兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)

1、第2次作業(yè)P r .如圖2-1所示，一小車（重P）自高h(yuǎn)處沿斜面滑下，與緩沖器相撞后，隨 同緩沖器一起作自由振動(dòng)。彈簧常數(shù)k ,斜面傾角為a，小車與斜面之間摩擦力 忽略不計(jì)。試求小車的振動(dòng)周期和振幅。k自不：T二尸 同2、T 土 gk Ak 2h 年而：-圖2-1.確定圖2-2所示系統(tǒng)的固有頻率。圓盤質(zhì)量為 m圖2-2.確定圖2-3系統(tǒng)的固有頻率圖2-3答案：n = -2g- ,3 R -r第三章兩自由度系統(tǒng)振動(dòng) 3-1概述單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)理論是振動(dòng)理論的基礎(chǔ)。在實(shí)際工程問題中，還經(jīng)常會(huì)遇到一些不能簡化為單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問題，因此有必要進(jìn)一步研究多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)理論。兩自由度系統(tǒng)是最簡單

2、的多自由度系統(tǒng)。 從單自由度系統(tǒng)到兩自 由度系統(tǒng)，振動(dòng)的性質(zhì)和研究的方法有 質(zhì)的不同。研究兩自由度系統(tǒng) 是分析和掌握多自由度系統(tǒng)振動(dòng)特性的基礎(chǔ)。所謂兩自由度系統(tǒng) 是指要用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定系統(tǒng)在振動(dòng)過程中任何瞬時(shí)的幾何位置的振動(dòng)系統(tǒng)。 很多生產(chǎn)實(shí)際中的問題都可 以簡化為兩自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。例如，車床刀架系統(tǒng)（a）、車床兩頂 尖間的工件系統(tǒng)（b）、磨床主軸及砂輪架系統(tǒng)（c）。只要將這些系統(tǒng) 中的主要結(jié)合面（或芯軸）視為彈簧（即只計(jì)彈性，忽略質(zhì)量） ，將 系統(tǒng)中的小刀架、工件、砂輪及砂輪架等視為集中質(zhì)量，再忽略存在 于系統(tǒng)中的阻尼，就可以把這些系統(tǒng)近似簡化成 圖(d)所示的兩自 由度振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)

3、力學(xué)模型。以圖3.1 (c)所示的磨床磨頭系統(tǒng)為例分析，因?yàn)樯拜喼鬏S安 裝在砂輪架內(nèi)軸承上，可以近似地認(rèn)為是剛性很好的， 具有集中質(zhì)量 的砂輪主軸系統(tǒng)支承在彈性很好的軸承上，因此可以把它看成是 支承在砂輪架內(nèi)的一個(gè)彈簧一一質(zhì)量系統(tǒng)。止匕外，砂輪架安裝在砂輪進(jìn)刀 拖板上，如果把進(jìn)刀拖板看成是靜止不動(dòng)的，而把砂輪架與進(jìn)刀拖板 的結(jié)合面看成是彈簧，把砂輪架看成是集中的質(zhì)量，則砂輪架系統(tǒng)又 近似地可以看成是支承在進(jìn)刀拖板上的另一個(gè)彈簧一一質(zhì)量系統(tǒng)。這樣，磨頭系統(tǒng)就可以近似地簡化為圖示的 支承在進(jìn)刀拖板上的兩自由 度系統(tǒng)。用出1向自由.地振動(dòng)系統(tǒng)及其動(dòng)力學(xué)模型在這一系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型中，m是砂輪架的質(zhì)量，

4、ki是砂輪架支 承在進(jìn)刀拖板上的靜剛度，m是砂輪及其主軸系統(tǒng)的質(zhì)量，k2是砂輪 主軸支承在砂輪架軸承上的靜剛度。取每個(gè)質(zhì)量的靜平衡位置作為坐 標(biāo)原點(diǎn)，取其鉛垂位移Xi及X2分別作為各質(zhì)量的獨(dú)立坐標(biāo)。這樣 Xi 和X2就是用以確定磨頭系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)。（工程實(shí)際中兩自由 度振動(dòng)系統(tǒng)）工程實(shí)例演示 3-2 兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)一、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程（汽車動(dòng)力學(xué)模型）以圖3.2的雙彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 為例。設(shè)彈簧的剛度分別為ki和k2,質(zhì)量為m、m。質(zhì)量的位移分別用xi和X2來表示，并以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向下為正方向zi圖3.2雙彈簧一質(zhì)量系統(tǒng)（分析）在振動(dòng)過程中的任一瞬間t,m和m的位移分別為

