常微分方程發(fā)展簡(jiǎn)史-經(jīng)典階段

1、第一講常微分方程發(fā)展簡(jiǎn)史經(jīng)典階段一、引言Newton和Lebinitz創(chuàng)立的微積分是不嚴(yán)格的,18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們一方面努力探索微積分嚴(yán)格化的途徑,一方面往往又不顧基礎(chǔ)問題的困難而大膽前進(jìn),大大地?cái)U(kuò)展了微積分的應(yīng)用范圍,尤其是與力學(xué)的有機(jī)結(jié)合,當(dāng)時(shí)幾乎所有的數(shù)學(xué)家也是力學(xué)家.Newton和Lebinitz都處理過與常微分方程有關(guān)的問題.微積分的產(chǎn)生的一個(gè)重要的動(dòng)因來自于人們探求物質(zhì)世界運(yùn)動(dòng)規(guī)律的需求.一般地,認(rèn)識(shí)規(guī)律很難完全靠實(shí)驗(yàn)觀測(cè)認(rèn)識(shí)清楚,因?yàn)槿藗儾惶赡苡^測(cè)到運(yùn)動(dòng)的全過程.運(yùn)動(dòng)是服從一定的客觀規(guī)律的,物質(zhì)運(yùn)動(dòng)與瞬時(shí)變化率之間有著緊密的聯(lián)系,而這種聯(lián)系,用數(shù)學(xué)語言表述出來,即抽象為某種數(shù)學(xué)結(jié)

2、構(gòu),其結(jié)果往往形成一個(gè)微分方程,一旦求出其解或研究清楚其動(dòng)力學(xué)行為,運(yùn)動(dòng)規(guī)律就一目了然了.在微分方程模型建立過程中,平衡原理扮演著重要的角色.微分方程模型通常均是建立在平衡原理基礎(chǔ)之上的平衡是我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中隨處可見的現(xiàn)象.如：物理學(xué)中的能量守恒和動(dòng)量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡現(xiàn)象.再如考慮一段時(shí)間內(nèi)(或一定范圍內(nèi))物質(zhì)的變化,容易發(fā)現(xiàn)這段時(shí)間內(nèi)物質(zhì)的改變量與它的增加量和減少量之差也處于平衡的狀態(tài),這種平衡規(guī)律稱為物質(zhì)平衡.所謂平衡原理是指自然界的任何物質(zhì)在其變化的過程中一定受到某種平衡關(guān)系的支配.注意發(fā)掘?qū)嶋H問題中的平衡原理無疑應(yīng)該是從物質(zhì)運(yùn)動(dòng)機(jī)理的角度組建數(shù)學(xué)模型的

3、一個(gè)關(guān)鍵問題.作為例子,我們介紹著名的Malthus模型,它是最簡(jiǎn)單的生態(tài)學(xué)模型,也是本書中唯一的線性模型.給定一個(gè)種群,我們的目的是確定種群的數(shù)量是如何隨著時(shí)間而發(fā)展變化的.為此,我們作出如下假設(shè):模型假設(shè):(Hi)初始種群規(guī)模已知x(t)x，種群數(shù)量非常大,世代互相重疊，因此種群的數(shù)量2100可以看作是連續(xù)變化的；(H221)種群在空間分布均勻,沒有遷入和遷出(或遷入和遷出平衡)；(H231)種群的出生率和死亡率為常數(shù),即不區(qū)分種群個(gè)體的大小、年齡、性別等.(H4)環(huán)境資源是無限的.21確定變量和參數(shù):為了把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,我們首先確定建模中需要考慮的變量和參數(shù):t:自變量，x(t):

