新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第八章立體幾何初步：8.3.2 圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積

1、8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積 通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容,能夠?qū)W會圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積的計算并理解相關(guān)公式,逐步培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng),學(xué)習(xí)時還應(yīng)掌握以下知識: 1.知道圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積的計算公式. 2.能利用計算公式求旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積. 3.能用計算公式解決與旋轉(zhuǎn)體相關(guān)的簡單實際問題. 圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱、圓錐、圓臺的表面積是圍成它的各個面的面積和.幾何體圖形表面積公式圓柱底面積:S底面=r2;側(cè)面積:S側(cè)面=2rl;表面積:S=2r(r+l)圓錐底面積:S底面=r2;側(cè)面積:S側(cè)面=rl;表面積:S=r(r+l)圓臺上底面面積:

2、S上底面=r2;下底面面積:S下底面=r2;側(cè)面積:S側(cè)面=(r+r)l;表面積:S=(r2+r2+rl+rl) 圓柱、圓錐、圓臺的體積幾何體體積公式圓柱V=Sh (S為底面積,h為圓柱的高) 圓錐V=Sh(S為底面積,h為圓錐的高) 圓臺V=(S+S)h(S,S分別為上、下底面面積,h為圓臺的高) 球的表面積和體積公式球的表面積公式S=4R2(其中R為球的半徑)球的體積公式V=R3(其中R為球的半徑) 對球的表面積和體積公式的說明: 1.球的表面積: (1)球面不能展開成平面,要用其他方法求它的表面積. (2)球面面積等于它的大圓面積的4倍. (3)球面面積只與半徑R有關(guān),是以R為自變量的二

3、次函數(shù). 2.球的體積:設(shè)球的半徑為R,它的體積只與半徑R有關(guān),是以R為自變量的函數(shù). 1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖的面積就是它們的表面積. ()2.圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖中的弧長與相應(yīng)底面的周長有關(guān).()3.正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長相等.()4.正方體的外接球的直徑與正方體的棱長相等.()5.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積為4.()判斷正誤，正確的畫“” ，錯誤的畫“ ” .提示：旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為圓柱,該圓柱的底面半徑r=1,高h=1,所以其側(cè)面積為2rh=2. 探究與球有關(guān)的切、接問題 如圖,一個水平放置的無蓋正方體容器,容器高8 cm,

4、將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm,若不計容器的厚度,如何求出球的體積? 1.求球的體積的關(guān)鍵是什么?提示:求球的體積的關(guān)鍵是求出球的半徑.2.本題中如何求出球的半徑?提示:如圖,作出球的一個軸截面,則MC=8-6=2(cm),BM=AB=8=4(cm).設(shè)球的半徑為R cm,則R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,R=5.3.怎樣計算球的體積?提示:將球的半徑代入球的體積公式,得V球=53=(cm3).4.解決正方體內(nèi)切球的有關(guān)問題時,如何得到基本量的關(guān)系?提示:球與正方體的六個面都相切,稱球為正方體的內(nèi)切球,若正方體的棱長為a,則內(nèi)切球的半徑r1

5、=,過在一個平面上的四個切點作截面如圖.提示:長方體的八個頂點都在球面上,稱球為長方體的外接球,則長方體的體對角線是外接球的直徑,若長方體中過同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,則外接球的半徑r2=,如圖所示. 5.解決長方體外接球的有關(guān)問題時,如何得到基本量的關(guān)系? 球與其他幾何體的組合問題的解決方法 1.解決與球有關(guān)的組合體問題,其基礎(chǔ)是作出適當(dāng)?shù)那虻慕孛? (1)有關(guān)球的截面問題,常畫出過球心的截面圓,將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題. (2)解題時要注意利用以球的半徑R,截面圓的半徑r,球心到截面的距離d為三邊長的直角三角形,即R2=d2+r2. 2.球與其他幾何體經(jīng)常通過內(nèi)切、外接等方式構(gòu)

6、成組合體,主要有球與柱、錐、臺體的組合,即球內(nèi)切于柱、錐、臺體或球外接于柱、錐、臺體.作出適當(dāng)?shù)妮S截面,利用軸截面探究基本量的關(guān)系是解題的要點.在直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個與其各面都相切的球O1,同時在三棱柱ABC-A1B1C1外有一個外接球O2.若ABBC,AB=3,BC=4,則球O2的表面積為29 .思路點撥先求出球O1的半徑,再求出球O2的半徑,從而求得球O2的表面積.解析ABBC,AB=3,BC=4,AC2=AB2+BC2=25,AC=5.設(shè)球O1的半徑為r,由題得(3r+4r+5r)=34,r=1,棱柱的側(cè)棱AA1=2r=2.棱柱外接球的直徑為=,外接球的半徑為,球O2的表面積為4=29.答案29如圖,正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A,B,C,D在球O的同一個大圓上,點P在球面上,若VP-ABCD=,則球O的體積是 . 解析設(shè)球O的半徑為R.由題意知,PO底面ABCD,PO=R,S四邊形ABCD=2R2,由VP-ABCD=,得2R2R=,解得R=2,則球O的體積是23=.答案若正四棱錐P-ABCD內(nèi)接于球O,且底面ABCD過球心O,設(shè)正四棱錐P-ABCD的高為1,求該正四棱錐的體積.解析正四棱錐P-ABCD內(nèi)接于球