移動灌溉系統(tǒng)的優(yōu)化模型

1、移動灌溉系統(tǒng)的優(yōu)化模型摘要農(nóng)業(yè)灌溉在我國農(nóng)業(yè)生產(chǎn)增收中占據(jù)著非常重要的地位，噴灌是一種具有節(jié)水、增產(chǎn)、 節(jié)地、省工等優(yōu)點的先進(jìn)節(jié)水高效灌溉技術(shù)。隨著我國農(nóng)業(yè)水資源的日益緊缺，噴灌作為 一種現(xiàn)代化的節(jié)水高效灌溉技術(shù)，正被越來越廣泛的運用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中。而農(nóng)場中的“手 動”系統(tǒng)，由于操作過程中耗費了大量人力與時間，從而給實際生產(chǎn)帶來許多不便，因此 需要設(shè)計一種管道系統(tǒng)的移動方案，以保證灌溉時間和移動次數(shù)盡可能少。針對此問題，本文運用了運動學(xué)原理和幾何知識，在比較了各種可能存在的管道系統(tǒng) 的優(yōu)劣后，最終建立了兩套管道系統(tǒng)模型。管道系統(tǒng)I采用2支管4噴頭網(wǎng)狀系統(tǒng)，各噴 頭呈正三角形布置；管道系統(tǒng)II采用

2、單支管3個噴頭系統(tǒng)。使用這兩套管道系統(tǒng)進(jìn)行灌溉， 共需移動16次，只需要66.4470+16C分鐘（C為常數(shù)，是移動一次管道系統(tǒng)所需要的時間） 就可以灌溉完一片面積80 30米的田地。本文在計算灌溉時間上通過分別計算各噴嘴重復(fù)覆蓋部分的灌溉強度不超過7.5毫 米每小時所需要的時間以及不重復(fù)覆蓋部分一天總的灌水量不少于5毫米所需要的時間， 然后取這兩個時間所在時間段中最小的一個時間來作為一次灌溉的時間，較為合理。在模 型檢驗中對各種可能存在的管道系統(tǒng)進(jìn)行了比較，得出了 2支管4噴頭網(wǎng)狀系統(tǒng)在節(jié)省時 間上是最優(yōu)的模型，從而說明本文模型的建立是比較合理的。關(guān)鍵詞：網(wǎng)狀系統(tǒng)比較檢驗法有效覆蓋面積一、問

3、題的重述從先進(jìn)的灌溉系統(tǒng)到周期性灌溉系統(tǒng)，目前有各種各樣用于灌溉的技術(shù)。其中一項用 于小型農(nóng)場灌溉的系統(tǒng)是“手動”系統(tǒng)。此種系統(tǒng)可以在田地里鋪設(shè)帶噴嘴的輕鋁制管道， 可定期手動的調(diào)節(jié)管道的位置以確保整片田地都得到充分的灌溉。管道系統(tǒng)包括可直線連 接的一定數(shù)量的管道。所有管道最終連接成長20米的管道系統(tǒng)。已知每個管道內(nèi)直徑10 厘米，帶有內(nèi)直徑為0.6厘米的旋轉(zhuǎn)噴嘴。系統(tǒng)源頭的水壓為420千帕，流量為150升/分 鐘。由于考慮到防止地表徑流和農(nóng)作物對水量的需求，所以田地的任何區(qū)域每小時的灌溉 量都不得超過0.75厘米，且所有區(qū)域每四天灌溉量總和要不少于2厘米。為了確保用最少 的時間灌溉一片面積為

4、80 30米的田地，需要解決以下問題：1、建立一種模型，確定噴頭的數(shù)量，各噴頭的間距以及管道系統(tǒng)的構(gòu)造形狀。2、確定移動的方案，求出最小的時間。二、問題的分析題目要求使用管道系統(tǒng)在最少的時間內(nèi)灌溉一片面積80X30米的田地，也就是要我們 安裝一套移動管道系統(tǒng)，在滿足題設(shè)所給的總長20米，田地的任何區(qū)域每小時的灌溉量都 不得超過0.75厘米和所有區(qū)域每四天的灌溉量不得少于2厘米的條件下，使各噴頭每次同 時噴灑的有效覆蓋面積最大且一次灌溉時間最少，這就要求確定好噴頭的射程、個數(shù)、布 局和支管的間距。因為系統(tǒng)源頭的水壓一定，各噴頭的射程相同。在確定噴頭射程時，先運用沖量定理 求出水噴出時的速度，再運

