)當(dāng)/ BDA = 105時(shí)，/ EDC =, /DEC= ;點(diǎn) D 從點(diǎn) B 向點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)時(shí)，/ BDA逐漸變.(填 失”或 小”)(2)當(dāng)DC等于多少時(shí)，ZxABDA DCE?請說明理由.(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，AADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出/ BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由.【答案】(1) 35 ,105，小

6、；(2) 2,理由見解析；(3) 110或80【分析】(1)根據(jù)已知條件，三角形內(nèi)角和定理和平角的定義，可得BAD EDC,ADB DEC ,進(jìn)而可得/ EDC, / DEC,根據(jù)題意，可得當(dāng)點(diǎn) D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，BAD逐漸變大，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得/BDA逐漸變??；(2)由(1)可得 BAD EDC , ADB DEC ,只要 DC AB ,即可證明 ABDA DCE , 進(jìn)而可得DC;(3)根據(jù)題意，分 ADE為頂角和底角兩種情況討論，進(jìn)而計(jì)算BDA的度數(shù).【解析】(1) v B C 40 , ADE 40 ,BAC 180 B C 1804040100 ,ADB EDC 18

7、0 ADE 140 ,ADBBAD 180B 140 ,DECEDC 180C 140 ,BAD EDC , ADB DEC ,當(dāng)/ BDA=105時(shí),/EDC= BAD 180 ADB B 1801054035 ,ZDEC= ADB 105 ;當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，BAD逐漸變大，=BDA180B BAD 140 BAD ,則/ BDA逐漸變小,故答案為：35 ,105，小;(2) : BAD EDC , ADB DEC ,當(dāng)DCAB 2 時(shí),aABDaDCE (AAS),(3) AADE的形狀可以是等腰三角形,BDA 110 或 80BAC1804040當(dāng)DADE時(shí),DAEDEA180

8、4070 ,BADBACDAC10070BDA180BAD 18040 30110當(dāng)EAED時(shí),ADE DAE 40 , DEA1804040BADBACDAE 1004060 ,BDA180B BAD 1804060當(dāng)AE AD時(shí)， ADEDEA 40 , DAE 1804040100 , BAC 100 ,此時(shí)D點(diǎn)與B點(diǎn)重合，由題意可知點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合，此種情況不存在，綜上所述，當(dāng)AADE是等腰三角形時(shí)，BDA 110或80 .【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，分了他了是解題的關(guān)鍵.【例3】在正方形ABCD中，點(diǎn)E在

9、射線CB上(不與點(diǎn)B , C重合)，連接DB , DE ,過 點(diǎn)E作EF DE ,并截取EF DE (點(diǎn)D , F在BC同側(cè))，連接BF .(1)如圖1,點(diǎn)E在BC邊上.依題意補(bǔ)全圖1 ；用等式表示線段 BD , BE, BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2,點(diǎn)E在CB邊的延長線上，其他條件均不變，直接寫出線段BD , BE , BF之間的數(shù)量關(guān)系.圖1圖2【答案】(1)見解析；BD V2BE BF ,見解析；(2) .2BE BF BD ,見解析 【分析】(1)根據(jù)要求畫出圖形即可；過點(diǎn) F作FH XCB,交CB的延長線于H.證明4DCE 0EHF (AAS),推出EC=FH, DC =

10、 EH ,推出CE=BH=FH,再利用勾股定理解決問題 即可；(2)由可得 DCEZEHF,推出EC= FH , DC = EH,推出CE=BH = FH,再利用等腰 直角三角形的性質(zhì)解決問題即可.【解析】解(1)圖形如圖所示.結(jié)論：BD . 2BE BF .理由：過點(diǎn)F作FH CB ,交CB的延長線于H ,四邊形ABCD是正方形，CD AB 6 , C 90 ,J DEF C 90 ,DEC FEH 90 , DEC EDC 90 ,FEH EDC , 在DEC和EFH中，H C 90FEH EDC , EF DEDEC EFH (AAS),EC FH , CD BC EH ,BH EC F

11、H ,LBD 72BC v2(BE EC) *5bE 2EC v2BC 亞FH v2BE BF .二四邊形ABCD是正方形，CD AB, ACB 90 ,DEF ACB 90 ,DEC FEH 90 , DEC EDC 90 ,FEH EDC , 在DEC和EFH中，F(xiàn)HEFEHDCE 90EDCEF DEDEC EFH (AAS),EC FH , CD BC EH ,HB EC HF ,DCB和BHF都是等腰直角三角形，BD 2BC 2HE , BF 2BH ,BE EC BC ,2BE 2EC 2BC ,2BE 2FH BD ,在BE BF BD .【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查作圖-

12、旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.【例4】(1)模型探究：如圖 1, D、E、F分別為 ABC三邊BC、AB、AC上的點(diǎn)，且/ B=/ C=/ EDF = a. BDE與 CFD相似嗎？請說明理由；(2)模型應(yīng)用： ABC為等邊三角形，其邊長為 8, E為AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為射線AC上一點(diǎn)，將 AEF沿EF翻折，使A點(diǎn)落在射線CB上的點(diǎn)D處，且BD=2.如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求/IF的值；(2)同(1)的方法判斷出 BDEsCFD,得出比例式，再設(shè)出 AE=x, AF = y,進(jìn)而表示出BE=8-x