5、xi及X2。此時(shí)，在質(zhì)量m上作用有彈性恢復(fù)力kiXi及k2（X2 - Xi）,在質(zhì)量m上作用有彈性恢復(fù)力k2（X2-Xi 這些力的作用方向如圖所示。應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可建立該系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程式：miXikiXi - k2 x2 - Xi =0m2X2 k2 x2 - Xi = 0kik2令 a =, b =則（3.i ）式可改寫成如下形式：號(hào)c =mijk2m2(3.i )Xi 0m1Xi kiXik2 x2m2X2 k2 x2 xi ;x1ax1bx2 = 0X2 - cx1 + cx2 = 0j（3.2）這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次聯(lián)立微分方程組 。（分析）在第一個(gè)方程中包含 - bx2項(xiàng)

6、，第二個(gè)方程中則包含- cx1項(xiàng)，稱為“耦合項(xiàng)（coupling term）。這表明，質(zhì)量m除受 到彈簧ki的恢復(fù)力的作用外，還受到彈簧k2的恢復(fù)力的作用。 m雖然只受一個(gè)彈簧k2恢復(fù)力的作用，但這一恢復(fù)力也受到第一質(zhì)點(diǎn) m位移的影響。我們把 這種位移之間有耦合的情況 稱為彈性耦合。若加速度之間有耦合的情況，則稱之為慣性耦合。二、固有頻率和主振型創(chuàng)造思維：從單自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論得知，系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。我們也 希望在兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)中 找到簡諧振動(dòng)的解。因此可先假設(shè)方程組（3.2）式有簡諧振動(dòng)解， 然后用待定系數(shù)法來尋找有簡諧振動(dòng)解的條件。設(shè)在振動(dòng)時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量按同樣的頻率

7、和相位角作簡諧振動(dòng)，故可設(shè)方程組（3.2）式的特解為：x1 = A1 sin ntx2 = A2 sin（0 nt + 邛）J （3）其中振幅Ai與A、頻率與n、初相位角華都有待于確定。對(duì)（3.3）式分別取一階及二階導(dǎo)數(shù)：x1 二 A1n cos nt; x1 - A 2 sin nt卜-222 1.2-2/, ，G Lx2 = A20 n cos nt + *); x2 = - A2s n sin nt + )j(3.4)將(3.3)、(3.4)式代入(3.2)式，并加以整理后得：(3.5)a - 2 A1 - bA2 = 0-cA1c - ； A2 = 0上式是Ai、A2的線性齊次代數(shù)方程

8、組。A、從=0顯然不是我們所 要的振動(dòng)解，要使Ai、A2有非空解，則（3.5）式的系數(shù)行列式必須 等于零，即:將上式展開得:42, n - a c n ca b=0(3.6)解上列方程，可得如下的 兩個(gè)根:ni,2(3.7)bc由此可見，（3.6）式是決定系統(tǒng)頻率的方程，故稱為 系統(tǒng)的頻率方程(frequency equation ) 或特 征方程(characteristicequation )。特征方程的特征值(characteristic value )即頻率0 n只與參數(shù)a, b, c有關(guān)。而這些參數(shù)又只決定于系統(tǒng)的質(zhì)量m, m和剛度ki, k2,即頻率缶n只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，

9、故稱 n 為系統(tǒng)的固有頻率。兩自由度系統(tǒng)的固有頻率有兩個(gè)，即 *1和0 n2,且 %一0 n2,把。n1稱為第一階固有頻率(firstorder natural circular frequency )?；l n2 稱為第二階固有 頻率 (second order natural circular frequency )。(推廣)理 論證明，n個(gè)自由度系統(tǒng)的頻率方程是 仍2的n次代數(shù)方程，在無阻 尼的情況下，它的n個(gè)根必定都是正實(shí)根，故主頻率的個(gè)數(shù)與系統(tǒng) 的自由度數(shù)目相等。將所求得的n1和 n2代入(3.5)式中得:Ra22 = a - / 1 = cA)bc A22) a -6：2c | (