4、t時(shí)刻的種群密度，b:瞬時(shí)出生率,d:瞬時(shí)死亡率.模型的建立與求解:考查時(shí)間段t,t+，t(不失一般性，設(shè)，0),由物質(zhì)平衡原理,在此時(shí)間段內(nèi)種群的數(shù)量滿足:，+1時(shí)刻種群數(shù)量-t時(shí)刻種群數(shù)量=，內(nèi)新出生個(gè)體數(shù)-，內(nèi)死亡個(gè)體數(shù)，x(tAt)一x(t)=bx(t)At一dx(t)At,亦即令A(yù)t0，可得x(tAt)一x(t)At=(b一d)x(t),山=(b，d)x(t):=rx(t)dt滿足初始條件N（0）=No的解為x(t)=xe(b，d)t=xert.00于是有r0，即bd，則有l(wèi)imx(t)=,tr=0，即b=d，則有l(wèi)imx(t)=N,0tr0，即bd，則有l(wèi)imx(t)=0.tMal

5、thus模型的積分曲線x（t）呈“J”字型，因而種群的指數(shù)增長又稱為“J”型增長.二、常微分方程發(fā)展簡(jiǎn)史常微分方程是伴隨著微積分發(fā)展起來的,微積分是它的母體,生產(chǎn)生活實(shí)踐是它生命的源泉.300年來，常微分方程誕生于數(shù)學(xué)與自然科學(xué)（物理學(xué)、力學(xué)等）進(jìn)行嶄新結(jié)合的16、17世紀(jì)，成長于生產(chǎn)實(shí)踐和數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)程，表現(xiàn)出強(qiáng)大的生命力和活力，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。按照歷史年代劃分,常微分方程研究的歷史發(fā)展大體可分為四個(gè)階段：18世紀(jì)及其以前；19世紀(jì)初期和中期；19世紀(jì)末期及20世紀(jì)初期；20世紀(jì)中期以后。按照研究?jī)?nèi)容分可以分為：常微分方程經(jīng)典階段；常微分方程適定性理論階段；常微分方程解析理論階段；

6、常微分方程定性理論階段。1、常微分方程經(jīng)典階段：18世紀(jì)及其以前盡管在NapierJohn所創(chuàng)立的對(duì)數(shù)理論（討論過微分方程的近似解）以及daVinciLeonardo的餓狼撲兔問題中都已涉及到微分方程的思想萌芽,但人們通常認(rèn)為常微分方程的開端工作是由意大利科學(xué)家Galileo完成的.現(xiàn)在通常稱為彈性理論這一領(lǐng)域中的問題促進(jìn)了微分方程的研究.17世紀(jì)歐洲的建筑師們?cè)诮ㄖ烫煤头课輹r(shí),需要考慮垂直梁和水平梁在外力作用下的變形,以及當(dāng)外力撤銷時(shí)梁的恢復(fù)程度,也就是梁的彈性問題.當(dāng)時(shí)的建筑師們處理此類問題大多依賴于經(jīng)驗(yàn).Galileo從數(shù)學(xué)角度對(duì)梁的性態(tài)進(jìn)行了研究，將研究成果記錄在關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話

7、一書中,這些研究成果成為常微分方程開端.餓狼撲兔問題：一只兔子正在洞穴正南面60碼的地方覓食，一只餓狼此刻正在兔子正東100碼的地方游蕩。兔子回首間猛然遇見了餓狼貪婪的目光，預(yù)感大難臨頭，于是急忙向自己的洞穴奔去。說時(shí)遲，那時(shí)快，惡狼見即將到口的美食就要失落，立即以一倍于兔于的速度緊盯著兔子追去。于是，狼與兔之間，展開了一場(chǎng)生與死的驚心動(dòng)魄的追逐。問：兔子能否逃脫厄運(yùn)？一階常微分方程從17世紀(jì)末開始，擺的運(yùn)動(dòng)，彈性理論及天體力學(xué)等實(shí)際問題的研究引出了一系列常微分方程，這些問題在當(dāng)時(shí)往往以挑戰(zhàn)的形式被提出而在數(shù)學(xué)家之間引起熱烈的討論.常微分方程最早的著作出現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們彼此的通信中，或者出現(xiàn)在那些