13、, CF=8-y, CD = 6,代入比例式化簡即可得出結(jié)論；同的方法即可得出結(jié)論.【解析】(1) BDEA CFD ,理由：/ B=/ C= Z EDF = a,在BDE 中，/ B+/BDE + /BED = 180 ,./ BDE + Z BED= 180 -乙 B= 180 - a,. / BDE + /EDF + /CDF = 180 ,.Z BDE + Z CDF = 180 -/EDF = 180 - a,./ BED = Z CDF ,. / B=Z C,. BDEACFD ;(2)設(shè) AE=x, AF=y,.ABC是等邊三角形，a=Z B=Z C= 60 , AB=BC =

14、AC=8,由折疊知，DE = AE=x, DF = AF = y, /EDF = /A=60 ,在BDE 中，Z B+Z BDE + Z BED = 180 ,.Z BDE + Z BED= 180 -Z B=120 ,. / BDE + /EDF + /CDF = 180 ,.Z BDE + Z CDF = 180 - / EDF = 120 ,./ BED = Z CDF ,/ B=Z C= 60 ,. BDEACFD ,BD BE DE.:.二二三二.BE=AB-AE = 8-x, CF = AC - AF= 8 - y, CD = BC - BD= 6,f r :,py =- y)Z二

15、，色一工x5AE 517 = 7設(shè) AE= x, AF = y,.ABC是等邊三角形，.A=/ABC=/ACB=60 , AB = BC = AC=8,由折疊知，DE = AE=x, DF = AF = y, /EDF = /A=60 ,在BDE 中，/ ABC+/BDE + /BED=180 ,./ BDE + /BED= 180 -/ABC=120 ,. / BDE + /EDF + /CDF = 180 ,./ BDE + /CDF = 180 - Z EDF = 120 ,./ BED = Z CDF ,. / ABC = Z ACB = 60 ,./ DBE = Z DCF = 12

16、0 ,. BDEACFD ,RD BE DEcfcd=Td.BE=AB-AE = 8-x, CF = AF - AC=y-8, CD = BC + BD=10,3-810 y,(2y = %(y-8).llOx =x _ 1V 3. BDEACFD ,空_三_工.BDE與CFD的周長之比為DF 73.【例5.如圖，已知等邊 ABC的邊長為6,點(diǎn)D是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，折疊 ABC,使得點(diǎn)A恰好與邊BC上的點(diǎn)D重合，折痕為 EF (點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上). (1)當(dāng) AE: AF = 5: 4 時(shí)，求 BD 的長；(3)當(dāng)以B、E、D為頂點(diǎn)的三角形與 DEF相似時(shí)，求BE的長.【分析】(

17、1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/A=60 , / B=60 ,(2)當(dāng)EDLBC時(shí)，求EB的值;/ C=60 ,則/ BDE +Z BED = 120 ,根據(jù)折疊的性質(zhì)得/ EDF=/A= 60 , AE=DE, AF = DF ,則/ BDE+ZFDC = 120 ,得到/ BDE=Z DFC ,根據(jù)三角形相似的判定得BEDA CDF ,根據(jù)相似ED DE BE的性質(zhì)有正二而二成；設(shè) AE=DE = 5x, AF=FD = 4x, BE = 6- 5x, FC = 64x,貝UBD=4FC=可(6 4x), DC=5BE=5 (6 5x),即有4 (64x)+5 (65x) =6,解出 x 即

18、可計(jì)算出BD的長；(2)由 EDXBC,得到/ BDE = 90 ,而/ B=60 , AB = 6, BE= x,貝U AE = ED = 6- x,_ ED_/5利用60的正弦得到sin60 =5T = T,則6-x-Jx,解方程即可；BE BD 空竺(3)討論：當(dāng) BEDA DEF ,則布二而，即而=而，由(1)得 BEDA CDF ,SD DE BE _ RE元三百三五,則而三瓦，所以BD = DC,則AD垂直平分BC,得到EF為4ABC的中 位線，即可求出 BE;當(dāng)BDEsDEF,得到/ BDE=/DEF,貝U EF / BC,也得到 EF為 ABC的中位線，即可求出 BE.【解析】

19、(1) .三角形ABC為等邊三角形， ，/A=60 , / B=60 , /C=60 , ./ BDE + Z BED = 120 ,又折疊 ABC,使得點(diǎn)A恰好與邊BC上的點(diǎn)D重合，折痕為EF, ./ EDF = /A=60 , AE=DE, AF=DF, ./ BDE + Z FDC = 120 , ./ BDE = Z DFC , . BEDACDF , gD DE BE . 五一而一正當(dāng) AE: AF =5: 4,設(shè) AE=DE = 5x, AF = FD = 4x, BE=6- 5x, FC = 6- 4x, D _ 5 _.= W =菽，_ 5 _ 5=4=4.BDFC*4(6 4

