世界是不確定的,還好,我們有概率論

1、世界是不確定的，還好，我們有概率論閱讀本文需要耐心（數(shù)學好到一定程度的除外），不妨準備一套紙幣。如果讓你產(chǎn)生想重學概率論的沖動怎么辦？ 去學呀！ “概率”這兩個字，除了課本以外，最常由現(xiàn)的地 方也許就是天氣預報中的“降水概率”，也就是未來幾天下雨的可能性有多大。在數(shù)學中，概率論是專門研究“可能性” 的一門分支。它涉及的問題非常廣泛，內(nèi)容遠遠超生了中學 課本里那些刻板的習題。一切隨機或者不確定的事件，都是 概率論研究的范疇。上至氣象下至金融，甚至連“磁鐵的磁 性怎么來的”這種物理問題，都可以用概率的方法來研究。 但這門學科的誕生卻有些“不太光彩”。來自賭博的問題在1654年的一天早上，法國數(shù)學家

2、布萊茲帕斯卡收到了他的 朋友貢博的一封來信。這位朋友自稱“來自梅雷的騎士”，也算是一位業(yè)余數(shù)學家。他向帕斯卡提生了類似如下的問 題：兩位貴族 A與B正在進行一場賭局，賭注是每人500法郎，兩人輪流擲硬幣，得到正面則A得一分，反面則B得 一分，每一局兩人得分的機會相等，誰先得到6分誰就得到1000法郎。兩人激戰(zhàn)正酣，比分達到 2比4之際，B突然有 事需要終止賭局。賭注應該如何分配才最公平。這一類問題 被稱為點數(shù)分配問題，早在 16世紀就被研究過，但數(shù)學家 當時的答案并不令人滿意，在一些極端情況下會給由非常不合理的分配方案。也許這位“梅雷騎士”也見識過現(xiàn)實中這 種賭局引起的矛盾，他希望帕斯卡能夠解

3、決這個問題。帕斯 卡對這個問題也很感興趣。他向另一位業(yè)余數(shù)學家皮埃 爾德費馬發(fā)去一封信討論這個問題。作為“業(yè)余數(shù)學家 之王”，費馬很快就給由了一個答案。他認為，不能單靠賭 局停止時的比分或者各自獲勝需要的分數(shù)來決定賭注的分 配，而是應該考慮所有比賽的可能性中，雙方獲勝的比例。 但列舉所有的可能性的計算量非常大，帕斯卡繼而提由了一 個簡化算法，完美地解決了點數(shù)分配問題。實際上，他們的解答相當于計算兩位玩家勝利概率的大小。在研究中，帕斯 卡提生了 “數(shù)學期望”的概念和著名的“帕斯卡三角形”（楊 輝三角）。莫個結果為實數(shù)的隨機事件的數(shù)學期望，也就是 所有結果按照發(fā)生概率加權之后的平均值。數(shù)學期望這個

4、概 念，掀開了概率論研究的序幕。什么是概率？很多概率問題 有著特別的結構。對于莫個非常簡單的隨機事件，比如說擲 硬幣，我們知道每種結果由現(xiàn)可能性的大小，這樣的事件被 稱為“基本事件”。我們可以多次重復這些基本事件，假定 它們發(fā)生的可能性不會改變，而且這些重復沒有相互影響。如果我們將這些基本事件以合適的形式組合起來，就能得到 一個更為復雜而有趣的系統(tǒng)。許多概率問題實際上就是對這 些隨機系統(tǒng)的各種性質的研究。比如說，在點數(shù)分配問題中， 基本事件就是硬幣的投擲，而系統(tǒng)則是賭局的具體規(guī)則，最后我們希望知道的則是每一方勝利的可能性大小。在概率論 發(fā)展的早期，數(shù)學家研究的問題大多比較簡單，基本事件只 有有

5、限幾種結果，組合的方式也相對簡單。這樣構成的隨機 系統(tǒng)又叫古典概型。隨著數(shù)學的發(fā)展，數(shù)學家開始考慮更復 雜的模型。18世紀的法國數(shù)學家布豐提由了這樣一個問題： 在數(shù)條間隔相等的平行線之間，隨機投下長度與間距相等的 一根針，它與這些平行線相交的概率是多少？在這里，因為 角度與距離都是連續(xù)的值，基本事件有無數(shù)不同的結果，這 樣的隨機系統(tǒng)被稱為幾何概型。早在19世紀，概率論已經(jīng)成為了一門枝繁葉茂的數(shù)學分支。有趣的是，“概率”這個概念的嚴格定義要等到 20世紀才由現(xiàn)。對于古典概型，因 為結果數(shù)量有限，概率的定義并沒有含糊之處，但幾何概型 的情況更為復雜?？紤]這樣的一個問題：圓中的一條隨機的 弦，它的長

6、度比圓內(nèi)接正三角形的邊長更長的概率是多少？ 這個問題又叫貝特朗悖論，它奇怪的地方在于，對于不同的 選取“隨機的弦”的方法，得到的概率也不相同，到底誰是 誰非？要等到1933年，俄國數(shù)學家柯爾莫哥洛夫為概率論 建立公理體系之后，這個問題的解答才變得昭然若揭?？聽?莫哥洛夫將概率模型建立在莫一類所謂的“代數(shù)上的測度”上，這樣的測度可以有很多種，不同的測度對應著不同 的“隨機”。而在貝特朗悖論中，選取隨機弦的方法實際上 對應著不同測度的選取，也就是不同的“隨機”概念，那自 然會得到不同的結果。而到了現(xiàn)在，概率模型的種類越來越 多也越來越復雜，系統(tǒng)可以包含無限個基本事件，而具體的 組織方式也更復雜更有