8、常常重新登載書信中建立的或說明的結(jié)果的刊物中.某人宣布一個(gè)結(jié)果往往引起另一個(gè)人的申辯，說他更早作了完全相同的工作.由于存在著激烈的競(jìng)爭(zhēng)，這種申辯不一定是真實(shí)的.有些證明只是概述，而且弄不清作者掌握的詳情.同樣，在信上寫著的一般解法也僅僅是特例的說明.由于這些原因，我們即使不考慮這個(gè)問題的嚴(yán)密性，也很難指出誰是首先得到這些結(jié)果的人.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)是這個(gè)階段研究的問題的主要來源之一。1693年，Huygens在教師學(xué)報(bào)中明確說到了微分方程，而Leibniz在同年的教師學(xué)報(bào)的另一篇文章中稱微分方程為特征三角形的邊的函數(shù).我們現(xiàn)在所學(xué)到的關(guān)于常微分方程的觀點(diǎn)大約直到1740年才出現(xiàn).BernoulliJa

9、mes用微積分求解常微分方程解析解的先驅(qū)者之一.1690年,BernoulliJames研究了與鐘擺運(yùn)動(dòng)有關(guān)的等時(shí)曲線問題：求一條曲線，使得擺沿著它作一次完全的振動(dòng)時(shí)間相等，無論擺所經(jīng)歷的弧長的大小BernoulliJames通過分析建立了常微分方程模型,并用分離變量法解出了曲線方程，即擺線.1690年,BernoulliJames提出了“懸鏈線問題：求一根柔軟的但不能伸長的繩子懸掛于兩固定點(diǎn)而形成的曲線”.Leibniz稱此曲線為懸鏈線.在大自然中，除了懸垂的項(xiàng)鏈外，我們還可以觀察到吊橋上方的懸垂鋼索，掛著水珠的蜘蛛網(wǎng)，以及兩根電線桿之間所架設(shè)的電線，這些都是懸鏈線.這個(gè)問題早在15世紀(jì)Le

10、onardodaVinci已經(jīng)考慮過此問題.Galileo比BernoulliJames更早注意到懸鏈線，他猜測(cè)懸鏈線是拋物線，從外表看的確象，但實(shí)際上不是。Huygens在1646年（當(dāng)時(shí)17歲），經(jīng)由物理的論證，得知伽利略的猜測(cè)不對(duì)，但那時(shí)，他也求不出答案。在1691年6月的教師學(xué)報(bào)上，LeibnizG，HuggensC（62歲），BernoulliJohn都發(fā)表了各自的解答，Huggens的解答是幾何的且是不清楚的.John所用方法是誕生不久的微積分，具體說是把問題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)二階常微分方程，解此方程并適當(dāng)選取參數(shù)，即得懸鏈線.也就是常微分方程教材中采用的解法.Leibniz用微積分的

11、方法也得到了這個(gè)結(jié)果.John能夠解決了懸鏈線問題，而他的哥哥James提出這個(gè)難題卻不能解決,所以他感到莫大的驕傲.這兩個(gè)人在學(xué)術(shù)上一直相互不忿，據(jù)說當(dāng)年John求懸鏈線的方程，熬了一夜就搞定了，James做了一年也沒有結(jié)果，實(shí)在是很沒面子。Bernoulli一家在歐洲享有盛譽(yù)，有一個(gè)傳說，講的是DanielBernoulli（丹尼爾伯努利)(他是JohnBernoulli的兒子)有一次正在做穿過歐洲的旅行，他與一個(gè)陌生人聊天，他很謙虛的自我介紹：“我是DanielBernoulli。那個(gè)人當(dāng)時(shí)就怒了，說：“我是還是IssacNewton(牛頓)呢?！盌aniel從此之后在很多的場(chǎng)合深情的回

12、憶起這一次經(jīng)歷,把它當(dāng)作自己曾經(jīng)聽過的最衷心的贊揚(yáng)。1694年,LeibnizG和BernoulliJohn提出了等角軌線問題：求這樣的曲線和曲線族，使得它與某已知曲線族的每一條曲線都相交成給定的角度.當(dāng)所給定的角為直角時(shí),等角軌線就稱為正交軌線.等角軌線在許多學(xué)科如光學(xué)、天文、氣象中都有應(yīng)用.這個(gè)問題一直到1697年都沒有公開，那時(shí)John把它作為向James提出的一個(gè)挑戰(zhàn).James只解決了一些特殊的實(shí)例.John導(dǎo)出了一特殊曲線族的正交軌線的微分方程,并且在1698年解出了它.后來Leibniz找到了曲線族y2=2bx(b是參數(shù))的正交軌線即一族橢圓y2/2+x2=c.雖然他只解出了特例