20、x), DC- ?BE- 5 (65x)一+ 丁.BD + DC = 6,即4 (6 4x) 5 (65x) =6,_7_解得x- 10,5 yl- t 一 X .BD 4 (6- 4 IQ) = 4;(2)如圖，.EDXBC,BDE = 90 ,而/ B=60 , AB=6,設(shè) BE = x,貝U AE= ED = 6 x,.sinB= sin60 -. c二起 . 6 - x J x,解得 x= 12 (2-、，口)，.BE = 24 - 12%3(3)二.以B、E、D為頂點(diǎn)的三角形與 DEF相似,當(dāng) BEDA DEF ,BE BD ffE_RE DF,即 RD DF,又. BEDA CD

21、F ,HD _ DE _ BE7c7d1)c,BE BEBD 一 DC,.BD = DC,AD垂直平分BC,.EF為ABC的中位線，.BE = 3;當(dāng) BDEA DEF ,./ BDE = Z DEF ,.EF / BC,而EF垂直平分AD,.EF為ABC的中位線，.BE = 3.例 6在 ABC 中，/ ABC =90(1)如圖1,分別過A、C兩點(diǎn)作經(jīng)過點(diǎn) B的直線的垂線，垂足分別為 M、N,求證：4ABMs，BCN;“萬(2)如圖 2, P 是邊 BC 上一點(diǎn)，/ BAP = /C, tan/PALF,求 tanC 的值；_3更一(3)如圖 3, D 是邊 CA 延長線上一點(diǎn)， AE=AB

22、, Z DEB =90 , sinZ BAC-J, AC 5,2 _ MN(2)先判斷出 MP = MC,進(jìn)而得出V?- FN,設(shè)MN=2m, P4m,根據(jù)勾股定理得,PM = 丫麗+戶即=3m = CM ,即可得出結(jié)論；GJ AC 5(3)先判斷出再同(2)的方法，即可得出結(jié)論.【解析】(1) AM MN , CNXMN,./ AMB = Z BNC = 90 ,./ BAM+Z ABM = 90 ,. / ABC =90 ,./ ABM+Z CBN = 90 ,./ BAM = Z CBN ,. / AMB = Z NBC,ABMA BCN ;(2)如圖2,過點(diǎn)P作PMXAP交AC于M,

23、PNXAM于N.BAP+/ 1=/ CPM + / 1 = 90 , ./ BAP = Z CPM = Z C, .MP = MC=PM = 2店=2- tan / PAC- AN5 而 一 麗設(shè) MN = 2m, PN= VSm,根據(jù)勾股定理得，PM= 3m = CM ,_ /5m tanC一研一mjL 可；_BC _ 3在 RtABC 中，sin/BAC=旅=5,過點(diǎn)A作AG，BE于G,過點(diǎn) C作CH，BE交EB的延長線于 H,. / DEB = 90 ,.CH / AG / DE,GHAC5八，一二1二同(1)的方法得， ABGA BCHHGACAB. .而二正二就二,設(shè) BG=4m,

24、CH = 3m, AG = 4n, BH = 3n,. AB=AE, AGXBE,.-.EG=BG = 4m,.GH = BG + BH=4m+3n,4m54m2,n= 2m,EH = EG+GH =4m+4m+3n= 8m+3n= 8m+6m= 14m,=CW = _3_在 RtCEH 中，tan/BEC 酊-TT.培優(yōu)訓(xùn)練1.如圖1, AB=12, ACXAB, BDXAB, AC=BD=8.點(diǎn)P在線段 AB上以每秒 2個(gè)單位的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q在線段BD上由B點(diǎn)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t = 2時(shí)， ACP與 BPQ是否全

25、等，請說明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；(2)如圖2,將圖1中的“ ACAB, BDXAB改為/ CAB=Z DBA = 60 ,其他條件 不變.設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒 x個(gè)單位，是否存在實(shí)數(shù) x,使得 ACP與4BPQ全等？ 若存在，求出相應(yīng)的x, t的值；若不存在，請說明理由.【分析】(1)利用SAS定理證明 ACPA BPQ;根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/ ACP = Z BPQ, 進(jìn)而推出/ CPQ=90 ,可得線段 PC和線段PQ的位置關(guān)系；(2)由ACP0BPQ,分兩種情況： AC=BP, AP=BQ, AC=BQ, AP=BP,建立 方程組可求得結(jié)果.【解析】(1)結(jié)

26、論： ACP與4BPQ全等.理由如下：當(dāng)t=2時(shí)，AP=BQ = 2X2=4,則 BP = AB - AP=12 - 4=8,.BP=AC,又. / A= / B=90 ,在 ACP和 BPQ中，AP = BQ zJL = zJ G 二 PEACPA BPQ (SAS);結(jié)論：PCXPQ.證明：. ACPA BPQ,ACP = Z BPQ,.Z APC+Z BPQ=Z APC+Z ACP=90 .即線段PC與線段PQ垂直.(2)若 ACPA BPQ,貝U AC= BP, AP = BQ,(8= 12 -2t二一二t解得it = 2若ACP0BQP, 貝U AC= BQ, AP= BP,8 =