10、3.8)2 釁)b c - 切 言 *式中：A), a21)對(duì)應(yīng)于切n1的質(zhì)點(diǎn)m, m的振幅；A12 A -對(duì)應(yīng)于n2的質(zhì)點(diǎn)m, m的振幅。由此可見，對(duì)應(yīng)于& n1和6 n2 ,振幅A1與4之間有兩個(gè)確定的 比值。稱之為振幅比(amplitude ratio )。將(3.8)式與(3.3)式聯(lián)系起來可以看出，兩個(gè) m與m任瞬間位移的比值X2/%也是確定的，并且等于振幅比A2/A1 o系統(tǒng)的其它點(diǎn)的位移都可以由Xi及X2來決定。這樣，在振動(dòng)過程中，系統(tǒng)各點(diǎn)位移的相對(duì)比值都可以由振幅比確定， 也就是振幅比決定了整個(gè) 系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)。因此，我們將振幅比稱為系統(tǒng)的主振型(principalmod,也可

11、稱為 固有振型(natural mode )。其中：P 1 第一主振型，即對(duì)應(yīng)于第一主頻率0 ni的振幅比；0 2 第二主振型，即對(duì)應(yīng)于第二主頻率6 n2的振幅比。當(dāng)系統(tǒng)以某一階固有頻率按其相應(yīng)的主振型作振動(dòng)時(shí)，即稱為系 統(tǒng)的主振動(dòng)(principal vibration )。所以，第一主振動(dòng)為:(3.9) TOC o 1-5 h z )=A)sin儂 n1t 十、)；xj)= APsinMgt + 邛1)=B1A11)sin9 gt +、) n nnini第二主振動(dòng)為：Xj2 = A2 sin n2t2x22)= a22)sin(s n2t + 甲2 )= B2A(2)sHs n2t + 2

12、 )j(3.10)為了進(jìn)一步研究主振型的性質(zhì)，可以將(3.7)式改寫成如下形式:因?yàn)?n1,2所以 a - - 21 = a -2 1+ bc2十bc2因?yàn)樯鲜降牡仁接疫吅愦笥诹?，所?a - 6 ni 0 ,由（3.8 ）式知，10又因?yàn)?a - 22 = a -2bcJ J2 TOC o 1-5 h z a - c ；,I + bc 2 ) 一一2因?yàn)樯鲜降牡仁接疫吅阈∮诹?，所以a - n2 0表示N1師A21）的符號(hào)相同，即第一主振動(dòng)中兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位相同。因此，若系統(tǒng)按第一主振型進(jìn)行振動(dòng)的 話，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)就同時(shí)向同方向運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)經(jīng)過平衡位置，又同時(shí) 達(dá)到最大偏離位置。而 n1t +甲1

13、)+ B2A(2)sins n2t + %)j (3.11)中2四個(gè)未知數(shù)要由振動(dòng)的四個(gè)初始條件來決定。設(shè)初始條件為：t=0時(shí),X1 = x10 , X2 = x20，X1 = x10，X2 = X20 經(jīng)過運(yùn)算，可以求出:A1= ：:,： 2X10 - X20-2 - - 1 n1、2/ R.2 . H1X10X20( 1 X10 X20)1 = tg/ , n1 - 2X10 - X20- 2X10 - X20/ n2 - 1X10 - X20-1 X10 - X20(3.12 )將（3.12）式代入（3.11 ）就得到系統(tǒng)在上述初始下響應(yīng)。四、振動(dòng)特性的討論1.運(yùn)動(dòng)規(guī)律從（3.11）式可

14、以看出，兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)是由兩個(gè)簡諧振動(dòng)合成的。但從（3.7）式來看，這兩個(gè)分振動(dòng)的頻率n10 c n2的比值卻不一定是有理數(shù)，因此合成不一定呈周期性。所以系統(tǒng)的自由振動(dòng)一般來說是一種非周期的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。在這一振動(dòng)中，各階主振動(dòng)所占的比例由初始條件決定。但由于低階振型易被激發(fā)，所以通常情況下總是低階主振動(dòng)占優(yōu)勢(shì)。只有在 某種特殊的初始條件下，系統(tǒng)才按一種主振型進(jìn)行振動(dòng)。.頻率和振型兩自由度系統(tǒng)有兩個(gè)不同數(shù)值的固有頻率 ，稱為主頻率，當(dāng)系統(tǒng) 按任一個(gè)固有頻率作自由振動(dòng)時(shí)，即稱為主振動(dòng)。系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)， 任何瞬間的各點(diǎn)位移之間具有一相對(duì)比值，即整個(gè)系統(tǒng)具有確定的振動(dòng)形態(tài)，稱為主振型。.節(jié)點(diǎn)