13、,沒有給出一般方法,但在他的解法中隱含了一般解法.正交軌線問題一直處于沉寂狀態(tài)，直到1715年，Leibniz向英國數(shù)學(xué)家，主要對(duì)準(zhǔn)Newton提出挑戰(zhàn)：找出求一已知曲線或曲線族的正交軌線的一般方法.Newton在造幣廠,白天勞累之后，用睡覺前時(shí)間接觸了這個(gè)問題，1716年發(fā)表了他的解答.Newton還指明了如何求與一已知曲線族相交成定角的曲線，或相交的角是按照給定的規(guī)律隨族中曲線變化的曲線.雖然Newton用了二階常微分方程，但他的方法與現(xiàn)代所用的方法沒有太大的不同.關(guān)于這個(gè)問題的更進(jìn)一步的工作是由BernoulliNicholas在1716年完成的.1717年，HermannJ(Berno

14、ulliJohn的學(xué)生)給出了一般規(guī)則，此方法實(shí)際上是Leibniz的,只不過Hermann闡述得更為明確而已.JohnBernoulli向英國人提出了另外一些軌線的難題，他特別討厭的是Newton.由于英國人和歐洲大陸伙伴已經(jīng)不和，所以挑戰(zhàn)是冷酷的且充滿敵意.1754年，LagrangeJ在等時(shí)曲線問題上取得重要進(jìn)展，并開創(chuàng)了變分學(xué).起初，數(shù)學(xué)家們只是用特殊的方法和技巧解決特殊的方程，然后才逐漸開始尋找?guī)в衅毡樾缘姆椒?1691年，LeibnizG提出了求解了變量可分離方程y，=f(x)g(y)的“變量分離法”；首次應(yīng)用后來被稱為Briot-Bouquet變換的$y=ux$解決了齊次方程y，

15、f(y/x)的求解問題.1694年,BernoulliJohn在教師學(xué)報(bào)中對(duì)變量可分離方程和齊次方程求解作了更加完整的說明.1695年,BernoulliJames提出了Bernoulli方程空=p(x)y+q(x)yn,并于1696年用分dx離變量法把它解出.1696年,LeibnizG利用“變量代換法”求解Bernoulli方程，即作變量替換Zyn一1,將其劃為線性方程求解.還曾試圖利用變量代換法統(tǒng)一解決一階常微分方程的求解問題.Bernoulli兄弟(James,John)也推進(jìn)了分離變量法和變量代換法.1734-1735年EulerL提出了全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=

16、0,并給出了此方程是全微分方程的條件：二.yx當(dāng)一個(gè)一階方程不是全微分方程時(shí),往往可以將方程乘上一個(gè)叫作積分因子的量,使它變?yōu)槿⒎址匠?積分因子法雖說在一階方程的特殊問題中已經(jīng)采用（如JohnBernoulli曾用此方法求解一些變量可分離方程）,但是領(lǐng)會(huì)到積分因子這個(gè)概念,并把它作為一種方法提煉出來的卻是Euler,EulerL確立了可采用積分因子法求解的方程的類屬;證明了凡能用分離變量法求解的方程都可用積分因子法求解,但反之不然;證明了如果知道了任何一個(gè)常微分方程的兩個(gè)積分因子,那么令它們的比等于常數(shù),就是微分方程的一個(gè)積分;還證明了對(duì)于高階方程,用分離變量法求解是行不通的;還曾試圖利用積分因子的方法統(tǒng)一解決一階常微分方程的求解問題.1739-1740年ClairautA獨(dú)立地引入了積分因子的概念，也提出了“積分因子法”.1694年,Leibniz發(fā)現(xiàn)了方程的一個(gè)解族的包絡(luò)也是解.1715-1718年，TaylorB討論微分方程的奇解、包絡(luò)和變量代換公式.1734年，Clairaut研究了以他名字命名的Clairaut方程，發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程的