27、rt 2t=12-2t,解得綜上所述，當(dāng)22或使得 ACP與 BPQ全等.，一. 一. 一一一A 一2.如圖，ABC和 DEF是兩個(gè)全等的二角形， / BAC=Z EDF= 120 , AB= Ab ,現(xiàn)M.將 ABC和 DEF按如圖所示的方式疊放在一起，4ABC保持不動(dòng)，4DEF運(yùn)動(dòng)，且滿足:(1)求證：/ BAE=Z MEC ;(2)當(dāng)E在BC中點(diǎn)時(shí)，請求出 ME: MF的值；(3)在4DEF的運(yùn)動(dòng)過程中，AAEM能否構(gòu)成等腰三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的BE的長；若不能，則請說明理由.【分析】(1)根據(jù) ABCA DEF,得/ ABC = Z DEF ,由三角形外角的性質(zhì)得：Z

28、B+Z BAE=/AEM+/MEC,所以/ BAE=/MEC;(2)先證明ACXEF,取AB中點(diǎn)H,連結(jié)EH ,則EH = AH ,證明 AHE是等邊三角形， 計(jì)算BC和EM的長可得結(jié)論；(3)分三種情況討論當(dāng)AM = AE時(shí)，如圖3,當(dāng)AE= EM時(shí)，如圖4,當(dāng)MA = ME時(shí)，如圖5, 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.【解析】(1)證明：. ABCADEF ,./ ABC = Z DEF ,. / AEC = Z B+Z BAE,/AEC = / AEM+Z MEC,. B+ZBAE = Z AEM + Z MEC, 即/ BAE = Z MEC;(2)解：當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，. AB=AC,

29、 / BAC = 120 ,AEXBC, / EAM = Z BAE = 60 ,又. / DEM = 30 ,ACXEF,取AB中點(diǎn)H,連結(jié)EH,貝U EH = AH. / BAE = 60 ,. .AHE是等邊三角形， _ 1.AE = EH=2abT,.BC = 2BE=3,=叵 =3同理，AM一百，ME-+, _ = 2. FM = EF EM = BC EM = 3一1一耳,.EM: FM=1: 3;(3)解：能.分三種情況討論：當(dāng)AM = AE時(shí)，如圖3,ZAEM =30 ,./ EAM= 120 ,此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，與題意矛盾，舍去；當(dāng)AE= EM時(shí)，如圖4,由(1)知，/ B

30、AE=Z CEM ,/ B=Z C= 30 , AE= ME,BEAA CEM (AAS),.AB = EC=的，.BE = BC- EC=3-每當(dāng)MA = ME時(shí)，如圖5,則/ AEM = Z MAE = 30 , ./ BAE = Z BAC- Z EAC = 90 ,取BE中點(diǎn)I,連結(jié)AI,則 AI = IE = BI, / AEB=60 ,. AIE是等邊三角形，設(shè) AI = x,在RtABE中，由勾股定理，得 AE2+AB2=BE2,即7+(同胃=(的2解得x=1,.BE = 2x=2,綜上所述，當(dāng)BE= 3-、口或2時(shí)， AME是等腰三角形.3.如圖，在 ACB中，AB = AC,

31、點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)(點(diǎn) E不與點(diǎn)B, C重合)，滿足/DEF = /B,且點(diǎn) D, F分別在邊 AB, AC上.(1)求證： BDEACEF;DE 瓜(2)當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，且 BD = 3, CF=2,則EF的值為 .B EC【分析】(1)由相似三角形的判定可證BDEsCEF;DB BE(2)由相似三角形的性質(zhì)可得 UE 一。/，可求BE = CE=*,即可求解.【解析】(1)證明：.AB=AC,./ B=Z C,. / BDE = 180 -Z B-Z DEB,/CEF = 180 - Z DEF-/DEB,. / DEF = Z B, ./ BDE = Z CEF, . BDEA

32、CEF;(2)二點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，.BE = CE,BDEACEF,DB BE CECF,.BE2=DB?CF = 6,.BE = CE=% BDEACEF,DF DB3Vfr=二 _ 二EF 匚E仆2 ,后故答案為：4.在綜合實(shí)踐課上，李老師以 含30。的三角板和等腰三角形紙片 ”為模具與同學(xué)們開展數(shù)學(xué) 活動(dòng).已知，在等腰 &ABC紙片中，CA CB 5, ACB 120 ,將一塊含30角的足夠大 的直角三角尺PMN ( M 90 , MPN 30 )按如圖所示放置，頂點(diǎn) P在線段BA上滑動(dòng)(點(diǎn)P不與A, B重合)，三角尺的直角邊 PM始終經(jīng)過點(diǎn)C,并與CB的夾角 PCB , 斜邊PN交AC

33、于點(diǎn)D .(1)當(dāng) BPC 100 時(shí)， 。；(2)當(dāng)AP等于何值時(shí)， APDBCP ?請說明理由；(3)在點(diǎn)P的滑動(dòng)過程中，存在 a PCD是等腰三角形嗎？若存在，請求出夾角的大?。蝗舨淮嬖?，請說明理由.【答案】（1） 50； （2） AP=5時(shí)，AAPDABCP ,理由見詳解；（3）當(dāng) 仁45或90或0時(shí)，APCD是等腰三角形【分析】(1)先求出/ B=30 ,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；(2)根據(jù)CA = CB,且/ ACB度數(shù)，求出/ A與/ B度數(shù)，再由外角性質(zhì)得到但乙APD,根據(jù)AP=BC,利用ASA即可得證；(3)點(diǎn)P在滑動(dòng)時(shí)，APCD的形狀可以是等腰三角形，分三種情況考慮：