15、和節(jié)面在兩自由度系統(tǒng)的高階主振型中存在著節(jié)點(diǎn)， 而在第一階主振型 中卻不存在節(jié)點(diǎn)。對(duì)多自由度系統(tǒng)來說也是如此，而且主振型的階數(shù) 越高，則節(jié)點(diǎn)數(shù)也就越多。 一般來說，第i階主振型有i-1個(gè)節(jié)點(diǎn)。對(duì)于彈性體來說，節(jié)點(diǎn)已經(jīng)不再是一個(gè)點(diǎn)，而是聯(lián)成線或面，稱 為節(jié)線(nodal line )和節(jié)面(nodal surface )。.阻尼若系統(tǒng)存在阻尼，則阻尼對(duì)多自由度系統(tǒng)的影響和單自由度系統(tǒng) 相似。由于在工程結(jié)構(gòu)中一般阻尼較小，故可略去不計(jì)。例 試求如圖3.4所示的系統(tǒng)的固有頻率和主振型。已知 m1 = m, m2 = 2m, k1 = k2 = k, k3 = 2k。又若已知初始條件為 Xio = 1

16、.2, X20 = Xio = X20 = 0 ,試求系統(tǒng)的響應(yīng)夕口V777777777777T7T圖3.4兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)MLZZK.Za)1 事一專&)圖3.5系統(tǒng)的主振型解：該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式為m1x1 k1k2 x1 - k2x2 = 0m2x2 - k2x1 k2 k3 x2 : 0k1 k2k2k2k2 k3令 a = , b =,c = , d =m1m1m2m2則x1 ax1 - bx2 = 0 x2 - cx1 dx2 = 0可解出：類比前面形式：主行列式為零。n1,2bcn1n2因?yàn)閚1,2n12k3k,42m2mn12- 32k2k5k=1.581根據(jù)給定的初始條件，

17、代入（3.12）式得:A=-1.2、=0.4-1-c 2221A2 = 1 1.2 = 0.81 - 2)ji故系統(tǒng)的響應(yīng)為:X1IX2=0.4cos., kt 0.8cos1.581, kt mm= 0.4cosi kt - 0.4cos1.581 kt m m五、主振型的正交性如前所述，兩自由度系統(tǒng)有二個(gè)固有頻率和二個(gè)相應(yīng)的主振型?，F(xiàn)在我們來研究這二個(gè)主振型之間的關(guān)系。為了便于分析研究，我們 先來討論以下幾個(gè)例子例1 一個(gè)質(zhì)量為m的小球，固定在垂直安裝的細(xì)長圓截面彈性 桿的頂端，桿子下端固定在地面，如圖3.6所示。桿子質(zhì)量略去不計(jì) 現(xiàn)分析其振動(dòng)情況。設(shè)O點(diǎn)是平衡位置,小球在水平面xoy上的

18、小范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其任一瞬時(shí)的位置可以用矢量r來確定。小球的坐標(biāo) 則可通過方向余弦求得:式中：i , j分別表小x,y軸上的單位矢量。當(dāng)小球偏離平衡位置 O點(diǎn)后，就要受到圓桿的彈性恢復(fù)力F的作用。由于圓桿在任何方向上的剛度 k都相等，故F = - kr將F力投影到x, y軸上得：F cos r ,i 一 kr cos r ,i 一 kx .Il- ( ) I( ) IF cos r , j 一 kr cos r , j 一 ky因此，可建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式：mx1 ) - kxmx2 ) - ky這是兩個(gè)彼此獨(dú)立的單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式 ，在x方向 和y方向兩個(gè)自由度上 沒有耦合，而且由

19、于在這兩個(gè)方向上k相等， 故兩個(gè)方向的振動(dòng)頻率也相等。即kCC = co =|nx ny m m所以兩個(gè)方向的自由振動(dòng)都是簡諧振動(dòng)， 且頻率相等。其合成結(jié) 果一般情況下是個(gè)橢圓。由此可見，在x, y方向，系統(tǒng)均按其固有頻率作自由振動(dòng)，故 均為主振動(dòng)。也就是說，在x和y方向，系統(tǒng)均具有確定的振動(dòng)形態(tài)。 所以系統(tǒng)的兩個(gè)主振型也分別沿 x和y方向，也就是說，系統(tǒng)的兩個(gè) 主振型是互相垂直的。例2若將圖3,6所示系統(tǒng)中的彈性桿的截面改成矩形， 試分析 其振動(dòng)情況。圖支承在兩根彈簧上的小球由于彈性桿截面為矩形，故桿件在兩個(gè)互相垂直的方向上抗彎剛 度就有所不同?，F(xiàn)取桿截面的兩個(gè)慣性主軸作為 x、y坐標(biāo)軸，則