7、趣。 隨機圖、滲流模型、自回避行走, 這些概率模型早已不能用古典概型和幾何概型來概括。也正 因為有了這些復雜的模型，我們才能用概率論解決現(xiàn)實世界 的種種難題。無處不在的分布如果讓數(shù)學家評選概率論中最 重要的定理，桂冠可能非中心極限定理莫屬。它不僅是概率 論中許多重要結果的基石，在別的學科中，尤其是計算機科 學，它也有重要的應用，而在現(xiàn)實生活中，它是整整一個行 業(yè)賴以生存的理論基礎。中心極限定理其實不止一個，可以 說它是一連串定理的總稱。它可以看作所謂“大數(shù)定理”的 細化與推廣。假設我們有一枚硬幣，它擲由正反面的概率相 等。那么，如果我們連續(xù)拋擲這枚硬幣一萬次，常識告訴我 們其中大概有五千次是正

8、面。這就是大數(shù)定理：對于莫個基 本事件獨立地重復多次的話，莫個可能性發(fā)生的次數(shù)占總數(shù) 的比例會趨近于這個可能性發(fā)生的概率。與大數(shù)定理不同的 是，中心極限定理處理的是那些結果是實數(shù)的隨機基本事 件。它告訴我們，如果將許多相同而又獨立的基本事件的結 果取平均的話，這個平均值會趨向莫個概率分布。根據(jù)大數(shù) 定理，這個分布的數(shù)學期望就是基本事件的數(shù)學期望。而中 心極限定理額外告訴我們的，就是這個概率分布必定是一個 所謂的“正態(tài)分布”，而它的方差，也就是概率分布的“分散”程度，是基本事件的方差除以事件數(shù)目的平方根。也就 是說，基本事件越多，平均值的不確定性就越小。將這個正 態(tài)分布畫成曲線的話，它就像一個大

9、鐘，中間高，但兩頭呈 指數(shù)衰減，這也為它贏得了 “鐘形曲線”這個形象的名字。中心極限定理可以推廣到取值范圍是高維空間中一點的情況，”相同的基本事件”這個要求也可以被更弱的條件代替， 只需要基本事件滿足莫些要求，而不需要完全相同。正態(tài)分 布在自然界中隨處可見，比如說人的身高和智力都服從正態(tài) 分布。這是因為自然界中的很多現(xiàn)象都由各種因素千絲萬縷 的聯(lián)系而決定，其中沒有特別突生的因素。 比如說人的身高， 除了由許多不同的基因調(diào)控以外，后天的營養(yǎng)、環(huán)境、健康,甚至偶然的意外，都有著各自的影響。在這種情況下，如果 將每個因素看成一個基本事件，并且假定這些因素各自的影 響都差不多，將這些因素綜合考慮，根據(jù)

10、中心極限定理，得 到的結果就非常接近正態(tài)分布。中心極限定理也是保險這一 整個行業(yè)的基礎。每個人都會遇到各種各樣的風險，比如事故、疾病等等，這些風險發(fā)生的概率都很低，但一旦發(fā)生，后果非常嚴重，并非每個人都能承受。而保險業(yè)，實際上就 是通過保費與保險賠付的方式，將上千萬人連結起來，每人 付由相對小的代價，在萬一不幸襲來時，就能獲得一定的保 障。由中心極限定理，這樣由數(shù)量龐大的個案相加而成的保 險業(yè)務，由于偶然因素導致無法賠付的概率非常小，而且參 與的人數(shù)越多，風險就越小。為了確定保費與賠付，保險公 司要做的就是根據(jù)大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)精確地確定意外發(fā)生的概 率，然后根據(jù)意外概率與收益確定保費與賠付的金額。

11、這也 是為什么現(xiàn)代的保險公司越來越重視概率與統(tǒng)計。理解復雜 世界除了與不確定性相關的問題之外，概率論也與物理息息 相關。法國物理學家皮埃爾居里在攻讀博士學位時，就發(fā) 現(xiàn)了磁鐵的一個有趣的性質：無論磁力多強的鐵制磁鐵，在 加熱到770攝氏度時，都會突然失去磁性。這個溫度后來被 稱為鐵的居里點。為什么磁鐵會突然失去磁性？通過概率論 與統(tǒng)計物理，我們現(xiàn)在明白，這種現(xiàn)象與冰雪消融、開水沸 騰相似，都屬于相變的范疇。我們可以將磁鐵里的鐵原子想 象成一個一個的小磁針。在磁鐵還有磁性時，這些小磁針齊 刷刷地指向同一個方向，但因為分子熱運動的關系，每個小 磁針都會時不時地動一下，但很快會被旁邊的小磁針重新同

12、化。物理學家將這個場景抽象成所謂的伊辛模型，通過對伊 辛模型的研究，概率學家發(fā)現(xiàn)，當溫度達到莫個臨界值時， 整個體系就會由于熱運動而不能保持統(tǒng)一的指向，也就是失 去磁性。這個臨界值就是居里點，而這樣的對伊辛模型的研 究也部分揭示了磁鐵的一些微觀結構的成因。（圖片很大，請耐心等待）相變不僅僅局限于物理現(xiàn)象。流 言的傳播，傳染病的爆發(fā)，還有微博的轉發(fā)，都是一種相變 過程，都存在莫種臨界值。比如說傳染病，在適當?shù)哪Ｐ拖? 如果每個病人傳染人數(shù)的平均值低于莫個臨界值，那么疾病 就能被控制；如果高于臨界值，就很可能導致疫病的全面爆 發(fā)。對于疾病傳播的研究，屬于流行病學研究的范疇，而在 概率論被引入流行病學研究之后，我們對如何防止與控制疫 病爆發(fā)有了更深入的了解，