34、當(dāng) PC=PD； PD = CD； PC=CD,分別求出夾角 ”的大小即可.【解析】解：(1) CA CB 5 , ACB 120 ,. B= (180 -120 ) -2=30,BPC 100 ,180 -100 -30 =50 ,故答案是：50;(2)當(dāng) AP=5 時(shí)，A APDABCP ,理由為：/ ACB= 120, CA=CB,.Z A=Z B=30,又APC是ABPC的一個(gè)外角，APC = Z B+ =30 +,/ APC = Z DPC + Z APD = 30 + Z APD,=Z APD,又. AP=BC=5,AAPDABCP ;(3) APCD的形狀可以是等腰三角形，則/P

35、CD = 120 -a, Z CPD = 30,PC= PD時(shí)，APCD是等腰三角形，PCD = Z PDC = ( 180 -30)登=75,即 120 f=75,a= 45 ;當(dāng)PD=CD時(shí)，APCD是等腰三角形，.-.Z PCD = Z CPD =30,即 120 a=30,a= 90 ；當(dāng)PC=CD時(shí)，APCD是等腰三角形，./ CDP = Z CPD =30,./ PCD = 180 -2 X30= 120,即 120 -g 120,. a= 0 ,此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D和A重合，綜合所述：當(dāng)“=45?；?0?；?。時(shí)，APCD是等腰三角形.【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等

36、三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，外角性質(zhì), 直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.5.已知直線li： y=- x+b與x軸交于點(diǎn)A,直線12： y=x-”與x軸交于點(diǎn)B,直線11、 3312交于點(diǎn)C,且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.(1)求直線11的解析式和點(diǎn) A的坐標(biāo).(2)直線卜與y軸交于點(diǎn)D,將11向上平移9個(gè)單位得13, 13與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、 F,點(diǎn)P為13上一動(dòng)點(diǎn)，連接 AP、BP,當(dāng) BP的周長最小時(shí)，求 AABP的周長和點(diǎn)P的 坐標(biāo).。)；(2) 7癡,。點(diǎn)坐標(biāo)為(魯澤；(3)將11繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的直線 14過點(diǎn)G (-2, 0),過點(diǎn)C

37、作15平行于x 軸，點(diǎn)M、N分別為直線14、15上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn) M、點(diǎn)N,使4BMN是以點(diǎn)M為 直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.【答案】(1) y=-x-3,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,16(3)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-8, 8)或(一7(1)利用點(diǎn)C是兩條直線的交點(diǎn)，求出C點(diǎn)坐標(biāo),代入直線11,可求出直線11的解析式,B關(guān)于13的對稱點(diǎn)Q,利用兩點(diǎn)之間線段最短找到ABP的周長；進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)利用平移求出13的解析式，構(gòu)造點(diǎn) 點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，求出(3)構(gòu)造全等三角形，利用全等邊相等，列出關(guān)系式，進(jìn)而求出M的坐標(biāo).解：（1）將x

38、=1代入直線y=4x-竺，得y=4M-16=-4, 3333故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1, -4）,將C的坐標(biāo)（1 , -4）代入直線y=-x+b得，-4=-1 + b,解得b=-3,二直線 11 ： y=-x-3,令 y=0,則-x-3=0 ,解得 x=-3 ,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3, 0）;y=-x+6,（2）直線13為11向上平移9個(gè)單位所得，故直線13的解析式為:令 x=0,得 y=6,令 y=0,得 x=6,故點(diǎn)E,點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為（6, 0）, （0, 6）,直線12： y=4x-16與x軸交于點(diǎn)B, 3 33令y=0,得x=4,故B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4, 0）,取點(diǎn)B關(guān)于13的對稱點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)Q的坐

39、標(biāo)為（a, b）,則線段BQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（?在直線卜，且一b- ( 1)1 即一b 1 TOC o 1-5 h z a 4a 4聯(lián)立得解得:.Q (6, 2),-，一一22直線AQ的解析式：y -x -,93當(dāng)UBP的周長最小時(shí)，即 AP+BP最小,連接AQ,交直線13于點(diǎn)P,此時(shí)AP+BP最小，最小值為 AQ . (6 3)2 (2 0)2.85 ,.AB=7,此時(shí) 那bp的周長為7+ 785,22 xy x 由 93解得y x 6 yP點(diǎn)坐標(biāo)為48 18(萬(3)設(shè)14的解析式：y=mx+n,將 C (1,-4), G (-2, 0),代入 y=mx+n 得,48.383，2m二L的解析式