5、用運動學(xué)原理求射程。由于仰角不同，射程不同，需要比較在 不同仰角下的射程，選出比較合理的數(shù)據(jù)。一般管道布局有單支管多噴頭和多支管多噴頭管道系統(tǒng)。我們需要比較各種管道系統(tǒng) （包括噴頭可能存在的個數(shù)）灌溉一次的有效覆蓋面積和灌溉時間，最終選出覆蓋面積大 且灌溉一次所用時間最少的模型即為最優(yōu)的模型。在計算灌溉時間時，只要使重復(fù)覆蓋部分的灌溉強度不超過7.5毫米每小時，便可以 保證所有區(qū)域每小時的灌溉量不超過7.5毫米，另外，只要使不重復(fù)部分每天的灌水量不 少于5毫米，就可以使任何區(qū)域每四天的灌溉量不少于2毫米。然后針對這兩個時間段取 一個較小的時間作為一次灌溉的時間，最后計算出灌溉完此地需要移動管道

6、系統(tǒng)的次數(shù)， 便可以計算出總的時間。三、模型的假設(shè)1、假設(shè)管道系統(tǒng)鋪設(shè)于地面上農(nóng)作物的縫隙之間，噴頭距離地面有0.3米;2、假設(shè)各噴頭的流量相同，都為| （咬）（n為噴頭的個數(shù)）；3、假設(shè)使用全圓旋轉(zhuǎn)噴嘴，且旋轉(zhuǎn)速度均勻，各噴頭噴灑的水量是均勻的；4、假設(shè)在無風(fēng)條件下進(jìn)行灌溉；5、假設(shè)水的利用系數(shù)為1。四、符號的說明Q系統(tǒng)源頭的流量；P系統(tǒng)源頭的水壓；P0大氣壓強；D管道內(nèi)徑；d旋轉(zhuǎn)噴嘴內(nèi)徑；b設(shè)計灌溉強度；A各噴頭同時噴灑時的有效濕潤面積；R各噴頭的噴灑的最大半徑，即射程；S兩個噴頭同時噴灑時的重復(fù)覆蓋面積。五、模型的建立由問題的分析可知，要想確定噴頭的個數(shù)與支管之間的間距，先要求出噴頭的射

7、程。（一）噴頭最優(yōu)射程的求解1、求水噴出時的速度噴嘴的直徑d = 6X10-3m，故橫截面積S =兀（d/2）2。設(shè)噴出水的質(zhì)量為m，體積為V，由標(biāo)準(zhǔn)情況下水的密度為P=1.0X103kg/m3，得： TOC o 1-5 h z m = p V（ 1）設(shè)水噴出瞬間速度為v，時間為t，水噴出前水管內(nèi)速度相對很小，可設(shè)匕=0。水噴出瞬 間運動位移為討，故有：V = Svt（2）管道系統(tǒng)內(nèi)每處的水壓與系統(tǒng)源頭的水壓相等，水壓P =420千帕；大氣壓強P =101 0千帕（標(biāo)準(zhǔn)情況下）。由沖量定理，可得：（P P）St = mv mv（3）由(1), (2), (3)可得到：v =(P-P0)/p代入

8、數(shù)據(jù)，可得：v = 17.8606 m / s(4)2 .求最大的射程由于種植業(yè)的不同，鋁管的架設(shè)高度不同。這里我們?nèi)′X管的架設(shè)高度h = 0.3m。水從 噴嘴噴出，做類似拋物運動(空氣阻力不計)。設(shè)噴嘴的仰角為a,則速度可分解到水平方向上和豎直方向上兩個獨立的運動，分解到水平方向上速度為v = v cos a，豎直方向上速度為v = v sin a。圖1設(shè)噴頭最大射程為R。a的值不同，求得的R值也不同。運用牛頓運動學(xué)定理，結(jié)合 圖形，分析運動過程：(圖1)設(shè)水射到最高點時，離噴嘴的豎直高度為h，所用時間為，從最高點落地面經(jīng)過的 時間為t2。在水平方向上，滿足方程:， Z.mv 2 = mgh

9、1h = gt 22 11 h + h = 2 gt 2在豎直方向上，滿足方程:R = v (t +1 )(6)選擇最優(yōu)射程確定a值，由(4)，(5)，(6)可求出r值。由于選取的a值不同，求得的R值就不同。 因此我們需要找出a值和射程R的關(guān)系。我們選取多組a值，求出對應(yīng)的R值，比較得出： 在a值小于45。范圍內(nèi)，a值越大，R值越大；在a值大于45范圍內(nèi)，a值增大，R值變小。下面是一部分?jǐn)?shù)據(jù)：（見表1）表1a值與射程R的關(guān)系a值0715304560射程R（m）4. 4196. 7329. 78514. 14716. 31115. 323我們要考慮兩個方面：移動的次數(shù)和一次灌溉時間。射程大，一次