20、x 軸方向上的剛度為kx, y軸方向上的剛度為ky,因而系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分 方程式即成為：mx1 二 一 kxx.mx2 -kyy兩個(gè)方向上的頻率不等，它們分別為：nx 1/; ny。 mm這時(shí)，在x, y兩個(gè)方向上是不同頻率的簡諧振動(dòng)，具 合成結(jié)果 就是不同頻率的李沙如圖。振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)在x和y方向，系統(tǒng)仍按固有頻率6 nx =切ny作自由振動(dòng)，故仍 是主振動(dòng)，因而主振型分別沿x和y方向，所以系統(tǒng)的兩個(gè)主振型仍 互相垂直系統(tǒng)的第一主振型和第二主振型互相垂直，主振型這種互相垂直 的性質(zhì)，叫做主振型的正交性（orthogonal properties of principal made9主振型的正交

21、性的幾何意義 就是兩個(gè)主振型直線互相垂直。（能量各個(gè)獨(dú)立，不相干擾） 3-3 兩自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和單自由度系統(tǒng)一樣，兩自由度系統(tǒng)在受到持續(xù)的激振力作用時(shí)就會(huì)產(chǎn)生受迫振動(dòng)，而且在一定條件下也會(huì)產(chǎn)生共振。圖3,8所示為兩自由度無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型 。我們稱簡諧激振力作用的m-ki質(zhì)量彈簧系統(tǒng)稱為主系統(tǒng)。圖3.8兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型把不受激振力作用的m-k 2質(zhì)量彈簧系統(tǒng)稱為副系統(tǒng)這一振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式 為：m1x1k1x1 - k2 x2 - x1 = p0 sin tm2x2 k2 x2 - x1 = 0(3.13)k2P0一,p 二m2m1k1 k

22、2, k2,b 二,cm1m1則（3.13）式可改寫成:=p0sin tx1ax1 - bx2x2 - cx1 cx2這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次微分方程組，其通解由兩部分組 成。一是對(duì)應(yīng)于齊次方程組的解，即為上一節(jié)討論過的自由振動(dòng)。是對(duì)應(yīng)于上述非齊次方程組的一個(gè)特解，它是由激振力引起的受迫振動(dòng)，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。我們只研究穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，故設(shè)上列微分方程組有 簡諧振動(dòng)的特解：x1 = B1 sin tx2 = B2 sin 0 tj （3.15）式中，B、B2是m、m的振幅，在方程組中是待定常數(shù)。對(duì)（3.15） 式分別求一階、二階導(dǎo)數(shù),2x1 =B1 cos t;x1= - B1sin tx2 =

23、民與 cos t;x2= - B2。2 sin tj（3.16）將（3.15）及（3.16）式代入（3.14）式得:a -2 B1- cB1c-bB2 = p2）B2 = 0：（37）二 pc-2=pc這是一個(gè)二元非齊次聯(lián)立代數(shù)方程，它的解可用行列式原理求出:二 a - 2 c- 2 -bc_ b,2c -2P01Bi =Apc-2 TOC o 1-5 h z 22；(3.18)a - c _ - bc2PC一22- a ；.-；,：.c - 1- bc這就是說，我們期待的方程組（3.14）式的簡諧振動(dòng)特解是可以 得到的。二、振動(dòng)特性的討論.運(yùn)動(dòng)規(guī)律由（3.15）式得知，兩自由度系統(tǒng)無阻尼受迫

24、振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是 簡諧振動(dòng)。.頻率兩自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的頻率與激振力的 頻率0相同。.振幅由（3.18）式得知，兩自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅決定于激振力力幅、激振力頻率，以及系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)?，F(xiàn)分別討論如下：（1）激振力幅值po的影響因?yàn)閜xpo,所以po與B、B2成線性關(guān)系。即po越大，振幅B、2也越大。（2）激振力頻率金的影響為了說明缶對(duì)振幅的影響，我們以B、E2為縱坐標(biāo)，以切為橫坐標(biāo)，將（3.18）式作成曲線示圖3.9中，稱之為振幅頻率響應(yīng)曲線，或稱幅頻特性曲線。它表明了系統(tǒng)位移對(duì)頻率的響應(yīng)特性。圖3,9兩自由度系統(tǒng)的幅頻特性曲線討論:Do當(dāng)。川，B1 = B這表明，此時(shí)激振力的作用和靜