40、為:4 -x31 :當(dāng)點(diǎn)M在直線l4的上方時(shí)，一一，一48設(shè)點(diǎn) N (n, -4),點(diǎn) M (s,-s 一)，33過點(diǎn)N, B分別作y軸的平行線，過點(diǎn) M作x軸的平行線，三條直線分別交于R, S兩點(diǎn),如圖 TOC o 1-5 h z 一一，一一4848則R, S的坐標(biāo)分別為（n,- s-）,（4,-s一），33334RM=s-n, RN= 4 s83 , MS=4-s, SB=. / NMB=90 ,./ NMR+Z SMB=90 ,. / BMS+Z MBS=90 ,./ NMR=Z MBS,/ S= Z R=90 , MB=MN , . MNRA BMS (AAS), .RM = SB,

41、RN=SM,即 s-n= TOC o 1-5 h z 48484 s,s-4s-3333解得 s=-8 , n=-16 ,.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-8, 8）, 2 :當(dāng)點(diǎn)M在直線14的下方時(shí)，一一，一48設(shè)點(diǎn) N （n, -4）,點(diǎn) M （s,-s 一）,33過點(diǎn)N , B分別作y軸的平行線，過點(diǎn) M作x軸的平行線，三條直線分別交于R, S兩點(diǎn),如圖. / NMB=90 , ./ NMR+Z SMB=90 ,. / BMS+Z MBS=90 , ./ NMR=Z MBS,/ S= Z R=90 , MB=MN , . MNRA BMS (AAS), .RM = SB,RN=SM,即 s-n= 4 s

42、 34 4s,解得s=176,n=24.點(diǎn)M的坐標(biāo)為1640綜上點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-8,8)或（17640本題是一道一次函數(shù)綜合問題,考查了求一次函數(shù)的解析式；已知點(diǎn)在直線上的， 求點(diǎn)的坐標(biāo)；利用對稱點(diǎn)，求周長最小值；兩點(diǎn)之間距離公式等，需要有解決一次函數(shù)的綜合能力.6.如圖，等腰直角 AABC中，BC=AC, /ACB=90,現(xiàn)將該三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0, 2）,點(diǎn)C坐標(biāo)為（6, 0).（1）過點(diǎn)A作ADx軸，求OD的長及點(diǎn)A的坐標(biāo);（2）連接OA,若P為坐標(biāo)平面內(nèi)不同于點(diǎn)A的點(diǎn)，且以O(shè)、P、C為頂點(diǎn)的三角形與 4AC全等，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)已知OA=1

43、0,試探究在x軸上是否存在點(diǎn) Q,使4OAQ是以O(shè)A為腰的等腰三角形?若存在，請求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1) OD=8,點(diǎn) A 的坐標(biāo)(8, 6)； (2) (8,-6)或(-2, 6)或(-2,-6)； (3) (16,0)或(10, 0)或(-10, 0)(1)通過證明BOC0CDA,可得CD=OB=2,即可求OD的長，進(jìn)而即可得到 A的坐 標(biāo)；(2)分三種情況：作 4AC關(guān)于x軸的對稱圖形得到 OPC;作 4AC關(guān)于直線x=3的 對稱圖形得到OP2C；作OP2c關(guān)于x軸的對稱圖形得到 OP3C,分別求解，即可；(3)分三種情況：當(dāng)以點(diǎn) A為頂角頂點(diǎn)時(shí)，且 OA是

44、腰；當(dāng)以點(diǎn) A為底角頂點(diǎn)時(shí)，且OA是腰，形成銳角三角形時(shí)； 當(dāng)以點(diǎn)A為底角頂點(diǎn)時(shí)，且 OA是腰，形成鈍角三角形時(shí)， 分別求解即可.【解析】解：(1)二.點(diǎn)B坐標(biāo)為(0, 2),點(diǎn)C坐標(biāo)為(6, 0),.OB = 2, OC = 6,. / ACB=90,.-.Z BCO + Z ACD =90,且/ BCO+Z OBC = 90,./ ACD = Z OBC ,且 AC=BC, / BOC = Z ADC =90,.BOCQCDA (AAS),-.CD = OB = 2, .OD = OC + CD=8, AD=OC=6 ,.點(diǎn)A的坐標(biāo)(8, 6)；(2)作OAC關(guān)于x軸的對稱圖形得到 4PC

45、,. OAC OPC,P1 (8, -6)；點(diǎn)O, C關(guān)于直線x=3對稱，作4OAC關(guān)于直線x=3的對稱圖形得到 OP2C,. OAC CP2O,P2 (-2, 6)；作OP2c關(guān)于x軸的對稱圖形得到 OP3C,. OP2CW 4P3C,即：AOP3CAOCA,P3 (-2, -6),綜上所述：P的坐標(biāo)為：(8,-6)或(-2, 6)或(-2, -6)；片1 ,H工=3(3)當(dāng)以點(diǎn)A為頂角頂點(diǎn)時(shí)，且 OA是腰，;AD，x 軸,，點(diǎn)Qi, O關(guān)于直線AD對稱，即：Qi (16, 0);當(dāng)以點(diǎn)A為底角頂點(diǎn)時(shí)，且 OA是腰，形成銳角三角形時(shí),則 OQ2=OA=10,Q2 (10, 0);當(dāng)以點(diǎn)A為底