10、灌溉面積大，移動的次 數(shù)少；但灌溉強度小，一次灌溉時間長，總的時間可能會增大。射程小，一次灌溉面積小， 移動的次數(shù)多；但灌溉強度大，一次灌溉時間短，總的時間可能會小一些。在后面的結(jié)果檢驗中，我們比較了多級數(shù)據(jù)，確定最優(yōu)的射程是R = 4.419m。（二）噴頭間距、個數(shù)以及支管間距的確定1、從實際情況出發(fā)，為了便于移動，又能將地面噴灑完全，噴頭的布置有如下三種 情況：圖2據(jù)可靠資料可得：各噴頭呈正三角形分布，且支管間距為噴頭間距的0.866倍時，各噴頭同時噴灑時地面上的有效濕潤面積最大1。針對本文的限制條件，最優(yōu)管道模型有4個噴頭。在模型檢驗中，本文會給出詳細(xì)的證明和檢驗。鋪設(shè)的管道系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)如下

11、：圖3假設(shè)噴頭間距是射程的n倍：2nR + 0.866nR 20可得：n=1.57。所以噴頭間距為射程的1.57倍，即6.9378米；支管間距為射程的1057*0.866=1.36倍， 即6.0098米。鋪設(shè)的管道總長為19.8855米。3此管道系統(tǒng)能夠噴灑地面的有效長度為：，x R+R*8257米，有效寬度為:21.36x xR+1.36xR=10.0164 米。3因此要灌溉一片面積80X30米的田地，只要將此管道系統(tǒng)沿地寬平行移動3次，沿地長平 行移動5次，就可灌溉一片面積74.1285X30的田地，還要灌溉一片面積5.9X30的田地便 可以把此地灌溉完全。2、如果仍用上述管道系統(tǒng)灌溉5.

12、9X30米的田地，浪費的水量和時間將會很大，所以本文 在此將上述管道系統(tǒng)做了如下調(diào)整：改為用單支管多噴頭的管道系統(tǒng)噴灌：如圖：圖4為了保證它的有效覆蓋面積最大，即重復(fù)覆蓋面積最小，只能使管道系統(tǒng)II的有效寬度為5.9米，由此計算出噴嘴間距：=R2 -（59）2 =6.5804 米所以灌溉5.9X30米的田地需要噴嘴30/6.5804+1=6個，而20米長的管道系統(tǒng)最多能安裝 20/6.5804+1=4個噴嘴，又考慮到各區(qū)域的總灌溉量必須盡可能一致，我們這里采用只有3 個噴嘴的管道系統(tǒng)噴灌5.9X30米的田地，可知移動1次即可完成灌溉任務(wù)。此時面積80X30米的田地已經(jīng)灌溉完一次，兩套管道系統(tǒng)總

13、共移動了 17次。灌溉簡圖如下：30 m80m管道系統(tǒng)1管道系統(tǒng)2圖5六、模型的求解1、管道系統(tǒng)I灌溉時間的計算圖6兩個噴嘴重復(fù)覆蓋部分的圓的孤長所對應(yīng)的圓心角為P，則:.p 3 Disin =2 R又P所對應(yīng)的扇形面積為:P所在三角形面積為:1S = DD2 6 i所以，重復(fù)覆蓋的面積為:S = 2(Si - S2) = 4.4814重復(fù)覆蓋部分的噴頭流量:9sQ =i2 兀 R 2由于一個噴頭在灌溉區(qū)域的灌溉強度是均勻的，那么重復(fù)覆蓋部分的單位面積灌水量 是其它灌溉部分單位面積灌水量的2倍所以要滿足題設(shè)的任何區(qū)域每小時灌溉量不得超過 0.75厘米，只需重復(fù)覆蓋部分的灌溉強度不超過0.75厘

14、米/小時。已知灌溉強度：b = 1000Q (mm)A_有效Q-噴頭的流量(m3 h)A有效一地面的濕潤面積(m 2)可得灌溉強度:b=y1 S要滿足每小時灌溉量不超過7.5mm,只需要：b 7.5代入數(shù)據(jù)，可得：灌溉時間t1 8.1780 （分鐘）綜合t1, t2，可得：要滿足題設(shè)條件，此灌溉系統(tǒng)每天要灌溉2次，每次要灌溉4.0890 分鐘。所以要用管道系統(tǒng)I灌溉面積74.1285 X 30的田地，需要的時間為：T = 4.0890*15=61.3350 （分鐘）12、管道系統(tǒng)II灌溉時間的計算計算方法同管道系統(tǒng)I，得出：此灌溉系統(tǒng)每天要灌溉2次，每次灌溉2.5560分鐘。所以要用管道系統(tǒng)I