25、力的作用相當(dāng)。當(dāng)。=n1,或缶=n2,即激振力頻率等于系統(tǒng)第一或第二階 固有頻率時(shí)，系統(tǒng)即出現(xiàn)共振現(xiàn)象，振幅 B、B均急劇增加。這就是說，在兩自由度系統(tǒng)中，如果激振力的頻率和系統(tǒng)的任何一階固有頻 率相近時(shí)，系統(tǒng)都將產(chǎn)生共振。也就是說， 兩自由度系統(tǒng)有兩個(gè)共振 區(qū)?，F(xiàn)在我們來分析一下系統(tǒng)共振時(shí)的振型。由（3.18）式可得質(zhì)量m和由的振幅比為:B2 _ cB1c-2(3.19)這說明，在一定的激振頻率下，兩個(gè)質(zhì)量的振幅比是一個(gè)確定值。當(dāng)激振頻率s等于第一階固有頻率 0n1時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量的振幅比的即為:(3.20)當(dāng)切=n2時(shí)，則B2cD2- B1 J c - n2，n2n2(3.21 )這表明，系統(tǒng)

26、以那一階固有頻率共振,則此時(shí)的共振振型就是那一階主振型。這是多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的一個(gè)極為重要的特性 。在 實(shí)踐中，經(jīng)常用共振法測(cè)定系統(tǒng)的固有頻率，并根據(jù)測(cè)出的振型來判 定固有頻率的階次，就是利用了上述這一規(guī)律。當(dāng)切=VC時(shí)，x2 = B2 sin 切 t = - -psin tk2故 k2X2 -Po sin t這就是說，副系統(tǒng)通過彈簧k2傳給主系統(tǒng)的力，正好與作用在 主系統(tǒng)上的激振力相平衡。這樣，主系統(tǒng)的受迫振動(dòng)就被副系統(tǒng)吸收 掉了。主系統(tǒng)的質(zhì)量 m就如同不受激振力作用一樣，保持靜止。這種現(xiàn)象可以被利用來作為減小振動(dòng)的一種措施。當(dāng)8 T8時(shí)Bp B2T 0,即激振力的頻率很高時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量m

27、和m都幾乎不動(dòng)。這時(shí)受迫振動(dòng)現(xiàn)象也進(jìn)入慣性區(qū)了4.相位由于系統(tǒng)是無阻尼的情況，所以只要觀察振幅的正負(fù)變化就可以說明相位的變化?，F(xiàn)將振幅計(jì)算公式（3.18）式的分母作如下的變換：（a-0 2 Xc切 2）-bc= 0 4 -（a+ c32 + a- ）（3.23）由系統(tǒng)的頻率方程（3.6 ）式，可以得知 頻率方程的兩個(gè)根 TOC o 1-5 h z 22nP 8 n2必定滿足下列關(guān)系式：（代數(shù)方程的性質(zhì)）220+ 切 =a + cn1n2a c”:19n2 = da- b）J （3.24）將（3.24）式代入（3.23）式得：22,422222a ccn1 n2n1 n2=血2”2心232 ）（

28、25）n1n2因而（3.18）式可改寫成：B1B2 =p(c 一8 2 )血 2 6 2 心 2 6 21 ) n1n2 pc 2 - - n 1- 2 - - n2(3.26)從（3.26）式中可以看出：在0工8 E8n1階段，B、B2均為正值。故質(zhì)量 m、由的位移和激振力是同相的，即兩個(gè)質(zhì)量的位移也同相當(dāng)切=切n1時(shí)，運(yùn)動(dòng)的相位對(duì)于激振力要出現(xiàn)相位突跳的反相。當(dāng)切=JC時(shí)，Bi=0,此后，B又重新成為正值，但 R卻仍保持 負(fù)值。這就是說，在& 6 n1以后，B又改變?yōu)樨?fù)值，而 B卻保持正值。根據(jù)以上分析，可作出如圖3.10所示的相頻特性曲線國乩。兩自由度系統(tǒng)的相頰特性能變圖3.口，動(dòng)力浦振器的動(dòng)力學(xué)摸里三、動(dòng)力減振器根據(jù)兩自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振動(dòng)特性的分析得知，只要適當(dāng)?shù)剡x擇系統(tǒng)的參數(shù)，就可以使主系統(tǒng)的受迫振動(dòng)被副系統(tǒng)所吸收，從而使主系統(tǒng)不動(dòng)，動(dòng)力減振器就是應(yīng)用這一原理來設(shè)計(jì)的。lmim2xi