46、角頂點(diǎn)時(shí)，且 OA是腰，形成鈍角三角形時(shí),則 OQ3=OA=10, Q2 (-10, 0),（2a0F 口Q胃Qi j：綜上所述：Q的坐標(biāo)為：（16, 0）或（10, 0）或（-10, 0）.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理，掌握分類討論思想方法是本題的關(guān)鍵.7.已知：CD是經(jīng)過 BCA的頂點(diǎn)C的一條直線，CA CB. E、F是直線CD上兩點(diǎn)，BEC CFA .（1）若直線CD經(jīng)過 BCA的內(nèi)部， BCD ACD .如圖1 , BCA 90 ,90 ,直接寫出BE, EF , AF間的等量關(guān)系：如圖2, 與 BCA具有怎

47、樣的數(shù)量關(guān)系，能使中的結(jié)論仍然成立？寫出 與BCA 的數(shù)量關(guān)系，并對結(jié)論進(jìn)行證明；（2）如圖3,若直線CD經(jīng)過 BCA的外部，BCA,中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若不成立，寫出新結(jié)論并進(jìn)行證明.【答案】（1）EF BE AF ; BCA 180 ,證明見解析；（2）不成立，EF FA BE ,理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，推導(dǎo)彳導(dǎo) ACF CBE,通過證明 ACF/CBE,得BE CF , CE AF , 結(jié)合EF CF CE ,即可得到答案；結(jié)合題意，根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，推導(dǎo)得 CBE ACF ,通過證明BCECAF , 即可完成證明；ACF ,通過證明CF ,即可得到答案.(

48、2)根據(jù)題意，結(jié)合三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，推導(dǎo)得 CBEBCEACAF ,得 EC FA, BE CF ；根據(jù) EF CE 【解析】(1): BCA 90 ,90. ACF BCE 90 , CBE BCE 90ACF CBEBEC CFAACF CBE CA CBACFACBE. BE CF , CE AFEF CF CE EF BE AF ;滿足BCA180 ,理由如下：CBEBCEBEC180 ,BCA180CBEBCEBECBCACBEBCEBCEACFCBE ACFBEC CFA , CA CB ,ABCEACAFBE CF , CE AF EF CF CE ,EF BE AF(2)不成

49、立， EF BE AF,理由如下：CBE BCE BEC 180 , BCE BCA ACFBEC CFA BCACBE BCEBCEACFCBE ACFBEC CFA ， CA CB ，ABCEACAFBE CF , CE AF EF CF CE ,EF BE AF【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、 余角、全等三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、 全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解.8.如圖，在 ABC中，AB=AC=2, / B=40 ,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn) D不與點(diǎn)B、C重 合)，連接AD,作/ ADE=40。，DE交線段AC于點(diǎn)E.(1)當(dāng)/ BDA=115時(shí)，/ EDC=/

50、 AED=；(2)線段DC的長度為何值時(shí)， AABDA DCE,請說明理由；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，AADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求/ BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由.J DC【答案】(1) 25, 65; (2) 2,理由見詳解；(3)可以，110或80.【分析】(1)利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；(2)當(dāng) DC=2 時(shí)，禾用/ DEC+/EDC=140 , / ADB+ / EDC=140 ,求出/ ADB= / DEC, 再利用AB=DC=2 ,即可得出 AABD叁 DCE .(3)當(dāng)/ BDA的度數(shù)為110或80時(shí)，AADE的形狀是等腰三角形.【解析】解：(

51、1)/ B=40 , / ADB=115 ,./BAD=180 -/B-/ADB=180 -115 -40 =25 ,. AB=AC ,./ C=Z B=40 ,. / EDC=180 -Z ADB- / ADE=25 ,DEC=180 -/EDC-/C=115 ,./AED=180 -Z DEC=180 -115 =65;(2)當(dāng) DC=2 時(shí)，AABDA DCE,理由：一/ C=40 ,./ DEC+/EDC=140 ,又. /ADE=40 ,./ ADB+ / EDC=140 ,./ ADB= / DEC,又. AB=DC=2 ,在ABD和DCE中,ADB= DECB= CAB= DC.

52、ABD DCE (AAS )；(3)當(dāng)/ BDA的度數(shù)為110或80時(shí)，AADE的形狀是等腰三角形,. / BDA=110 時(shí),. / ADC=70 , / C=40 ,. / DAC=70 ,.ADE的形狀是等腰三角形;當(dāng)/ BDA的度數(shù)為80時(shí),ADC=100 , / C=40 ,.Z DAC=40 ,.ADE的形狀是等腰三角形.本題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)， 三角形外角的性屬于基礎(chǔ)質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大,題.9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 A(a,0)、B(0,b)分別在坐標(biāo)軸的正半軸上.(1)如圖1

53、,若a、b滿足(a 4)2 Jb3 0,以B為直角頂點(diǎn)，AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角&ABC ,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()；(2)如圖2,若a b,點(diǎn)D是OA的延長線上一點(diǎn)，以 D為直角頂點(diǎn)，BD為直角邊在第一象限作等腰直角 “BDE ,連接AE ,求證： ABD AED ;(3)如圖3,設(shè)AB c,ABO的平分線過點(diǎn) D 2, 2 ,直接寫出a b c的值.【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)是3,7 ； 見解析；(3) a b c 4【分析】(1)根據(jù)偶次哥的非負(fù)性以及算術(shù)平方根的非負(fù)性得出a,b的值，過點(diǎn)C作CD y軸于點(diǎn)D ,然后證明dOABDBC ,進(jìn)而得出結(jié)論；(2)過點(diǎn)E作EM x軸于點(diǎn) M,