15、I灌溉面積5.9X30的田地，需要的時間為：T = 2.5560 x 2=5.1120 （分鐘）所以用這兩套管道系統(tǒng)灌溉一片面積80X30米的田地，所需要的時間為：T = T1 + T2+15C= 66.4470+15C （分鐘）將面積80X30米的田地灌溉好，需要每天用這兩套管道系統(tǒng)分別灌溉兩次，灌溉四天。七、模型的檢驗由實際生活可知：移動管道系統(tǒng)分為：單支管多噴頭噴灌系統(tǒng)和多支管多噴頭噴灌系 統(tǒng)，如圖所示：圖7單支管多噴頭管道系統(tǒng)圖8多支管多噴頭管道系統(tǒng)需要設(shè)計的管道系統(tǒng)一次灌溉的有針對此題，要用最少的時間灌溉面積80X30米的田地，效面積最大，即重復(fù)覆蓋面積最小。因為要灌溉的地域是規(guī)則的

16、矩形，且題目要求各區(qū)域 的總灌溉量必須盡可能一致，所以噴頭之間的間距應(yīng)該是一樣的。1、單支管多噴頭管道系統(tǒng)灌溉的有效面積的計算有四個噴頭的單支管圖9把20米均分為3份，將4個噴頭中間的兩個中點和兩個端點上。如圖，設(shè)兩個圓心之 間的距離為l，l =3.33米，射程r =4.419。圖中的0滿足:cos(0 ) = l / r一 .、.一2冗 r 201重迭部分面積2(亍- 偵20)故最大的有效面積S = 4兀r2 3S1代入數(shù)據(jù)，S = 186.2659m2由于射程為4.419,若噴頭為1個,2個,3個遠(yuǎn)不及圖4中有效面積大（噴頭為3個時，面積最大為 3兀 r2 =184.0429m2）當(dāng)噴頭為

17、5個時，有效面積為228.1643m2。由此可求得重迭時灌溉強度= 58.682mm/們不重迭時灌溉強度b2=29.1410mm/h。設(shè)每次灌溉時間為t，區(qū)域每小時 的的灌溉量不超過7.5mm / h，則有：bt 2.5（8）由（7），（8）得5.112 t 7.668（2）有五個噴頭的單支管圖10此模型有效面積為虛線矩形面積，長為28.838m,寬為7.2876m。在放置此模型時，由80/28.838=2.774 330/7.2876=4.1166 5故此模型要將矩形灌溉完必須移動15次，又因為它每一次灌溉的時間5.112 t 7.668，則總的灌溉時間為T=76.8 2、多支管多噴頭管道系

18、統(tǒng)灌溉的有效面積的計算（射程都為4.419米）因為管道是單支管時管道利用率最高，且單支管上噴頭個數(shù)為4個時有效面積最大，所以 管道是多支管時噴頭的個數(shù)最多為4個。（1）噴頭呈正方形布置時，噴頭間距和支管間距相等。此時要求噴頭的個數(shù)為4個。假設(shè)噴頭間距和支管間距都為射程的n倍：4.419x4n 20,解得：n=1.1315R2R兩個噴嘴重復(fù)覆蓋部分的圓的弧長所對應(yīng)的圓心角為P，則:Pcos =2又P所對應(yīng)的扇形面積為:P所在三角形面積為:重復(fù)覆蓋的面積為：S = 2（S1 -S2）= 20.9140所以，此管道系統(tǒng)的有效覆蓋面積為：A=4-R2 -4S = 161.7346。（2）噴頭呈正三角形布置由模型的求解可得：兩個噴頭的重復(fù)覆蓋的面積為：S = 2-S= 4.4814所以：此管道系統(tǒng)的有效覆蓋面積為：A=4- R2 -5S =222.9836。（3）噴頭呈矩形布置時，噴頭間距等于噴頭的射程。假設(shè)支管間距為射程的n倍:2R+2Rn S1 = 20.4492所以，此管道系統(tǒng)的有效覆蓋面積為：A=4-R2 -4S = 204.4922。因為每個噴頭噴出的水都相且均勻分布的，當(dāng)噴頭個數(shù)一定時，這三種多支管管道系統(tǒng)每 次的灌溉時間是一樣的。所以灌溉完整片地的時間只與移動管道系統(tǒng)的次數(shù)有關(guān)：管道系 統(tǒng)的有效覆蓋面積越大，移動次數(shù)越少，所用總的灌溉時間越少；反之亦然。由以上的計算