54、根據(jù)題意證明aOBDMDE (AAS),在ABN和 DNE 中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；(3)作DFy軸于H,DH，x軸于H,DK，BA交BA的延長線于 K,先證明也FBD烏KBD(AAS) 可得BK=BF = b+2,然后證明 RtADAH RtADAK可彳導(dǎo)BK=c+a-2,進(jìn)一步可得結(jié)果.【解析】解：(1) (a 4)2 Jb 3 0,a 4,b 3,. OA 4,OB 3, &ABC為等腰直角三角形, TOC o 1-5 h z .BA BC,ABC90,CBDABO90,ABOBAO90,CBDBAO,在&BAO和CBD中，CBD BAOCDB BOA , BC AB.BAO

55、仁人 CBD(AAS),.OA DB 4,CD BO 3,. OD OB BD 3 4 7 ,，點(diǎn)C的坐標(biāo)是3,7 ;(2)證明：過點(diǎn)E作EM x軸于點(diǎn)M,依題意有, &BDE為等腰直角三角形，BD DE, BDE 90 ,BDOEDM 90 ,EDMMED 90 ,ODB MED , 在 RtAOBD 和 Rt&MDE 中，BD DE ODB MED , BOD DME aOBDaMDE (AAS), OB DM , OD ME , 又 a b ,即 OA OB ,OD ME ,相交于點(diǎn)N, AM AD DM AD OB AD OAEAM 45 , 即 BA AE ,又 BD DE ,設(shè) B

56、D 與 AE 在 dABN 和DNE 中，BAN EDN 90 , ANB DNE , ：. ABD AED ;(3)作DFy軸于H, DHx軸于H, DK，BA交BA的延長線于 K,則 DF = DH =2,. BD 平分/ABO, DF，y 軸，DKBA,-.DF = DK = 2, BFD BKD 90 , FBD KBD , BD BD ,&FBDKBD(AAS),-.DF = DH = DK, BK=BF = b+2,在 RtADAH 和 RtADAK 中,DH DKDA DA RtADAH RtADAK (HL),-.AK=AH = a- 2,.BK = c+a-2,c+ a- 2

57、= b+ 2,a- b+ c= 4.【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，偶次方與算數(shù)平方 根的非負(fù)性的性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)建出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.10.如圖，在等腰 RtABC中， ABC 90,點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上. (1)如圖，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,求點(diǎn)B的坐標(biāo);CD(2)如圖，若X軸恰好平分 BAC , BC交X軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CD x軸于點(diǎn)D，求一AM的值；(3)如圖，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為 4,0，點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以 OB、AB為邊在第一、第二象限中作等腰 RUOBF ,等腰RtAABE，連接EF交y軸于點(diǎn)P ,當(dāng)點(diǎn)B在y軸上移動(dòng)時(shí)

58、，PB的長度是否發(fā)生改變？若不變求PB的值；若變化，求 PB的取值范圍.1【答案】(1) (0, 5) (2) 2 (3)不變，等于2.【分析】(1)作CDXBO,易證ZABOA BCD,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可解題;(2)設(shè)AB=BC=a,根據(jù)勾股定理求出AC= J2a,根據(jù)MA (即x軸)平分/ BAC,得到BMMCABAc求得BM=(近-1)a, MC= (2-J2) a, AM= J4 2芯 a,再證明AB CM,即可解答,AMr .一. f AB AM RtAABMsRtCDM,得至U ,即 CD = CD CM (3)作 EGy 軸，易證BAOA EBG 和EGPA FB

59、P,可得 BG=AO 和 PB=PG,即一，I1可求得PB= 2AO,即可解題.【解析】解：(1)如圖1,作CDLBO于D, / CBD + / ABO =90, / ABO + / BAO = 90, ./ CBD = Z BAO,BOA BDC 90在 AABO 和 ABCD 中，CBD BAOAB BCABOA BCD (AAS),.-.CD = BO=5,B 點(diǎn)坐標(biāo)(0, 5)；圖】(2)設(shè) AB=BC=a,則AC=蓼a,. MA (即x軸)平分/ BAO,BM AB 2MO AC 2即 MC= #BM ,.BC = BM + MC = a,.BM+ 72 BM = a,解得 BM=

60、( 72-D a, MC= (2- J2 ) a則 AM = TabBm & 莉5 a,./ ABM = Z CDM =90且/ AMB = Z CMD.RtAABMsRtCDM ,ABCDAMCMCD =AB CMAMCD,AMa 22 a, 24 2 2a(3) PB的長度不變，理由如下: 如圖3,作EGy軸于G,V. A. Z BAO + Z OBA= 90, Z OBA + Z EBG = 90,./ BAO = Z EBG,AOB BGE 90在ABAO和AEBG中,BAO EBGAB BEBAOA EBG (AAS),.BG = AO, EG=OB,.OB= BF,EPG FPBE